BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

BAB VIII

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita perlu menyelesaikan pula persamaan diferensialnya. Dalam bab ini persamaan diferensial yang diberikan dibatasi pada persamaan diferensial tingkat satu khususnya sampai pada persamaan diferensial eksak.

TIK : Setelah mengikuti pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan persamaan diferensial yang diberikan.

8.1. Pengertian Persamaan Diferensial

Secara matematis, ersamaan diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat hasil bagi diferensial atau didalamnya terdapat turunan-turunan. Secara fisis, persamaan diferensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara turunan (derivatif) dari satu variabel tak bebas terhadap satu/lebih variabel bebas.

Banyak permasalahan dalam berbagai bidang teknik, fisika maupun bidang – bidang kehayatan yang dapat dimodelkan ke dalam bentuk persamaan diferensial. Berikut diberikan beberapa contoh fenomena di alam yang dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial.

Fenomena Persamaan Diferensial

Peluruhan zat radioaktif dt km

dm , dengan m = massa zat, t = waktu, dan k adalah konstanta pembanding

Hukum Newton tentang

gerak F  m ₂

2

dt s

d , dengan F  gaya, m  massa benda, s  jarak, dan t = waktu.

Model logistik menurut

Verhulst



a bP



P

dt

dP  , dengan P  besar populasi, t  waktu, dan a, b konstanta.

Laju perubahan tekanan

uap suatu zat ^T

kP dT

dP , dengan P  tekanan uap dan T  suhu.

Model ayunan (bandul)

sederhana ^{2 0}

2



 

 sin

l g dt

d , dengan   sudut perpindahan bandul, g  konstanta gravitasi, dan l  panjang tali bandul

Berdasarkan banyaknya variabel bebas, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu:

1. Persamaan Diferensial Biasa, yaitu persamaan diferensial yang mengandung hanya satu variabel bebas

Contoh : 1. kx dx dy

2. y3y2sinx

3. y y1 x

2. Persamaan diferensial parsial, yaitu persamaan diferensial yang mengandung lebih dari satu variabel bebas.

Contoh : 1.

z y y x x y



 

 



2.  0



 



 z

y x z x

z .

Beberapa istilah penting dalam PD :

Tingkat (Orde) suatu PD adalah tingkat turunan tertinggi yang muncul dalam PD tersebut.

Derajat (degree) suatu PD adalah pangkat dari turunan orde tertinggi jika PD tersebut ditulis sebagai polinomial dalam turunan.

Contoh :

1. kx

dx

dy  PD tingkat 1 derajat 1

2. y3y2sinx PD tingkat 2 derajat 1 3. y(y)²  y PD tingkat 3 derajat 1 4. y y1x PD tingkat 2 derajat 2

Suatu persamaan yang tidak lagi memuat turunan dan memenuhi suatu persamaan diferensial disebut penyelesaian atau selesaian persamaan diferensial.

Contoh : Persamaan yx²xC merupakan selesaian dari PD: yy2 x 3 sebab 1

2 



 x

y dan y2 sehingga yy(2x1)22x3.

Penyelesaian suatu persamaan diferensial dibedakan menjadi 2 yaitu :

a. Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial (PUPD) adalah selesaian PD yang masih memuat konstanta penting (konstanta sebarang).

b. Penyelesaian Partikulir/Khusus Persamaan Diferensial (PPPD/PKPD) adalah selesaian PD yang diperoleh dari PUPD dengan mengganti konstanta penting dengan konstanta yang memenuhi syarat awal atau syarat batas yang diberikan.

Contoh : PD ₂ 0

2

dx  y

d ditulis 0



 



 dx dy dx

d sehingga dx

dx d dy0



 



 .

Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh dx dx

d dy





^_^{ }_^{ 0 sehingga dy}_dx^C1.

Persamaan terakhir diubah bentuk menjadi dyC₁dx .

Dengan mengintegralkan kembali kedua ruas diperoleh PUPD : yC₁xC₂, dengan C1 dan C2 konstanta sebarang. Jika diberikan syarat awal dan syarat batas pada PD tersebut misalnya y  1 untuk x  0 dan y  4 untuk x  1, maka diperoleh C1 = 3 dan C2 = 1, sehingga

Jenis PD yang akan dibahas di sini adalah PD tingkat satu derajat satu yang meliputi PD terpisah, PD tak terpisah tetapi dapat dipisahkan, PD homogen, serta PD eksak.

8.2. PD Terpisah :

Bentuk umum : f(x) dx + g(y) dy = 0.

Cara menyelesaikan adalah dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap variabel yang muncul dalam diferensialnya masing-masing.

Contoh: Selesaikan PD 1. x³dx + (y+1)dy = 0 2. e^x dx + 0

1 

 dy e

e

y y

Penyelesaian :

1. x³dx + (y+1)dy = 0



^x3dx



^(y1)dy



^0dx

1 2

4 1

2 1 4

1x  (y ) C atau x⁴2(y1)² C

2. e^x dx + 0 1 

 dy e

e

y y



^{e dx}



_e^ye_ ^dy



^dx

y

x 0

1

e^x + C

e ) e ( d

y y

 



₁¹

e^x + ln (e^y + 1) = C

8.3. PD yang Dapat Dipisahkan

Bentuk umum : f(x).g(y)dxp(x).q(y)dy0

PD di atas bukan PD terpisah, tetapi dapat dipisahkan dengan cara membagi kedua ruas persamaan dengan g(y).p(x) sehingga diperoleh PD terpisah.

Contoh : Selesaikan :

1. x²(y1)dx y²(x1)dy0 2. 4xdyydxx²dy

Penyelesaian :

1. x²(y1)dxy²(x1)dy0 1 0

1

2 2

 

  dy

y dx y x

x

1 0 1 1 1

1

1 ²

2

 



 





 dy

y dx y x

x

1 0 1 1 1 1

1 1

1 







 







 dy

y ) y )(

y dx ( x

) x )(

x (

1 0 1 1 1

1 1 

 



 



 ]dy

y y [ dx x ] x [

1 0 1 1 1

1 1 

 



 









^[x _x ^{]dx [y} _y ^]dy

C

| y

| ln ) y (

| x

| ln ) x

(     1  1

2 1 1 2 1

1 _{2 2}

2. 4xdyydxx²dy 0 4xx²)dy ydx (

0 4x)dyydx (

x

4 0

 

) x ( x

dx y

dy

x B x A ) x (

x   

 4

4 1

A(4 – x) + Bx = 1 x = 0  4A = 1  A =

4 1

x = 4  4B = 1  B = 4 1

x B x A ) x (

x   

 4

4

1 =

4 1

x 1 +

4 1

x

 4

1

4 0









^dy_{y x(} ^dx_x)

ln |y| + 4

1



¹_x^{dx +} ₄¹



_4¹_x^{dx = C}

ln |y| + 4

1 ln |x| – 4

1 ln |4 – x| = C

8.5. PD Homogen

PD: M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 disebut PD homogen, jika M(x,y) dan N(x,y) masing-masing merupakan fungsi homogen berderajat sama.

f(x,y) disebut fungsi homogen derajat n, jika f(x, y) = ⁿf(x,y) Contoh:

Tentukan apakah fungsi di bawah ini homogen.

1. f(x,y) = x⁴ – x³y

2. f(x,y) = x² + sin x cos y Penyelesaian

f(x,y) = (x)⁴ – (x)³ (y) = ⁴x⁴ - ³x³.y = ⁴x⁴ - ⁴x³y = ⁴ (x⁴ - x³y)

Jadi f(x,y) merupakan fungsi homogen derajat 4.

2. Sebagai latihan

Penyelesaian PD homogen adalah dengan substitusi : y = vx, sehingga akan menjadi PD terpisah dalam variabel v dan x.

Contoh :

Selesaikan PD (x³ + y³) dx + 3xy² dy = 0 Penyelesaian :

(x³ + y³) dx – 3xy² dy = 0

M(x,y) = x³ + y³, N(x,y) = 3xy² masing-masing merupakan fungsi homogen berderajat 3, jadi PD di atas merupakan PD homogen.

Substitusi y = vx  dy = v.dx + x.dv, maka PD menjadi (x³ + v³x³) dx + 3xv²x² (v dx + x dv) = 0

x³(1 + v³) dx + 3x³v³ dx + 3x⁴v² dv = 0 (1 + v³) dx + 3v³ dx + 3xv² dv = 0 (1 + 4v³) dx + 3xv² dv = 0

Kedua ruas dibagi dengan (1 + 4v³). x sehingga menjadi 0

4 1

3

3 2





 dv

v v x dx

v C ) v ( d x

dx 











³

3

4 1

4 1 4 1

C ) v ln(

x

ln  14 ³  4

1

C ] x) ( y ln[

x

ln  14 ³  4

1

8.6. PD Eksak

PD berbentuk M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 disebut PD Eksak, jika

x N y M



 



 .

Penyelesaian PD eksak:

Misalkan penyelesaiannya berbentuk : F(x,y) = C (C=konstanta) Jika diambil turunan totalnya, maka

dF = x F



 dx + y F



 dy = 0

Berdasarkan bentuk umum PD eksak, maka diperoleh M = x F



 dan N = y F



 .

Misalkan  x F



 dx =  M dx

F(x,y) =



x

Mdx + (y), dengan (y) adalah fungsi sebarang yang akan dicari dengan cara menyamakan turunan F(x,y) terhadap y dengan N(x,y), yaitu

y F



 = ( Mdx) y



x



 + ’(y) = N(x,y)

Contoh :

Carilah SUPD dari PD :

1. (4x³y³ – 2xy) dx + (3x⁴y² – x²) dy = 0 2. (2x³ + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0 Penyelesaian :

1. (4x³y³ – 2xy) dx + (3x⁴y² – x²) dy = 0 M(x,y) = 4x³y³ – 2xy  x y x

y

M 12 ^{3 2}2





N(x,y) = 3x⁴y² – x²  x y x x

N 12 ^{3 2} 2





PD di atas adalah PD eksak.

Penyelesaian berbentuk F(x,y) = C1

Misalkan x F



 = M(x,y) = 4x³y³ – 2xy

F(x,y) = ( x y xy)dx x y x y (y)

x











^{4 3 3} ^{2 4 3 2}

x y x '(y) y

F   



 _{4 2 2}

3

N(x,y) = 3x⁴y² – x² Karena

y F



 = N(x,y), maka diperoleh ’(y) = 0, sehingga (y) = C2.

Jadi penyelesaiannya adalah 3x⁴y²x²C₂ C₁ atau 3x⁴y² x²C dengan C = C1-C2.

2. (2x³ + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0 M(x,y) = 2x³ + 3y  3



 y M

N(x,y) = 3x + y – 1  3



 x N

PD di atas adalah PD eksak.

Penyelesaian berbentuk F(x,y) = C1

Misalkan y F



 = N(x,y) = 3x + y – 1

F(x,y) =



(³xy¹)dy³xy₂¹y²y(x)

) x ( ' x y

F  



 3 , sedangkan M(x,y) = 2x³ + 3y

Karena x F



 = M(x,y), maka diperoleh ’(x) = 2x³, sehingga (x) = ⁴ 2 1x .

Jadi penyelesaiannya PD eksak di atas adalah xy y²y 2

3 1 + ⁴

2

1x = C.

Soal Latihan

Untuk soal no. 1-6, selesaikan PD di bawah ini

1. x(y )

y dx

dy

3 4

 

2. (1 + x³) dy – x²y dx = 0

3. (2x + 3y) dy + (3x + 2y) dx = 0 4. (1 + 2 ^y

x

e ) dx + 2 ^y

x

e (1 – 2 y

x) dy = 0

5. (y²

xy2

e + 4x³) dx + (2xy

xy2

e – 3y²)dy = 0 6. (x³ + xy² + x²) dx + x²y dy = 0

7. Diketahui banyaknya obat berkurang dengan laju tetap. Jika banyaknya obat semula adalah 100 ml dan setelah 4 jam obat yang tersisa 90 ml, maka tentukan saat obat habis terserap (untuk kasus ini kinetika obat dikatakan mengikuti reaksi orde ke nol).

8. Diketahui banyaknya obat berkurang dengan laju sebanding dengan banyaknya obat yang tersisa. Jika banyaknya obat semula adalah 100 ml dan diketahui waktu paruh obat adalah 4 jam, tentukan:

a. waktu obat tinggal 10 ml b. pernahkah obat habis terserap ?