Pendahuluan, Statis Momen, Titik Berat, Momen Inersia

(1)

Pendahuluan,

Statis Momen,

Titik Berat, &

Momen Inersia

Bahan Kuliah 1, 2, 3

Mekanika Bahan

(2)

Mekanika bahan adalah cabang m mengalami berbagai pembebanan

Mekanika bahan mempermasalah lentur, puntir, atau pada saat ben statika struktur dianggap bada gagal/hancur. Pada kenyataannya material pembentuknya dan beb perilaku material sesungguhnya diperkenalkan konsep tegangan d pandang ini, perlu lebih dahulu di eksternal yang bekerja pada sebua

Kuliah mekanika bahan dalam ha dasar beberapa fokus bahasan seb

G

Gaammbbaarr11..

P

E

N

D

A

H

U

L

U

A

N

ng mekanika terapan yang membahas perilaku ben nan.

alahkan bagaimana gaya-gaya bekerja pada sebua benda hancur. Dalam menganalisis masalah, dari adan kaku yang ideal yang tidak berdefor nnya, struktur dapat berdeformasi atau gagal be beban yang diterima struktur. Guna mengana nya ketika struktur yang bersangkutan menerima

an dan regangan. Dalam rangka menganalisa stru lu dipahami statika untuk menyelesaikan semua ga ebuah badan.

hal ini akan memberikan gambaran atas berbag sebagaimana digambarkan pada diagram berikut.

P

PeettaaPPiikkiirraannFFookkuussKKuulliiaahhMMeekkaanniikkaaBBaahhaann

benda padat yang

buah benda akibat dari sudut pandang eformasi maupun l bergantung pada analisa bagaimana rima beban, perlu struktur dari sudut a gaya internal dan

(3)

S

T

A

T

I

S

M

O

M

E

N

&

T

I

T

I

K

B

E

R

A

T

Besaran atau properti yang pertama kali dibahas adalah titik berat penampang dan inersia penampang.

Berkaitan dengan berat sebuah badan dapat dipahami bahwa bumi mengeluarkan gaya gravitasi pada setiap partikel pembentuk sebuah benda. Gaya-gaya ini dapat digantikan oleh sebuah gaya ekivalen yang sama dengan berat benda dan diaplikasikan pada pusat gravitasi (center of gravity) dari benda.

Sentroid/titik berat dari sebuah luasan adalah analogi dari pusat gravitasi sebuah benda. Konsep momen pertama (statis momen) atas masa sebuah luasan digunakan untuk mencari lokasi sentroid ini.

Untuk menjelaskan pusat grafitasi sebuah pelat dapat digambarkan sebuah pelat tanpa tebal yang memiliki masa merata pada seluruh penampang pelat seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

Atau, sebuah kawat/kabel yang memiliki masa merata sepanjang kawat/kabel tersebut sebagaimana dipresentasikan pada gambar berikut.

(4)

Jumlah momen pertama dari mas dapat diekspresikan sebagai berik

Dalam perspektif dua dimensi, m digambarkan sebagai :

a. luasan

dengan :

b. garis

(

γ

masa badan terhadap sebuah sumbu sembarang y erikut :

∫

∑

∫

∑

= = = =

, momen pertama dari masa penampang badan

)

( )

sumbu adap

momen terh statis

sumbu adap

momen terh statis

=

= =

=

= =

∫

γ

ng yang ditetapkan

(5)

Formulasi di atas dapat kemudian suatu sumbu yang ditinjau yang j ditinjau.

Keadaan khusus penampang

Sebuah a titik P te terhadap simetris t titik P’ se bagian ya

Demikian simetris te 0 dapat d

Statis mo yaitu jumlah dari (+x.dA) dan (−xd

Jadi, jika berada pad

Dan, jika s potongan k

Sebaliknya jika untuk setiap elem area dA’ yang sama pada (-x, -y) maka sentroid dari luasan mem pusat simetri.

dian disebut sebagai momen pertama dari masa b ng juga dikenal statis momen badan terhadap sua

ah area dikatakan simetris terhadap sumbu BB’ jik P terdapat sebuah titik P’ sedemikian hingga dap BB’ dan terbagi dua bagian yangsama oleh B tris terhadap sumbu BB’ jika untuk setiap titik P te

’ sedemikian hingga PP’ tegaklurus terhadap BB’ d n yang sama oleh BB.

kian halnya dengan penampang berbentuk jajaran ris terhadap sumbu y, di mana pada jarak yang sam at ditinjau luasan kecil yang sama sebesar dA

momen sebuah luasan terhadap sebuah garis sim xdA).

ika sebuah luasan memiliki 2 buah garis simet pada sumbu tersebut.

ka sebuah luasan memiliki 2 garis simetri, sentroi an keduanya.

elemen dA pada (xy) terdapat sebuah y) atau luasan ini disebut antimetri, empunyai pusat yang sama dengan

(

)

( )

∫

= = = =

γ γ

sa badan terhadap suatu sumbu yang

B’ jika untuk setiap ga PP’ tegaklurus leh BBSebuah area P terdapat sebuah B’ dan terbagi dua

jaran genjang yang sama dari garis y =

simetri adalah nol

metri, sentroidnya

(6)

Sentroid atau titik berat penampa kita bebani sebuah bidang F denga sembarang jumlah bidang kecil fi

Titik berat S diketahui sebagai titik

Atas dasar ketentuan bahwa mom gaya-gaya P1, P2, … Pn yang bekerj

xs . ∑fi

Titik berat S diketahui sebagai titik

Dengan menggunakan dua rumus berikut :

ys = (∑y

Untuk bagian luasan yang sangat k

Luas penampang :

Statis Momen penampang :

a. terhadap sumbu x :

b. Terhadap sumbu y :

Maka letak titik berat (sentroid) p

=

mpang dapat dicari melalui pemahaman atas stat engan suatu beban merata q = 1, kemudian kita bag

i , maka fi merupakan suatu gaya resultan akibat

i titik tangkap resultan gaya fi dalam arah horizont

momen resultante MR sama dengan jumlah mome

kerja, maka dapat ditentukan :

= ∑xi. fi dan ys . ∑fi = ∑yi. fi

i titik tangkap resultan gaya fi dalam arah horizonta

mus ini kita bisa menentukan jarak titik berat ys

∑yi. fi )/∑fi dan xs = (∑xi. fi )/∑fi

gat kecil (infinitesimal) maka berlaku hubungan ber

d) penampang adalah : dan

∫

= .

∫

= .

∫

= =

.

statis momen. Jika a bagi bidang F atas ibat beban merata.

ntal dan vertikal.

omen gaya MP dari

ntal dan vertikal.

s dan xs , seperti

berikut :

∫

= =

(7)

Analisis letak titik berat penampan

a. Cara I : penampang berada da

b. Cara II : penampang berada da

Contoh Soal 1

Tentukan statis momen seperemp

a. Cara I, bidang dalam sistem su

pang dapat dilakukan dengan dua cara berikut :

a dalam sistem sumbu XOY

a dalam sistem sumbu koordinat kutub/polar

rempat lingkaran dengan jari-jari R berikut

sumbu XOY

Persamaan lingkaran :

Luas Lingkaran :

1=

2 =

(

)

. 1 .

.

0

2

0

2 2

0

∫

_

 

  

      − =

− =

=

(

1,θ1

)

(8)

Hubungan ordinat x dan sudut

Sehingga Luas adalah :

2

Statis momen adalah :

(

Karena penampang tersebut s

(9)

b. Cara II , bidang dalam sistem

(10)

(11)

(12)

Menentukan centroid dengan Int

Double integrasi untuk mencari st persegi empat atau pita.

=

Integrasi

ri stastis momen dapat dihindari denga mendefinis

∫

(13)

Contoh Soal 5

• Menggunakan pita horizon

statis momen (first momen

• Tentukan koordinat centro

Analisis perhitungan

• konstanta k.

1 2 1 2

2

2 2

2

= =

= ⇒ =

=

• total luas penampang

3

2 0

2 2

=

   = =

= =

∫

• integrasi tunggal untuk m vertikal

Tentukan dengan integrasi tu

penampang yang dibatasi oleh gari x), garis x = a, dan kurva y= kx2

SOLUSi:

• Tentukan konstanta k.

• Hitung total luas penampang

rizontal maupun vertikal, lalukan integrasi tunggal

ments). ntroids

2

3

0 3

2 

 

uk mencari statis momen (first moments) men

tunggal locasi garis y = 0 (sumbu

ang

ggal untuk mencari

(14)

• integrasi tunggal untuk m Horizontal

• Tentukan koordinat centro

4

menggunakan pita

(15)

Contoh Soal 6

(16)

Contoh Soal 7

Karena x = y2, maka dx/dy = 2y. Ka :

Sentroida terletak pada xi = x, yi =

Pengintegrasian :

47

Tentukan sentroida tongkat yang m dalam bentuk busur parabolik, sepe dalam gambar!

SOLUSI :

Elemen diferensial ditunjukkan da atas. Dia ditempatkan pada k sembarang (x,y).

Panjang diferensial elemen dL dap dalam diferensial-diferensial dx d menggunakan teorema Phytagoras.

)

y. Karenanya, dengan menyatakan dL dalam y dan d

) seperti ditunjukkan

dalam gambar di a kurva di titik

dapat dinyatakan x dan dy dengan ras.

(17)

Contoh Soal 8

y di atas sumbu x.

Luas dan lengan momen. Luas elem

Sentroida terletak pada yi = y dar

Pengintegrasian.

3

) (

2 1

2 6 1

0 0

= =

− − =

=

∫

Properti geometris dan elemen ar

Tentukan jarak y ke sentroida luasan ditunjukkan dalam gambar

SOLUSI :

Elemen differensial. Perhatikan elemen yang mempunyai ketebalan dy dan panja Dengan segitiga serupa, b/h=x’(h-y) atau x’

Elemen memotong sisi-sisi segitiga pada su

elemennya dA = x’dy = (b/h)(h-y)dy.

dari sumbu x.

n area

san segitiga yang

en persegi empat anjang variabel x’.

u x’= (b/h)(h-y).

(18)

(19)

(20)

Momen inersia atau juga disebut penampang dapat digunakan un defleksi. Defleksi balok akibat b geometri dari penampang melinta inersia yang lebih tinggi, seperti b cara yang sama, momen inersia p kemampuannya menahan torsi (m

Momen inersia didefinisikan sebag

Yang dimaksud dengan MOMEN suatu sumbu adalah hasil perka tegak lurus antara titik berat pena

Ix adalah momen inersia bidang A

Iy adalah momen inersia bidang A

MOMEN INERSIA POLAR

M

O

M

E

N

I

N

E

R

S

I

A

ebut debagai momen kedua (second moment) da n untuk memprediksi kemampuan balok menah at beban bergantung tidak saja pada beban, tet

lintang balok. Hal inilah yang menyebabkan balok d rti balok-I, seringkali terlihat pada konstruksi ban sia polar merupakan suatu sifat yang dimiliki benda

si (momen puntir).

ebagai berikut :

EN INERSIA (momen lembam) dari suatu penam rkalian antara luas penampang tersebut dengan enampang terhadap sumbu yang bersangkutan.

ng A terhadap sumbu x ng A terhadap sumbu y

∫

= =

. . .

.

2 2 2

2

) dari sebuah area nahan lentur dan , tetapi juga pada lok dengan momen bangunan. Dengan enda untuk menilai

(21)

Momen inersia polar adalah sebu objek untuk menahan torsi, pad lingkaran yang tak berubah (invaria

signifikan. Momen inersia polar d yang dibebani torsi. Momen iners perilaku sebuah objek untuk mena

Makin besar momen inersia polar

Momen inersia polar tidak bole akselerasi putaran sudut akibar to

Momen inersia polar penampang

Yang dimaksud dengan MOMEN I O) adalah hasil perkalian antara yang bersangkutan dengan titik b

Ip = momen inersia polar

MOMEN INERSIA PRODUK

Momen inersia produk sebuah lua penampang melintang asimetris. positif atau negatif. Sebuah sist terarah pada sebuah set sumbu

sebuah besaran yang digunakan untuk mempredik pada objek atau bagian objek dengan penamp

variant) dan tidak ada distorsi atau deformasi di lu ar digunakan untuk menghitung perpindahan sudu nersia polar ini serupa dengan momen inersia, yang

enahan lentur dan dibutuhkan untuk menghitung

olar, puntiran balok makin kecil jika diberi beban to

boleh dipertukarkan dengan momen inersia, di r torsi.

ang didefinisikan sebagai berikut :

EN INERSIA POLAR dari suatu penampang terhada ara luas penampang tersebut dengan kuadrat jar tik berat penampang tersebut.

h luasan sangat penting untuk menentukan tegang ris. Tidak seperti momen kedua/momen inersia m sistem koordinat, di mana momen inersia produ

bu utama, dan momen inersia yang dihitung te

ediksi kemampuan ampang melintang di luar bidang yang udut sebuah objek yang menunjukkan

ung perpindahan.

an torsi.

di mana karakter

adap suatu titik (= t jarak antara titik

(22)

utama akan mengasumsikan mak pada titik berat penampang meli selalu merupakan sumbu utama.

Yang dimaksud dengan MOMEN terhadap dua buah sumbu adalah tegak lurus antara titik berat pen lurus antara titik berat penampan

Ixy = momen inersia produk bidan

PENAMPANG SIMETRI dan A

Penampang Simetri Satu Arah

Sumbu simetri merupakan salah s tegak lurus dengan sumbu utama

maksima dan minima-nya. Sistem koordinat deng melintang dan kedua sumbunya merupakan sumb

a.

EN INERSIA Produk (momen sentrifugal) dari sua alah hasil perkalian antara luas penampang tersebu penampang tersebut dengan salah satu sumbu d pang tersebut terhadap sumbu yang lain .

idang A

n ASIMETRI

lah satu sumbu utamanya, sedang sumbu utama y ma simetri dan melalui titik berat penampang

∫

=

.

engan titik asalnya umbu simetri akan

suatu penampang sebut dengan jarak bu dan jarak tegak

(23)

Penampang Simetri Dua Arah

Kedua sumbu simetri merupakan

Penampang Asimetri

kan sumbu utama

(24)

MENCARI MOMEN INERSIA P

Prosedur Analisis

Untuk melakukan integrasi tungg maka perlu ditentukan elemen d [panjang dan lebarnya berhingg

penampang pada titik sembarang

Cara I

Panjang elemen diorientasikan menghitung Iy penampang. Aplika

mempunyai tebal infinitesimal dx dengan : x dari sumbu y.

IA PENAMPANG MENGGUNAKAN INTEGRA

unggal dalam menentukan momen inersia sebua en diferensial dA. Seringkali elemen ini berupa p ingga]. Elemen ini ditempatkan sedemikian hing

ang (x,y). Ada 2 cara.

an paralel terhadap sumbu. Gambar di atas dig plikasi langsung persamaannya, Iy = ∫x2 dA. Dalam

l dx dan dengan demikian semua bagian elemen

GRASI

buah penampang, a persegi panjang hingga memotong

(25)

Contoh I

Tentukan momen inersia luasan p sumbu sentroidal x’

Ele

an persegi empat yang ditunjukkan dalam gambar t

Elemen diferensial yang ditunjukkan dalam gamba pengintegrasian. Karena letak dan orientasinya, berada pada jarak y’ dari sumbu x’. Di sini perlu di h/2 ke y’= h/2.

Karena dA = b . dy’, maka :

Tentukan momen inersia luasan yang dit dalam gambar di sekitar sumbu x.

Elemen diferensial luasan yang paralel de x, seperti ditunjukkan dalam gambar me dipilih untuk integrasi. Karena elemen m tebal dy dan memotong kurva pada titik (x,y), maka luasannya adalah dA = (100-Selanjutnya semua bagian elemen berad yang sama y dari sumbu x. Dengan meng

ar terhadap

mbar dipilih untuk ya, seluruh elemen

lu dintegrasi y’ = –

g ditunjukkan

lel dengan sumbu merupakan yang n mempunyai titik sembarang

-x) dy.