BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Teori Himpunan Fuzzy

Dalam kebanyakan jenis pemikiran setiap harinya, orang – orang menggunakan crisp set untuk mengelompokan sesuatu. Menjadi anggota dari crisp set adalah seluruhnya berhubungan atau tidak sama sekali. Seorang wanita dikatakan hamil ataupun tidak, ia tidak pernah “hamil sebagian” atau “sedikit hamil”.

Berpikir dengan crisp set menjadikan segala sesuatunya lebih sederhana, karena sesuatu bisa merupakan anggota dari suatu crisp set atau tidak. Crisp set dapat digunakan untuk merepresentasikan gambaran pengertian hitam dan putih. Seringkali juga, saat sesuatu itu merupakan anggota dari sebuah crisp set maka ia kemudian (pada waktu yang sama) bukan merupakan anggota dari crisp set manapun. Kembali hal ini menyederhanakan penggunaan logika dengan proses pemikiran semacam ini. Konstruksi linguistik yang menggambarkan jenis pemikiran ini dapat benar – benar berguna, terutama saat kategori crisp digunakan.

Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item x dalam suatu himpunan A, yang sering ditulis dengan µ A[x], memiliki 2 kemungkinan, yaitu :

• µA[1], yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan, atau

• µA[0], yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.

Untuk lebih jelasnya, bisa dilihat dari contoh dibawah ini :

Dari gambar diatas dapat dijelaskan bahwa:

• Apabila seseorang berusia 34 tahun, maka ia dikatakan MUDA (µMUDA[34]=1);

• Apabila seseorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan TIDAK MUDA (µMUDA[35]=0);

• Apabila seseorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka ia dikatakan TIDAK MUDA (µMUDA[35-1hr]=0);

• Apabila seseorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan PAROBAYA (µPAROBAYA[35]=1);

• Apabila seseorang berusia 34 tahun, maka ia dikatakan TIDAK PAROBAYA (µPAROBAYA[34]=0);

• Apabila seseorang berusia 55 tahun, maka ia dikatakan PAROBAYA (µPAROBAYA[55]=1);

• Apabila seseorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka ia dikatakan TIDAK PAROBAYA (µPAROBAYA[35-1hr]=0);

Dari sini bisa dikatakan bahwa pemakaian himpunan crisp untuk menyatakan umur sangat tidak adil, adanya perubahan kecil saja pada suatu nilai mengakibatkan perbedaan kategori yang cukup signifikan. Oleh karena itu digunakanlah himpunan fuzzy untuk mengantisipasi hal tersebut.

2.2 Fuzzy Set

Logika fuzzy lahir berdasarkan fenomena – fenomena alam yang serba tidak tepat dan samar ditinjau dari cara berpikir manusia, dimana pada kenyataannya tidak ada suatu kondisi atau pernyataan yang tepat 100% benar atau 100% salah. Untuk mempresentasikan nilai ketidakpastian, Prof. Lotfi A. Zadeh mengembangkan suatu teori berdasarkan conventional set yang disebut fuzzy set (himpunan fuzzy). Logika fuzzy memberikan nilai yang spesifik pada setiap nilai dengan menentukan fungsi keanggotaan (membership function) bagi tiap nilai input dari proses fuzzy (crisp input) dan derajat keanggotaan (degree of membership) yaitu menyatakan derajat dari crisp input sesuai membership function antara 0 sampai 1.

Menurut Prof. Lotfi A Zadeh, fuzzy set adalah sebuah kelas dari obyek dengan serangkaian kesatuan dari grades of membership (nilai keanggotaan). Sebuah set dikarakterisasikan oleh sebuah fungsi keanggotaan (karakteristik) yang memberikan tiap obyek sebuah nilai keanggotaan yang rentang nilainya antara 0 dan 1. Gagasan pencantuman (inclusion), penyatuan (union), persimpangan (intersection), pelengkap (complement), hubungan (relation), kecembungan (convexity), dan sebagainya diberikan pada set tersebut, dan berbagai macam sifat dari pemikiran ini dalam konteks dari fuzzy set dibangun. Secara khusus, dalil untuk fuzzy set cembung dibuktikan tanpa perlu fuzzy set terputus.

Aturan umum untuk teori fuzzy set dituliskan sebagai berikut:

dimana n merupakan jumlah kemungkinan.

Untuk lebih jelasnya mengenai himpunan fuzzy dapat dilihat pada contoh persoalan dibawah ini:

Dengan adanya himpunan fuzzy memungkinkan seseorang untuk dapat masuk kedalam 2 himpunan yang berbeda, MUDA dan PAROBAYA, PAROBAYA dan TUA, dan sebagainya. Seberapa besar eksistensinya dalam himpunan tersebut dapat dilihat pada nilai keanggotaannya. Dari gambar diatas, dapat dilihat bahwa :

• Seseorang yang berumur 40 tahun, termasuk dalam himpunan MUDA dengan µMUDA[40] = 0,25; namun dia juga termasuk dalam himpunan PAROBAYA dengan µPAROBAYA[40] = 0,5.

• Seseorang yang berumur 50 tahun, termasuk dalam himpunan MUDA dengan µMUDA[50] = 0,25; namun dia juga termasuk dalam himpunan PAROBAYA dengan µPAROBAYA[50] = 0,5.

Kalau pada himpunan crisp, nilai keanggotaan hanya ada 2 kemungkinan, yaitu 0 atau 1, pada himpunan fuzzy nilai keanggotaan terletak pada rentang 0 sampai 1. apabila x memiliki nilai keanggotaan fuzzy µA[x] = 0 berarti x tidak menjadi anggota himpunan A, demikian pula apabila x memiliki nilai keanggotaan fuzzy µA[x] = 1 berarti x menjadi anggota penuh pada himpunan A.

2.3 Fuzzy Set Operation

Fuzzy set operation adalah operasi yang dilakukan pada fuzzy set. Operasi – operasi ini merupakan generalisasi dari operasi crisp set. Terdapat lebih dari satu generalisasi yang mungkin. Operasi – operasi yang paling banyak digunakan secara luas disebut standard fuzzy set operations. Terdapat tiga operasi yaitu :

a) Fuzzy Union.

Fungsi keanggotaan dari Union dari dua fuzzy set A dan B dengan fungsi keanggotaan µA dan µB berturut – turut ditetapkan sebagai maksimum dari dua fungsi keanggotaan tersendiri. Ini disebut standar maksimum.

(

)

max ,

A B A B

b) Fuzzy Intersection.

Fungsi keanggotaan dari Intersection dari dua fuzzy set A dan B dengan fungsi keanggotaan µA dan µB berturut – turut ditetapkan sebagai minimum dari dua fungsi keanggotaan tersendiri. Ini disebut standar minimum.

(

)

min ,

A B A B

µ _∩ = µ µ .

c) Fuzzy Complements.

Fungsi keanggotaan dari Intersection dari sebuah fuzzy set A dengan fungsi keanggotaan µ_A ditetapkan sebagai negasi dari fungsi keanggotaan yang ditentukan. Ini disebut standar negasi.

A

A µ

µ _' =1− . 2.4 Sistem Fuzzy

Ada beberapa hal yang perlu diketahui dalam memahami system fuzzy, yaitu:

a. Variabel fuzzy

Variabel fuzzy merupakan variabel yang hendak dibahas dalam suatu system fuzzy. Contoh : umur, temperature, permintaan, dsb.

b. Himpunan fuzzy

Himpunan fuzzy merupakan suatu grup yang mewakili suatu kondisi atau keadaan tertentu dalam suatu variabel fuzzy.

c. Semesta Pembicaraan

Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif maupun negatif. Adakalanya nilai semesta pembicaraan ini tidak dibatasi batas atasnya.

Contoh:

• Semesta pembicaraan untuk variabel umur: [0, +∞)

• Semesta pembicaraan untuk variabel temperature : [0, 40] d. Domain

Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang di ijinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Seperti halnya semesta pembicaraan, domain merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai domain dapat berupa bilangan positif maupun negatif. Contoh domain himpunan fuzzy:

• MUDA = [0, 45]

• PAROBAYA = [35, 55]

• TUA = [45, +∞).

2.5 Fungsi Keanggotaan (Membership Function).

Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukan pemetaan titik – titik input data kedalam nilai keanggotaannya (sering juga disebut dengan derajat keanggotaan) yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi. Ada beberapa fungsi yang bisa digunakan.

Representasi Linier

Pada representasi linier, pemetaan input ke derajat keanggotaannya digambarkan sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas.

Ada 2 keadaaan himpunan fuzzy yang linier. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol [0] bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi.

Representasi Linier Naik :

Fungsi keanggotaan :

[ ]

( ) ( )

b

x

b

x

a

a

x

b

x

a

x

x

≥

≤

≤

≤











=

−

−

=

=

;

;

;

1

/

0

µ

Kedua, merupakan kebalikan yang pertama. Garis lurus dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak menurun ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah.

Representasi linier Turun : Fungsi keanggotaan :

[ ]

(

) (

)

b

x

b

x

a

a

b

x

b

x

≥

≤

≤







=

−

−

=

;

;

0

/

µ

Representasi Kurva Segitiga

Kurva Segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara 2 garis (linier) seperti terlihat pada gambar.

Fungsi keanggotaan :

[ ]

(

) (

)

(

) (

)

c x atau c x b b x a a x b c x b a b a x x ≥      ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − − = − − = = ; / ; / ; 0 µ

Representasi Kurva Trapesium

Kurva Trapesium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1 ( Gambar ).

Fungsi keanggotaan :

[ ]

(

) (

)

(

) (

)

d x atau d x c x b b x a a x c d x d a b a x X ≥ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤        − − = = − − = = ; / ; 1 ; / ; 0 µ

2.6 Program linier

Sebelum mengarah pada bagaimana fuzzy dibuat untuk kekurangan pada linier programming, sebaiknya terlebih dahulu mengetahui apa itu optimasi.

Optimasi.

Optimasi adalah sarana untuk mengekspresikan model matematika yang bertujuan memecahkan masalah dengan cara terbaik. Untuk tujuan bisnis, hal ini berarti memaksimalkan keuntungan dan efisiensi serta meminimalkan kerugian, biaya atau resiko. Hal ini juga berarti merancang sesuatu untuk meminimalisasi bahan baku atau memaksimalisasi keuntungan. Adapun keinginan untuk memecahkan masalah dengan model optimasi secara umum sudah digunakan pada banyak aplikasi.

Program Linier.

Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, di mana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Secara sederhana, dapat diambil contoh bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan pada masalah penentuan tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan batasan faktor-faktor produksi: mesin, tenaga kerja, bahan mentah, dan sebagainya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal.

Pada masa modern sekarang, program linier masih menjadi pilihan dalam upaya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal. Dalam memecahkan masalah di atas, Program linier menggunakan model matematis. Sebutan “linier” berarti bahwa semua fungsi matematis yang disajikan dalam model ini haruslah fungsi-fungsi linier. Dalam Program linier dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi tujuan (objective function) dan fungsi-fungsi batasan (constraint function). Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya

minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus dipenuhi:

1. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan.

2. Alternatif perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan; misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah.

3. Sumber daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas

4. Perumusan kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam apa yang disebut model matematika.

5. Keterkaitan peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.

Model Dasar

Model dasar program linier dapat dirumuskan sebagai berikut:

Carilah nilai-nilai X₁,X₂,…,X_{n yang dapat menghasilkan berbagai}

kombinasi optimum (maksimum atau minimum) dari:

) . ( 2 2 1 1 tujuan fungsi X C X C X C Z = + +…+ _{n n} (2.1)

Dengan syarat bahwa fungsi tujuan tersebut memenuhi kendala-kendala atau syarat-syarat ikatan sebagai berikut:

1 1 2 12 1 11X a X a X atau b a + +…+ _{n n} ≤ ≥ 2 2 2 22 1 21X a X a X atau b a + +…+ _{n n} ≤ ≥ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ m n mn m m X a X a X atau b a + +…+ ≤ ≥ 2 2 1 1 (2.2)

dan bahwa: X_j ≥0,untuk j=1,2,…,n _(2.3)

Keterangan: =

j

C Parameter yang dijadikan kriteria optimisasi, atau koefisien peubah pengambilan keputusan dalam funsi tujuan.

= j

X Peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak diketahui).

= ij

a Koefisien teknologi peubah pengambilan keputusan (kegiatan yang bersangkutan) dalam kendala ke-i.

=

i

b Sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang bersangkutan; disebut pula konstanta atau “nilai sebelah kanan” dari kendala ke-i.

=

Z Nilai skalar kriteria pengambilan keputusan; suatu fungsi tujuan.

Asumsi – asumsi program linier 1. Linieritas

Asumsi ini menginginkan agar perbandingan antara input yang satu dengan input lainnya, atau untuk suatu input dengan output besarnya tetap dan terlepas (tidak tergantung) pada tingkat produksi.

2. Proposionalitas

Asumsi ini menyatakan bahwa jika peubah pengambilan keputusan, X _j berubah maka dampak perubahannya akan menyebar dalm proposi yang sama terhadap fungsi tujuan, C_jX_j, dan juga pada kendalanya, a_ijX_j.

3. Aditivitas

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria optimisasi (koefisien peubah pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan) merupakan jumlah dari nilai individu-individu C dalam model PL tersebut. _j

4. Divisibilitas

Asumsi ini menyatakan bahwa peubah-peubah pengambilan keputusan X_j, jika diperlukan dapat dibagi ke dalam pecahan-pecahan.

5. Deterministik

Asumsi ini menghendaki agar semua parameter dalam PL (yaitu nilai – nilai

j

C , a , dan ij bi) tetap dan dikehendaki atau ditentukan secara pasti.

Metode Simpleks

Apabila suatu masalah Linier Programming hanya mengandung dua kegiatan (variabel-variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi,

sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih.

Masalah Program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabel-tabel.

Tabel 2.1 Bentuk tabel simpleks

j

C

C1 … Ck … Cn Variabel Basis Harga Basis 1 B X … n X … n X Jawab Basis 1 B X C_B1 a₁₁ … k a1 … a1n b ₁ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Br X C_Br a_r1 … rk a … rn a _{b r} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Bm X C_Bm a_m1 … mk a … mn a m b = − j j C Z imbalan Zj −Cj … Zk −Ck … Zn −Cn cBb

Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan kedalam model matematik persamaan linier, caranya sebagai berikut:

1. Konversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan.

Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian pada daerah kelayakan (feasible) maka model program linier diubah menjadi suatu model yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artificial

variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol kepada setiap koefisien C nya. Batasan dapat di modifikasi sebagai berikut:

a. Untuk batasan bernotasi

( )

≤ dapat dimodifikasikan kepada bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack ke dalam nya.

b. Untuk batasan bernotasi ≥ atau

( )

= diselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimal maka dibuat –M sebagai harga, dan jika persoalan minimal dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).

Penambahan variabel slack dan variabel buatan (artificial variabel) pada tiap batasan (constrain) untuk persoalan maksimal dapat dirumuskan sebagai berikut:

Maksimalkan:

∑

∑

+ = = − = m m i i j n j jx M B c Z 1 1 1 (2.4) Dengan batasan : 1 1 , , 2 , 1 ,i m b x x a _{j i i} n j ij + = = …

∑

=

(untuk batasan bernotasi ≤ ) (2.5)

2 1 1 1 , , 1 ,i m m m b B x a _{j i i} n j ij + = = + +

∑

=

… _{(untuk batasan bernotasi = ) (2.6)}

m m m i b B x x a _{j i i i} n j ij , 1 2 1 , 1 … + + = = + −

∑

=

(untuk batasan bernotasi ≥ ) (2.7) 0

≥ j

x , xi ≥0, Bi ≥0, bi ≥0 untuk semua harga i dan j

n j

2. Menyusun persamaan – persamaan di dalam tabel awal simpleks.

Tabel 2.2 Bentuk tabel awal simpleks sebelum pivoting

j c c₁ c_r c_m c_j c_k Variabel Basis Harga Basis 1 B x … Br x … Bm x … j x … k x Jawab Basis 1 B x c_B1 1 … ₀ … ₀ … j a₁ … k a₁ 1 b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Br x c_Br 0 … 1 … 0 … rj a … rk a r b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Bm x c_Bm 0 … 0 … 1 … mj a … mk a m b imbalan c z_j − _j = 0 0 0 z_j −c_j z_k −c_{k c b} B

Langkah – langkah yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tabel simpleks adalah sebagai berikut:

Langkah 1 : Mengecek nilai optimal imbalan.

Untuk persoalan maksimal : z_k −c_k = minimal {z_j −c_j : j∈R}. Jika

k

k c

z − ≥0 maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal.

Untuk persoalan minimal : z_k −c_k = maksimal {z_j −c_j : j∈R}. Jika

k

k c

z − ≤0 maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal.

Harga – harga imbalan (zj −cj) dapat diperoleh dengan rumus :

j ij m j Bi j j

c

c

a

c

z

−

=

∑

−

=1 (2.8)

Untuk : c_j = Harga dari semua variabel dalam z .

= ij

a Koefisien dari semua variabel dalam sistem batasan.

= Bi

c Harga dari variabel.

Langkah 2 : Menentukan variabel yang akan masuk dalam basis.

Untuk persoalan maksimal jika terdapat beberapa z_j−c_j ≤0 maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan z_j −c_j terkecil, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk kedalam basis. Untuk persoalan minimal jika terdapat beberapa z_j −c_j ≥0 maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan z_j−c_j terbesar, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk ke dalam basis.

Langkah 3 : Menentukan variabel yang akan keluar dari basis.

Menetapkan variabel yang keluar dari basis yaitu :

imum

m i rk r a b

min

1≤≤ =       >0 : _ik ik a a b

Variabel yang sehubungan dengan baris pivot

yang demikian adalah variabel yang keluar dari basis.

Langkah 4 : Menyusun tabel simpleks baru.

Untuk menyusun tabel simpleks yang baru, maka harus mencari koefisien elemen pivot dari tabel simpleks sebelumnya. Koefisien elemen pivot dapat dicari dengan menghubungkan kolom pivot dengan baris pivot sedemikian rupa sehingga titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut elemen pivot, Koefisien – koefisien baris pivot baru dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut : rk rj a a (2.9)

Untuk menghitung nilai baris baru lainnya dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut : ik rk rj ij a a a a − − (2.10)

Langkah 5 : Mengecek nilai optimal imbalan dari tabel simpleks yang baru.

Jika imbalan sudah optimal maka tafsirkan hasil penyelesaian, jika belum optimal maka kembali kepada langkah 2.

Tabel 2.3 Bentuk tabel simpleks sesudah pivoting

j c c₁ c_r c_m c_j c_k Variabel Basis Harga Basis 1 B x … x _Br … x_Bm … j x … x _k Jawab Basis 1 B x c_B1 1 … rk rj a a − … 0 … k rk rj j a a a a₁ − ₁ … 0 r rk k _b a a b 1 1− ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Br x c_Br 0 … rk a 1 … 0 … rk rj a a … 1 rk r a b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Bm x cBm 0 … rk mk a a − … 1 … mk rk rj mj a a a a − … 0 r k mk m b a a b 1 − imbalan c z_j− _j = 0 rk k k a z c − 0

₍

₎

(

k k

)

rk rj j j z c y y c z − − − 0

(

)

rk r k k B a b c z b c − −

Contoh 2.1 Maksimumkan : z=3x₁+4x₂ Kendala 2x1+x2 ≤6 9 3 2x₁+ x₂ ≤ 1 x , x2≥0 Solusi : Maksimumkan z=3x₁+4x₂+0x₃+0x₄ Kendala 2x₁+x₂ +x₃+0x₄ =6 9 0 3 2x1+ x2+ x3 +x4 = 0 , , , _{2 3 4} 1 x x x ≥ x

Model diatas dapat dibawa ke bentuk tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 2.4 Tabel simpleks untuk iterasi 1

Basis C 3 4 0 0 B 1 x x 2 x 3 x 4 3 x 0 2 1 1 0 6 4 x 0 2 3 0 1 9 j j c z − -3 -4 0 0 0

Dari tabel 2.4 diatas, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai

j

j c

z − masih bernilai < 0 (masih mengandung harga negatif). Harga z_j−c_j terkecil dari tabel diatas adalah -4, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel

2

x , kolom variabel x₂ menjadi kolom pivot, harga x₂ maksimal yang diperkenankan adalah :

      = = = 3 3 9 ; 6 1 6 2 Min x

Harga x₂ =3 adalah nilai terkecil (positif) sehubungan dengan variabel x₄, sehingga variabel yang meninggalkan basis ialah x₄, kemudian digantikan dengan variabel x₂, maka tabel simpleks yang baru adalah :

Tabel 2.5 Tabel simpleks untuk iterasi 2

Basis C 3 4 0 0 B 1 x x₂ x₃ x₄ 3 x 0 1,3333 0 1 -0,3333 3 2 x 4 0,6667 1 0 0,3333 3 j j c z − -0,3333 0 0 1,3333 12

Dari tabel 2.5 diatas, maka tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai zj−cj masih bernilai < 0 (masih mengandung harga negatif). Harga zj−cj

terkecil dari tabel diatas adalah -0,3333, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel x , kolom variabel ₁ x menjadi kolom pivot, harga ₁ x maksimal yang ₁ diperkenankan adalah :       = = = 4,5 6667 , 0 3 ; 25 , 2 333 , 1 3 1 Min x

Harga x₁ =2,25 adalah nilai terkecil (positif) sehubungan dengan variabel x , ₃ sehingga variabel yang meninggalkan basis ialah x₃, kemudian digantikan dengan variabel x₁, maka tabel simpleks yang baru adalah :

Tabel 2.6 Tabel simpleks untuk iterasi 3

Basis C 3 4 0 0 B

1

1 x 3 1 0 0,75 -0,25 2,25 2 x 4 0 1 -0,5 0,5 1,5 j j c z − 0 0 0,25 1,25 12,75

Dari tabel 2.6 tidak ada lagi z_j −c_j<0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal: 25 , 2 1= x ; x₂ =1,5 ; z=12,75

2.7 Fuzzy Linier Programming.

Pada Fuzzy Linier Programming, bentuk persamaan akan mengalami sedikit perubahan sebagai berikut :

• Bentuk imperatif pada fungsi obyektif tidak lagi benar-benar “maksimum” atau “minimum”, karena adanya beberapa hal yang perlu mendapat pertimbangan dalam suatu sistem.

• Tanda ≤ (pada batasan) dalam kasus maksimasi dan tanda ≥ (pada batasan) dalam kasus minimasi tidak lagi bermakna crisp secara matematis, namun sedikit mengalami pelanggaran makna. Hal ini juga disebabkan karena adanya beberapa yang perlu dipertimbangkan dalam sistem yang mengakibatkan batasan tidak dapat didekati secara tegas.

Defenisi 3.1

Sepasang fungsi T =

(

u

( ) ( )

r,u r

)

, 0≤r≤1, disebut fuzzy number jika dan hanya jika mengikuti kebutuhan :

(1). u

( )

r adalah batas kontinu sebelah kiri fungsi tidak turun

[ ]

0,1 (2). u

( )

r adalah batas kontinu sebelah kiri fungsi tidak naik

[ ]

0,1 (3). u

( )

r dan u

( )

r kontinu kanan pada 0

(4). u

( ) ( )

r ≤u r , 0≤r ≤1

dimanau

( )

r =wr+

(

c−w

)

dan u

( )

r =−wr +

(

c+w

)

, 0≤r ≤1. yang mana

( )

T Core c R w c, ∈ , = dan w=W

( )

T ≥0.

( )

c w

T = , disebut Symmetric Triangular Fuzzy Number (STFN). Andaikan ST menjadi himpunan dari STFN. Bilangan crisp direpresentasikan dengan u

( ) ( )

r =u r =α,

1 0≤r≤ Teorema 3.1

Jika T =

(

c₁,w₁

)

,U =

(

c₂,w₂

)

adalah STFNs, k∈R,X ∈STdan A adalah sebuah matrik maka :

1. T =Ujika dan hanya jika c₁ =c₂dan w₁ =w₂

2. T +U =

(

c₁+c₂,w₁+w₂

)

3. kT =

(

kc₁,kw₁

)

Defenisi 3.2

Andaikan T =

(

c₁,w₁

)

,U =

(

c₂,w₂

)

anggota SFTNs. katakan T <~Ujika dan hanya jika:

1. c₁ <c₂ atau

2. c₁ =c₂ dan w₁ <w₂

Dan T ≤~Ujika dan hanya jika T <~U atau T =U.

2.8 Permasalahan Linier Fuzzy. Berdasarkan program linier fuzzy :

Min CX~ Kendala AX~ =b~ 0 ~ ~ , ~ ≥ ∈ST X X (2.11) Yang mana m n n C

A∈ℜ × , ∈ℜ dan b~ adalah sebuah vektor fuzzy triangular. Sekarang bagi persoalan (2.11) menjadi 2 permasalahan.

Min CX~ Kendala AX =Core(b) 0 ≥ X (2.12) Dan

Min CY Kendala AY =W(b) 0 ≥ Y Dimana , _i. i ij ij a C c A = = (2.13) Teorema 3.2

X~ adalah solusi yang layak dari permasalahan (2.11) jika dan hanya jika

( )

X

Core

X = ~ adalah solusi yang layak dari permasalahan (2.12) dan Y =W

( )

X~ adalah solusi dari permasalahan (2.13).

Teorema 3.3 *

~

X adalah solusi optimal dari permasalahan (2.11) jika dan hanya jika

( )

~*

* ~

X Core

X = adalah solusi optimal dari permasalahan (2.12) dan Y*=W

( )

X~* adalah solusi optimal dari permasalahan (2.13).

Teorema 3.4

Permasalahan (2.11) adalah tidak layak jika dan hanya jika permasalahan (2.12) adalah tidak layak atau permasalahan (2.13) adalah tidak layak.

Teorema 3.5

Jika permasalahan (2.11) menjadi layak kemudian permasalahan (2.11) mempunyai solusi optimal tak terbatas jika dan hanya jika permasalahan (2.12) mempunyai solusi optimal tak terbatas atau permasalahan (2.13) mempunyai solusi optimal tak terbatas. Pembuktian semua teorema dibuktikan oleh T. Allahviranloo.