DESIGN BY : LIA PRABA KUSUMA PUTRI S.Si

(1)

DIKTAT METODE

NUMERIK

DESIGN BY : LIA PRABA KUSUMA PUTRI S.Si

TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI

JAKARTA

(2)

KATA PENGANTAR

Segala sesuatu yang berawal dari keingintahuan dan proses pembelajaran akan

membuat seseorang menjadi semakin berilmu. Bagai ilmu padi, semakin berisi maka

sebaiknya ia semakin menunduk. Semakin banyak ilmu yang dimiliki, maka semakin

memahami bahwa semua ini hanya milik Tuhan semata. Segala yang dijalani, segala

yang dialami, segala yang dini’mati hanyalah kepunyaan Tuhan semata. Segala ujian yang dihadapi akan menambah ilmu dan kemampuan yang dimiliki adalah semata untuk

selalu mensyukuri ni’mat Tuhan YME. Kehilangan, kepunyaan hanyalah sebuah benda

yang datang dan pergi. Manusia akan sangat kaya dan sukses ketika ia menjadi berarti

dan berilmu serta mempunyai akhlak yang mulia.

Alhamdulillah, berkat restu dari Allah SWT diktat METODE NUMERIK ini telah

diselesaikan dengan baik. Segala kesempurnaan hanya milik Allah SWT, begitu juga

dengan diktat ini, yang merupakan intisari dari perjalanan seorang mahasiswa yang

mengontrak mata kuliah METODE NUMERIK pada semester V program studi TEKNIK

INFORMATIKA UNINDRA.

Materi pada diktat ini mencakup seluruh materi yang ada sebagai aplikasi

pemrograman berbasis matematika. Perumusan yang telah dipelajari sejak semester I

sampai dengan semester IV akan digunakan untuk pembuatan program sesuai dengan

studi kasus yang diberikan per individu sebagai tugas besar di akhir semester. Waktu

pengerjaan adalah ± 1 bulan.

Suatu kebanggaan bagi saya untuk dapat menyelesaikan diktat ini serta

mengaplikasikannya sehingga dapat digunakan oleh mahasiswa. Semoga dengan adanya

diktat ini dapat membantu kinerja mahasiswa dalam meraih yang terbaik di mata kuliah

ini khususnya, serta penyelesaian pembelajaran sebagai mahasiswa pada umumnya.

Jakarta, Juli 2010

(3)

DAFTAR ISI

Kata Pengantar . . . 2

Daftar Isi . . . 3

Satuan Acara Pengajaran . . . 4

Pendahuluan . . . 6

Materi Ujian Tengah Semester a. Teori Kesalahan b. Solusi Persamaan Linier c. Solusi Persamaan Non Linier . . . . . . . . . 8 10 13 Studi Kasus . . . 24

(4)

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

TEMU POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI I Pendahuluan Memberi gambaran singkat tentang

konsep dasar metode numerik dalam

hubungannya dengan matematika dan

kaitannya dengan komputer serta

aturan perkuliahan.

- Dasar Numerik

- Perkembangan

Komputer

II Teori Kesalahan Memahami dan memperhitungkan

berbagai macam kesalahan yang

timbul dalam pendekatan secara

numerik

- Angka Signifikan dan

Keterbatasan Komputer

- Kesalahan relatif dan

mutlak

- Kesalahan pemotongan

dan pembulatan

III Persamaan Linier Simultan Mampu memahami serta dapat

menggunakan prinsip matriks dan

berbagai metode pendekatan untuk

menyelesaikan persamaan linier

simultan

Metode Gauss-Jourdan

(Identitas Matriks)

IV Metode mencari Akar

Persamaan

Mampu memahami dan dapat mencari

akar-akar persamaan baik aljabar

maupun transenden dengan berbagai

metode pendekatan

Metode tertutup :

- Bisection

- False Position (Regula

Falsi)

V Metode mencari Akar Persamaan

Idem Metode Terbuka :

- Fixed Point

VI Metode mencari Akar Persamaan

Idem Metode Terbuka :

- Newton Rhapson

(5)

VII KUIS

VIII UJIAN TENGAH SEMESTER

IX Studi Kasus Mampu menerapkan materi

metode numerik dalam aplikasi

kehidupan sehari-hari dan

penerapannya dalam program.

- Sistematika Penulisan

- Studi Kasus

- Aplikasi

X Regresi dan Interpolasi Mampu memahami perbedaan

dasar antara regrasi dan

interpolasi serta meggunakannya

untuk mengolah dan

memanipulasi data

- Regresi

- Interpolasi :

- a. Linier

XI Lanjutan Lanjutan Polonomial Lagrange

XII Lanjutan Lanjutan Polinomial Newton

XIII Integrasi Numerik Mampu memahami dan dapat

menghitung integrasi tertentu

dengan berbagai metode

pendekatan

Metode Trapezoida

XIV Persamaan Diferensial Mampu memahami dan dapat

memecahkan persamaan

diferensial biasa dengan berbagai

metode pendekatan

Metode Euler

XV Lanjutan Lanjutan Metode Runge-Kutta

(6)

PENDAHULUAN

Metode Numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan

sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian Aritmetika. Selain itu,

Metode Numerik juga merupakan cara penyelesaian Matematis yang dikembangkan dari

cara analisis dan memasuki wilayah simulasi. Simulasi dilangsungkan dengan

menggunakan media komputer.

Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma. Proses penyelesaian

mungkin memerlukan puluhan sampai jutaan operasi, tergantung pada kompleksitas

problema yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan, metode yang

dipakai dan sebagainya. Apabila jumlah operasi hitung yang diperlukan hanya berjumlah

puluhan, maka problema dapat diselesaikan secara manual atau dengan menggunakan

kalkulator. Tetapi, jika suatu kasus memerlukan jutaan operasi hitung, maka

penyelesaiannya harus dilakukan dengan bantuan komputer berkecepatan tinggi.

Disinilah kemajuan teknologi komputer memegang peranan penting dalam komputasi

numerik.

Meskipun demikian, pemilihan metode yang efisien merupakan aspek lain yang

menjadi perhatian dalam komputasi numerik. Hal ini akan semakin terasa di dalam

menyelesaikan problema-problema berskala besar yang melibatkan ribuan variabel.

Selain sumber-sumber tersebut, kesalahan numerik juga dapat disebabkan oleh

kekurang-cermatan manusia (human error), penggunaan alat ukur dan penggunaan mesin

hitung, kalkulator atau komputer. Kekurangcermatan manusia dapat menyebabkan

kesalahan di dalam merumuskan model matematika suatu fenomena alam dan hasil

pengukuran (kesalahan membaca alat ukur). Pemakaian alat ukur yang tidak akurat juga

akan menghasilkan pengukuran (data) yang mengandung galat. Keterbatasan mesin

hitung, kalkulator atau komputer dalam menyajikan suatu bilangan akan menghasilkan

(7)

Suatu galat dapat disebabkan kekurang-telitian model matematika dan galat

bawaan dari data masukan bersifat inherent (bawaan/melekat). Galat ini tetap ada,

sekalipun penyelesaiannya diperoleh menggunakan metode eksak. Tingkat keakuratan

suatu model matematika dalam menjelaskan suatu fenomena alam dapat diuji dengan

membandingkan hasil-hasil beberapa eksperimen dan beberapa hasil penyelesaian khusus

menggunakan beberapa parameter masukan.

6 elemen utama pemrograman yang langsung berkaitan dengan metode numerik

adalah sebagai berikut :

- _{Konstanta dan variable}

- _{Masukan-keluaran (input-output)}

- _Komputasi

- _Kontrol

- _Subprogram

(8)

TEORI KESALAHAN / GALAT

Sumber-sumber Galat

Selain kecepatan, aspek lain yang sangat penting untuk diperhatikan di dalam

komputasi numerik adalah keakuratan penyelesaian yang diperoleh. Hal ini disebabkan

penyelesaian yang diperoleh melalui komputasi numerik umumnya merupakan solusi

hampiran, tentu saja terdapat beberapa galat (kesalahan numerik). Beberapa sumber galat

(error) pada suatu solusi hampiran yang diperoleh dengan menggunakan suatu metode

komputasi numerik, yaitu:

1. Model matematika untuk suatu fenomena alam.

2. Galat bawaan dari data masukan (parameter masukan).

3. Metode penyelesaian.

4. Adanya pembulatan di dalam melakukan operasi-operasi aritmatika atau operasi–

operasi jenis lain pada bilangan-bilangan yang terkait.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa galat dalam komputasi numerik

dapat dikelompokkan menjadi tiga macam, yaitu:

1. Galat bawaan (inherent error), yaitu galat yang dapat disebabkan oleh kesalahan hasil

pengukuran, kesalahan data awal, dan sejenisnya.

2. Galat pemotongan (truncation error), yaitu galat yang berkaitan dengan metode

numerik yang dipakai. Galat ini dapat terjadi karena adanya pemotongan deret tak

berhingga yang menyangkut perhitungan nilai suatu fungsi atau nilai desimal, dan karena

penghentian proses perhitungan.

3. Galat pembulatan (rounding off error), yaitu galat yang berkaitan dengan penggunaan

(9)

Angka Signifikan (Penting) /Angka Bena

Sebagai ilustrasi, misalkan kita menghitung berat badan. Berdasarkan timbangan

diperoleh berat badan kita adalah 62 atau 63 kg. Mungkin lebih tepatnya sekitar 63 kg.

Jika untuk ketelitian data menginginkan 1 digit di belakang koma dapat diperkirakan

nilainya 62,7 kg atau 62,9 kg. Adanya keterbatasan timbangan tadi menyebabkan kita tak

dapat memastikan (menduga saja), untuk digit ketiga (digit kedua di belakang koma).

Jadi akan menjadi aneh jika diperkirakan bahwa berat badan seseorang 62,897653657 kg.

Angka signifikan atau digit menyatakan suatu keandalan sebuah nilai numerik.

(10)

SOLUSI PERSAMAAN LINIER

METODE GAUSS JORDAN

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss.

Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun

di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa

matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen

lainnya nol).

Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL,

tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan

matriks koefisien sama. Metode tersebut dinamai eliminasi Gauss-Jordan untuk

menghormati Carl Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.

Aplikasi untuk mencari Invers

Jika eliminasi Gauss-Jordan diterapkan dalam matriks persegi, metode tersebut

dapat digunakan untuk menghitung invers dari matriks. Eliminasi Gauss-Jordan hanya

dapat dilakukan dengan menambahkan matriks identitas dalam dimensi yang sama, serta

melalui operasi-operasi matriks:

Jika A contoh matriks persegi yang diberikan:

(11)

Dengan melakukan operasi baris dasar pada matriks[AI] sampai A menjadi matriks

identitas, maka didapatkan hasil akhir:

Tugas Individu I :

Waktu pengerjaan 1 minggu dari pertemuan ini, lewat dari batas tersebut dengan

alasan apapun tidak akan diterima tugas tersebut. Penerimaan tugas hanya berlaku untuk

tulisan tangan dan diterima oleh dosen yang bersangkutan di kelas masing-masing. Setiap

mahasiswa wajib mengerjakan masing-masing 5 soal dari soal-soal yang ada. ( 1 Soal

wajib silahkan dipilih dari soal no 12 – 15, soal no 1-11 yang dikerjakan boleh sama

tetapi hanya satu soal saja )

(12)

9. 3x + 4y +6z = 6; 6x + 8y – 3z = 2; -3x +4y - 9z = -6

12. Mother goes to market, together with Sarimin, to buy “mango, banana, guava.” The

price of 2 bananas, 2 mangoes, and 4 guavas is Rp 18.000,00. The price of 4 bananas,

1 mango, and 1 guava is 18.000,00. The price of 2 mangoes, 3 bananas, and 1 guava

Rp 16.000,00. By an amount of Rp 50.000,00 find the number of mangoes, bananas,

and guavas that can be bought by mother, n.b the number of bananas is as many as

possible and the three fruits should be bought ?

13.From two supermarkets of one company it is abtained that data of selling of meat and

fish in one week as shown in the following table.

Meat (kg) Fish (kg) Total sells (in

thousand rupiahs)

Supermarket A 80 20 2960

Supermarket B 70 40 3040

Then the price of fish/kg in the two supermarket is . . .

14.Mr. Agus works for 6 days which 4 days are overtime to get Rp 74.000,00. Mr. Bardi

works for 5 days which 2 days are overtime to get Rp 55.000,00. Mr. Agus, Mr.

Bandi, and Mr. Dodo work under the same payment system. If Mr. Dodo works for 5

days overtime, then the payment that he shall receive is . . .

15.Evie works for one week which 3 days are overtime to get Rp.120.000,00. Roni

works for one week which 5 days are overtime to get Rp 130.000,00. Evie, Roni, and

Ina works under the same payment system. If Ina works for one week overtime, Then

(13)

SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER

METODE PENCARIAN AKAR

Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakukan secara iteratif (looping).

Secara umum metode pencarian akar dapat dikelompokkan menjadi dua jenis , yaitu ;

Metode Tertutup (Bracketing Method) dan Metode Terbuka.

1. METODE TERTUTUP

Meode ini menggunakan selang [a,b] untuk mencari akar yang berada pada selang

tersebut. Dalam selang tersebut dapat dipastikan minimal terdapat satu buah akar, karena

itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Ada dua metode klasik yang

termasuk ke dalam metode tertutup, yaitu metode bagi dua dan metode regula-falsi.

a. Metode bagi dua

Metode ini dapat dilakukan dengan memperhatikan bagan berikut :

Ya tidak

[a,b]

bagi dua di

[a,c]

[c,b]

f(a)f(c) < 0 ?

(14)

Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya, kondisi

berhenti dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria berikut :

1. Lebar selang baru : , dalam hal ini adalah nilai toleransi lebar

selang yang mengukur akar.

2. Nilai fungsi di hampiran akar : f(c) = 0. Beberapa bahasa pemrograman

membolehkan pembandingan dua buah bilangan riil, sehingga perbandingan f(c)

= 0 dibenarkan. Tetapi, dapat pula kita uji f(c) = 0 dengan menghampiri nilai f(c)

< epsilon mesin.

3. Galat relatif hampiran akar : , dalam hal ini adalah galat

relatif yang diinginkan.

Dengan jumlah iterasi dapat diprediksi menggunakan :

Contoh :

Tentukan akar persamaan f(x) = di dalam selang [0,1] dan

!

Penyelesaian : Tabel berikut adalah tabel yang menggunakan metode bagi dua.

Jumlah iterasi yang dibutuhkan :

Jadi, dibutuhkan minimal 17 kali iterasi (r = 0 sampai dengan r = 16) agar galat akar

(15)

I A c b f(a) f(c) f(b) selang baru lebarnya

0 0,000000 0,500000 1,000000 1,000000 0,398721 -2,281718 [c,b] 0,500000

1 0,500000 0,750000 1,000000 0,398721 -0,695500 -2,281718 [a,c] 0,250000

2 0,500000 0,625000 0,750000 0,398721 -0,084879 -0,695500 [a,c] 0,125000

3 0,500000 0,562500 0,625000 0,398721 0,173023 -0,084879 [c,b] 0,062500

4 0,562500 0,593750 0,625000 0,173023 0,048071 -0,084879 [c,b] 0,031250

5 0,593750 0,609375 0,625000 0,048071 -0,017408 -0,084879 [a,c] 0,015625

6 0,593750 0,601563 0,609375 0,048071 0,015581 -0,017408 [c,b] 0,007813

7 0,601563 0,605469 0,609375 0,015581 -0,000851 -0,017408 [a,c] 0,003906

8 0,601563 0,603516 0,605469 0,015581 0,007380 -0,000851 [c,b] 0,001953

9 0,603516 0,604492 0,605469 0,007380 0,003268 -0,000851 [c,b] 0,000977

10 0,604492 0,604980 0,605469 0,003268 0,001210 -0,000851 [c,b] 0,000488

11 0,604980 0,605225 0,605469 0,001210 0,000179 -0,000851 [c,b] 0,000244

12 0,605225 0,605347 0,605469 0,000179 -0,000336 -0,000851 [a,c] 0,000122

13 0,605225 0,605286 0,605347 0,000179 -0,000078 -0,000336 [a,c] 0,000061

14 0,605225 0,605255 0,605286 0,000179 0,000051 -0,000078 [c,b] 0,000031

15 0,605255 0,605270 0,605286 0,000051 -0,000014 -0,000078 [a,c] 0,000015

16 0,605255 0,605263 0,605270 0,000051 0,000018 -0,000014 [c,b] 0,000008

Jadi, hampiran akarnya adalah x = 0,605263

b. Metode Regula Falsi

Meskipun metode bagidua selalu menemukan akar, tetapi kecepatan konvergensinya

sangat lambat. Kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan bila nilai f(a) dan f(b) juga

turut diperhitungkan. Logikanya, jika f(a) lebih dekat ke nol daripada f(b) tentu akar

(16)

lurus yang menghubungkan titik (a,f(a)) dan (b,f(b)). Perpotongan garis tersebut dengan

sumbu-x merupakan taksiran akar yang diperbaiki. Garis lurus tadi seolah-olah berlaku

manggantikan kurva f(x) dan memberikan posisi palsu dari akar.

y B

y = f(x)

a C

c b x

A

Perhatikan gambar di atas :

gradien garis AB = gradien garis BC

Yang disederhanakan menjadi,

Pada kondisi yang paling ekstrim, tidak pernah lebih kecil dari , sebab salah

satu titik ujung selang, dalam hal ini b, selalu tetap untuk setiap iterasi r = 0,1,2, . . . .

Titik ujung selang yang tidak pernah berubah itu dinamakan titik mandek (stagnant

point). Pada titik mandek,

r =0,1,2,. . .

Yang dapat mengakibatkan program mengalami looping.Untuk mengatasi hal ini, kondisi

berhenti pada algoritma regula-falsi harus ditambah dengan memeriksa apakah nilai f(c)

sudah sangat kecil sehingga medekati nol.

Maka, dilakukan perbaikan Metode Regula-Falsi untuk mengatasi kasus titik mandek.

(17)

selang baru tersebut, tentukan titik ujung selang yang tidak berubah (jumlah perulangan >

1) yang kemudian menjadi titik mandek. Nilai f pada titik mandek itu diganti menjadi

setengah kalinya, yang akan dipakai pada iterasi r = 1.

Misalkan, setelah menghitung nilai c0 pada iterasi, ujung selang b tidak berubah . Titik b

menjadi titik mandek. Karena itu, untuk iterasi selanjutnya yang digunakan adalah f(b)/2.

Dengan cara ini titik mandek dapat dihilangkan.

Contoh :

Tentukan akar persamaan f(x) = di dalam selang [0,1] dan

!

Penyelesaian : Tabel berikut adalah tabel yang menggunakan metode regula falsi

yang diperbaiki.

Tabel iterasi untuk menghitung f(x) = di dalam selang [0,1] dan

adalah :

I A C B f(a) f(c) f(b)

selang

baru lebarnya

0 0,000000 0,304718 1,000000 1,000000 0,891976 -2,281718 [c,b] 0,695282

1 0,304718 0,609797 1,000000 0,891976 -0,019205 -1,140859 [a,c] 0,390203

2 0,304718 0,603367 0,609797 0,891976 0,008005 -0,019205 [c,b] 0,006430

3 0,603367 0,605259 0,609797 0,008005 0,000035 -0,019205 [c,b] 0,004538

4 0,605259 0,605275 0,609797 0,000035 -0,000035 -0,009602 [a,c] 0,004522

5 0,605259 0,605267 0,605275 0,000035 0,000000 -0,000035 [a,c] 0,000008

(18)

2. METODE TERBUKA

Dalam metode terbuka tidak diperlukan selang untuk mengurung akar. Yang

diperlukan tebakan awal akar atau dua buah tebakan yang tidak perlu mengurung

akar. Hampiran akar didasarkan pada hampiran akar sebelumnya melalui prosedur

iterasi. Terkadang iterasinya bisa konvergen ke akar, atau isa pula divergen. Jika

iterasinya konvergen, makakonvergensi tersebut berlangsung sangat cepat

dibandingkan metode tertutup.

a. Metode Iterasi Titik-Tetap (fixed-point itteration)

Metode ini kadang-kadang dimakan juga metode iterasi sederhana atau metode

langsung. Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur iterasinya mudah

dibentuk.

Susunlah persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x). Lalu, bentuklah menjadi

prosedur iterasi

Dan terkalah sebuah nilai awal x0, lalu hitung nilai x1, x2, . . . , yang konvergen ke

akar sejati s sedemikian sehingga f(s) = 0 dan s = g(s).

Iterasi berhenti jika kondisi berada pada

Contoh :

Tentukan akar persamaan f(x) = x2– 2x – 3 = 0 dengan Metode Iterasi Titik-Tetap, ε

= 0,00001 !

Penyelesaian :

x2– 2x – 3 = 0

(19)

Dalam hal ini, . Prosedur iterasinya adalah . Misalkan

x0 = 4

r

0 4,000000 0,000000

1 3,316625 0,683375

2 3,103748 0,212877

3 3,034385 0,069362

4 3,011440 0,022945

5 3,003811 0,007629

6 3,001270 0,002541

7 3,000423 0,000847

8 3,000141 0,000282

9 3,000047 0,000094

10 3,000016 0,000031

11 3,000005 0,000010

12 3,000002 0,000003

13 3,000001 0,000001

14 3,000000 0,000000

Jadi, hampiran akarnya x = 3,000000

b. Metode Newton-Rhapson modifikasi Deret Taylor

Diantara semua metode pencarian akar, metode Newton-Rhapsonlah yang paling

terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini

paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya. Metode

Newton-Rhapson yang akan dibahas pada perkuliahan metode numerik untuk Tehnik

Informatika adalah yang sudah dimodiikasi dengan bantuan deret Taylor.

(20)

Kondisi iterasi berhenti jika

Contoh :

Tentukan akar persamaan f(x) = x2– 2x – 3 = 0 dengan Metode Newton Rhapson,

ε = 0,00001 dan tebakan awal x0 = 2!

Penyelesaian :

f(x) = x2– 2x – 3

f’(x) = 2x – 2

Prosedur iterasi Newton-Rhapson :

Tabel Iterasinya :

R

0 2,000000 0,000000

1 3,500000 1,500000

2 3,050000 0,450000

3 3,000610 0,049390

4 3,000000 0,000610

5 3,000000 0,000000

Jadi, hampiran akarnya x = 3,000000

c. Metode Secant

Tahapan iterasi metode Newton-Rhapson memerlukan perhitungan turunan fungsi,

f’(x). Tetapi, tidak semua fuungsi dapat dicari turunannya dengan mudah, terutama

fungsi yang bentuknya rumit. Turunan tersebut dapat dihilangkan dengan cara

menggantinya dengan benuk lain yang ekivalen. Modifikasi metode tersebut

(21)

Prosedur iterasinya adalah :

Kondisi iterasi berhenti jika

Contoh :

Tentukan akar persamaan f(x) = x2– 2x – 3 = 0 dengan Metode Secant, ε =

0,00001 dan tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 0,75!

Penyelesaian :

f(x) = x2– 2x – 3

Prosedur iterasi Secant :

)

Tabel Iterasinya :

(22)

7 -0.997441 -0.010230 0.038666 8 -1.000027 0.000107 0.002586 9 -1.000000 0.000000 0.000027 10 -1.000000 0.000000 0.000000

Ternyata, hampiran akarnya mengarah ke akar yang lain x = -1 (yang merupakan solusi

dari persamaan tersebut).

Tugas Individu II :

Waktu pengerjaan 1 minggu dari pertemuan ini, lewat dari batas tersebut dengan

alasan apapun tidak akan diterima tugas tersebut. Penerimaan tugas hanya berlaku untuk

tulisan komputer (dihitung secara manual atau komputasi) dan diterima oleh dosen yang

bersangkutan di kelas masing. Setiap mahasiswa wajib mengerjakan

masing-masing satu soal. (Setiap mahasiswa dalam satu kelas tidak boleh mengerjakan soal yang

sama ! ). Tentukan solusi dari persamaan non linier berikut dengan metode terbuka 1

buah dan metode tertutup 2 buah, bandingkan hasil yang anda peroleh dan jelaskan! !

(23)

(24)

STUDI KASUS UJIAN AKHIR SEMESTER METODE NUMERIK

Makalah ini ditulis berdasarkan studi kasus yang anda ambil untuk menggantikan nilai UAS (Tugas Individu). Kecuali nilai anda tidak memuaskan, silahkan mengerjakan UAS untuk tambahan nilai. Jika anda mengumpulkan paling lambat :

Kelas Pagi : 5 Januari 2011 pukul 12.00

Kelas Sore : 5 Januari 2011 pukul 20.00

Maka dosen ybs dapat mengevaluasi lebih dini untuk nilai total Mata Kuliah Metode Numerik. Jika melewati batas waktu tersebut, makalah tidak akan diterima dengan alasan apaapun! Hasil pengerjaan dilaporkan dalam bentuk PRINT OUT!!!! Tidak diterima dalam bentuk lain.

Silahkan pilih sendiri (tidak ada mahasiswa yang mengerjakan kasus yg sama), satu mahasiswa boleh mengerjakan satu kasus tetapi dengan metode yang berbeda (polinom lagrange atau polinom newton). Ketua kelas melaporkan kepada dosen ybs hasil keputusan pemilihan kasus via email : itowarsito31@yahoo.co.id

Kode Keterangan NPM

A Diketahui jumlah kecelakaan lalu-lintas di DKI Jakarta, 2000-2008.

Thn 00 01 02 03 05 07 08

Jml 2263 2550 2515 3310 2006 1893 1467

Estimasi jumlah kecelakaan di tahun 2004 !

Polinom Lagrange (A)

Polinom Newton (B)

200743519007A

200743519001B

B Diketahui jumlah pencari kerja yang mendaftarkan di kantor tenaga kerja,DKI Jakarta 1991-1998.

Thn 91 92 94 95 96 97

(25)

Jml 8679 14310 13396 25218 34633 43001

Estimasi jumlah pencari kerja di tahun 1993 !

Polinom Newton (B)

C Diketahui harga rata-rata perdagangan karet dalam rupiah/100kg di Jakarta 1967 – 1972.

Thn 67 68 69 71 72

Jml 3179 9311 14809 10238 11143

Estimasi harga rata-rata perdagangan karet di tahun 1970!

Polinom Newton (B)

D Seorang penerjun payung terjun dari pesawat. Jarak (kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi jarak) adalah :

Hitung seberapa jauh penerjun jatuh setelah waktu t = 10 detik!

E Berikut adalah table pendinginan angin!

(26)

30 -94 -78 -63

Tentukan temperature saat kecepatan angin sebesar 15 mph!

Polinom Newton (B)

F Suatu dealer mobil ingin mengetahui gambaran hasil penjualan selama 150 hari, diperoleh :

Mobil/hari 0 1 2 4 5 6

Jml 24 32 40 12 9 6

Hitung frekuensi jumlah mobil yang terjual 3 buah/hari !

Polinom Newton (B)

G Tabel tinggi badan 20 anak balita.

Tinggi 60 65 70 75 80

Frekuensi 1 2 8 6 3

Estimasi jumlah balita yang mempunyai tinggi badan 72 cm !

Polinom Newton (B)

(27)

Tahun 2002 2003 2004 2006 2007

Hasil 124 155 242 100 145

Tentukan jumlah produksi tahun 2005!

Polinom Newton (B)

I Berikut data hasil penjualan computer di “Toko Angin Ribut” dari bulan Januari sampai bulan April 2007

Bulan Jan Feb Maret April

Hasil 25 31 23 35

Estimasi hasil penjualan computer pada bulan ke – 5!

Polinom Newton (B)

J Berikut data jumlah pemakaian tenaga listrik dalam KwH di DKI Jakarta tahun 2009

Bulan Jan Feb Maret April Juni

Pemakaian 110693 108183 104910 117652 124166

Estimasi jumlah pemakaian tenaga listrik pada bulan ke – 5!

Polinom Newton (B)

(28)

Tahun 2000 2001 2003 2004 2005

Deposit 71 49 95 128 156

Estimasi jumlah uang yang disimpan pada tahun 2002!

Polinom Newton (B)

L Berikut adalah jumlah uang yang beredar dalam milyar dan harga beras dalam Rp./kg

Jml 183,44 250,29 320,76 474,01 669,00

Harga 36,88 42,55 40,81 49,93 76,51

Estimasi harga beras jika jumlah uang yang beredar 300! Polinom Lagrange (A)

Polinom Newton (B)

M Berikut jumlah pengeluaran untuk iklan (X) dalam juta dan jumlah penjualan produk (Y) dalam juta.

X 36 28 41 19 32 22 38

Y 192 113 294 28 123 51 252

Estimasi jumlah penjualan produk jika jumlah pengeluaran untuk iklan 50 juta!

Polinom Newton (B)

N Berikut luas tanah panen dalam hektar (X) dan hasil produksi dalam metric ton (Y)

(29)

Y 290104 307166 379683 341088 408950

Estimasi hasil produksi jika luas tanah panen adalah 450000!

Polinom Newton (B)

O Berikut data rata-rata harga perdagangan besar kopi robusta di pasar Jakarta (Y) serta jumlah peredaran uang di

Indonesia(X).

X 51,47 113,89 183,44 250,29 320,76

Y 42,41 10966 11128 14902 14902

Estimasi rata-rata harga perdagangan besar kopi robusta jika jumlah peredaran uang sebesar 120!

Polinom Newton (B)

P Berikut pendapatan perkapita (X) dan konsumsi perkapita (Y)

negara “Nusantara”

X 189000 220500 245700 252000 270900 283500

Y 151200 176400 196560 201600 216720 226800

Estimasi konsumsi perkapita negara tersebut, jika pendapatannya 230000!

Polinom Newton (B)

(30)

X 96 83 126 61 59 90 82 88

Y 6 22 18 8 12 10 17 11

Estimasi biaya pelayanan jika pendapatan sebesar 100!

Polinom Newton (B)

R Berikut data PT.Pesona Indah tentang promosi dan penjualan produk Minuman Ringan.

Promosi (juta) 10 20 30 40

Penjualan (Milyar) 25 30 40 50

Estimasi biaya penjualan jika biaya promosi 50 juta!

Polinom Newton (B)

S Berikut adalah table pendinginan angin!

Temperatur(0F) -30 -20 -10

Kecepatan Angin (mph)

0 -30 -20 -10

10 -58 -45 -31

20 -81 -68 -52

30 -94 -78 -63

Tentukan kecepatan angin saat temperature sebesar -250 F!

T Berikut data hasil produksi rata-rata padi kering per hektar dalam kuintal!

Jumlah Desa

(31)

Hasil 65,80 62,03 37,00 48,00 46,97

Estimasi hasil produksi jika jumlah desa 15!

Polinom Newton (B)

V Berikut jumlah rata-rata pendapatan dalam milyar (X) dan rata-rata biaya promosi dalam milyar (Y) dari 94 perusahaan perhotelan di daerah pariwisata

X 80 98 74 76 113 80

Y 20 20 10 20 30 10

Estimasi biaya penerimaan jika biaya promosi sebesar 50!

Polinom Newton (B)

Sistematika Penulisan Makalah

Judul (Kelogisan judul dengan studi kasus dan metode, jika tidak sesuai : -5)

Kata Pengantar

Daftar Isi

Bab I

Pendahuluan

Bab ini menjelaskan latar belakang penulis mengangkat studi kasus dan seberapa jauh ketertarikan penulis dengan studi kasus dan bagaimana cara penyelesaiannya

(32)

Penjelasan studi kasus dan metode yang digunakan, teori boleh diambil dari buku,artikel,blog, web atau apapun yang bersifat resmi. Sumber harus ditulis pada daftar pustaka sesuai kaidah EYD.

Bab III

Pembahasan

Dalam bab ini penulis wajib menjelaskan metode yang diaplikasikan untuk penyelesaian studi kasus. Penyelesaiannya dengan cara manual atau cara automatis (program). Jelaskan diagram alirnya terlebih dahulu, kemudian tampilkan source code baru kemudian Java Swing (jika menggunakan Java) tampilkan input dan output hasil program tersebut.

Bab IV

Kesimpulan dan Saran

Jelaskan kesimpulan yang anda dapatkan setelah mengerjakan makalah tersebut dan berikan saran dan kritik terhadap yang anda kerjakan.

Daftar Pustaka

Penulisan sesuai dengan EYD, sumber harus dari buku atau jurnal yang terkait (tidak sesuai : -5)

Aturan Penulisan Makalah

Batas Margin : Batas Atas dan Kiri 4, Batas Bawah dan Kanan 3. (Tidak Sesuai : -5)

Huruf Penulisan Times new roman 12, kecuali judul bab : 14 (Tidak sesuai : -5)

(33)

Keterangan Cara Penilaian :

Keterangan Skala

100 90 80 70 60 50 Makalah :

1. Kata Pengantar 2. BAB I

JAVA SWING (aplikasi) :

1. INPUT 2. OUTPUT

x

x x x x

(34)

INTERPOLASI

Pengertian Interpolasi

Bila data diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva kecocokannya dibuat melalui setiap titik, persis sama kalau kurva fungsi yang sebenarnya dirajah (ditelusuri) melalui setiap titik itu. Disebutkan bahwa kita menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi. Bila fungsi kecocokan yang digunakan berbentuk polinom, polinom tersebut dinamakan polinom interpolasi. Pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinom disebut interpolasi (dengan ) polinom. Contoh data yang mempunyai ketelitian tinggi adalah titik-titik yang dihitung dari fungsi yang telah diketahui atau data tabel yang terdapat pada acuan ilmiah (data percepatan gravitasi bumi). Selain dengan polinom, interpolasi titik-titik data dapat dilakukan dengan fungsi spline, fungsi rasional (pecahan) atau deret Fourier.

Jenis Interpolasi :

a. Linier

b. Polinom Newton dan Lagrange

a. Interpolasi Linier

Interpolasi linier adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik (x0,y0) dan (x1,y1).Polinom yang menginterpolasi kedua titik tersebut adalah persamaan garis lurus yang berbentuk :

Dengan sedikit manipulasi aljabar (lih. Rinaldi Munir hal.194) diperoleh :

Pelajarilah jagad raya ini. Jangan kecewa karena dunia tidak

(35)

Dengan kurva polinom ini adalah berupa garis lurus.

Contoh :

Perkirakan jumlah telur yang dihasilkan seorang peternak ayam pada bulan ke-5 berdasarkan data tabulasi berikut :

Bulan 1 11

Jumlah Telur (Butir) 1525 1785

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persamaan diatas, diperoleh :

Jadi, diperoleh jumlah telur yang dihasilkan oleh ternak-ternak tersebut pada bulan ke-5 adalah 1629 butir.

b. Polinomial Lagrange

Tinjau kembali persamaan polinom linier pada a. :

Persamaan ini dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk :

(36)

Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n + 1) titik berbeda adalah :

Ket :

Contoh :

Estimasi fungsi f(x) = cos x dengan polinom Interpolasi derajat tiga di dalam selang [0.0, 1.2].

Gunakan empat titik, . Perkirakan nilai dengan

x = 0,5 . (Gunakan 5 angka bena)

Penyelesaian :

xi 0,0 0,4 0,8 1,2

yi 1,0000 0,9211 0,6967 0,3624

(37)

Sebagai perbandingan nilai sejatinya adalah

Note : Polinom Lagrange berlaku untuk semua titik baik yang berjarak sama ataupun tidak berjarak sama.

Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena alasan berikut :

- Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumya yang dapat digunakan.

- Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara dan pada polinom Lagrange.

c. Polinomial Newton

Polinom Newton dibuat untuk mengatasi kelemahan ini. Dengan polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat dipakai untuk membuat polinom derajat yang makin tinggi. Polinom Newton ditulis dalam bentuk rekursif sebagai :

1. Rekurens :

+

2. Basis :

Atau dalam bentuk polinom lengkap :

+

Berikut ini adalah polinom interpolasi selisih terbagi Newton dalam bentuk tabel selisih terbagi.

i ST-1 ST-2 ST-3

(38)

Contoh :

Hitunglah f(9,2) dari nilai-nilai (x,y) yang diberikan pada tabel di bawahi dengan polinom berderajat tiga. (7 angka bena dari f(x) = ln x)

i 0 1 2 3

8,0 9,0 9,5 11,0

2,079442 2,197225 2,251292 2,397895

Penyelesaian :

Tabel selisih terbagi :

i

ST-1 ST-2 ST-3

0 8 2,079442 0,117783 -0,006433 0,000411 1 9 2,197225 0,108134 -0,005199

2 9,5 2,251292 0,097735

3 11 2,397895

Contoh cara menghitung nilai selisih-terbagi pada tabel adalah :

f[x2, x1] = = = 0,108134

f(x2, x1, x0) = = =-0,006433

dan seterusnya.

Polinom Newton-nya (dengan sebagai titik data pertama) adalah :

2,079442 + 0,117783(x - 8) - 0,006433(x - 8)(x – 9) + 0,000411(x - 8)(x – 9)(x – 9,5)

Taksiran nilai fungsi pada x = 9,2 adalah

2,079442 + 0,141340 - 0,001544 + 0,000030 = 2,219208

(39)

INTEGRASI NUMERIK

Di dalam kalkulus, integral adalah satu dari dua pokok bahasan yang mendasar disamping turunan. Dalam kuliah kalkulus, anda telah diajarkan cara memperoleh solusi analitik (dan eksak)

dari integral tak-tentu maupun tentu. Integral tak-tentu diyatakan sebagai .

Terapan integral dalam Bidang Sains dan Rekayasa

Integral mempunyai banyak terapan dalam bidang sains dan rekayasa. Dalam praktek rekayasa, seringkali fungsi yang diintegrasikan (integrand) adalah fungsi empirik yang diberikan dalam bentuk tabel, atau integrand-nya tidak dalam bentuk fungsi elementer (seperti sinh x, fungsi Gamma, dsb).

Contoh persoalan :

1. Dalam bidang fisika, integral digunakan untuk menghitung persamaan kecepatan.Misalnya kecepatan sebuah partikel merupakan fungsi waktu menerus yang diketahui terhadap waktu, v(t). Jarak total d yang ditempuh oleh partikel ini selama waktu

t diberikan oleh :

2. Dalam bidang aktuaria (tehnik perhitungan asuransi), integral digunakan untuk menghitung besar premi tahunan asuransi jiwa dari seseorang berusia x tahun dengan jangka waktu atau periode asuransi selama t tahun, yang benefitnya dibayarkan sesaat

setelah nasabah meninggal, yaitu :

Dalam perkuliahan ini hanya dibahas salah satu dasar dari metode Newton-Cotes, yaitu : Kaidah trapesium.

Jangan ikuti kemana jalan menuju, tetapi buatlah jalan sendiri dan

(40)

Pandang sebuah pias berbentuk trapesium dari x = x0 sampai x = x1 berikut:

y

h

x0 x1 x

Bila selang [a,b] dibagi atas n buah pias trapesium, kaidah integrasi yang diperoleh adalah kaidah trapesium gabungan :

1

Menentukan jumlah pias adalah dengan n = (b-a)/h

Contoh :

dengan menggunakan kaidah trapesium, gunakan jarak antar titik h = 0,2.

Perkirakan juga batas-batas galatnya ! Gunakan 5 angka bena.

(41)

5 2.8 16.445

Nilai integrasi sejatinya adalah

914

Galat hasil integrasinya adalah :

(42)

PERSAMAAN DIFFERENSIAL

Penyelesaian PDB secara numerik berarti menghitung nilai fungsi di xr+1 = xr + h, dengan h adalah ukuran langkah (step ) setiap iterasi. Pada metode analitik, nilai awal berfungsi untuk memperoleh solusi yang unik, sedangkan pada meode numerik nilai awal (initial value) berfungsi untuk memulai iterasi. Pada perkuliahan ini akan dibahas mengenai metode yang paling dasar,yaitu :

Metode Euler

Diberikan PDB orde satu, y’ = dy/dx = f(x,y) dan nilai awal y(x0) = y0

Misalkan

yr = y(xr)

adalah hampiran nilai y di xr yang dihitung dengan metode euler, yaitu : y(xr+1) = y(xr)+hf(xr,yr)

Contoh :

Diketahui PDB

dy/dx = x+y dan y(0) = 1

Gunakan metode Euler untuk menghitung y(0,10) dengan menghitung langkah h = 0,05 dan h = 0,02. Jumlah angka bena = 5. Diketahui solusi sejati PDB tersebut adalah y(x) = ex– x -1.

Penyelesaian :

a. Diketahui :

a = x0 = 0

b = 0,10

h = 0,05

Dalam hal ini. f(x,y) = x+y, dan penerapan dalam metode Euler adalah : y(xr+1) = y(xr)+0,05f(xr,yr)

Rasa ingin tahu

adalah ibu dari semua

ilmu pengetahuan

(43)

0 0.00 1.0000 1 0.05 1.0500 2 0.10 1.1050 Jadi, y(0,10) = 1,1050

Jika dibandingkan dengan nilai solusi sejatinya,

1103

(44)

Metode Runge Kutta

Gunakan metode Euler untuk menghitung y(0,10) dengan menghitung langkah h = 0,05 dan h = 0,02. Jumlah angka bena = 5. Diketahui solusi sejati PDB tersebut adalah y(x) = ex– x -1.

Penyelesaian :

(45)

h = 0,02

R xr yr

0 0.00 1.0000

1 0.02 1.0200

2 0.04 1.0408

3 0.06 1.0624

4 0.08 1.0849

5 0.10 1.1082

Jadi, y(0,10) = 1,1082

1103 , 1 1 01 , 0 10