persamaan diferensial

(1)

Dosen Pembimbing: Huri Suhendri, M.Pd

MODUL

PERSAMAAN DIFERENSIAL 1

OLEH:

Maya Umami (200913500674)

PRODI: PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEMESTER: 6 (ENAM) – S6C

(2)

-

A -

Assalamuallaikum Wr. Wb

Alhamdulillah modul pada mata kuliah “Persamaan Diferensial 1” ini akhirnya dapat terselesaikan. Modul ini merupakan tugas akhir atau untuk memenuhi persyaratan (nilai) pada mata kuliah tersebut. Setelah menjelajahi berbagai literature dan mencoba untuk menemukan intisari dari materi yang sesuai dengan silabus perkuliahan ini, saya selaku penulis telah berusaha semaksimal mungkin untuk menemukan intisari yang mudah untuk dipahami dengan diaadakanya berbagai contoh soal dan latihan-latihan sesuai dengan silabus perkuliahan.

Syukur ke hadirat Allah SWT penulis panjatkan atas kemudahan yang diberikan-Nya selama penulisan modul. Tak lupa juga, penulis mengucapkan terima kasih kepada Dosen Pembimbing kami Bapak Hri Suhendri, M.Pd yang telah memberikan tugas modul ini yang insyaallah bermanfaat bagi banyak orang terutama bagi penulis.

Modul ini terdiri dari 10 BAB diantaranya: 1. Pendahuluan Persamaan Diferensial; 2. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah; 3. Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Variabel Terpisah; 4. Persamaan Diferensial Homogen; 5. Persamaan Diferensial Tak Homogen; 6. Persamaan Diferensial Eksak; 7. Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Eksak; 8. Persamaan Diferensial Linier Orde 1; 9. Persamaan Diferensial Bernoulli; 10. Masalah Nilai Awal (Solusi Khusus). Masing-masing bab dilengkapi oleh materi yang mana tiap materi diberikan contoh soal dan pembahasan ditambah latihan soal pada bagian akhir modul ini.

Demikian yang dapat penulis sampaikan. Penulis berharap adanya kritik dan saran yang membangun guna terciptanya modul yang lebih mendekati kesempurnaan. Semoga modul ini dapat bermanfaat dan dapat dijadikan modul pegangan pada mata kuliah persamaan diferensial 1. Amiin….

Wassalamuallaikum Wr. Wb

(3)

-

B -

KATA PENGANTAR ………. A

DAFTAR ISI ……… B

BAB 1 PENDAHULUAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ……… 1

1.1. Definisi Persamaan Diferensial ………. 1

1.2. Bentuk Umum Persamaan Diferensial ……….. 1

1.3. Orde (Tingkat) dan Degree (Derajat)………. 1

1.4. Mencari Solusi Persamaan Diferensial ……….. 2

1.5. Contoh Soal dan Pembahasan ……… 2

BAB 2 PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL TERPISAH ……… 4

2.1. Persamaan Diferensial Variable Terpisah ……….. 4

BAB 3 REDUKSI KE BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL TERPISAH ……….. 6 3.1. Materi Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Variabel Terpisah ………. 6 3.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……… 6

BAB 4 PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN ……….. 8

4.1. Langkah-langkah Menentujan Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen ………. 8 4.2. Contoh Soal dan Pembahasan ……… 8

(4)

-

B -

BAB 5 PERSAMAAN DIFERENSIAL TAK HOMOGEN ……… 10

5.1. Persamaan Diferensial dengan M (x,y) dan N (x,y) ……….. 10

BAB 6 PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK ………. 14

6.1. Sifat-Sifat Dasar ………. 14

6.2. Metode Solusi ……… 14

BAB 7 REDUKSI KE BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK (FAKTOR INTEGRASI) ……… 18 7.1. Macam-macam faktor integrasi ………. 18

BAB 8 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU……….. 21

BAB 9 PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI ……… 23

BAB 10 MASALAH NILAI AWAL (SOLUSI KHUSUS) ………. 26

10.1. Pengertian ……….. 26

LATIHAN SOAL ………. 27

LAMPIRAN ………. C

(5)

Page | 1

1.1. Definisi Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu sehausnya disebut “persamaan turunan”, namun istilah “persamaan diferensial” (aequatio differentialis) yang diperkenalkan Leibniz dalam tahun 1676 sudah umum digunakan (Finizio Ladas:2:1988)

Sebagai contoh:

y’ + xy = 3 ………(1) y” – 5y’ + 6y = cos x ………(2)

y” = (1+y’2 ) (x2+y2) ………(3) 𝜕2𝑢 𝜕 𝑡2 - 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 = 0 ………(4)

Pada persamaan (1) sampai (3) menyatakan turunan pertama dan kedua dari fungsi y(x) terhadap x yang disebut persamaan diferensial biasa.

Dalam persamaan (4) memuat turunan-turunan parsial yang disebut persamaan diferensial parsial.

1.2. Bentuk Umum Persamaan Diferensial

Adapun bentuk umum persamaan diferensial yaitu:

𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 . 𝑑𝑦 = 0

1.3. Orde (Tingkat) dan Degree (Derajat)

Orde (tingkat) adalah turunan tertinggi dalam persamaan diferensial. Degree (derajat) adalah derajat dari orde tertinggi

Contoh:

BAB

1

(6)

Page | 2 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 2

-

𝑑 2_𝑦 𝑑𝑥2 3

+ 2xy = 6

Pada persamaan diatas memiliki orde 3 dan derajat 2.

1.4. Mencari Solusi Persamaan Diferensial

Langkah-langkah:

 Hitunglah banyaknya konstanta sembarang yang ada di dalam persamaan garus lengkung (kurva) yang akan dicari persamaan diferensialnya.

 Hilangkan semua konstanta sembarang ada n maka untuk mengeliminasi semua konstanta sembarang itu. Jika banyaknya konstanta sembarang ada n, maka untuk mengeliminasi semua konstanta sembarang yang ada dubutuhkan n + 1 persamaan. Untuk mendapatkan n + 1 persamaan, persamaan garis lengkung (kurva) semula didiferensialkan sampai turunan ke n.

 Banyaknya konstanta sembarang menunjukan orde tertinggi dari turunan dalam persamaan diferensial yang dicari.

1.5. Contoh Soal dan Pembahasan

1) Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung: a. y = A sin 2x + B cos 2x ; A dan B adalah konstanta sembarang b. y = x3 +A x2 + B x + C ; A, B, dan C adalah konstanta sembarang

Pembahasan:

a. Karena ada 2 (dua) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 3 persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 2.

Persamaan 1 : y = A sin 2x + B cos 2x , turunan terhadap x Persamaan 2 : 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 2A cos 2x – 2B sin 2x, turunan terhadap x

Persamaan 3 : 𝑑

2_𝑦

𝑑𝑥2 = - 4A sin 2x – 4B cos 2x

Masukan persamaan (1) ke (3) didapatkan bahwa :

𝑑2_𝑦

𝑑𝑥2 = - 4A sin 2x – 4B cos 2x

𝑑2_𝑦

𝑑𝑥2 = - 4(A sin 2x + B cos 2x)  y = A sin 2x + B cos 2x

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = - 4y

Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah 𝒅

𝟐_𝒚

(7)

Page | 3

b. Karena ada 3 (tiga) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 4 persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 3.

Persamaan 1 : y = x3 +A x2 + B x + C , turunan terhadap x Persamaan 2 : 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 3x

2

+ 2Ax + B , turunan terhadap x Persamaan 3 : 𝑑 2_𝑦 𝑑𝑥2 = 6x + 2A , turunan terhadap x Persamaan 4 : 𝑑 3_𝑦 𝑑𝑥3 = 6

Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah 𝑑

3_𝑦

𝑑𝑥3 = 6

2) Carilah persamaan diferensial dari berkas kardiola r = a (1-cos 𝜃), a = konstanta sembarang.

Pembahasan :

Karena ada 1 (satu) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 1.

Persamaan 1 : r = a (1-cos 𝜃) , turunan terhadap x Persamaan 2 : 𝑑𝑟

𝑑𝜃 = a sin 𝜃

Dari persamaan (1) didapat a = 𝑟

1−cos 𝜃

Eliminir a dalam persamaan (2), di dapatkan

𝑑𝑟 𝑑𝜃 =

𝑟

1−cos 𝜃 sin 𝜃

(8)

Page | 4

2.1. Persamaan Diferensial Variable Terpisah

Suatu persamaan diferensial variable terpisah ditandai oleh fakta bahwa dua peubah dari persamaan itu bersama-sama masing-masing didiferensianya, dapat ditempatkan di ruas yang berlawanan.

Dengan manipulasi aljabar, memunkinkan kita menuliskan persamaan diferensial terpisah dalam bentuk implisit :

y’ = 𝑃(𝑥)

𝑄 (𝑥) , atau

dalam bentuk eksplisit :

𝑑𝑦 𝑑𝑥 =

𝑃(𝑥) 𝑄 (𝑥)

Untuk memperoleh penyelesaian umum suatu persamaan diferensial terpisah, pertama-tama kita pisahkan kedua peubah dan kemudian integralkan kedua ruas.

Awal  Q (y) dy = P (x) dx

Integral  P (x) dx = Q (y) dy + C dimana C = Konstanta sembarang Note: bisa dilakukan hanya pada variable yang sama. Contoh :

Hanya mengandung variable y  𝑦+1 𝑦2₊₄ dy = -x dx  Hanya mengandung variable x

Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini:

1) y2 dy = (x + 3x2) dx , bilamana x = 0 dan y = 6  bentuk eksplisit 2) xyy’ + x2 + 1 = 0  bentuk implisit

BAB

2

(9)

Page | 5 Pembahasan:

1) y2 dy = (x + 3x2) dx , syarat harus mengandung variable yang sama pada tiap ruas.

 Integralkan kedua ruas

y2 dy = (x + 3x2) dx 𝑦3 3 +C1 = 𝑥2 2 + x 3_{+ C} 2 y3 = 3𝑥 2 2 + 3x 3_{+ (3C2 – 3C1)} = 3𝑥 2 2 + 3x 3_{+ C} _{; C = 3C2 – 3C1} y = 3𝑥2 2 + 3x 3_{+ C} 3

 Maka, solusi umumnya adalah: = 3𝑥2

2 + 3x

3_{+ C}

3

 Menghitung konstanta C, kita menggunakan persyaratannya bilamana x = 0 dan y = 6, maka akan menghasilkan:

6 = 3 𝐶

C = 216

 Solusi khususnya adalah: y = 3𝑥

2

2 + 3x

3_{+ 216}

3

2) xyy’ + x2 + 1 = 0

 Ubah ke dalam eksplisit xy 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + x

2

+ 1 = 0

 Bagi tiap-tiap ruas y dy = − x2 + 1

𝑥 dx

 Integralkan masing-masing ruas

y dy = − x2 + 1_𝑥 dx 𝑦2 2 + C = − 𝑋 + 1 𝑥 dx 𝑦2 2 + C = − x2 2 + 𝐿𝑛 |𝑥| + C 𝑦2 = −x2− 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐 y = − x2_{− 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐}

 Maka, solusi umumnya adalah: y = − x2_{− 2 𝐿𝑛 𝑥 + 𝑐}

(10)

Page | 6

3.1. Materi Reduksi ke Bentuk Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

Tidak semua persamaan diferensial mudah untuk didapatkan solusinya. Pada saat persamaan diferensial memiliki bentuk:

f1 (x) g1 (y) dx ± f2 (x) g2 (y) dy

Maka dibutuhkan reduksi dengan menggunakan faktor integrasi 1

g1 y F2 (x) , yang

kemudian akan menjadi:

f1 (x) f2 (x) dx ± g1 (y) g2 (y) dy = 0 f1 (x) f2 (x) dx = ± g1 (y) g2 (y) dy

Pengitegralan masing-masing ruas:

f1 (x) _{f2 (x)} dx = ± g1 (y)

g2 (y) dy

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut: 1) (x3y + yx2) dx + (y3x2 + 2x2y) dy = 0 2) (x2-1) dx – (2x+xy) dy = 0 Pembahasan 1) (x3y + yx2) dx + (y3x2 + 2x2y) dy = 0 y (x3 + x2) dx + x2 (x2 + 2y) dy = 0 faktor integrasi : 1 yx2

BAB

3

(11)

Page | 7 1 yx2[y (x 3 + x2) dx + x2 (x2 + 2y) dy] = 0 (x3 + x2) dx + (x2 + 2y) dy = 0

Karena sudah memiliki variable yang sama, langkah selanjutnya adalah integralkan.

(x3 + x2) dx + (x2 + 2y) dy = 0 𝑥4 4 + 𝑥3 3 + 𝑦4 4 + 𝑦 2_{+ C = 0} x 12 3x4 + 4x3 + 3y4 + 12 y2 = C

Maka, Solusi umumnya adalah 3x4 + 4x3 + 3y4 + 12 y2 = C

2) (x2-1) dx – (2x+xy) dy = 0 (x2-1) dx – x (2+y) dy = 0 faktor integrasi : 1 𝑥 1 𝑥 [(x 2 -1) dx – x (2+y) dy] = 0 x2−1 𝑥 dx – (2+y) dy = 0 x 2₋₁ 𝑥 dx – (2+y) dy = 0 𝑥2 2 -Ln |x| - 2y - 𝑦2 2 = 0 x 2 𝑥2 - 2 Ln |x| - 4y - 𝑦2 = 0 𝑥2- 𝑦2 - 2 Ln |x| - 4y = 0

(12)

Page | 8 f (x,y) dikatakan homogen berderjat n jika:

f (𝛼x,𝛼y) = 𝛼n

f (x,y) M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Syarat persamaan diferensial diatas dikatakan homogeny jika M (x,y) dan N (x,y) adalah homogeny dan berderajat sama.

4.1. Langkah-langkah Menentujan Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen

 Gunakan tranformasi:

y = u x  dy = x du + u dx, atau x = u y  dy = y dy + u du

 Persamaan diferensial homogeny tereduksi ke Persamaan Diferensial terpisah

 Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk mendapatkan solusi umum persamaan diferensial.

 Gantilah u = 𝑦

𝑥 jika menggunakan transformasi y = u x, dan u = 𝑥

𝑦 jika menggunakan

transformasi x = u y untuk mendapatkan kembali variable semula.

Buktikan bahwa persamaan tersebut adalah persamaan homogen! 1) y’ = 𝑥 3_{+ 𝑦}3 𝑥𝑦2 2) (2x2y + y3) dx + (xy2 – 2x3) dy = 0 Pembahasan: 1) y’ = 𝑥 3_{+ 𝑦}3 𝑥𝑦2  𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥3+ 𝑦3 𝑥𝑦2 xy2 dy – (x3+y3) dx = 0

BAB

4

(13)

Page | 9  fungsi M (x,y) dx M (x,y) dx = -x3-y3  = - 𝛼3_𝑥3_-_𝛼3_𝑦3 = 𝛼3_(−𝑥3_−𝑦3₎ M (𝛼x,𝛼y) = 𝛼3[M (x,y)]  fungsi N (x,y) dy N (x,y) dy = xy2  = 𝛼𝑥𝛼3𝑦3 = 𝛼3 (x𝑦2) N (𝛼x,𝛼y) = 𝛼3[N (x,y)]

 didapatkan 𝛼3, maka TERBUKTI persamaan diferensial diatas merupakan persamaan diferensial homogeny berderajat 3.

2) (2x2y + y3) dx + (xy2 – 2x3) dy = 0  fungsi M (x,y) dx M (x,y) dx = 2x2y + y3  = 2𝛼2x2 𝛼 y + 𝛼3y3 = 𝛼3 (2x2y + y3) M (𝛼x,𝛼y) = 𝛼3_[_{M (x,y)}_]  fungsi N (x,y) dy N (x,y) dy = xy2 – 2x3  = 𝛼 x𝛼2_y2 – 2𝛼3_x3 = 𝛼3 (xy2 – 2x3) N (𝛼x,𝛼y) = 𝛼3[N (x,y)]

 didapatkan 𝛼3, maka TERBUKTI persamaan diferensial diatas merupakan persamaan diferensial homogeny berderajat 3.

(14)

Page | 10

5.1. Persamaan Diferensial dengan M (x,y) dan N (x,y)

Persamaan ini merupakan persamaan linier tetapi tidak homogen. Pandang bentuk persamaan diferensial dibawah ini:

( ax + by + c ) dx + ( px + qy + r ) dy = 0 Dimana a,b,c,p,q,r merupakan suatu konstanta. Ada 3 (tiga) kemungkinan yang dapat terjadi:

1) 𝑎 𝑝 = 𝑏 𝑞 = 𝑐 𝑟 = 𝛼 Langkah-langkah penyelesaian: Karena 𝑎 𝑝 = 𝑏 𝑞 = 𝑐

𝑟 = 𝛼 , maka menggunakan transformasi px + qy + r = u, yang berarti

bahwa ax + by + c = 𝛼u

Bentuk persamaan tereduksi menjadi persamaan dengan variable terpisah dan kemudian selesaikanlah. 2) 𝑎 𝑝 = 𝑏 𝑞 ≠ 𝑐 𝑟 Langkah-langkah penyelesaian:

Gunakan transformasi px + qy = u, dan dari sini berarti dy = 𝑑𝑢 −𝑞 𝑑𝑦

𝑞 , atau dx=𝑑𝑢 −𝑞 𝑑𝑦 𝑝 Misalkan 𝑎 𝑝 = 𝑏 𝑞 = 𝛽, maka ax + by = 𝛽 u

Persamaan tereduksi menjadi persamaan variable terpisah. (𝛽 x + C) dx + (u + r) 𝑑𝑢 −𝑝 𝑑𝑥

𝑞 = 0, atau (𝛽 x + C)

𝑑𝑢 −𝑝 𝑑𝑥

𝑞 + (u + r) 𝑑𝑦 = 0

Selesaikan persamaan variable terpisah ini dan kemudian gantilah x = px + qy untuk mendapatkan solusi umumnya.

BAB

5

(15)

Page | 11 3) 𝑎 𝑝 ≠ 𝑏 𝑞 Langkah-langkah penyelesaian:  Gunakan Transformasi ax + by + c = u  a dx + b dy = du px + qy + r = v  p dx + q dy = dv

dari dua persamaan diatas diperoleh bahwa: dx = 𝑞 𝑑𝑢 −𝑏 𝑑𝑣

𝑎𝑞 −𝑏𝑝 , dan dy =

𝑎 𝑑𝑢 −𝑝 𝑑𝑣 𝑎𝑞 −𝑏𝑝

selesaikan persamaan diferensial diatas dan kemudian gantilah kembali u dan v dengan tranformasi semula untuk mendapatkan solusi umum persamaan diferensial semula.

Tentukan solusi umum persamaan diferensial dibawah ini! 1) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0 2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1−2𝑦−4𝑥 1+𝑦+2𝑥 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 6𝑥−2𝑦−7 2𝑥+3𝑦−6 Pembahasan: 1) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0 a b c q p r 𝑎 𝑝 = 2 −4 = - 1 2 ; 𝑏 𝑞 = −5 10 = - 1 2 ; 𝑐 𝑟 = 2 −4 = - 1 2 Maka, 𝑎 𝑝 = 𝑏 𝑞 = 𝑐 𝑟 = 𝛼 = - 1 2 Penyelesaian:  px + qy + r = u ax + by + c = 𝛼 u = - 1 2 u  (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0 - 1 2 u dx + u dy = 0 x u - 1 2 dx + dy = 0

(16)

Page | 12

- 1

2 dx + dy = 0

- 1

2 x + y = C

Maka Solusi umumnya adalah - 1

2 x + y = C 2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1−2𝑦−4𝑥 1+𝑦+2𝑥 (1 − 2𝑦 − 4𝑥) dx = (1 + 𝑦 + 2𝑥) dy = 0 c b a r q p 𝑎 𝑝 = −4 −2 = 2 ; 𝑏 𝑞 = −2 −1 = 2 ; 𝑐 𝑟 = −7 6 Maka, 𝑎 𝑝 ≠ 𝑏 𝑞 𝑐 𝑟 = 𝛽 = 2 Penyelesaian:  px + qy = u  -2x+(-y) = u -2x – y = u ax + by = 𝛽 u -4x – 2y = 2u  Pengganti dx atau dy -2x –y = u  x = 𝑢 +𝑦 −2 dx = 𝑑𝑢 +𝑑𝑦 −2 -2x –y = u y = - (u + 2x) dy = - du – 2dx  Solusi umum (1 − 2𝑦 − 4𝑥) dx = (1 + 𝑦 + 2𝑥) dy = 0 (1 – 2u) 𝑑𝑢 +𝑑𝑦 −2 - (1 – u) dy = 0 x 2 (1 – 2u) (𝑑𝑢 + 𝑑𝑦) - 2 (1 – u) dy = 0

du + dy + 2udu + 2udy – 2dy + 2udy = 0 du – dy + 2 udu + 4udy = 0

(1 + 2u) du + (4u – 1) dy = 0

: (4u – 1)

1+2𝑢

(17)

Page | 13

1+2𝑢_4𝑢−1 du + dy = 0

_4𝑢−11 du + _4𝑢−12𝑢 du + dy = 0 Ln |4𝑢 − 1| + 2u Ln |4𝑢 − 1| + y = C

 Maka, solusi umumnya adalah: Ln |4𝑢 − 1| + 2u Ln |4𝑢 − 1| + y = C 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 6𝑥−2𝑦−7 2𝑥+3𝑦−6 (6𝑥 − 2𝑦 − 7) dx – (2𝑥 + 3𝑦 − 6) dy = 0 a b c p q r maka didapatkan 𝑎 𝑝 = 6 −2 = - 3 ; 𝑏 𝑞 = −2 −3 = 2 3 ; 𝑐 𝑟 = 1 −1 = -1 𝑎 𝑝 ≠ 𝑏 𝑞 Penyelesaian: (qu – pv) du + (qv – bu) dv = 0

(-3u + 2v) du + (bv + 2u) dv = 0  Persamaan Diferensial Homogen Subtitusi: z = 𝑢 𝑣 , atau u = zv  du = v dz + z dv Solusi Umum: (-3u + 2v) du + (bv + 2u) dv = 0 (-3 zv + 2v) (v dz + z dv) + (bv + 2 zv) dv = 0 v2 (-3z + 2) dz + v (-3z2 + 4z + 6) dv = 0 : v2 (-3z + 2) −3𝑧+2 −3z2 + 4z + 6 dz + v dv = 0 −3𝑧+2 −3z2 + 4z + 6 dz + v dv = 0 _{−3z2 + 4z + 6}−3𝑧 dz + _{−3z2 + 4z + 6}2 dz + 1 2v 2 dv = 0 −3𝑧 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 2 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 1 2v 2 dv = C x 2 −6𝑧 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + 4 𝐿𝑛 | − 3z2 + 4z + 6| + v2 dv = C Maka, Solusi Umumnya adalah:

(18)

Page | 14

6.1. Sifat-Sifat Dasar

Suatu persamaan diferensial dengan bentuk: M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Dikatakan persamaan diferensial eksak, jika ada suatu fungsi f(x,y) yang diferensial totalnya sama dengan M (x,y) dx + N (x,y) dy, yaitu (dengan meniadakan lambang x dan y):

df = M dx + N dy

uji kepastian : Jika M dan N merupakan fungsi kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada sebuah segiempat bidang xy, maka M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 adalah eksak hanya jika: 𝜕𝑀

𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥

6.2. Metode Solusi

Untuk menentukan solusi dari M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0, maka secara implicit diberikan oleh penyelesaian umum f (x,y) = c.

Langkah-langkah menemukan suatu fungsi f (x,y) adalah:

 Langkah 1 Perhatikan bahwa: 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = M (x,y), dan 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = N (x,y)  Langkah 2

Integrasikan (mencari integral) dari M (x,y) terhadap x dengan y tetap.

𝜕𝑓

𝜕𝑥 dx = M (x,y) dx

f (x,y) = [ M (x, y) dx𝑥 ] + ∅(𝑦)

dimana ∅𝑦 adalah fungsi sembarang dari y saja.

 Langkah 3

Fungsi f (x,y) pada langkah ke-2, didiferensialkan parsial terhadap y yang selanjutnya akan diperoleh:

BAB

6

(19)

Page | 15 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 [ M (x, y) dx 𝑥 ] + 𝜕∅ 𝜕𝑦  Langkah 4 Karena 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = N (x,y) maka, 𝜕∅ 𝜕𝑦 = N (x,y) - 𝜕 𝜕𝑦 [ M (x, y) dx 𝑥 ] Dari sini ∅(𝑦) akan diperoleh.

 Langkah 5

∅(𝑦) yang baru saja diperoleh, disubtitusikan ke f (x,y) dalam langkaj ke-2. Dengan demikian f (x,y) = C dapat diperoleh.

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial di bawah ini dan buktikan keeksakanya!

1) (2xy + x2) dx + (x2 + y2) dy = 0 2) 3x2y2 dx + (2x3y + 4y3) dy = 0

Pembahasan:

1) (2xy + x2) dx + (x2 + y2) dy = 0

 Pembuktian Persamaan Diferensial Eksak

M (x, y) = 2xy + x2  𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 2𝑥 N (x, y) = x2 + y2  𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 2𝑥 Karena 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁

𝜕𝑥, maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan

diferensial eksak.

 Mencari Solusi Umum Langkah 2 (mencari f (x,y))

f (x,y) = [ M (x, y) dx𝑥 ] + ∅(𝑦) = (2xy + x2) dx𝑥 + ∅(𝑦) = x2y + 1 3 x 3 + ∅(𝑦)

(20)

Page | 16 Langkah 3 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 [ M (x, y) dx 𝑥 ] + 𝜕∅ 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 [ (2xy + x2) dx 𝑥 ] + 𝜕∅ 𝜕𝑦 = x2 + 𝜕 𝜕𝑦 ∅(𝑦) Langkah 4 (mencari ∅(𝑦)) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = N (x,y) x2 + 𝜕 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = x 2 + y2 𝜕 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = x 2 + y2 - x2 ∅(𝑦) = y2 dy = 1 3y 3_{+ k}

Langkah 5 (Solusi Umum) f (x,y) = x2y + 1 3 x 3 + ∅(𝑦) = x2y + 1 3 x 3 + 1 3y 3_{= k} x 3 = 3x2y + x3 + y3 = 3k

Maka solusi umumnya adalah 3x2y + x3 + y3_{= C dengan nilai C=3k}

2) 3x2y2 dx + (2x3y + 4y3) dy = 0

 Pembuktian Persamaan Diferensial Eksak

M (x, y) = 3x2y2  𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 6𝑥 2_𝑦 N (x, y) = 2x3y + 4y3  𝜕𝑁 𝜕𝑥 = 6𝑥 2_𝑦 Karena 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁

𝜕𝑥, maka persamaan diferensial diatas merupakan persamaan

diferensial eksak.

 Mencari Solusi Umum Langkah 2 (mencari f (x,y))

f (x,y) = [ M (x, y) dx𝑥 ] + ∅(𝑦)

= 3x𝑥 2y2 dx + ∅(𝑦)

(21)

Page | 17 Langkah 3 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 [ M (x, y) dx 𝑥 ] + 𝜕∅ 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 [ 3x 2_y2_dx 𝑥 ] + 𝜕∅ 𝜕𝑦 = 2x3y + 𝜕 𝜕𝑦 ∅(𝑦) Langkah 4 (mencari ∅(𝑦)) 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = N (x,y) 2x3y + 𝜕 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = 2x 3 y + 4y3 𝜕 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = 2x 3 y + 4y3 - 2x3y ∅(𝑦) = 4y3 dy = y4 + k Langkah 5 (Solusi Umum) f (x,y) = x3y2+ ∅(𝑦)

= x3y2+ y4_{= k}

(22)

Page | 18

Secara umum persamaan M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 tidak eksak. Terkadang adalah mungkin mengubah menjadi persamaan diferensial eksak melalui perkalian yang eksak.

Oleh karena itu, fungsi untuk mengubah Persamaan Diferensial tiadk eksak ke bentuk persamaan diferensial eksak adalah factor integrasi (Faktor pengkali/ Gabung).

7.1. Macam-macam faktor integrasi

Ada beberapa macam faktor integrasinya, yaitu:

 Jika,

𝜕𝑀 𝜕𝑦 −

𝜕𝑁 𝜕𝑥

𝑁 = f(x) dimana f(x) merupakan fungsi dari x saja

Faktor Integrasinya: 𝑒 f x dx  Jika, 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥

−𝑀 = g(y) dimana g(y) merupakan fungsi dari y saja

Faktor Integrasinya: 𝑒 g y dy

 Jika, M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 merupakan Persamaan Diferensial Homogen dan xM + yN ≠ 0

Faktor Integrasinya: 1

xM + yN

 Jika, M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 dapat diubah ke bentuk y f(x,y) dx + x g(x,y) dy = 0 dan f(x,y) ≠ g(x,y)

Faktor Integrasinya: 1

xM − yN

 Dan sebagainya

Tentukan Faktor Integrasi kemudian tentukan solusi umumnya! 1) 3x2y2 dx + (4x3y – 12) dy = 0

2) (2y – x3) dx + x dy = 0

BAB

7

(23)

Page | 19 Pembahasan: 1) 3x2y2 dx + (4x3y – 12) dy = 0 M = 3x2y2 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 6x 2 y N = 4x3y – 12 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 12x 2 y Karena 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ≠ 𝜕𝑁

𝜕𝑥 maka, bukan merupakan persamaan diferensial eksak

 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 −𝑀 = 16𝑥2𝑦 −12𝑥2𝑦 −3𝑥2_𝑦2 = −2 𝑦 + 4 𝑦 = 2 𝑦 Faktor Integrasi: 𝑒 g y dy₌_𝑒 2 𝑦dy₌_𝑒2 ln 𝑦_{= y}2  Faktor Integrasi f(x) y2 [3x2y2 dx + (4x3y – 12) dy] = 0 3x2y4 dx + (4x3y3 – 12 y2) dy = 0 M = 3x2y4 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 12x 2 y3 N = 4x3y3 – 12 y2 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 12x 2 y3 Karena 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁

𝜕𝑥 maka, merupakan persamaan diferensial eksak

 Solusi Umum

Mencari f(x,y) dengan mengintegralkan M f (x,y) = [ M (x, y) dx𝑥 ] + ∅(𝑦)

= 3x𝑥 2y4_dx₊_∅(𝑦)

= x3y4+ ∅(𝑦)

Mencari ∅(𝑦) dengan mendiferensialkan f(x,y) = N

𝜕𝑓 𝜕𝑦 = N (x,y) 4x3y3 + 𝜕 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = 4x 3 y3 – 12 y2 𝜕 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = 4x 3 y3 – 12 y2 - 4x3y3 ∅(𝑦) = − 12 y2 dy = - 4 y3 + k Masukan ke persamaan f(x,y) f (x,y) = x3y4+ ∅(𝑦)

= x3y4 − 4 y3_{= k}

(24)

Page | 20 2) (2y – x3) dx + x dy = 0 M = 2y – x3 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 2 N = x 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 1 Karena 𝜕𝑀 𝜕𝑦 ≠ 𝜕𝑁

𝜕𝑥 maka, bukan merupakan persamaan diferensial eksak

 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝑁 = 2−1 𝑥 = 1 𝑥 Faktor Integrasi: 𝑒 f x dy₌_𝑒 1 _𝑥 dx = 𝑒ln 𝑥_{= x}  Faktor Integrasi f(x) x [(2y – x3) dx + x dy] = 0 (2xy – x4) dx + x2 dy = 0 M = 2xy – x4 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 2x N = x2 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 2x Karena 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁

𝜕𝑥 maka, merupakan persamaan diferensial eksak

 Solusi Umum

Mencari f(x,y) dengan mengintegralkan M f (x,y) = [ M (x, y) dx𝑥 ] + ∅(𝑦)

= (2xy – x𝑥 4) dx + ∅(𝑦)

= x2y −1

5x

5₊_∅(𝑦)

Mencari ∅(𝑦) dengan mendiferensialkan f(x,y) = N

𝜕𝑓 𝜕𝑦 = N (x,y) x2 + 𝜕 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = x 2 𝜕 𝜕𝑦 ∅(𝑦) = x 2 – x2 ∅(𝑦) = 0 dy = k

Masukan ke persamaan f(x,y) f (x,y) = x2y −1 5x 5₊_∅(𝑦) = x2y −1 5x 5_{= k}

Maka solusi umumnya adalah x2y −1

5x

(25)

Page | 21

8.1. Metode Solusi

Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum

𝑑𝑦

𝑑𝑥 + P(x) y = Q(x) dengan syarat ruas kanan ≠ 0

Factor integrasi: 𝑒 P x dx

Solusi umum

𝑒 P x dx_{y =}_Q(x)_𝑒 P x dx _{+ 𝐶}

8.2. Contoh Soal dan Pembahasan

Tentukan solusi umum dari: 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 4y = x -2x 2 2) 𝑦′ + 𝑦 = (1 + 𝑥)2 Pembahasan: 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 4y = x -2x 2 P(x) = 4 ; Q(x) = x – 2x2 Faktor Integrasi: 𝑒 P x dx₌_𝑒 4 dx₌_𝑒4𝑥 Solusi Umum: 𝑒 P x dx_{y =}_Q(x)_𝑒 P x dx _{+ 𝐶} 𝑒4𝑥 y = x – 2x2 𝑒4𝑥 + 𝐶 y = 𝑥−2𝑥 2 4 − 1−4𝑥 16 − 1 16 + 𝑐 𝑒4𝑥 y = 4𝑥−8𝑥 2_{−1+4𝑥−1} 16 + 𝑐 𝑒4𝑥 y = 4𝑥−4𝑥 2₋₁ 8 + 𝑐 𝑒4𝑥

BAB

8

(26)

Page | 22 2) 𝑦′ + 𝑦 = (1 + 𝑥)2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = (1 + 𝑥) 2 P(x) = 1 ; Q(x) = (1 + 𝑥)2 Faktor Integrasi: 𝑒 P x dx₌_𝑒 1 dx₌_𝑒𝑥 Solusi Umum: 𝑒 P x dx_{y =}_Q(x)_𝑒 P x dx _{+ 𝐶} 𝑒𝑥_{y =}_{(1 + 𝑥)}2_𝑒𝑥_{+ 𝐶} 𝑒𝑥_{y =}_𝑒𝑥_{(1 + 𝑥)}2_{− 2𝑒}𝑥_{(1 + 𝑥) + 2𝑒}𝑥_{+ C} y = [ 1 + 𝑥 2− 2 1 + 𝑥 + 2 + 𝑐 𝑒𝑥

(27)

Page | 23

9.1. Metode Solusi

 Bentuk umum dari persamaan diferensial Bernoulli adalah:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 + P(x) y = Q(x) y

n

 Persamaan Bernoulli akan tereduksi ke persamaan linier orde satu dengan Transformasi: z = y-n+1 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = (-n + 1) y -n . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (1 – n) y n . 𝑑𝑧 𝑑𝑥

 Persamaan linier orde satu

𝑑𝑧 𝑑𝑥= (1 – n) P(x) y -n = (1 – n) Q(x) 𝑑𝑧 𝑑𝑥= (1 – n) P(x) z = (1 – n) Q(x)

Dengan faktor integrasi: 𝑒 1 – n P x dx

 Solusi umum

𝑒 1 – n P x dx_{z =}_{(1 – n) Q(x) 𝑒} 1 – n P x dx_𝑑𝑥_{+ C}

Cari solusi dari: 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝑦2 𝑥 2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + y = xy 3 Pembahasan: 1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝑦2 𝑥 P(x) = 1 𝑥 ; Q(x) = 1 𝑥 ; n = 2

BAB

9

(28)

Page | 24 z = y-n+1 z = y-2+1 z = y-1 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = - y -2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = - y 2 . 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝑦2 𝑥 - y2. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝑦2 𝑥 : - y2 𝑑𝑧 𝑑𝑥 - 1 𝑥 𝑦 −1₌₋1 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 - 1 𝑥− 𝑧 = − 1

𝑥  Persamaan Linier Orde Satu

P(x) = −1 𝑥 ; Q(x) = − 1 𝑥 solusi umum: 𝑒 1 – n P x dx_{z =}_{(1 – n) Q(x) 𝑒} 1 – n P x dx_𝑑𝑥_{+ C} 1 𝑥 z = − 1 𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 + C 1 𝑥 z = 𝑥 −1 _{+ C} 𝑧 = 𝑥 −1_{+ 𝐶} 1 𝑥

Maka, Solusi Umumnya adalah 1

𝑦 = 1 + Cx 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + y = xy 3 P(x) = 1 ; Q(x) = xy3 ; n = 3 z = y-n+1 z = y-3+1 z = y-2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑛−1 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 −2 𝑑𝑧 𝑑𝑥

Persamaan Diferensial Orde Satu

𝑑𝑧

(29)

Page | 25 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + -2y -2 = -2x Solusi Umum: 𝑒 1 – n P x dx_{z =}_{(1 – n) Q(x) 𝑒} 1 – n P x dx_𝑑𝑥_{+ C} 𝑒 −2 dx_y-2 = −2x 𝑒 −2 dx 𝑑𝑥 −2𝑥 𝑦−2 _{= 4x}2_dx −2𝑥 𝑦−2 ₌4 3𝑥 3_{+ k} x 3 −6𝑥 𝑦−2 = 4𝑥3 + 3k 6𝑥 𝑦−2+ 4𝑥3 = C

(30)

Page | 26

10.1. Pengertian

Soal Nilai Awal merupakan suatu persamaan diferensial bersama dengan kondisi-kondisi tambahan terhadap fungsi yang dicari dan turunannya yang semuanya diberikan pada nilai variable independen yang sama. Masalah Nilai awal adalah mencari solusi khusus dari kondisi awal. Solusi khusus adalah ketika persamaan diferensial hanya memiliki satu solusi saja. Misalnya (y’)4

+ y2 = 0. Persamaan ini hanya memiliki satu solusi yaitu y = 0. Dan tidak mengandung nilai C

10.2. Contoh Soal dan Pembahasan

Tentukan solusi umum dan solusi khusus persamaan diferensial dibawah ini! 1) 3x2 + (2y - 1) dy = 0, dimana y=2

2) xy3 dx + (2y + 1) x2 dy = 0, dimana y=10

Pembahasan:

1) 3x2 + (2y - 1) dy = 0, dimana y=2

3x2 + (2y − 1) dy = 0

x3 + y2 + y = C  Solusi Umum x3 + (2)2 + 2 = C

x3 = -6  Solusi Khusus 2) xy3 dx + (2y + 1) x2 dy = 0, dimana y=10

xy3 dx + (2y + 1) x2 dy = 0 : y3 x2 𝑥 𝑥2 dx + (2y + 1) 𝑦3 dy = 0 𝑥 𝑥2 dx + (2y + 1) 𝑦3 dy = 0 𝐿𝑛 𝑥 + 2y + 1 𝐿𝑛 𝑦3_{= 𝐶} __{Solusi Umum} 𝐿𝑛 𝑥 + 21 𝐿𝑛 1000 = 𝐶 𝐿𝑛 𝑥 = −145  Solusi Khusus

BAB

10

(31)

Page | 27

Tentukan orde dan carilah persamaan diferensial dari: 1) y 𝑑 2_𝑥 𝑑𝑦2 = y 2 + 1 2) y 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 = x2 + 1 3) s 𝑑 2_𝑡 𝑑𝑠2 + s t 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = s 4) 𝑦" + 3𝑦 − 𝑥𝑦 = 0 5) 𝑥𝑦′ + 3𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0

Manakah diantara persamaan diferensial berikut yang merupakan persamaan diferensial variable terpisah? 6) (x2 – y2) 𝑦′_{+ xy = 0} 7) (x2 y2 – y2) 𝑦′ + x = 0 8) (x sin y – x2) 𝑦′ + cos x = 0 9) (x sin y – xy) 𝑦′_{+ (x}2 + 1) y = 0 10) xy 𝑦′ + x2 + 1= 0

Tentukan solusi persamaan diferensial variable terpish dengan mereduksinya! 11) (x2 – 1) 𝑦′ + y2 + 1 = 0 12) (1 + 2y) 𝑑𝑥 + (x – 4) dy = 0 13) xy dx + (1 + x2) dy = 0 14) (xy + x) dx + (xy – y) dy = 0 15) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4𝑦 𝑥𝑦 −3𝑥

(32)

Page | 28

Buktikan bahwa persamaan di bawah ini adalah persamaan diferensial homogeny kemudian, carilah solusi umumnya!

16) 2xy dy = (x2 – y2) dx 17) x sin 𝑦 𝑥 (y dx + x dy) + y cos 𝑦 𝑥 (x dy – y dx) = 0 18) (x2 – 2y2) dy – 2xy dx = 0 19) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥+𝑦 𝑥 20) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4𝑦 −3𝑥 2𝑥−𝑦

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial tak homogeny dibawah ini! 21) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 6𝑥−2𝑦−7 2𝑥+3𝑦−6 22) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1−2𝑦−4𝑥 1+𝑦+2𝑥 23) (2x – 3y +5) dx + (24y – 8x – 40) dy = 0 24) (x – 5y +2) dx + (2x – 10x – 4) dy = 0 25) (2x – 5y +2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0

Tunjukkan bahwa PD berikut eksak dan tentukan selesaian umumnya! 26) (x+2y)dx + (y2+2x)dy = 0

27) 2y(x-y)dx + x(x-4y)dy = 0 28) (xsiny-y2)dy – cosy dx = 0

29) (3+y+2y2sin2x)dx – (ysin2x-2xy-x)dy = 0 30) xcos(xy)dy + (2x+ycos(xy))dx = 0

Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan adalah suatu faktor integrasi dan selesaikan PD nya: 31) 2ydx+xdy = 0, x 32) sinydx+cosydy=0, 1/x2 33) y2dx+(1+xy)dy=0, exy 34) 2dx-ey-xdy = 0 35) (y+1)dx-(x+1)dy = 0

(33)

Page | 29

Selesaikan PD linier orde satu! 36) y’+(2x-1)y = xy2+(x-1) 37) y’+(2x4-1/x))y = x3y2+x5 38) y’-2y/x = -y2/x+x2 39) y’+(2-1/x)y = y2-2/x 40) y’+2y+y2=0.

Tentukan Solusi Umum dari PD Bernoulli! 41) y’ + y = xy3 42) y’ = y (1 + xy) 43) y - 𝑥 2 y’ = 𝑦 44) 2xyy’ + y2 = x 45) Y’ – y = xy6

Tentukan Solusi khusus dari persamaan diferensial dibawah ini! 46) y'(t) = 3y + 5 , y(0) =1

47) y'(t) = ty +1 , y(0) = 0

48) y'= z, z'= -y , y(0) =1, z(0) = 0 49) y'(t) = − 1

1+ 𝑦2 , y(0) =1

(34)

(35)

Basic Forms

(1)

(2)

(3)

(4)

Integrals of Rational Functions

(5)

(6)

(7)

(36)

(9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)

Integrals with Roots

(37)

(18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26)

(38)

(27) (28 ) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35)

(39)

(36) (37 ) (38) (39) (40) (41)

Integrals with Logarithms

(42)

(40)

(44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51 ) (52)

(41)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

Integrals with Exponentials

(58)

(59)

erf where erf

(60)

(42)

(62) (63) (64) (65) d (66) where d (67) erf (68) erf (69) (70) erf

(43)

Integrals with Trigonometric Functions

(71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78)

(44)

(79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87)

(45)

(88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96)

(46)

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

Products of Trigonometric Functions and Monomials

(102)

(103)

(104)

(47)

(106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114)

(48)

(115)

(116)

Products of Trigonometric Functions and Exponentials

(117) (118) (119) (120) (121) (122)

(49)

(123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130)

(50)

(131)

(132)

(133)

(51)

-

D -

SM. Nababan.2005.Persamaan Diferensial Biasa (Edisi Satu). Jakarta:Universitas Terbuka

Finizio and Ladas. 1988.Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern (Edisi Kedua).Jakarta:Erlangga

Schaum’s.2007.Persamaan Diferensial (Edisi Ketiga).Jakarta: Erlangga

Varberg, Purcell, Rigdom.2003.Kalkulus Jilid 1. Jakarta: Erlangga

Sitanggang, Curmentyna.2003.Kamus Matematuka (Cetakan ketiga).Jakarta:Balai Pustaka

Soal Ujian Tenga Semester (UTS).2012.Persamaan Diferensial 1.Jakarta.Universitas Indraprasta PGRI http://uuniquee.files.wordpress.com/2010/09/persamaan_differensial_-_dr-_st-_budi_waluya.pdf http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195804011985031-ASEP_SYARIF_HIDAYAT/PERSAMAAN_DIFERENSIAL_I.pdf http://math.ipb.ac.id/~files/tpb/9PersamaanDiferensialPrint_Mhs.pdf http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-v-masalah-nilai-awal-persamaan-diferensial.pdf http://dora.student.fkip.uns.ac.id/uncategorized/tutorial-maple-persamaan-differensial-differential-equations/ http://staff.ui.ac.id/internal/131611668/material/mod-02.pdf