Persamaan Konveksi-Difusi Penyelesaian Analitis

TRANSPOR POLUTAN

Pollutan Transport

Persamaan Konveksi-Difusi

Penyelesaian Analitis

Transpor Polutan

Rerensi

Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics, Chapter 8, pp. 517-609, J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England

Transpor Polutan di Sungai

3

¨ 

Sungai tercemar polutan

¤ 

Sungai Songhua, China, November 2005

q 

More stories on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005

§ 

http://www.gov.cn/english/2005-11/25/content_108891.htm

§ 

webarchive on Harbin’s Songhua River pollution in November 2005

Penampungan limbah di sebuah pabrik kimia di Ajka, Hungary, jebol pada awal Oktober 2010

q 

More stories on Danube River pollution in October 2010

§ 

http://www.bbc.co.uk/news/world-europe-11495540

§ 

webarchive file

§ 

http://www.guardian.co.uk/world/2010/oct/12/danube-toxic-soviet-hungary-sludge

§ 

webarchive file

Transpor Polutan

10

¨ 

Mekanisme penyebaran polutan di sungai

¤ 

Difusi

n 

penyebaran yang dipicu oleh perbedaan konsentrasi

n 

bergantung pula pada sifat polutan (koefisien difusi)

¤ 

Konveksi

Difusi

15

¨ 

Dalam bahasa matematika, difusi dituliskan sbb.

¤ 

k

= konstanta = koefisien difusi =

diffusivity

n 

k

 

merupakan parameter karakteristika fluida (polutan)

n 

k

bergantung pada temperatur dan tekanan

q

_f





=

−

k

∇



c

_f

q

f





=

−

k

∂

c

f

∂

x

_i

q

f





=

−

k

grad







Difusi

16

¨ 

Sifat proses difusi

¤ 

tidak dapat kembali (

irreversible

)

¤ 

mengakibatkan kehilangan/peredaman energi

¨ 

Contoh difusi

¤ 

difusi massa

¤ 

difusi panas/thermal

Difusi

17

¨ 

Difusi massa

à

Fick’s law

¨ 

Difusi panas

à

Fourier’s law

¨ 

Difusi momentum

à

Newton’s law

q

_m,i

=

−

ε

_m

∂c

f

∂x

_i

q

_h,i

=

−

ρ

a

_h

C

_p

∂

T

∂

_x

_i

(

ρ

C

p

=

konstan

)

q

_mt,ij

=

−

ρ ν

∂

V

i

Konveksi-Difusi

18

¨ 

Pada kuliah ini yang dibahas hanya transpor massa

¨ 

Apabila air sungai mengalir, maka terjadi proses konveksi

¨ 

Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh:

¤ 

beda konsentrasi (gradien)

à

difusi

¤ 

aliran

à

konveksi

∂

c

∂

t

+

V



⋅

_grad







c

konveksi

 







=

div

ε

m

grad







c

(

)

difusi

Konveksi-Difusi

19

¨ 

Dituliskan dalam sistem koordinat cartesius

¨ 

Dalam medium

air diam

, tidak ada aliran, maka kecepatan

nol, sehingga tidak ada konveksi

∂

c

Konveksi-Difusi (Turbulen)

20

§  Aliran di sungai hampir pasti berupa aliran turbulen

§  Salah satu sifat aliran turbulen adalah bahwa kecepatan aliran berubah-ubah

§  Konsentrasi polutan dengan demikian berubah-ubah pula

0.56

waktu [detik]

kecepatan rata-rata

Konveksi-Difusi (Turbulen)

21

q 

Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen

∂

c

∂

t

+

V

!"

⋅

grad

!

!!!

"

c

₌

_div

(

_ε

_m

₊

_ε

_t

)

_grad

!

!!!

"

c

$

%

&

'

§

 

Pada umumnya koefisien difusi turbulen jauh lebih besar daripada

koefisien difusi molekuler,

ε

_t

>>

ε

_m

Konveksi-Difusi (Turbulen)

22

q 

Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen

∂

c

§

 

dituliskan dalam koordinat cartesius

ε

Penyelesaian analitis persamaan difusi

Difusi

Persamaan Difusi

24

Difusi 1-Dimensi

25

∂c

∂t =εm

∂2c

∂x2

q 

Persamaan transpor difusi satu dimensi

§  Difusi satu dimensi, arah x saja

§  Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

c

(

_±∞,t

)

_{= 0} c x

(

_{, 0}

)

₌ M

1δ

( )

x

•  M₁ adalah massa per satuan luas [kg/m2_{] yang dimasukkan secara sekaligus} dan tiba-tiba (instantaneous source)

M

0 = M1S •  M0 adalah seluruh massa yang dimasukkan di suatu titik secara tiba-tiba

Difusi 1-Dimensi

26

δ

( )

_x d_x −∞

+∞

∫

=1

•  δ(x) adalah fungsi delta Dirac, bernilai sama dengan nol kecuali di x = 0)

•  Ingat bahwa massa total M₀ harus konstan sepanjang waktu yang ditinjau

c x

( )

_,t _dx

−∞ +∞

∫

= c x

(

_{, 0}

)

_dx −∞

+∞

∫

= M

1 δ

( )

x dx

−∞ +∞

∫

= M

Difusi 1-Dimensi

27

c x

( )

_,t ₌ M1

4 π ε_m t exp −

x2

4ε_m t

$

% & &

'

( ) )

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut adalah:

§  Penyelesaian tersebut menunjukkan difusi suatu massa M₀

•  yang dimasukkan secara tiba-tiba di suatu titik

•  menyebar menurut distribusi Gauss Normal dan simetris ke arah sumbu x

Difusi 1-Dimensi

Difusi 1-Dimensi

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut dapat pula dituliskan sbb:

§  Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah:

σ

x2

( )

t = 2εm t

§  95% luas daerah di bawah kurva pdf distribusi normal adalah:

W ₌

(

2_×1.96

)

_σ

x ≈ 4 σx

W

−1.96 _+1.96

Difusi 1-Dimensi

§  Koefisien difusi dapat dihitung dengan:

•  Persamaan di atas dapat

dipakai untuk menetapkan koefisien difusi

dengan pengukuran simpangan baku di suatu titik

x

pada dua waktu

Difusi 2-Dimensi

31

q 

Persamaan transpor difusi dua dimensi

∂c

∂t =εm

∂2c

∂x2

+ ∂

2_c

∂y2

#

$ % %

&

' (

( §  Difusi dua dimensi, arah x dan y (bidang z)

§  Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

c

(

_±∞,±∞,t

)

_{= 0 c x}

(

_{,y, 0}

)

_{= M}

Difusi 2-Dimensi

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 2-D tersebut adalah:

Difusi 3-Dimensi

33

q 

Persamaan transpor difusi tiga dimensi

∂c

∂t =εm

∂2c ∂x2

+ ∂

2_c

∂y2

+ ∂

2_c

∂z2 #

$ % %

&

' (

( §  Difusi dua dimensi, arah x, y, dan y

§  Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

c

(

_{±∞,±∞,±∞,}t

)

_{=0 c x}

(

_{,y, z, 0}

)

_{= M}

Difusi 3-Dimensi

34

c x

(

,y, z,t

)

= M3

σ 2 π

(

)

3 exp −

r2

2σ2 $

% & &

'

( ) )

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 3-D tersebut adalah:

Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas

35

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D

c x

( )

_,t ₌ M1

§  Jika medium memiliki batas dinding, tembok _à pencerminan source

Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas

36

c x

( )

,t = 2M1

σ_x 2 π exp −

L_p2

2σ_x2 $

% & &

'

( ) )

Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus

37

c x

( )

_,t ₌ M1

σ_x 2 π exp −

x2

2σ_x2 $

% & &

'

( ) )

§  Syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions)

q 

Persamaan transpor difusi satu dimensi, massa

M

0

dimasukkan secara

menerus (kontinu) di

x

= 0

c x

(

_{= 0,}t _≥0

)

₌ c

0

c x

(

_{= ±∞,}t _≥0

)

_{= 0}

Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus

38

c x

( )

_,t ₌c

0 erfc

x

4_εm t

"

# $ $

%

& ' '

§  Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D dari source kontinu

erfc

( )

Y ₌ 2

π

e−ξ d_ξ

Y

∞

∫

•  complementary error function

Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus

Penyelesaian analitis persamaan konveksi-difusi

dalam regime turbulen

Konveksi-Difusi

Konveksi-Difusi (Turbulen)

41

q 

Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen

∂

c

§

 

Koefisien difusi merupakan besaran tensorial

• 

koefisien difusi vertikal,

ε

_tz

• 

koefisien difusi transversal,

ε

_ty

• 

koefisien difusi longitudinal,

ε

_tx

ε

_t

!"

!"

ε

_tx

,

ε

_ty

,

ε

_tz

Konveksi-Difusi (Turbulen)

§

 

Koefisien difusi vertikal

ε

_tz

=

0.067

h u

∗

(

)

§

 

Koefisien difusi vertikal rerata

kedalaman aliran

ε

_tz

=

1

kedalaman aliran kecepatan geser

z

h U

ε

_tz

Konveksi-Difusi (Turbulen)

43

L_z

Jarak

L

z

=

ξ

z

U

h

2

ε

_tz

ditempuh dalam waktu t

_z

=

ξ

_z

h

2

ε

_tz

ξ_z =0.1

h/2

U h/2

U h

L_z

ξ_z =0.4

Konveksi-Difusi (Turbulen)

44

§

 

Koefisien difusi transversal

ε

_ty

=

0.6

_{h u}

∗

(

)

B U

ε

_ty

=

0.15

_{h u}

∗

(

)

•  di flume

•  di sungai

Konveksi-Difusi (Turbulen)

45

L_y

Jarak

L

_y

=

ξ

_y

U

B

2

ε

_ty

ditempuh dalam waktu t

y

=

ξ

y

B

2

ε

_ty

ξ_y =0.1

B/2

U B/2

U B

L_y

ξ_y = 0.5

Konveksi-Difusi (Turbulen)

46

§

 

Koefisien difusi longitudinal, searah aliran

B U

ε

_tx

=

0.23

h u

∗

(

)

•  Difusi longitudinal (searah aliran) yang ditimbulkan oleh turbulensi aliran

umumnya diabaikan karena pengaruh

dispersi lebih dominan.

•  Parameter dispersi adalah koefisien dispersi K_x.

tepi, tebing tepi, tebing

•  Dispersi terjadi karena adanya variasi besaran kecepatan aliran (distribusi kecepatan) _à beda antara kecepatan rerata dan kecepatan di suatu titik.

U =U +U!

47

Konveksi dan Difusi Transversal

48

q 

Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen

∂

c

§

 

Jika kondisi berikut ini diterapkan

•

 

aliran hanya satu arah, u _≠ 0, v = w = 0

•

 

sumber polutan kontinu dan transpor polutan dianggap permanen

• 

difusi longitudinal diabaikan

Konveksi dan Difusi Transversal

transpor permanen

v = w = 0 difusi longitudinal diabaikan

difusi vertikal telah dicapai

∂

uc

U kecepatan aliran rerata kedalaman (depth-averaged velocity)

C konsentrasi polutan rerata kedalaman (depth-averaged concentration)

Konveksi dan Difusi Transversal

§

 

Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai

lebar

G

0

=

M

0

t

[kg/s]

debit polutan, merata di seluruh kedalaman aliran h

§

 

Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai

berbatas

C x

(

,

y

)

=

C

_u

(

x

,

y

+

y

₀

)

+

C

_u

(

x

, 2

nB

±

y

±

y

₀

)

n=1

N

∑

Konveksi dan Difusi Longitudinal

52

q 

Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen

∂

c

§

 

Jika kondisi berikut ini diterapkan

•

 

aliran hanya satu arah, u _≠ 0, v = w = 0

• 

difusi vertikal dan transversal telah dicapai, polutan telah

menyebar di seluruh kedalaman dan lebar aliran

_à

polutan

Konveksi dan Difusi Longitudinal

difusi transversal telah dicapai

v = w = 0 difusi vertikal

telah dicapai

∂

c

karena polutan telah menyebar di seluruh tampang lintang aliran, maka

Konveksi dan Difusi Longitudinal

koefisien dispersi

§

 

Pada aliran permanen dan seragam,

K

_x

konstan

•  difusi vertikal di seluruh kedalaman aliran dicapai •  difusi transversal di seluruh lebar aliran dicapai

Dispersi Longitudinal

Berlaku setelah _L

y = ξy U

B2

ε_ty

atau setelah t

y = ξy

à saluran tampang segi-empat

à sungai

Dispersi Longitudinal

56

§

 

Jika polutan

M

₀

dimasukkan secara merata di tampang dan secara tiba-tiba,

maka penyelesaian analitis persamaan dispersi longitudinal tersebut adalah:

luas tampang aliran C x

( )

_,t ₌ M1

Dispersi Longitudinal

57

§

 

Jika polutan

M

₀

dimasukkan secara merata di tampang dan selama waktu

T

•  dapat dibaca sebagai satu seri polutan yang dimasukkan secara berurutan, masing-masing dalam waktu Δτ yang sangat kecil

Dispersi Longitudinal

58

§

 

Jika polutan

M

₀

dimasukkan secara merata di tampang dan menerus (kontinu)

secara konstan

C x

( )

_,t ₌ C0

•  Pada kondisi transpor permanen (steady state condition), t _{! ∞}