TUGAS
LOGIKA INFORMATIKA
Terjemahan:
Mark Zegarelli: “Logic For Dummies, Chapter 11. Big
Assumption with Conditional and Indirect Proofs”
REVISI I
Oleh:
GUNGUN GUNAWAN 208 700 837 IHSAN FAUZI RAHMAN
208 700 848 IRHAMSYAH
208 700 859 JAOHAN 208 700 862 SAEFUL MUBIN
206 700 186
PRODI TEKNIK INFORMATIKA JURUSAN TEKNOLOGI FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI
BANDUNG
Bab 11
Asumsi-asumsi Besar dengan Pembuktian Bersyarat dan Tidak Langsung
Tujuan :
- Memahami pembukti bersyarat
- Mengasumsikan dan mengeluarkan Premis-premis
- Membuktikan argumentasi-argumentasi dengan pembuktian yang tidak langsung - Mencampur Pembuktian bersyarat dan pembuktian tak langsung
Pembuktian bersyarat adalah pembuktian yang paling mudah, tetapi tidak selalu bisa mengunakannya. Pembuktian ini diperbolehkan ketika kesimpulan itu kepada satu argumentasi, yaitu: a -statemen. Sebaliknya, pembuktian tidak langsung, (pembuktian dengan kontradiksi) adalah satu metoda yang kuat yang bisa bekerja pada setiap pembuktian tetapi bukan cara yang mudah.
Pengaruh keadaan Premis-premismu dengan Pembuktian
Bersyarat
Mengerti pembuktian bersyarat
Untuk membuktikan kebenaran dari suatu argumentasi yang mempunyai kesimpulan dalam bentuk x y (- ini beberapa statemen), kamu dapat mengikuti langkah-langkah ini:
1. Lepaskan sub statemen x.
2. Tambahkan x daftar Premis-premismu sebagai satu premis yang diasumsikan (AP).
3. Buktikan (bahwa) sub statemen y seolah-olah adalah kesimpulan.
Sebagai contoh, buktikan kesimpulan Q → ((~P & ~R) v (Q → P)) adalah sah, pembuktian bersyarat memperbolehkan kamu untuk:
1. lepaskan sub statemen Q.
2. tambahkan Q kepada daftar Premis-premis sabagai AP.
3. Buktikan (bahwa) sub (~statemen (~ P & ~R) v ( Q → P) seolah-olah adalah kesimpulan.
Premis-premisnya sama, namun sekarang kamu mempunyai satu premis tambahan yang diasumsikan (AP). Cara kerjanya:
1. P → ~Q P
2. P v ~R P
3. Q AP
Pecah premis-premismu agar menghasilkan bagian/potongan yang diperlukan: 4. ~P 1, 3 MT
5. ~R 2, 4 DS
Dengan ketiga statement tunggal tersebut kamu bisa mengerjakan: 6. ~P & ~R 4, 5 Conj
7. (~P & ~R) v (Q → P) 6 Add
Langkah akhir ini disebut pemecatan AP, yang menjelaskan kepada pembaca tersebut, meskipun kamu sedang beroperasi seolah-olah asumsi itu benar dari statemen-statemen 3 sampai 7, kamu sudah tidak lagi membuat asumsi ini di dalam statemen 8. Dengan kata lain, kesimpulannya adalah sangat benar jika asumsi itu tidak benar!
Pembuktian bersyarat dapat dianalogikan seperti uang kamu di bank, kamu bisa menggunakannya untuk menutupi tagihan kartu kreditmu:
Contoh:
P → ~Q, ~(~P & R) : Q → (~(P v R) v (Q → P))
Asumsikan bahwa jika Q benar maka ~(P v R) v (Q → P) adalah juga benar." Lalu kamu tinggal membuktikannya.
Menarik kesimpulan
Kamu dapat menerapkan aturan ekuivalensi (kesamaan) kepada kesimpulan dari suatu argumentasi untuk membuat pembuktian bersyarat lebih mudah digunakan.
Menyatakan kesimpulan-kesimpulan dengan Kontra
Ingat bahwa setiap -statemen bisa dilakukan dalam dua cara: Cara tadi yang telah disebutkan dan dalam bentuk Kontra nya (lihat Bab 10). Maka ketika kesimpulan itu adalah a -statemen, kamu dapat menggunakan pembuktian bersyarat untuk menyerangnya dalam dua cara yang berbeda.
Sebagai contoh, periksa bukti ini, yang diambil pada nilai nominal: P → Q, R v (Q → P) : ~(P↔Q) → R
1. P → Q P
2. R v (Q → P) P
3. ~(P↔Q) AP
Jika awalnya begini, premis yang diasumsikan (AP) ternyata tidak banyak membantu. Maka gunakan Kontra sebagaimana langkah berikut:
1. P → Q P
2. R v (Q → P) P
3. ~R AP
Dalam hal ini, kamu sedang berusaha untuk membuktikan (bahwa) ( P↔Q). Solusi ini adalah jauh lebih langsung:
4. Q → P 2, 3 DS
5. (P → Q) & (Q → P) 1, 5 Conj
6. P↔Q 5 Equiv
Sekarang, kamu dapat melepaskan AP mu sebagai berikut: 7. ~R → (P↔Q) 3–6 CP
Dan tidak melupakan untuk mengambil bukti tersebut di semua cara kepada kesimpulan:
8. ~(P↔Q) → R 7 Contra
Memenangkan melalui Implikasi
Kamu dapat juga merubah setiap v-statement ke dalam a -statemen dengan menggunakan Impl (lihat Bab 10). Menggunakan Impl membuat setiap v-statement yang berperan dalam pembuktian bersyarat.
Sebagai contoh:
P : ~R v (Q → (P & R))
Tanpa pembuktian bersyarat, kamu tidak memiliki banyak harapan. Tetapi, banyak masalah menjadi lebih sederhana setelah kamu mengenali bahwa kamu dapat menggunakan Impl untuk menulis kesimpulan.
R → (Q → (P & R))
Lalu gunakan Exp untuk menuliskan ulang ini: (R & Q) → (P & R)
Jadi, sekarang kamu siap untuk melakukannya dengan pembuktianmu:
1. P P
2. R & Q AP
Sekarang kamu ingin mengambil P & R. Langkah tersebut pada kenyataannya menuliskan mereka sendiri:
3. R 2 Simp
4. P & R 1, 3 Conj
lepaskan AP mu:
5. (R & Q) → (P & R) 2–4 CP
sisanya hanya menelusuri kembali ke bentuk asli kesimpulan: 6. R → (Q → (P & R)) 5 Exp
7. ~R v (Q → (P & R)) 6 Impl
Menyusun Asumsi-asumsi
Setelah kamu mengasumsikan suatu premis, jika kesimpulan yang baru adalah a
-statemen (atau dapat diubah menjadi sesuatu), kamu dapat mengasumsikan premis lain. Ini adalah cara bagus untuk mendapat dua (atau lebih!) nilai dari asumsi-asumsi. contoh:
~Q v R : (P v R) → ((Q & S) → (R & S)) Mulai dengan premis mu dan AP: 1. ~Q v R P
2. P v R AP
Sayangnya, kamu masih mempunyai suatu cara yang panjang untuk membuktikan (bahwa) ( Q & S) → (R &S). Tetapi, karena kesimpulan yang baru adalah a -statemen, kamu dapat mengambil AP lain, seperti ini:
3. Q & S AP
Sekarang pembuktian R & S: 4. Q 3 Simp
5. S 3 Simp
6. R 1, 4 DS
7. R & S 5, 6 Conj
Dalam posisi ini, lepas AP yang diasumsikan: 8. (Q & S) → (R & S) 3–7 CP
9. (P v R) → ((Q & S) → (R & S)) 2–8 CP
Ketika kamu mengasumsikan premis lebih dari satu, kamu harus melepaskan itu semua dalam susunan yang terbalik: Lepaskan premis yang terakhir terlebih dahulu kemudian kerjakan kembali ke cara premis pertama.
Berpikir Secara tidak langsung: Membuktikan
Argumen-argumen dengan Pembuktian Yang Tidak Langsung
Ketika kamu memikirkan segalanya dengan caramu, secara kebetulan kamu akan mendapatkan suatu argumen yang tidak terbayangkan.
Sebagai contoh:
P → (Q & ~R), R : ~(P v ~R) 1. P → (Q & ~R) P
2. R P
Karena kesimpulan itu dalam satu bentuk maka kamu tidak bisa mengubahnya menjadi a →-statemen, sehngga tidak bisa diselesaikan dengan pembuktian bersyarat.
Bagian ini menunjukkan kamu bagaimana caranya menggunakan pembuktian tidak langsung, yang mana tidak seperti pembuktian bersyarat, selalu satu pilihan seperti apa kesimpulannya.
Mengetahui Pembuktian yang tidak langsung
Pembuktian yang tidak langsung (juga disebut pembuktian dengan kontradiksi) adalah suatu jenis dari judo logis. Gagasan di sini untuk mengasumsikan bahwa kesimpulan itu adalah tidak benar dan menunjukkan mengapa asumsi ini salah. Untuk membuktikan bahwa semua argumentasi adalah valid (benar), kamu dapat mengikuti langkah-langkah berikut:
1. Tiadakan kesimpulan.
2. Tambahkan peniadaan itu kepada daftar premis-premismu sebagai satu asumsi. 3. Buktikan (bahwa) setiap statemen yang berlawanan (setiap statemen dari bentuk x & ~x).
Gunakan pembuktian tidak langsung untuk membuktikan kesimpulan ~(P v ~R) yaitu dengan menggunakan negasinya, P v ~R sebagai AP. Dan sekarang kamu membuktikan asumsi ini kearah yang berlawanan.
Di sini pembuktian seperti apa yang akan kelihatan: P → (Q & ~R), R : ~(P v ~R)
1. P → (Q & ~R) P
2. R P
3. P 0 ~R AP
Sekarang akan membuktikan suatu statemen dan negasinya, lalu membiasakan mereka membangun suatu kontradiktori &-statemen, seperti ini:
Dengan AP kamu boleh melepaskannya begitu saja: 4. P 2, 3 DS
5. Q & ~R 1, 4 MP
6. ~R Simp
7. R & ~R 2, 6 Conj
Asumsi sudah memimpin kepada satu situasi yang mustahil, supaya kamu mengetahui bahwa AP harus salah. Jika P v ~R adalah salah, lalu ~(P v ~R) harus benar:
8. ~(P 0 ~R) 3–7 IP
Seperti halnya pembuktian bersyarat, kamu perlu untuk melepaskan AP, yang menjelaskan itu, meskipun kamu sedang beroperasi seolah-olah asumsi itu benar dari statemen-statemen 3 sampai 7, kamu sudah tidak lagi membuat asumsi ini di dalam statemen 8. Sebenarnya, ini kamu sudah membuktikan bahwa asumsi itu tidak benar!
Membuktikan kesimpulan-kesimpulan pendek
Pembuktian tidak langsung bekerja ketika kesimpulan itu lebih pendek dibanding premis karena kesimpulan yang ditiadakan menjadi satu premis pendek yang bagus untuk digunakan.
Sebagai contoh, mempertimbangkan argumentasi ini: ~((~P v Q) & R) → S, P v ~R : S
1. ~((~P v Q) & R) → S P
2. P v ~R P
3. ~Q v S P
Dengan menggunakan cara apapun, kamu akan harus memecah premis yang pertama, tetapi akan jadi lebih mudah dengan beberapa bantuan:
4. ~S AP
kamu langsung dapat mengambil langkah-langkah berikut: 5. (~P v Q) & R 1, 4 MT
6. ~P v Q 5 Simp
7. R 5 Simp
Ingat, kamu sedang berusaha untuk memperoleh dua statemen yang berlawanan. Namun sekarang, peluang itu lebih banyak:
8. P 2, 7 DS
9. Q 6, 8 DS
10. S 3, 9 DS
Ketika kamu sedang lakukan satu pembuktian yang tidak langsung, jangan dimasukkan ke dalam pikiranmu tetapi lakukan setelah kamu membuktikan kesimpulannya. Ingat bahwa kamu juga perlu untuk membangun suatu statemen yang berlawanan.
Dalam hal ini, AP menunjukkan ke arah negasi sendiri, yang membiarkan kamu untuk melengkapi bukti:
11. S & ~S 4, 10 Conj
12. S 4–11 CP
Mengkombinasikan Pembuktian Tidak Langsung Dan bersyarat
~P & Q → (~R & S), Q : R → P 1. ~P & Q → (~R & S) P
2. Q P
Pada pengabaian bukti pertamamu, kamu hanya dapat mengatur untuk mendapat: 3. ~(~P & Q) 0 (~R & S) 1 Impl
Karena bukti bersyarat adalah satu pilihan, kamu coba terlebih dulu: 4. R AP (untuk pembuktian bersyarat)
Sekarang, kamu dapat melanjutkan dengan pembuktian yang tidak langsung dengan cara menegasikan apa yang sekarang kamu coba untuk membuktikan dan menambahkannya sebagai suatu premis:
5. ~P AP (untuk pembuktian tidak langsung)
Sekarang, tujuannya adalah untuk mencari satu kontradiksi. Lalu potongan-potongan tersebut dimasukkan.
6. ~P & Q 2, 5 Conj
7. ~R & S 1, 6 MP
8. ~R 7 Simp
Sekarang lepaskan AP tersebut untuk pembuktian tidak langsung: 9. R & ~R 4, 8 Conj
10. P 5–9 IP
Tentu saja, pembuktian P adalah tujuan dari pembuktian bersyarat asli, maka di sini kamu akan dapatkan:
11. R → P 4–10 CP
Ingat:
