Matematika I

Fakultas Program Studi TatapMuka Kode MK DisusunOleh

Teknik Teknik Sipil 90016 Reza Ferial Ashadi, ST, MT

Abstract

Kompetensi

Dalam modul ini dibahas mengenai berbagai macam cara untuk menghitung turunan suatu fungsi, diantaranya dengan menggunakan aturan rantai. Aturan rantai ini merupakan suatu tools yang sangat mempermudah untuk menghitung suatu fungsi yang jika dihitung dengan menggunakan rumus biasa akan memakan waktu lama dan rumit. Penulisan simbol turunan juga dipermudah oleh Leibniz.

Setelah membaca modul ini diharapkan mahasiswa dapat :

1. Menyelesaikan persoalan-persoalan turunan dengan menggunakan rumus-rumus dasar

1. RUMUS-RUMUS U

Bukti :

lim

Grafik f(x) = x merupakan s

Sehingga kita dapat menduga

Aturan Fungsi Kons

Jika f(x) = k, dengan

Aturan Fungsi Identitas

Jika f(x) = x, maka f’(x) =

UNTUK MENGHITUNG TURUNAN

lim_→ lim_→ lim_→ 0 0

n sebuah garis yang melalui titik asal deng

ga turunan fungsi ini adalah 1 untuk semua x.

nstanta

n k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f’

D(k) = 0

tas

) = 1

D(x) = 1

x y

x x + h

(x,k) (x + h, k)

f(x) = k

ngan kemiringan 1.

Bukti :

lim_→

Sebelum menyatakan aturan

bagaimana memangkatkan se

Bukti :

lim

_→ Aturan Pangkat

Jika f(x) = xn, deng

lim lim_→ lim_→ 1

n Rumus selajutnya, kita ingatkan kembali se

sesuatu binomial.

2

3 3

4 6 4

⋮

1

2 ⋯

lim

_→

"

lim

_→

ngan n bilangan-bilangan bulat positif, maka f’

D(xn) = nxn-1

x y

x x + h

(x,x)

(x + h, x + h)

f(x) = x

h

h

1

sesuatu dari aljabar:

lim

_→

lim

_→

#

Di dalam kurung siku, semu

sehingga masing-masing suku

Bukti :

Andaikan F(x) = k. f(x). Maka

$ lim_→

lim_→ .

Aturan Kelipatan Kon

Jika k suatu konstanta

= k. f’(x)

Aturan Jumlah

Jika f dan g fungsi-fungs

⋯

⋯

ua suku kecuali yang pertama mempunyai

ku ini mempunyai limit nol bila h mendekati no

f’(x) = nx

n-1

lim_→ $ $ lim_→ . .

lim_→

.

onstanta

ta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, m

gsi yang terdiferensialkan, maka (f + g)’(x) = f

D[f(x) + g(x)] = Df(x) + Dg(x)

&

ai h sebagai faktor,

nol. Jadi

, maka (kf)’(x)

Bukti

Andaikan f(x) = f(x)g(x). Maka

lim_→ '

lim_→ (

lim_→

Aturan Selisih

Jika f dan g fungsi-fungsi yang

Aturan Hasilkali

Andaikan f dan g fungsi-fungs

g(x).f’(x)

D[f

$ lim_→ $ $

lim_→ ' '

' '

.' ' ' .

. lim_→ ' ' ' . lim_→

' '

ang terdiferensialkan, maka (f g)’(x) = f ’ (x)

-D[f(x) - g(x)] = Df(x) - Dg(x)

gsi yang dapat didiferensialkan, maka (f . g)’

D[f(x).g(x)] = f(x).Dg(x) + g(x).Df(x)

'

) - g’(x)

Bukti

Andaikan f(x) = f(x)/g(x). Maka

lim_→ '

lim_→ ('

+,- .('

Aturan Hasil

Andaikan f da

dengan g(x)

$ lim_→ $ $

lim

_→

/ 01 2 01

/ 0 2 0

' _. 1

' '

' ' '

. '

' ' ₎ 1

' ' →

#' ' &_{' '}1

3'4 ' ' '

5_{8 7}6 7 8 7 56 7_{89 7}6 7 58 7

silbagi

dan g fungsi-fungsi yang dapat didiferensial

x) ≠ _{0. Maka}

1

' )

:

CONTOH SOAL :

Carilah turunan dari :

1. 5x2 + 7x – 6

2. 4x6 – 3x5 – 10x2 + 5

3. (3x2 – 5)(2x4 – x)

4. _{0;1 0}

Penyelesaian

1. < 5 7 6

< 5 7 <

5< 7<

5 . 2 7 .1 0

10 7

2. D(4x6 – 3x5 – 10x2

= D(4x6) – D(3x5)–

= 4D(x6) – 3D(x5)–

= 4(6x5) – 3(5x4)–

= 24x5 – 15x4 – 20x

3. D[(3x2 – 5)(2x4 – x)

= (3x2 – 5) D(2x4 –

= (3x2 – 5)( 8x3 – 1

= 24x5 – 40x3 – 3x

+ 5x + 16

< 6

< 6

+ 5x + 16)

– D(10x2)+ D(5x) + D(16)

– 10D(x2)+ 5D(x) + D(16)

10(2x)+ 5(1) + 0

20x+ 5

x)]

– x) + (2x4 – x) D(3x2 – 5)

1) + (2x4 – x)(6x)

= 36x5 – 40x3– 9x2

Atau, dengan men

D[(3x2 – 5)(2x4 – x

= (3x2 – 5)(2x4 – x)

= D(6x6) – D(10x4

= 6D(x6) – 10D(x4

= 6(6x5) – 10(4x3)

= 36x5 – 40x3– 9x2

4.

0;_{1 0}

< ?

₀;₁

@ <

A0;1 BC C 0;₁ D

A0;1 B 0 0;₁ D

E0F

0;₁ D ₀D

2

+ 5

enggunakan cara lain, pertama kalikan dulu ba

x)]

x) = 6x6 – 10x4 – 3x3 + 5x

4

) – D(3x3) + D(5x)

4

) – 3D(x3) + 5D(x)

) – 3(3x2) + 5(1)

2

+ 5

@ < ?

₀

@

C 0;1 0C C 0 0D

0F 0

0D

2. ATURAN RANTAI

Bayangkan usaha untuk menc

Pertama anda harus mengal

kemudian mendiferensialkan p

Untungnya, ada cara yang le

akan mampu menuliskan jawa

dengan cepat dan mudah.

Misalkan fungsi f dan

g terdiferensialkan pad

fungsi f ◦ _{g terdiferensi}

y y = y(u(x))

Aturan rantai ini dapat dituli

AI

ncari turunan dari

F(x) = (2x2 – 4x + 1)60

alikan bersama ke 60 faktor-faktor kuadrat

n polinom derajat 120 yang dihasilkan.

lebih baik. Setelah anda mempelajari atura

tuliskan sebagai diagram berikut

t 2x2 – 4x + 1 dan

ran rantai ini, anda

ang. Jika fungsi

pada Rg, maka

x

ATURAN RANTAI BERSUSU

CONTOH SOAL :

1. Tentukan turunan f

2. Tentukan turunan f

3. Tentukan turunan f

4. Tentukan turunan f

Penyelesaian

1. Misalkan u = 3x – 2

MN M0

MN MO

.

MO M0

MO

M0

3

,

MN MO

7J

maka

MN M0

MN MO

.

MO M0

7J

21 3

2

P

Andaikan y =

Maka

SUN

n fungsi y = f(x) = (3x – 2)7

n fungsi I Q 5

n fungsi I RS0_01TD1E

n fungsi I ?Q 2 @T

2 dan y = u7

J

P

J

P

_{. 3 7 3}

₂

P

_{. 3}

= f(u) dan u = g(v) dan v = h(x)

4. Misalkan v = x2 + 2x, d

3.

CARA PENULIS

Gottfried Wilhelm Leibniz ada

lainnya adalah Isaac Newton)

khususnya dalam bidang tera

terletak dalam bentuknya, se

benar dan kadang-kadang me

LAMBANG dy/dx UNTUK TU

Sekarang andaikan bahwa p

bersesuaian dalam peubah tak

dan perbandingan

menggambarkan kemiringan t

gambar dibawah ini.

dan u = √] , dan y = u5

LISAN LEIBNIZ

adalah salah seorang dari dua penemu utam

). Cara penulisannya untuk turunan masih di

erapan seperti halnya fisika, kimia, dan ekono

sebuah bentuk yang sering mengemukakan

enunjukkan bagaimana membuktikannya.

TURUNAN

n talibusur yang melalui (x, f(x)), seperti yang d

y

(x+∆x,f(x+∆x))

tama kalkulus (yang

dipakai secara luas,

nomi. Daya tariknya

kan hasil-hasil yang

. Perubahan yang

Jika ∆x→0, kemiringan talib

kemiringan yang belakangan i

HI

H ∆

Leibniz menyebut dy/dx suatu

sangat kecil tidak jelas, dan k

baku untuk turunan; kita akan

dy/dx sebagai lambang op

membacanya “turunan terhad

Aturan Rantai Penulisan Lei

libusur ini mendekati kemiringan garis sing

n ini Leibniz menggunakan lambang dy/dx. Seh

lim ∆0→

∆I ∆ ∆0→lim

∆

∆ ′

atu hasilbagi dari dua bilangan yang sangat ke

kita tidak akan memakainya. Tetapi, dy/dx me

kan sering memakainya sejak saat ini. Untuk

operator dengan pengertian yang sama

hadap x”.

Leibniz

HI

H HIHJHJH

inggung, dan untuk

ehingga

kecil. Arti perkataan

merupakan lambang

uk sekarang pikirkan

6.

I ?

0D

01

@

a.

4 ?

0D

01

@

d.

4 ?

0D

01

@

7.

I

4

7 2

a.

2 4

7

c.

2 4

7

@

b.

4 2

c.

A0D1E01

01

@

2

3

2

3

b.

8

14 2

7

d.

4

7 24

10

B 0D F

1 [

3

1. _____. e-paper.

komposisi.php

2. _____. e-paper. http

dalam.html

3. _____. e-paper. http://b

4. Martono, Koko, Drs, M

5. Purcell, Edwin J dan V

Jakarta. Penerbit Erlan

. http://alewoh.com/aturan-rantai-turunan-d

ttp://www.madematika.com/2015/03/mengguna

://bahasapedia.com/aturan-rantai-untuk-menca

M.Si. 1999. Kalkulus. ITB Bandung. Penerbit E

Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geome

langga.

dan-turunan-fungsi-

nakan-aturan-rantai-cari-turunan-fungsi/

it Erlangga.