Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 1 BAB I
PENDAHULUAN
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami turunan, antiturunan fungsi dan dapat mengaplikasikannya untuk menentukan selesaian umum atau selesaian khusus persamaan diferensial yang diberikan.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi ekpslisit dengan menggunakan sifat-sifat turunan fungsi.
2. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi implisit dengan menggunakan kaidah diferensial dan sifat-sifatnya.
3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan/integral suatu fungsi 4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial
5. Mahasiswa dapat menentukan persamaan diferensial suatu primitif atau persamaan keluarga suatu fumgsi ekspilisit atau implicit.
6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian khusus persamaan diferensial yang diberi syarat awal.
Bab Pendahuluan membahas lima hal pokok, yaitu: (1) fungsi, (2) turunan dan antiturunan, (3) persamaan diferensial, (4) primitif suatu persamaan diferensial, (5) masalah nilai awal dan syarat batas.
1.1 Fungsi
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 2 eksplisit ditulis berbentuk y f(x), sedangkan fungsi implisit adalah suatu fungsi yang antara peubah bebas dengan peubah tak bebas tidak dapat dibedakan secara jelas. Secara umum fungsi implisit ditulis berbentuk f(x,y)0.
Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi yang dinyatakan dalam bentuk eksplisit dan implisit.
1. y x2 5x4 2.
3 2
1 3 1
x x y
3. ycos(x5)
4.
2 2
x x x
x
e e e
e y
5.
3
1 arcsin
x x y
6. ln1 ln 1
1 1
ln
x x
x x y
7. y x x x
8. x2 y2 25 9. x2yxy2 20 10. x2 y2 2xy10 11. ycos(xy2)3x2 4 12. sin(xy)y0
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 3 implisit, akan tetapi ada fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Fungsi pada contoh 9 di atas adalah fungsi implisit yang tidak dapat dinyatakan dalam fungsi eksplisit.
Pengembangan dan analisis lebih lanjut, pembaca dapat membuat beberapa contoh fungsi dan mengelompokkan fungsi-fungsi tersebut dalam bentuk eksplisit atau implisit. Selain itu pembaca dapat membuat contoh lain fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit atau fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada prinsipnya dalam fungsi eksplisit y f(x), x disebut peubah bebas (independent), sedangkan y disebut peubah tak bebas (dependent). Bentuk f(x,y)0 jika dapat diubah dalam bentuk ekplisitx , dan y secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit, maka tidak ada peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.
1.2 Turunan dan Antiturunan
Andaikan y f( x) adalah fungsi eksplisit yang kontinu dan terdefinisi pada interval tertentu, turunan (derevative) fungsi y f( x) dinotasikan
) ( ' ' f x
y Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan fungsi )
( x
f
y adalah Dxf(x) atau
dx dy
atau
dx x df( )
. Turunan fungsi y f( x) didefinisikan sebagai
x x f x x f dx
dy
x
lim ( ) ( )
0 asalkan limitnya ada. Berdasarkan bentuk di definisi turunan di atas, Misal xxt maka diperoleh x tx
Karena x0 maka tx
Sehingga definisi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
x t
x f t f dx
dy
x
t
lim ( ) ( )
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 4 Contoh Soal
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 5
Turunan suatu fungsi sangat diperlukan dalam mempelajari persamaan diferensial. Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar tentang turunan fungsi.
Jika u,vdan w adalah fungsi-fungsi dalam x yang masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real maka:
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 6 aturan turunan suatu fungsi, antara lain:
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 7
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 8 yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut. Setelah diperoleh diferensial masing-masing bagian, selanjutnya variabel yang sejenis dikelompokkan dan akhirnya dengan menggunakan operasi aljabar diperoleh turunan fungsi yang diberikan.
Perhatikan beberapa contoh berikut: 1. Tentukan
dx dy
dari 2 2 40 y
x
Jawab
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh )
0 ( ) 4 ( ) ( )
(x2 d y2 d d
d
0 0 2
2
xdx ydy
0 2
2
xdx ydy
dy y dx
x
y x dx dy
2 4 y
x dx
dy
2. Tentukan
dx dy
dari x2yxy2 20 Jawab
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh )
0 ( ) 2 ( ) ( )
(x2y d xy2 d d
d
0 0 ) 2
( ) 2
( 2 2
x dy xydx xydy y dx
0 )
2 ( ) 2
( 2 2
xy y dx x xy dy
0 ) 2 ( )
2
( 2 2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 9 xy
x y xy dx
dy
2 2
2 2
3. Tentukan
dx dy
dari y x x x
Jawab
Untuk menentukan
dx dy
dari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah terlebih dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:
x x x y
0 7 8
y x
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh )
0 ( ) ( )
(y8 d x7 d
d
0 7
8 7 6
y dy x dx
dx x dy y7 6
7
8
Sehingga 7
6 8 7 y x dx dy
Latihan soal Tentukan
dx dy
fungsi-fungsi berikut ini.
1.
2 1
4 x x y
2. 2xy3y2 2 xy 30
3.
x y
sin 2 1
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 10 5.
2 1
2 1
x y
6. ysec(1x)32
7. cos(xy)2x3y2 0 8. yxx2 3y10 9. ycos(xy)2x3y2 0
10. 4
1
sin x
y
Selain turunan fungsi sebagaimana dijelaskan di atas, hal lain yang mendasar untuk memahami dan mendalami persamaan diferensial adalah tentang antiturunan. Istilah lain untuk antiturunan adalah integral.
Misal y f(x) menyatakan turunan suatu fungsi, antiturunan dari )
(x f
y dinotasikan dengan Axf(x). Bentuk lain notasi antiturunan fungsi secara sederhana dilambangkan dengan
f(x)dx. Misal antiturunan y f(x) adalah F(x)c, secara singkat dapat ditulis dengan menggunakan lambang, ,
) ( )
(
f x dxF x c creal dan f(x)disebut integran.Jika y f(x) suatu fungsi yang mempunyai antiturunan maka fungsi tersebut dikatakan terintegralkan (integrable).
Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar antiturunan suatu fungsi.
1. c c real
n u du u
n
n
.1 1
dan n bilangan rasional dengan n1 Akibatnya
untuk n = -1 berlaku
du u c udu u du
un 1 1 ln
2.
( ) '( )
( ) , 1 1
c jikann x u dx x u x u
n n
3. dx f x c c real
x f
x f
ln ( ) ,) (
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 11 4.
eudueu c,creal5. c c real
u a du a
u
u
,ln
6.
u dvuv
vdu7.
sinudu cosuc.creal8.
cosudusinuc.creal9.
sec2u dutanuc.creal10.
csc2uducotuc.creal11.
secutanudu secuc.creal12.
cscucotudu cscuc.creal13.
tanudulnsecu clncosu c.creal14.
cotu dulnsinu clnsinu c.creal15.
secu dulnsecutanu c.creal16.
cscudulncscucotu c.creal17.
a c a c real
u u
a du
, . arcsin
2
2
18.
a c a c real
u a
a u
du u
a du
, . arctan
1 2 2 2
2
19.
u a c a c real
a u a u a
du
, . ln
2 1 2
2
20.
u a c a c real
a u a a u
du
, . ln
2 1 2
2
21.
a u u u c a c real
u du
, .
ln 2 2
2 2
22.
a u u a c a c real
u du
, .
ln 2 2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 20
1.3 Persamaan Diferensial (PD)
Mencermati kembali definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan pada pembahasan sebelumnya, jika y f(x) maka turunan fungsi dalam bentuk
persamaan yang memuat turunan (derevative). Contoh
1) Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk y f(x) maka turunannya memuat tanda .
dx dy
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 21 Misal ysin22xdiperoleh x x
dx dy
2 cos 2 sin 4
Atau
. 0 )
2 cos 2 sin 4
( x x dxdy
2) Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk f(x,y)0 maka dihasilkan turunan fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial, yaitu dy dan dx. Misal ycos xy 0 diperoleh d(y)d(cos xy)0 atau
0.2 2
sin
xy ydx
xy xdy xy dy
Berdasarkan contoh 1 dan 2 di atas, tampak bahwa turunan fungsi membentuk persamaan yang memuat turunan (derevative) atau diferensial.
Perhatikan beberapa persamaan-persamaan di bawah ini. 1. 2xdx3dy0
2. x
dx dy
2 3
3. xy x
dx dy
4
2
4. 2 2 0
2
y
dx dy dx
y d
5. 2 4 0
2 3 3
y
dx y d dx
y d
6.
y '' 2 (y')3 3y x27. y ''
y' 3 y'8. 0
y z x z x z
9. x y
y z x
z
2
2 2 2 2
10. z
y z y x z
x
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 22 Setiap persamaan 1-10 pada contoh di atas, memuat tanda turunan yaitu
y z x z dx dy
,
, dan memuat tanda diferensial dy atau dx. Sehingga persamaan yang memuat turunan atau diferensial dinamakan persamaan diferensial.
Definisi
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat paling sedikit satu turunan atau diferensial dari suatu FUNGSI YANG BELUM DIKETAHUI.
Jika dalam suatu persamaan diferensial, turunan yang muncul adalah turunan biasa, misalnya
dx dy
maka persamaannya dinamakan persamaan
diferensial biasa, sebaliknya jika turunan yang muncul adalah turunan parsial, misalnya
x z dan
y z
, maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial
parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan pada contoh 8-10 di atas dinamakan persamaan diferensial parsial.
Selain jenis persamaan diferensial biasa dan parsial, dalam persamaan diferensial dikenal pula istilah tingkat (order) dan derajat (degree). Tingkat suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut, sedangkan derajat persamaan diferensial ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi dalam persamaan diferensial yang diberikan. Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini.
1. 2xdx3dy0 adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, karena turunan tertinggi dalam persamaan adalah turunan tingkat satu dan derajat satu.
Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat dan derajat fungsi dibawah ini.
2. x
dx dy
2 3
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 23
3. xy x
dx dy
4
2
, persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
4. 2 2 0
2
y
dx dy dx
y d
, persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
5. 3 3 dx y d
2 2 dx y d
- 4
dx dy
+ 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 (3-1)
6. (y")2 (y')33y x2, persamaan tingkat dua derajat dua (2-2) 7. y ''(y')3 y', persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
8. 0
y z x z x z
, persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
9. x y
y z x
z
2
2 2 2 2
, persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
10. z
y z y x z
x
, persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
1.4 Primitif suatu Persamaan Diferensial
Sebagaimana telah disebutkan dalam definisi persamaan diferensial, bahwa suatu persamaan diferensial memuat turunan dari suatu fungsi yang belum diketahui. Dengan demikian jika diketahui suatu persamaan diferensial maka dapat ditentukan fungsi yang belum diketahui tersebut. Untuk menentukan fungsi yang belum diketahui suatu persamaan diferensial terdapat beberapa cara, tergantung jenis persamaan, tingkat, dan derajatnya.
Sebelum dirincikan secara mendetail tentang cara menentukan fungsi yang belum diketahui suatu persamaan diferensial, maka yang perlu diperhatikan adalah koefisien dari masing-masing diferensial apakah sudah sejenis.
Perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini. 1. Tentukan primitif persamaan diferensial
x dx
dy 2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 24 0
) 2
(
x dx dy
(2 x)dx dy 0
R c c y x
x
,
2 1
2 2
R c c y x
x
4 2 2 ,
Berdasarkan uraian di atas, maka fungsi yang belum diketahui dari persamaan diferensial x
dx dy
2 , adalah 4xx2 2yc
Selanjutnya 4xx2 2yc dinamakan selesaian umum. Selesaian umum persamaan diferensial juga disebut sebagai persamaan keluarga kurva.
2. Tentukan primitif persamaan 0 ) (
)
(xyx dx xyy dy
Jawab
Persamaan di atas diubah menjadi 0 ) 1 ( )
1
(
x y dx y x dy
0 1
1
dy
y y dx x
x
dy c
y y dx
x x
1 1
dy
y dx
x 1
1 1 1
1
1 =
dy
y dy dx
x dx
1 1 1
1 1
1 = c
c y
y x
x
ln 1 ln 1
c x
y y
x
( ) ln 1 ln 1
c x
y y
x
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 25 )
( 1
1 x y
ce x
y
Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan diferensial 0
) (
)
(xyx dx xyy dy adalah )
( 1
1 x y
ce x
y
atau
) ( ) 1 ( ) 1
(y c x exy
3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial y
xy y
y
) '
1 ( Jawab
Persamaan di atas diubah menjadi )
1 ( ' ) 1
(
y y y x
dx x y dy
y) ( 1)
1
(
0 1
) 1
(
dy
y y dx
x
( 1) 1dy dy 0
y dx x
0 ln
2
1 2
x x y y
y x x
y
2
2 1 ln
c e
y s x y
2 2 22
Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan diferensial yang diberikan adalah
c e
y2 2s22xy
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 26 konstanta sebarang sebanyak n . Konstanta tersebut dikatakan penting (esensial) dan sangat menentukan bentuk persamaan diferensialnya.
Contoh
1. x2 y2 c adalah primitif dengan satu angka penting
2. x x
e c e c
y 3
2
1
adalah primitif dengan dua angka penting 3. y AsinaxBcosbxadalah primitif dengan dua angka penting
4. 2 2 2
)
(xc y r adalah primitif dengan dua angka penting.
Jika ditentukan primitif maka untuk menentukan persamaan diferensialnya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:
1. Tentukan banyaknya konstanta sebarang atau angka penting primitif yang diketahui.
2. Misal angka pentingnya sebanyak n , maka turunkan primitif tersebut sampai turunan ken. Hasil akhirnya adalah persamaan yang diminta jika dalam persamaan tersebut tidak terdapat konstanta sebarang yang lain. Jika fungsinya dinyatakan dalam bentuk implisit, maka dapat digunakan kaidah diferensial pada masing-masing variabelnya.
3. Pada langkah kedua, jika masih terdapat konstanta sebarang, eliminir semua konstanta sebarang tersebut. Jika banyaknya konstanta sebarang n, maka untuk mengeliminirnya diperlukan (n1) persamaan dan diperoleh setelah primitif diturunkan sampai turunan ken.
4. Banyaknya konstanta sebarang menunjukkan order tertinggi turunan dalam persamaan diferensial yang dicari.
5. Yang perlu diingat bahwa dalam primitif selalu terdapat konstanta sebarang yang disebut angka penting, sedangkan dalam persamaan diferensial tidak terdapat konstanta sebarang.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 27 Jawab
Primitif mempunyai 1 angka penting, sehingga )
( ) 2 ( )
(x2 d y2 d c
d
0 4
2
dx ydy
y x dx dy
2
Persamaan diferensial dari primitif x2 2y2 c adalah
y x dx dy
2
2. Tentukan persamaan diferensial dari primitif y AcosaxBsinax
Jawab
Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, maka
ax Ba ax Aa dx
dy
cos sin
ax Ba
ax Aa
dx y d
sin
cos 2
2 2
2
a2(AcosaxBsinax) a2y
Sehingga persamaan diferensial dari primitif y AcosaxBsinax adalah 0
2 2 2
a y
dx y d
3. Tentukan persamaan diferensial dari primitif 2 2 c cx
y Jawab
Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, sehingga 0
2 '
y cx
c y''2
2 '
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 28 selanjutnya
2 '
y
c substitusikan ke persamaan ycx2 c2
Didapat
2 2
2 " 2
"
y x y
y
4. Tentukan persamaan diferensial dari primitif Jawab
x x
e c e c
y 2 2
1
Primitif mempunyai 2 angka penting, sehingga x
x e c e c
y'2 1 2 2
x x
e c e c
y 2
2 1 4 ''
Karena sampai pada turunan kedua masih terdapat konstanta c, maka dengan cara substitusi diperoleh persamaan y''3y'2y0
5. Tentukan persamaan diferensial dari keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x.
Jawab
Persamaan keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x adalah (xc)2 y2 r2
Dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x, didapat 0
2 ) (
2
dx dy y c x
Selanjutnya persamaan di atas diturunkan lagi terhadap variabel x sehingga diperoleh persamaan baru
2( 1)
2 0
dx dy y dx
d x
dx d
0 2
2 2
2
dx dy dx
y d
y
Persamaan dibagi 2 diperoleh persamaan 0
1 2
2
dx dy dx
y d
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 29 diminta.
6. Tentukan persamaan diferensial keluarga kurva parabola yang fokusnya di titik asal dan sumbu simetrinya sepanjang sumbu x.
Jawab
Persamaan bola yang diminta adalah y2 4c(cx) Dengan menurukan masing-masing peubah, diperoleh
0 4 ' 2yy c
c yy'2
2 '
yy c
Substitusikan ke persamaan semula
y yy yy x
2 ' 2
' 4
0 ) ' ( ' 2
2 2
y yy yy x
0 ) ' ( ' 2
22
yy yy x
1.5 Masalah Nilai awal dan Syarat Batas
Setiap persamaan diferensial yang diberikan akan menimbulkan pertanyaan, apakah persamaan diferesial tersebut mempunyai selesaian?. Jika mempunyai selesaian umum apakah selesaian tersebut tunggal?. Untuk menjawab pertanyaan tersebut perlu dijelaskan terlebih dahulu tentang pengertian masalah nilai awal.
Setiap selesaian persamaan diferensial terdapat persoalan-persoalan yang dapat dicantumkan apabila diketahui n nilai-nilai
). ( ),... ( '' ), ( ' ),
(xo y xo y xo y(n 1) xo
y
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 30 Persamaan diferensial x
dx dy
2
mempunyai selesaian y x2 c,creal Karena crealmaka:
1. y x2 3 memenuhi selesaian persamaan x dx dy
2
2.
3 1 2
x
y memenuhi selesaian persamaan x dx dy
2
3. y x2 100 juga memenuhi selesaian x dx dy
2
, dan seterusnya.
Bentuk y x2 cdinamakan selesaian umum persamaan diferensial x
dx dy
2
sedangkan yx2 3,
3 1 2
x
y dan y x2 100 dinamakan selesaian khusus (particular solution). Nilai c sebagai konstanta real dapat ditentukan, jika dalam persamaan diferensial yang diketahui diberikan syarat awalnya. Persamaaan diferensial yang mempunyai syarat awal dinamakan masalah nilai awal (initial value problems).
Definisi
Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial tingkat n bersama dengan n syarat awal pada suatu nilai yang dimungkinkan mempunyai nilai pada variabel bebas yang sama.
Bentuk lain dari definisi di atas dapat dinyatakan dengan pernyataan sebagai berikut:
Masalah nilai awal suatu persamaan diferensial tingkat-n yang ditulis dalam bentuk f(x,y,y',y '',y' '',...,y(n))0 yaitu menentukan selesaian persamaan diferensial pada interval I dan memenuhi n syarat awal di xoI subset dari
bilangan real.
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 31
Berdasarkan definisi di atas, selesaian umum persamaan diferensial memuat konstanta c , sedangkan pada persamaan diferensial dengan n syarat awal konstanta c tersebut diganti dengan bilangan real (R yang memenuhi ) syarat awal.
Perhatikan contoh berikut ini.
1. Tentukan selesaian masalah nilai awal
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 32 Jawab
1
x dx dy
maka y
x dx x2 xc2 1 ) 1 (
Karena y(1)1maka (1) 1c
2 1
1 2 dan diperoleh
2 1
c
sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah
2 1 2
1 2
x x
y atau x2 2x2y10
3.
1
y dx dy
x dengan y(1)1 Jawab
1
y dx dy x
0 )
1
(
x dx y dy
0
) 1
( x
dx y
dy
c x y
ln1 ln
c x y
ln(1 )
c x
y
(1 )
Karena y(1)1 maka (11)1catau c 0 Sehingga selesaian khususnya adalah (1 y)x0
1.6 Latihan soal-soal
1. Tentukan y dari ' yuv jika diketahui
a. 2 1 3
1 2
x x
v dan x x
u
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 33 d.
x x v
dan x u
3 1 ln
1
e. 2 3
1 1
danv x
x u
2. Misal f(x)dan g(x)fungsi-fungsi yang terintegralkan dan kreal
Buktikan bahwa:
a.
kf(x)dxk
f(x)dxb.
(f(x)g(x))dx
f(x)dx
g(x)dxc.
(f(x)g(x))dx
f(x)dx
g(x)dx3. Klasifikasikan tingkat dan derajat persamaan diferensial di bawah ini a) dy(xycosx)dx0
b) y' ''xy''2y(y')2 xy0
c) 3
) ' (
'x xyy y
d) 0
3 2 2 2 3 3
vw
dv w d dv
w d
e) 4
2 2
2
1
dx dy dx
y d
f) y'y sinx
g) 2 2
2
x dx dy e dx
y
d xy
h) x
dx y d dx
y d
2
2 4
4 3
i) y x
dx dy x dx
y d
3 1 3
2 2
2
j) sin(y")ey' 1
k) y x
dx dy dx
y d
x) tan cos
(sin 2 2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 34
l) xy x
dx dy x dx
y d dx
y d
tan )
(sin 4 2
2 3
3
4. Tentukan antiturunan dari a) f(x)sinxcosx
b) f(x)e2xcosx
c) f x 4 x
sin 2 ) (
d) f(x)secxtanx
e) f x 2 x 4 x cos sin ) (
f) 1 2
3 )
(x x x
f
g) f(x)2xlnx
h) f(x) x 1x
i) f(x) x2sin x j) f(x)2exx2
5. Tentukan persamaan diferensial dari primitif yang diketahui banyaknya angka penting berikut ini:
a) y Asinx
b) ysin(xA) c) y Aex B d) x2yxy2y2 c e) (yc)2 cx
f) 2x2 y2 c
g) Pada setiap titik (x,y) koefisien arah garis singgungnya sama dengan kuadrat absis titik tersebut.
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 35 6. Tunjukkan bahwa bahwa persamaan diferensial
x y dx dy
mempunyai selesaian
umum y cx
7. Diberikan persamaaan diferensial y'2x
a) Tunjukkan bahwa y x2 cadalah selesaian umumnya. b) Pilih c , sedemikian sehingga selesaiannya melalui (1,4)
c) Pilih c , sedemikian sehingga selesaiannya adalah gradien dari persamaan 3
2
x
y .
d) Pilih c, sedemikian selesaiannya memenuhi syarat 2 1
0
y dx8. Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut dengan syarat awal yang diberikan.
a) lnx,y(1)2
dx dy
b) ,y(0)0 y
x dx dy
c) 2 cos , (0) 2, '(0) 1 2
x y y
dx y d
d) 3 6 , (0) 1, '(0) 1, ''(0) 4 3
x y y y
dx y d
e) 2 , (0) 1, (1) 0 2
e y y
dx y
d x
f) 2 2(3 2ln ), (1) ( ) 0 2
x y y e