Solusi model PL dengan metode simpleks

Ahmad Sabri

Bentuk umum model PL

Ingat kembali bentuk umum model PL

maksimum

Maks

Z

=

c1x1

+

c2x2

+

. . .

+

c

n

x

n

Dengan kendala:

a11x1

+

a12x2

+

. . .

+

a1

n

x

n

≤

b1

a21x1

+

a22x2

+

. . .

+

a2

n

x

n

≤

b2

..

.

..

.

..

.

Bentuk baku model PL maksimisasi

Maks

Z

=

c1x1

+

c2x2

+

. . .

+

c

n

x

n

Dengan kendala:

a11x1

+

a12x2

+

. . .

+

a1

n

x

n

+

s

1

=

b1

a

21

x

1

+

a

22

x

2

+

. . .

+

a

2n

x

n

+

s

2

=

b

2

..

.

..

.

..

.

a

m1x1

+

a

m2x2

+

. . .

+

a

mn

x

n

+

s

m

=

b

m

x

i

≥

0

,

i

= 1

,

2

, . . . n

Tinjau kembali model PL untuk problem

Chocolatier Burie

,

beserta solusi optimalnya yang diperoleh dengan metode grafis:

Maks

Z

= 55

M

+ 89

H

Dengan kendala:

4

M

+ 18

H

≤

1296

12

M

+ 6

H

≤

1824

Alternatif solusi dan solusi optimal:

(

M, H

)

Z

= 55

M

+ 89

H

(0

,

0)

0

(0

,

72)

6408

(130

.

5

,

43)

11004

.

5

(maksimum)

(152

,

0)

8360

Diperoleh solusi optimal

Z

= 11004

.

5

, dengan

M

= 130

.

5

dan

Metode simpleks

Metode simpleks adalah prosedur aljabar untuk menyelesaikan

masalah PL. Tidak seperti pada metode grafis, metode simpleks

mengevaluasi beberapa alternatif solusi saja (tidak semua) untuk

menemukan solusi optimal.

Metode simpleks

Metode simpleks adalah prosedur aljabar untuk menyelesaikan

masalah PL. Tidak seperti pada metode grafis, metode simpleks

mengevaluasi beberapa alternatif solusi saja (tidak semua) untuk

menemukan solusi optimal.

Penyelesaian PL dengan metode simpleks

Berikut diberikan contoh penyelesaian model PL pada kasus

Chocolatier Burie

.

Langkah pertama, buatlah bentuk baku dari model.

Maks

Z

= 55

M

+ 89

H

Dengan kendala:

Iterasi ke-0: tabel simpleks awal

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296

(2) s2 0 12 6 0 1 1824

Solusi pada iterasi ke-0 (solusi dasar awal):

Iterasi ke-0: menentukan kolom pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296

(2) s2 0 12 6 0 1 1824

Iterasi ke-0: menghitung rasio

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296

1296 18 = 72

(2) s2 0 12 6 0 1 1824

1824 6 = 304

Iterasi ke-0: menentukan baris pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296

1296 18 = 72

(2) s2 0 12 6 0 1 1824

1824 6 = 304

Pilihbaris pivot, yaitu baris yang memiliki rasio non-negatif terkecil; dalam kasus ini adalah baris (1), yang diasosiasikan sebagai variabels1. Elemen persekutuan antara kolom pivot dan baris pivot disebutelemen pivot; dalam hal ini elemen pivot-nya adalah 18.

Iterasi ke-0: menentukan baris pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296

1296 18 = 72

(2) s2 0 12 6 0 1 1824

1824 6 = 304

Iterasi ke-0: menentukan baris pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296

1296 18 = 72

(2) s2 0 12 6 0 1 1824

1824 6 = 304

Pilihbaris pivot, yaitu baris yang memiliki rasio non-negatif terkecil; dalam kasus ini adalah baris (1), yang diasosiasikan sebagai variabels1. Elemen persekutuan antara kolom pivot dan baris pivot disebutelemen pivot; dalam hal ini elemen pivot-nya adalah 18.

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan

(1) H 0 4

18 1 1

18 0 72 (1)lama÷18

Operasi baris Gauss-Jordan

1 Operasi pada baris pivot

1 Pada kolom Basis, gantilah variabel keluar dengan variabel masuk

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan

(0) Z 1 −3179 0

89

18 0 6408 (0)lama+ 89·(1)baru

(1) H 0 4

18 1 1

18 0 72 (1)lama÷18

Operasi baris Gauss-Jordan

1 Operasi pada baris pivot

1 Pada kolom Basis, gantilah variabel keluar dengan variabel masuk

2 Baris pivot baru = Baris pivot lama÷elemen pivot

2 Operasi pada baris lainnya:

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan

(0) Z 1 −3179 0

89

18 0 6408 (0)lama+ 89·(1)baru

(1) H 0 4

18 1 1

18 0 72 (1)lama÷18

(2) s2 0

32

3 0 −

1

3 1 1392 (2)lama−6·(1)baru

Operasi baris Gauss-Jordan

1 Operasi pada baris pivot

1 Pada kolom Basis, gantilah variabel keluar dengan variabel masuk

Iterasi ke-1

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 −317₉ 0 89

18 0 6408

1 (1) H 0 4

18 1 1

18 0 72

(2) s2 0

32

3 0 −

1

3 1 1392

Solusi pada iterasi ke-1:

M = 0,H = 72,Z= 6408

Pada tahapan ini,H sudah masuk menjadi basis, dan s1ke luar dari basis.

Iterasi ke-1: menentukan kolom pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 −317

9 0

89

18 0 6408

1 (1) H 0 4

18 1 1

18 0 72

(2) s2 0

32

3 0 −

1

Iterasi ke-1: menghitung rasio

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 −317

9 0

89

18 0 6408

1 (1) H 0 4

18 1 1

18 0 72

72 4_/18 = 324

(2) s2 0

32

3 0 −

1

3 1 1392 1392

Iterasi ke-1: menentukan baris pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 −317₉ 0 89

18 0 6408

1 (1) H 0 4

18 1 1

18 0 72

72 4/18 = 324

(2) s2 0

32

3 0 −

1

3 1 1392 1392

32_/3 = 130,5

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan

(2) M 0 1 0 −₃₂1 −₃₂3 130,5 (2)lama÷

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan

(0) Z 1 0 0 123

32 317

96 11004,5 (0)lama+ 317

9 ·(2)baru

(2) M 0 1 0 −₃₂1 −₃₂3 130,5 (2)lama÷

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan

(0) Z 1 0 0 123

32 317

96 11004,5 (0)lama+ 317

9 ·(2)baru

(1) H 0 0 1 1

16 − 1

48 43 (1)lama− 4

18·(2)baru

(2) M 0 1 0 −₃₂1 −₃₂3 130,5 (2)lama÷

Iterasi ke-2: tabel simpleks optimal

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 0 0 123

32 317

96 11004,5

2 (1) H 0 0 1 1

16 − 1

48 43

(2) M 0 1 0 −321 −

3

32 130,5

Solusi pada iterasi ke-2:

M = 130,5,H = 43,Z= 11004,5

Tabel simpleks lengkap

Berikut ini adalah tabel simpleks untuk seluruh iterasi yang

dilakukan:

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio

(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296

1296 18 = 72

(2) s2 0 12 6 0 1 1824

1824 6 = 304

(0) Z 1 −3179 0

89

18 0 6408

1 (1) H 0 4

18 1 1

18 0 72

72 4/18 = 324

(2) s2 0

32

3 0 −

1

3 1 1392

1392

32_/3 = 130,5

(0) Z 1 0 0 123

32 317

96 11004,5

2 (1) H 0 0 1 1

16 − 1

48 43

Kondisi untuk variabel masuk dan variabel keluar

Kondisi optimalitas

. Dalam masalah maksimisasi [

minimisasi

],

variabel masuk

adalah variabel non-basis dengan koefisien paling

negatif [

positif

] pada baris (0). Optimal dicapai jika semua

koefisien dari variabel non-basis adalah non-negatif [

non-positif

].

Langkah-langkah metode simpleks

1

Buatlah tabel simpleks awal (didapatkan solusi dasar awal).

2

Tentukan variabel masuk berdasarkan

kondisi optimalitas

.

Berhenti jika tidak ada lagi variabel masuk; pada tahapan ini,

solusi optimal telah tercapai. Jika tidak, lanjutkan ke langkah

3.

3

Tentukan variabel keluar berdasarkan

kondisi kelayakan

.

4

Tentukan solusi dasar awal dengan menerapkan teknik

Contoh (Model PL maksimal)

Redi Miks memproduksi cat interior dan eksterior dari dua bahan

mentah: M1 dan M2. Tabel berikut memberikan data dasar:

Kebutuhan bahan mentah untuk per ton dari Ketersediaan maksimum Cat eksterior (ton) Cat interior (ton) harian (ton)

M1 6 4 24

M2 1 2 6

Keuntungan

5 4

per ton (juta)

Survey pemasaran menunjukkan bahwa

permintaan harian untuk

cat interior maksimal 1 ton lebih banyak dari yang untuk eksterior

.

Contoh

Gutchi Company

memproduksi dompet, tas tangan, dan tas

punggung. Pembuatan ketiga produk itu membutuhkan bahan

mentah berupa kulit asli. Proses produksi juga membutuhkan dua

jenis tenaga kerja terampil untuk menjahit dan

finishing

. Tabel

berikut memberikan ketersediaan sumber daya, penggunaannya,

dan keuntungan per unit produk.

Kebutuhan sumber daya untuk per unit: Ketersediaan

Dompet Tas tangan Tas punggung harian

Kulit (ft2

) 2 1 3 42

Menjahit (jam) 2 1 2 40

Finishing(jam) 1 0,5 1 45

Harga jual ($) 24 22 45