2
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik
Pengertian limit secara intuisi
Perhatikan fungsi
1
1
)
(
2
x
x
x
f
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1
Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut
x
f(x)
0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.00011.0011.01 1.1
?
1 º 2
x x
f(x)
f(x)
Secara grafik
Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1
Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut
2
1
1
lim
2
1
x
x
x
Dibaca “ limit dari untuk x mendekati
1 adalah 2 1
1
2
x x
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa
L x
f c
x ( )
lim
4 8
5 3
lim
1
x x Contoh 1.
2. lim 2 32 2 lim2 (2 1)(2 2) 2 2 x x x x x x x
x limx22x 15
3 3 3 9 lim 3 9 lim 9 9 x x x x x x x x 9 ) 3 )( 9 ( lim 9 x x x
x limx9 x 3 6
3.
4. limsin(1/ )
0 x
x
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut
x ) / 1 sin( x /
2 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 2/7 2/8
1 0 -1 0 1 0 -1 0
0 ?
L x
f
c
x ( )
lim
0,
0 0 | x c |
| f (x) L |
Definisi limit
jika
c º
Untuk setiap
0 L
c º L
L
L
Terdapat sedemikian sehingga 0
c
º L
|
|
0
x
c
| f (x) L |
c c c
º
6
)
(
lim
f
x
c x
Limit Kiri dan Limit Kanan
c x
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah
bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri,
)
(
lim
f
x
c x
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah
bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan,
c x
L
x
f
L
x
f
L
x
f
c x c
x c
x
(
)
lim
(
)
dan
lim
(
)
lim
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan) notasi
notasi
Jika
lim
f
(
x
)
c x
)
(
lim
f
x
c
1 ,
2
1 0
,
0 ,
) (
2 2
x x
x x
x x
x f
) ( lim
0 f x
x
) ( lim
1 f x
x
Contoh Diketahui
a. Hitung
) ( lim
2 f x
x
d. Gambarkan grafik f(x) Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0
c. Hitung
b. Hitung Jika ada
8 )
( lim
0 f x
x lim 0
2
0
x
x )
( lim
0 f x
x limx0 x 0
0 ) ( lim
0
f x
x
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1
)
(
lim
1
f
x
x limx1 x 1
) ( lim
1 f x
x lim2 3
2
1
x
x
1
(
)
lim
1lim
x
x
f
x
limx1 f (x))
(
lim
2
f
x
x
lim
2
6
2
2
x
x
Karena Tidak ada
d.
Untuk x 0
2)
(
x
x
f
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk 1
2
2 )
(x x
f
Grafik: parabola
1 3
º
10
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
1
,
1
,
3
)
(
2x
c
x
x
cx
x
f
mempunyai limit di x=-1
Jawab
Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama dengan limit kanan
)
(
lim
1
f
x
x
cx
c
x
3
3
lim
1)
(
lim
1
f
x
x
x
c
c
x
1
lim
21
Agar limit ada 3+1c=1-c
) ( lim
3 f x
x
)
(
lim
1
f
x
x
) ( lim
1 f x
x
)
(
lim
1
f
x
x ) ( lim
1 f x
x
A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.
f(-3) f(-1)
f(1) 1.
2.
3.
4.
5.
6. 7.
12 Soal Latihan 1 , 2 1 , 1 ) ( 2 2 x x x x x x f ) (
lim
1 x fx
x
f x
1
lim ( )
x
f x
1
lim ( )
x
x
x
g
(
)
2
3
x
g x
2
lim
( )x
g x
2
lim
( )x
lim
2g x
( )
2 2 ) ( x x x f x f x 2
lim
( )x
f x
2
lim
( )x
f x
2
lim
( )1. Diketahui :
a.Hitung dan
b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya
2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :
3. Diketahui
, hitung ( bila ada )
a. b. c.
a. b. c.
G x
g L
x f
a x a
x ( ) dan lim ( )
lim
f x g x
f x g x L Ga x a
x a
x ( ) ( ) lim ( )lim ( ) lim
Sifat limit fungsi
Misal
(limit dari f , g ada dan berhingga) maka
f x g x
f x g x LGa x a
x a
x ( ) ( ) lim ( )lim ( ) lim
0 ,
) ( lim
) ( lim )
( ) (
lim
G bila G
L x
g x f x
g x f
a x
a x a
x 2.
3.
4. n n
a x n
a
x ( f (x)) (lim f (x)) L
lim ,n bilangan bulat positif
n n
a x n
a
x f (x) lim f (x) L lim
5. bila n genap L harus positif
14
2 2
2 ( 1)
1 1 sin ) 1 ( ) 1 ( x x x x
)
(
)
(
)
(
x
g
x
h
x
f
L
x
h
L
x
f
c x cx
(
)
serta
lim
(
)
lim
L
x
g
c
x
(
)
lim
1
1
sin
)
1
(
lim
21
x
x
x
Prinsip Apit
Misal untuk x disekitar c dan
maka
Contoh Hitung
Karena ) 1
1 1 sin( 1 x dan 0 ) 1 ( lim 2
1
x
x ,lim( 1) 0
2
1
x x 0 1 1 sin ) 1 ( lim 2
1
x x
Limit Fungsi
Trigonometri
1
sin
lim
.
1
0
x
x
x1
cos
lim
.
2
0
x
x1
tan
lim
.
3
0
x
x
x Contoh 2 . 2 2 tan 5 4 . 4 4 sin 3 lim lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 0 2 tan 5 4 sin 3 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 . 2 2 tan lim 5 4 . 4 4 sin lim 3 0 0 x x x x x x 3 7 2 . 2 2 tan lim 5 4 . 4 4 sin lim 3 0 2 0 4 x x x x x x16
Soal Latihan
t t
t 1 sin
cos lim
2
0
t t t
t 2sec sin cot
lim
0
t t
t 2
3 tan lim
2
0
t t
t t
t sec
4 3
sin lim
0
Hitung
1.
2.
3.
4.
x x
x sin2
tan lim
0
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Limit Tak Hingga
maka
,
0
)
(
lim
dan
0
)
(
lim
Misal
a
f
x
L
x ag
x
x
(
)
)
(
lim
x
g
x
f
a x
atas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
i
L
g
x
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
ii
L
g
x
bawah
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
iii
L
g
x
atas
arah
dari
0
)
(
dan
0
jika
,
)
(
iv
L
g
x
Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)
positif.
g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)
18
Contoh Hitung
1 1 lim
2
1
x
x
x
a.
1 1 lim 2
2
1
x
x
x x
x
xlim sin
b. c.
Jawab
a. lim 2 1 2 0
1
x
x ,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena
x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya
x-1 akan bernilai negatif Sehingga
1
1
lim
2
1
x
x
xb. lim 2 1 2 0
1
x x
akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi
bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif
1 )
( 2
x
x g
1
2
x
Sehingga
1
1
lim
22
1
x
c.
0 lim
x
x dan
f(x)=sinx
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif)
x
x
x
lim
sin
sehinggaKarena
20
Limit di Tak Hingga
L x
f
x ( )
lim
a. jika 0 M 0 x M | f (x) L |
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga L x Contoh Hitung 4 2 5 2 lim 2 2 x x x x Jawab
)
2
(
)
1
(
lim
2 2 4 2 5 2 2 x x x xx
x
4 2 5 2 lim 2 2 x x x x 2 2 4 2 5 2 1 lim x x x x L x
f
xlim ( ) jika 0 M 0 x M | f (x) L|
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga b.
L
x
Contoh Hitung
4 2
5 2
lim 2
x
x
x
4 2
5 2
lim 2
x x
x Jawab
)
2
(
)
(
lim
2 2
4 2
5 2
2
x x x
x
x
x
(
2
)
)
(
lim
2 2
4 5 2
x x
x
22
Contoh Hitung
x
x
x
x
lim
3
2
Jawab :
Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )
x
x
x
x
lim
3
2
) 3 3 ( 3 lim 2 2 2 x x x x x x x x xx
x x x x x x
x
3 3 lim 2 2 2 x x x x
x
3 3 lim 2 x x x x x x
x
(1 )
) 1 ( lim 2 3 1 2 3 | | 2 x x
x
x
x
x x xx
Soal Latihan
lim
x
x
x
3
3
3
limx 2 x2
3 4
)
1
(
lim
x
x
x
lim
x
x
x
1
21
1
lim
2
x
x
xlim
x
x
x
x
2
1
.
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
24
Kekontinuan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika (i) f(a) ada
ada )
( lim f x
a x
(ii)
(iii) lim f (x) f (a)
a
x
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a
a (i)
º f(a) tidak ada
a (ii)
1
L
2
L
Karena limit kiri(L1) tidak
sama dengan limit kanan(L2)
maka f(x) tidak mempunyai limit di x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a ●
º
f(a) f(a) ada
) ( lim f x
a x
L ada
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi
26
(iv)
a f(a)
f(a) ada
) ( lim f x
a
x ada
) ( )
(
lim f x f a a
x
f(x) kontinu di x=2
Ketakkontinuan terhapus
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi
contoh
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya 2 4 ) ( 2 x x x f 2 , 3 2 , 2 4 ) ( 2 x x x x x f a. b. 2 , 1 2 , 1 ) ( 2 x x x x x f c. Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x=2
b. - f(2) = 3
4 2 lim ) 2 ( ) 2 )( 2 ( lim 2 4 lim 2 2 2
2
x x
x x x x x x x
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x
28
c. - f (2) 22 1 3
- lim ( ) lim 1 3
2
2
f x x x x
3 1 lim
) (
lim 2
2
2
f x x x x
3
)
(
lim
2
f
x
x
) 2 ( )
( lim
2 f x f
x
Kontinu kiri dan kontinu kanan
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
) ( )
(
lim f x f a
a
x
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
) ( )
(
lim f x f a
a
x
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
2 ,
1
2 ,
)
( 2
x ax
x a x x
f
30
Jawab :
Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x
a
a
x
x
f
x
x
lim
2(
)
lim
2
2
(
2
)
2
1
4
1
2
a
a
f
2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1 f kontinu kanan di x=2
)
2
(
)
(
lim
2
f
x
f
x
1
4
1
2
)
2
(
a
2
a
f
1
4
1
lim
)
(
lim
22
2
f
x
xax
a
x
1. Diketahui
1
,
2
2
1
,
1
)
(
2x
x
x
x
x
f
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1 Soal Latihan
2. Agar fungsi
2 , 3 2 1 , 1 , 1 ) ( x x x b ax x x x f
kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?
3. Tentukan a dan b agar fungsi
2 , 4 2 2 , 2 4 ) ( 2 x x x x bx ax x f
32
Kekontinuan pada interval
Fungsi
f
(
x
) dikatakan
kontinu pada interval buka
(
a,b
) bila
f
(
x
) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Sedangkan
f
(
x
) dikatakan
kontinu pada interval tutup
[
a,b
]
bila :
1.
f
(
x
) kontinu pada (
a,b
)
2.
f
(
x
) kontinu kanan di
x
=
a
3.
f
(
x
) kontinu kiri di
x
=
b
Teorema 3.2
Fungsi Polinom kontinu dimana-mana
Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya
Misalkan , maka
f
(x) kontinu di setiap titik di
R
jika
n
ganjil
f
(
x
) kontinu di setiap
R
positif jika
n
genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4
0 atau x
4.
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
n
x
x
f
(
)
4 )
(x x
f
) 4 ( 0
4 lim
) ( lim
4
4 f x x x f
x
34
f x
x
x
x
( )
2
3
3
f x x x
( )
2 3
4 8
f x x x
( )
| |
2 2
9
4
1
)
(
2
x
x
x
f
2
4
)
(
x
x
x
f
A.Carilah titik diskontinu dari fungsi
B. Tentukan dimana f(x) kontinu Soal Latihan
1.
2.
3.
1.
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
Teorema Limit Fungsi Komposisi:
Jika dan
f
(
x
) kontinu di
L
, maka
Teorema kekontinuan fungsi komposisi:
Jika
g
(
x
) kontinu di
a
,
f
(
x
) kontinu di
g
(
a
), maka fungsi
kontinu di
a.
Bukti
karena f kontinu di g(a)
= f(g(a)) karena g kontinu di a
= (fog)(a)
L
x
g
ax
(
)
lim
lim
(
)
(
)
))
(
(
lim
f
g
x
f
g
x
f
L
a x a
x
) )( ( f g x
))
(
(
lim
)
)(
(
lim
f
g
x
f
g
x
a x a
x
))
(
lim
(
g
x
f
36
4 3
1 3
cos )
( 2
4
x x
x x
x f
)
)(
(
)
(
x
g
h
x
f
4 3
1 3
)
( 2
4
x x
x x
x
h
dan
g
(
x
) = cos
x
Contoh Tentukan dimana fungsi
kontinu
Jawab :
Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
dengan
Soal Latihan
Dimanakah fungsi berikut kontinu?
f(x) = cos(x
2– 2x + 1)