8teknikpegnintegralan stt

9. TEKNIK

MA1114 KALKULUS I 2

9.1 Integral Parsial

Formula Integral Parsial

:

Cara : pilih

u

yang turunannya lebih sederhana

Contoh :

Hitung

misal

u

=

x

, maka

du=dx

sehingga

u dv



uv





v du





x

e

x

dx

dx

e

dv



x









v

e

x

dx

e

x

C

e

e

x

dx

e

e

x

dx

e

x

x



x





x



x



x



Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali

Contoh

Hitung



x

sin

x

dx

2

Jawab

2

x

u



(i) Misal du = 2xdx dv = sinxdx V=-cosx









x

2

cos

x

2

x

cos

xdx

Integral parsial

(ii)Misal w = x dw = dx

dr = cosx dx r = sinx











x

2

cos

x

2

(

x

sin

x

sin

x

dx

)

C

x

x

x

x

x









MA1114 KALKULUS I 4

Ada kemungkinan integran (f(x)) muncul lagi diruas kanan

Contoh Hitung



e

x

cos

xdx

Jawab :



e

x

cos

xdx

x

e

w





e

x

cos

xdx

2

(i) Misal

u



e

x

du



e

x

dx

dv=cosxdx v=sinx







e

x

sin

x

e

x

sin

xdx

Integral parsial

(ii) Misal

dw



e

x

dx

dr = sinxdx r=-cosx

*

)

cos

cos

(

sin

x

e

x

e

xdx

C

e

x





x



x







*

cos

cos

sin

x

e

x

e

xdx

C

e

x x x











Integral yang dicari ,bawa keruas kiri

*

cos

sin

x

e

x

C

e

x



x





Soal latihan

Hitung



e

dx

x

1

ln



x

ln

xdx



ln(

1



x

2

)

dx



sin

1

xdx



tan

 1

xdx



x

tan

 1

xdx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

cos

x

xdx



7.

2 x

x e dx



8.

sin

x

e

xdx



9.

2

ln

x

xdx



MA1114 KALKULUS I 6

9.2 Integral Fungsi Trigonometri

Bentuk :

* Untuk n ganjil, Tuliskan :

dan gunakan identitas

* Untuk n genap, Tuliskan :

dan gunakan identitas

cos

n

x dx

& sin



n

x dx



dan

sin

sin

sin

n

x

x

n1

x



cos

n

x



cos

x

cos

n1

x

sin2 x  cos2 x 1

x

x

x

x

x

x

n n n

n

sin

2

sin

2

dan

cos

cos

2

cos

2

sin

 







sin

3

x

dx





sin

2

x

sin

x

dx







1 cos2 x



d



cosx







cos

x



1₃

cos

3

x



C

Contoh Hitung



sin

3

x

dx

1.

Jawab



sin

4

x

dx

2.

1.

2.



sin4 xdx 



sin2 x sin2 x dx 



 x  x)dx

2 2 cos 1

( ) 2

2 cos 1

(



 

 (1 2cos2x cos 2x)dx

4

1 ₂







  

 )

2 4 cos 1

2 cos 2

( 4 1

dx x dx

x dx

C x x

x

x    

 sin4

32 1 8

1 2

sin 4 1 4

1

C x x

x   

 sin4 32

1 2

sin 4 1 8

MA1114 KALKULUS I 8

Tentukan

2

cos

x dx



3

cos

x dx



4

cos

x dx

 Bentuk

a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan gunakan identitas

b). Untuk m dan n genap, tuliskan

menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas

Contoh :



sin

3

x

cos

2

x

dx





sin

2

x

cos

2

x

sin

x

dx

sin

m

x

cos

n

x dx



sin

2

x



cos

2

x



1

cos

2

x



2

cos

2

x



1 1 2

 

sin

2

x



1





5

1

3

5

3

cos

x

cos

x C

x

x

n

m

dan

cos

sin

















1

cos

2

x

cos

2

x

d

cos

x















MA1114 KALKULUS I 10

sin2 cos2 1 cos 2 cos 2

1 2 2

x x dx 



 x  x dx



2

1

(1 cos 2 ) 4 x dx





 1 ( 1 1 cos 4 )

4 2

x dx

 





3 1

cos 4 4 dx 8 x dx









3 1

sin 4

4 x 32 x C

1

sec

tan

2

x



2

x



,

cot

2

x



csc

2

x



1



tan

m

x

sec

n

x

dx

dan



cot

m

x

csc

n

x

dx

.

Bentuk

Gunakan identitas

serta turunan tangen dan kotangen

dx

x

x

d

(tan

)



sec

2

,

d

(cot

x

)





csc

2

x

dx

Contoh



tan

4

xdx





tan

2

x

tan

2

x

dx







tan

2

x

(sec

2

x

1

)

dx









tan

2

x

sec

2

xdx

tan

2

xdx











tan

2

xd

(tan

x

)

(sec

2

x

1

)

dx

C

x

x

x







MA1114 KALKULUS I 12

C

x

x







5

tan

3

3

1

tan

5

1



tan

2

x

sec

4

x

dx





tan

2

x

sec

2

x

sec

2

x

dx

b.







tan

2

x

(

1

tan

2

x

)

d

(tan

x

)



tan

2

x

tan

4

x d





tan

x



Soal Latihan



sec

4

x

dx



cot

2

w

csc

4

w

dw



4 /

0

2 4

sec

tan



dt

t

t

Hitung

dx

x

x



sin

4

cos

5

dx

x



csc

3

1.

2.

3.

4.

MA1114 KALKULUS I 14

9.3 Substitusi Trigonometri

2 2

x

a



x



a

sin

t

dx x

x



2 2

25

t

x



5

sin

dx

x

x





2 2

25

a. Integran memuat bentuk ,misal

Contoh Hitung

Misal

dx = 5 cost dt







t

dt

t

t

2 2

sin

25

cos

5

sin

25

25

tdt

t

t

cos

sin

5

)

sin

1

(

25

2 2











dt





t

dt

t

t

₂

2 2

cot

sin

cos

c

t

t

dt

t















(csc

2

1

)

cot

t

x 5

2

25 x

C

x

x

x













)

2 2

x

a 

x



a

tan

t

dx x

x



2 _25 2

1

t

x



5

tan

dx

x

x



2

25



2

1

b. Integran memuat bentuk ,misal

Contoh Hitung

Misal







t

t

dt

t

2 2

2

tan

25

25

tan

25

sec

5





t

t

dt

t

sec

tan

sec

25

1

2 2









t

t

d

dt

t

t

2

2

sin

))

(sin(

25

1

sin

cos

25

1

C

t







sin

25

1

t

x

2

25x

C

x

x









25

25

2

dt

t

dx



5

sec

2

MA1114 KALKULUS I 16

2 2

a

x 

x



a

sec

t

dx x

x



2 12 _{ 25}

t

x



5

sec

dx

x

x



2

1

2



25

c. Integran memuat bentuk ,misal

Contoh Hitung

Misal







25

sec

25

sec

25

tan

sec

5

2

2

t

t

dt

t

t





t

t

dt

t

t

tan

sec

tan

sec

25

1

2





dt





t

dt

t

t

cos

25

1

sec

sec

25

1

2

C

t





sin

25

1

t x

5

25

2 _

x

C

x

x







25

25

2

dt

t

t

dx



5

sec

tan

Soal Latihan

Hitung

dx x x



 2 2

9

2 3

4 2

x x

dx

 





 2

2 _{4 x}

x

dx

dx

x x2  9







16

2 2

x

x

dx





dx x2  9 3 2



/

3

2 5

2

x dx x  x 



5 4  2



x x dx

2

1

2

2

2

x

x

x

dx









1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

MA1114 KALKULUS I 18

Substitusi Bentuk Akar

x u 

ax

b

n



u



n

ax



b

dx

x

2 2

















du

u

u

u

udu

1

2

2

2







x



ln 1



x



C

Integran memuat ,misal

Contoh Hitung

Misal

u

2



x

Dengan diferensialnya:

2udu=dx

Jawab :

dx

x

2 2





du

u

u











1

1

1

_du

u 1) 1 1

(



 _



C

u

u







Soal Latihan

x x



dx



3

4

x x

x dx

2 ₂

1

 



t

t



dt



1



_ dt t

t

4 3



x

x



1

dx



x

(

1



x

)

2/3

dx

Hitung

1.

2.

3.

4.

5.

MA1114 KALKULUS I 20

9.4 Integral Fungsi Rasional

 Integran berbentuk fungsi rasional : , P(x) dan Q(x)

polinom, der (P)< der(Q)

 Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :

1. Faktor linear tidak berulang. 2. Faktor linear berulang.

3. Faktor kuadratik tidak berulang. 4. Faktor kuadratik berulang.

 Kasus 1 ( linier tidak berulang )

Misal

maka,

dengan konstanta yang dicari.

 

 

 

f x

P x

Q x



 







 



Q x



a x

₁



b

₁

a x

₂



b

₂

...

a x

_n



b

_n

 

 

P x Q x

A

a x b

A

a x b

A

a x b

n n n



     

1 1 1

2

2 2 ...

A A

1 2

,

, ... ,

A

n







dx

x

x

9

1

2



 



(

3

)(

3

)

)

3

(

)

3

(

3

3

9

1

2

























x

x

x

B

x

A

x

B

x

A

x

x



3

 

3



1    

 x A x B x 



AB



x 



 3A3B

















 _

 

 

dx x

dx x

dx x

x

3 3 2 3

3 1 9

1

2

Contoh Hitung

Jawab

Faktorkan penyebut :

x

2



9



(

x



3

)(

x



3

)

Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan A +B =1

-3A+3B=1 x3

x1 3A +3B=3_{-3A+3B=1 +}

6B=4 B=2/3,A=1/3 Sehingga

C

x

x











ln

|

3

|

3

2

|

3

|

MA1114 KALKULUS I 22



 



1

2 2 1

x  x dx 

 





Q x



a x

i



b

i

p

 

  

 











p

i i

p p

i i

p i

i i

i

a

x

b

A

b

x

a

A

b

x

a

A

b

x

a

A

x

Q

x

P



















1 2 ₂

...

1 _1

p

p

A

A

A

A

₁

,

₂

,

...

,

_1

,



2

 

1

 

2

 

2





1



1

2

2  _

 

  

 x

C x

B x

A x

x

Kasus 2 Linear berulang

Misal

Maka

dengan konstanta akan dicari

Contoh Hitung



 





2

 

1



) 2 ( ) 1 ( ) 1 )( 2 ( 1 2 1 2 2 2          

 x x

x C x B x x A x x 2

)

2

(

)

1

(

)

1

)(

2

(

1



A

x



x





B

x





C

x



)

2

4

(

)

4

(

)

(

1



A



C

x

2



A



B



C

x



C



A



B

Penyebut ruas kiri = penyebut ruas kanan A+C=0 A+B+4C=0 -2A-B+4C=1 A+B+4C=0 -2A-B+4C=1 + -A+8C=1 A+C=0 -A+8C=1 ₊ 9C=1 C=1/9 A=-1/9 B=-1/3



x

 

x



dx





x



dx





x



dx





x



dx





















1

1

9

1

2

1

3

1

2

1

9

1

1

2

1

2 2

C

x

x

x

















ln

|

1

|

MA1114 KALKULUS I 24

 



 

 



Q x  a x₁ 2  b x₁  c₁ a x₂ 2  b x₂  c₂ ... a x_n 2  b x_n  c_n

 

 

P x

Q x

A x

B

a x

b x

c

A x

B

a x

b x

c

A x

B

a x

b x

c

n n

n n n



























1 1

1 2 1 1

2 2

2 2 2 2 2

...

n

n

B

B

B

A

A

A

₁

,

₂

,

...

,

,

dan

₁

,

₂

,

...

,

Kasus 3 Kuadratik tak berulang

Misal

Faktor kuadrat, berarti definit, maka

Contoh Hitung







1 2 x x dx



1





1



1

2 2











x

C

x

B

x

A

x

x







₁



) ( 1 2 2      x x x c Bx x A Jawab



x



Bx

c

x

A

1

(

)

1



2







1



(

A



B

)

x

2



cx



A

A+B=0 C=0 A=1

B=-1







x



dx

x dx

x dx

x

x







  _  1 1 1 1 2 2









 _   x x d x x dx x x 2 ) 1 ( 1 1 2 2 2



_  1 ) 1 ( 2 1 2 2 x x d

C

x

x









ln(

1

)

2

1

|

|

MA1114 KALKULUS I 26

 





Q x  a x_i 2  b x_i  c_i p

 

 



 











p

i i i p p p i i i p p i i i i i

i

a

x

b

x

c

B

x

A

c

x

b

x

a

B

x

A

c

x

b

x

a

B

x

A

c

x

b

x

a

B

x

A

x

Q

x

P



































  _ 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1

...

p p p

p A danB B B B

A A

A₁, ₂,..., _1, ₁, ₂,..., _1,

Kasus 4 Kuadratik berulang

Misal

Maka

Contoh Hitung









6 15 22 3 2 2 2 2 x x x x dx     







2



2







2

 

2



2 2

2

2

3

2

3

22

15

6

























x

E

Dx

x

C

x

B

x

A

x

x

x

x



















2



2 2 2 2

2

3

)

3

)(

(

3

2

)

(

2























x

x

x

E

Dx

x

x

C

x

B

x

A

Jawab :



2



(

)



2





3



(

)(

3

)

22

15

6

x

2



x





A

x

2



2



B

x



C

x

2



x





Dx



E

x

























4 3 2

2

15

22

(

)

(

3

)

(

4

2

3

)

6

x

x

A

B

x

B

C

x

A

B

C

D

x

)

3

6

4

(

)

3

2

6

MA1114 KALKULUS I 28

Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh

A+B=0 3B+C=0

4A+2B+3C+D=1 6B+2C+3D+E=-15 4A+6C+3E=22

Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3 D=-5, E=0



















































dx

x

x

dx

x

x

dx

x

dx

x

x

x

x

2 2 2 2 2 2

2

5

2

3

3

1

2

3

22

15

6

























dx

x

x

x

dx

dx

x

x

x

dx

2 2 2

2

(

2

)

2

2

5

2

3

2

2

2

1

3

.

)

2

(

2

5

2

tan

2

3

)

2

ln(

2

1

|

3

|

ln

2 1 ₂

C

Catatan

jika , bagi terlebih

dahulu P(x) dengan Q(x), sehingga

der

(

P

(

x

))



der

(

Q

(

x

))

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

Q

x

S

x

H

x

Q

x

P





,

der

(

S

(

x

))



der

(

Q

(

x

))

Contoh Hitung

dx

x

x

x

x





2

2





4



4

2 3

Der(P(x))=3>der(Q(x))=2

Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x)

4

2

2

3







x

x

x

4

2



x

x

x

x

3



4

4

5

2

x

2



x



+2

8

2

x

2



4

4

5

2

4

4

2

2 2

2 3



















x

x

x

x

x

x

MA1114 KALKULUS I 30

)

2

(

)

2

(

)

2

)(

2

(

4

5

4

4

5

2





















x

B

x

A

x

x

x

x

x

) 2 )( 2 ( ) 2 ( ) 2 (       x x x B x A

)

2

(

)

2

(

4

5

x





A

x





B

x



………..(*)

Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untuk Untuk x=2 dan x=-2

Untuk x = 2 5.2+4=A(2+2) A=7/2

Untuk x = -2 5.(-2)+4=B(-2-2) B=3/2





























dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

x

x

x

2

1

2

3

2

1

2

7

)

2

(

4

4

2

2 2 3

Dengan menggunakan hasil diatas :

C

x

x

x

x















ln

|

2

|

Soal Latihan

2

2 1 6 16

x

dx

x x



 



dx x

x



_{( 5)}12_{(  1)}









dx

x

x

x

x

2 3

2

2

2

3

5



x

(

x

2



1

)

2

dx









2 3 36

2 1 9

2

2

x x

x x dx

 

 



dx

x

x

x

x









5

2

2 3

2

4

3

2









dx

x

x

x

x

6

5

2

2 3

1.

2.

3.

5.

6.

4.

MA1114 KALKULUS I 32 Integral Fungsi Rasional dalam sin dan cos

?

)

sin

,

(cos





f

x

x

dx

, f fungsi rasional

Cara :

Gunakan subsitusi x



t

2

tan

2

1

)

(

sec

2 ₂x

dx

dt



dx _x dt

) ( tan 1

2

2 2



 dt

t

dx ₂

1 2

 

2 2 2

1 2 1 2

1 2

1

cos

cos

sin

2

cos

sin

2

sin

x

x

x

x

x

x





2 2

2 2 2

2 2

1

2

tan

1

tan

2

sec

tan

2

t

t

x x x

x











1

sec

2

1

cos

2

cos

2 2 2 1 2









x

x

x

1 1 2 1 tan 1 2 2 2

2   _    t x 2 2

1

1

t

t







Contoh Hitung



1



sin

dx

x



cos

x

Jawab

t

t

t

t

t

t

t

t

x

x

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

cos

sin

1

1

2 2 2 2 2 2





























Gunakan substitusi diatas diperoleh

)

1

(

2

1

2

t

t









_1sindx_{x cosx}







_     dt t dt t t t 1 1 1 2 ) 1 ( 2 1 2 2

C

C

t







x





MA1114 KALKULUS I 34 Soal Latihan

Hitung



_{1 sin}dx_xcosx



_35dx_{sin x}



_ dx x x

cos 1

cos



_{sin x}dx_{ tan x}



_1cot_sinx _x

1.

2.

3.

4.