TRANSPOR POLUTAN
Pollutan Transport
Persamaan Konveksi-Difusi
Penyelesaian Analitis
Transpor Polutan
Rerensi
Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics, Chapter 8, pp. 517-609, J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England
Transpor Polutan di Sungai
3
¨
Sungai tercemar polutan
¤
Sungai Songhua, China, November 2005
q
More stories on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005
§
http://www.gov.cn/english/2005-11/25/content_108891.htm
§
webarchive on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005
Penampungan limbah di sebuah pabrik kimia di Ajka, Hungary, jebol pada awal Oktober 2010
q
More stories on Danube River pollution in October 2010
§
http://www.bbc.co.uk/news/world-europe-11495540
§
webarchive file
§
http://www.guardian.co.uk/world/2010/oct/12/danube-toxic-soviet-hungary-sludge
§
webarchive file
Transpor Polutan
10
¨
Mekanisme penyebaran polutan di sungai
¤
Difusi
n
penyebaran yang dipicu oleh perbedaan konsentrasi
n
bergantung pula pada sifat polutan (koefisien difusi)
¤
Konveksi
Difusi
15
¨
Dalam bahasa matematika, difusi dituliskan sbb.
¤
k
= konstanta = koefisien difusi =
diffusivity
n
k
merupakan parameter karakteristika fluida (polutan)
n
k
bergantung pada temperatur dan tekanan
q
f
=
−
k
∇
c
fq
f
=
−
k
∂
c
f∂
x
iq
f
=
−
k
grad
Difusi
16
¨
Sifat proses difusi
¤
tidak dapat kembali (
irreversible
)
¤
mengakibatkan kehilangan/peredaman energi
¨
Contoh difusi
¤
difusi massa
¤
difusi panas/thermal
Difusi
17
¨
Difusi massa
à
Fick’s law
¨
Difusi panas
à
Fourier’s law
¨
Difusi momentum
à
Newton’s law
q
m,i=
−
ε
m∂c
f∂x
iq
h,i=
−
ρ
a
hC
p∂
T
∂
x
i(
ρ
C
p=
konstan
)
q
mt,ij=
−
ρ ν
∂
V
iKonveksi-Difusi
18
¨
Pada kuliah ini yang dibahas hanya transpor massa
¨
Apabila air sungai mengalir, maka terjadi proses konveksi
¨
Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh:
¤
beda konsentrasi (gradien)
à
difusi
¤
aliran
à
konveksi
∂
c
∂
t
+
V
⋅
grad
c
konveksi
=
div
ε
mgrad
c
(
)
difusi
Konveksi-Difusi
19
¨
Dituliskan dalam sistem koordinat cartesius
¨
Dalam medium
air diam
, tidak ada aliran, maka kecepatan
nol, sehingga tidak ada konveksi
∂
c
Konveksi-Difusi (Turbulen)
20
§ Aliran di sungai hampir pasti berupa aliran turbulen
§ Salah satu sifat aliran turbulen adalah bahwa kecepatan aliran berubah-ubah
§ Konsentrasi polutan dengan demikian berubah-ubah pula
0.56
waktu [detik]
kecepatan rata-rata
Konveksi-Difusi (Turbulen)
21
q
Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen
∂
c
∂
t
+
V
!"
⋅
grad
!
!!!
"
c
=
div
(
ε
m+
ε
t)
grad
!
!!!
"
c
$
%
&
'
§
Pada umumnya koefisien difusi turbulen jauh lebih besar daripada
koefisien difusi molekuler,
ε
t>>
ε
mKonveksi-Difusi (Turbulen)
22
q
Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen
∂
c
§
dituliskan dalam koordinat cartesius
ε
Penyelesaian analitis persamaan difusi
Difusi
Persamaan Difusi
24
Difusi 1-Dimensi
25
∂c
∂t =εm
∂2c
∂x2
q
Persamaan transpor difusi satu dimensi
§ Difusi satu dimensi, arah x saja
§ Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)
c
(
±∞,t)
= 0 c x(
, 0)
= M1δ
( )
x• M1 adalah massa per satuan luas [kg/m2] yang dimasukkan secara sekaligus dan tiba-tiba (instantaneous source)
M
0 = M1S • M0 adalah seluruh massa yang dimasukkan di suatu titik secara tiba-tiba
Difusi 1-Dimensi
26
δ
( )
x dx −∞+∞
∫
=1• δ(x) adalah fungsi delta Dirac, bernilai sama dengan nol kecuali di x = 0)
• Ingat bahwa massa total M0 harus konstan sepanjang waktu yang ditinjau
c x
( )
,t dx−∞ +∞
∫
= c x(
, 0)
dx −∞+∞
∫
= M1 δ
( )
x dx−∞ +∞
∫
= MDifusi 1-Dimensi
27
c x
( )
,t = M14 π εm t exp −
x2
4εm t
$
% & &
'
( ) )
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut adalah:
§ Penyelesaian tersebut menunjukkan difusi suatu massa M0
• yang dimasukkan secara tiba-tiba di suatu titik
• menyebar menurut distribusi Gauss Normal dan simetris ke arah sumbu x
Difusi 1-Dimensi
Difusi 1-Dimensi
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut dapat pula dituliskan sbb:
§ Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah:
σ
x2
( )
t = 2εm t§ 95% luas daerah di bawah kurva pdf distribusi normal adalah:
W =
(
2×1.96)
σx ≈ 4 σx
W
−1.96 +1.96
Difusi 1-Dimensi
§ Koefisien difusi dapat dihitung dengan:
• Persamaan di atas dapat
dipakai untuk menetapkan koefisien difusi
dengan pengukuran simpangan baku di suatu titik
x
pada dua waktu
Difusi 2-Dimensi
31
q
Persamaan transpor difusi dua dimensi
∂c
∂t =εm
∂2c
∂x2
+ ∂
2c
∂y2
#
$ % %
&
' (
( § Difusi dua dimensi, arah x dan y (bidang z)
§ Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)
c
(
±∞,±∞,t)
= 0 c x(
,y, 0)
= MDifusi 2-Dimensi
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 2-D tersebut adalah:
Difusi 3-Dimensi
33
q
Persamaan transpor difusi tiga dimensi
∂c
∂t =εm
∂2c ∂x2
+ ∂
2c
∂y2
+ ∂
2c
∂z2 #
$ % %
&
' (
( § Difusi dua dimensi, arah x, y, dan y
§ Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)
c
(
±∞,±∞,±∞,t)
=0 c x(
,y, z, 0)
= MDifusi 3-Dimensi
34
c x
(
,y, z,t)
= M3σ 2 π
(
)
3 exp −r2
2σ2 $
% & &
'
( ) )
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 3-D tersebut adalah:
Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas
35
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D
c x
( )
,t = M1§ Jika medium memiliki batas dinding, tembok à pencerminan source
Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas
36
c x
( )
,t = 2M1σx 2 π exp −
Lp2
2σx2 $
% & &
'
( ) )
Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus
37
c x
( )
,t = M1σx 2 π exp −
x2
2σx2 $
% & &
'
( ) )
§ Syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)
q
Persamaan transpor difusi satu dimensi, massa
M
0dimasukkan secara
menerus (kontinu) di
x
= 0
c x
(
= 0,t ≥0)
= c0
c x
(
= ±∞,t ≥0)
= 0Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus
38
c x
( )
,t =c0 erfc
x
4εm t
"
# $ $
%
& ' '
§ Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D dari source kontinu
erfc
( )
Y = 2π
e−ξ dξ
Y
∞
∫
• complementary error function
Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus
Penyelesaian analitis persamaan konveksi-difusi
dalam regime turbulen
Konveksi-Difusi
Konveksi-Difusi (Turbulen)
41
q
Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen
∂
c
§
Koefisien difusi merupakan besaran tensorial
•
koefisien difusi vertikal,
ε
tz•
koefisien difusi transversal,
ε
ty•
koefisien difusi longitudinal,
ε
txε
t!"
!"
ε
tx,
ε
ty,
ε
tzKonveksi-Difusi (Turbulen)
§
Koefisien difusi vertikal
ε
tz=
0.067
h u
∗
(
)
§
Koefisien difusi vertikal rerata
kedalaman aliran
ε
tz=
1
kedalaman aliran kecepatan geser
z
h U
ε
tzKonveksi-Difusi (Turbulen)
43
Lz
Jarak
L
z
=
ξ
zU
h
2ε
tzditempuh dalam waktu t
z=
ξ
zh
2
ε
tzξz =0.1
h/2
U h/2
U h
Lz
ξz =0.4
Konveksi-Difusi (Turbulen)
44
§
Koefisien difusi transversal
ε
ty=
0.6
h u
∗(
)
B U
ε
ty=
0.15
h u
∗
(
)
• di flume
• di sungai
Konveksi-Difusi (Turbulen)
45
Ly
Jarak
L
y=
ξ
yU
B
2
ε
tyditempuh dalam waktu t
y=
ξ
yB
2ε
tyξy =0.1
B/2
U B/2
U B
Ly
ξy = 0.5
Konveksi-Difusi (Turbulen)
46
§
Koefisien difusi longitudinal, searah aliran
B U
ε
tx=
0.23
h u
∗
(
)
• Difusi longitudinal (searah aliran) yang ditimbulkan oleh turbulensi aliran
umumnya diabaikan karena pengaruh
dispersi lebih dominan.
• Parameter dispersi adalah koefisien dispersi Kx.
tepi, tebing tepi, tebing
• Dispersi terjadi karena adanya variasi besaran kecepatan aliran (distribusi kecepatan) à beda antara kecepatan rerata dan kecepatan di suatu titik.
U =U +U!
47
Konveksi dan Difusi Transversal
48
q
Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen
∂
c
§
Jika kondisi berikut ini diterapkan
•
aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0
•
sumber polutan kontinu dan transpor polutan dianggap permanen
•
difusi longitudinal diabaikan
Konveksi dan Difusi Transversal
transpor permanen
v = w = 0 difusi longitudinal diabaikan
difusi vertikal telah dicapai
∂
uc
U kecepatan aliran rerata kedalaman (depth-averaged velocity)
C konsentrasi polutan rerata kedalaman (depth-averaged concentration)
Konveksi dan Difusi Transversal
§
Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai
lebar
G
0
=
M
0t
[kg/s]
debit polutan, merata di seluruh kedalaman aliran h
§
Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai
berbatas
C x
(
,
y
)
=
C
u(
x
,
y
+
y
0)
+
C
u(
x
, 2
nB
±
y
±
y
0)
n=1
N
∑
Konveksi dan Difusi Longitudinal
52
q
Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen
∂
c
§
Jika kondisi berikut ini diterapkan
•
aliran hanya satu arah, u ≠ 0, v = w = 0
•
difusi vertikal dan transversal telah dicapai, polutan telah
menyebar di seluruh kedalaman dan lebar aliran
à
polutan
Konveksi dan Difusi Longitudinal
difusi transversal telah dicapai
v = w = 0 difusi vertikal
telah dicapai
∂
c
karena polutan telah menyebar di seluruh tampang lintang aliran, maka
Konveksi dan Difusi Longitudinal
koefisien dispersi
§
Pada aliran permanen dan seragam,
K
xkonstan
• difusi vertikal di seluruh kedalaman aliran dicapai • difusi transversal di seluruh lebar aliran dicapai
Dispersi Longitudinal
Berlaku setelah Ly = ξy U
B2
εty
atau setelah t
y = ξy
à saluran tampang segi-empat
à sungai
Dispersi Longitudinal
56
§
Jika polutan
M
0dimasukkan secara merata di tampang dan secara tiba-tiba,
maka penyelesaian analitis persamaan dispersi longitudinal tersebut adalah:
luas tampang aliran C x
( )
,t = M1Dispersi Longitudinal
57
§
Jika polutan
M
0dimasukkan secara merata di tampang dan selama waktu
T
• dapat dibaca sebagai satu seri polutan yang dimasukkan secara berurutan, masing-masing dalam waktu Δτ yang sangat kecil
Dispersi Longitudinal
58
§
Jika polutan
M
0dimasukkan secara merata di tampang dan menerus (kontinu)
secara konstan
C x
( )
,t = C0• Pada kondisi transpor permanen (steady state condition), t ! ∞