9.1 Integral Parsial
Formula Integral Parsial
:
Cara : pilih
u
yang turunannya lebih sederhana
Contoh :
Hitung
misal u = x, maka du=dx
sehingga
u dv
uv
v du
x
e
xdx
dx
e
dv
x
x xe
dx
e
v
C
e
e
x
dx
e
e
x
dx
e
x
x
x
x
x
x
Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali
Contoh Hitung
x sin
2x
dx
Jawab 2x
u
(i) Misal du = 2xdx dv = sinxdx V=-cosx
x
2cos
x
x
cos
xdx
Integral parsial (ii) Misal u = x du = dx dv = cosx dx v = sinx
x
2cos
x
(
x
sin
x
sin
x
dx
)
C
x
x
x
x
x
Ada kemungkinan integran (f(x)) muncul lagi diruas kanan Contoh Hitung
e
xxdx
cos
Jawab :
e
xxdx
cos
xe
u
e
xcos
xdx
2
(i) Misalu
e
xdu
e
xdx
dv=cosxdx v=sinx
e
xsin
x
e
xsin
xdx
Integral parsial (ii) Misaldu
e
xdx
dv = sinxdx v=-cosxC
xdx
e
x
e
x
e
x
x
x
sin
(
cos
cos
)
C
xdx
e
x
e
x
e
x
x
x
sin
cos
cos
)
Integral yang dicari ,bawa keruas kanan
C
x
e
x
e
x
x
sin
cos
Soal latihan
Hitung
ex
dx
1ln
x ln
xdx
ln(
1
x )
2dx
xdx
1sin
xdx
1tan
xdx
x
tan
1 1. 2. 3. 4. 5. 6.9.2 Integral Fungsi Trigonometri
Bentuk :
* Untuk
n
ganjil, Tuliskan :
dan gunakan identitas
* Untuk
n
genap, Tuliskan :
dan gunakan identitas
cos
nx dx
&
sin
nx dx
dan
sin
sin
sin
nx
x
n1x
cos
nx
cos
x
cos
n1x
sin
2x
cos
2x
1
x
x
x
x
x
x
n n n n 2 2 2 2cos
cos
cos
dan
sin
sin
sin
cos
2
x
2
cos
2
x
1
1
2
sin
2
x
sin
3x
dx
sin
2x
sin
x
dx
1
cos
2x
d
cos
x
cos
x
13cos
3x
C
Contoh Hitung
sin
3x
dx
1. Jawab
sin
4x
dx
2. 1.2.
sin
4x
dx
sin
2x
sin
2x
dx
x x)dx2 2 cos 1 ( ) 2 2 cos 1 (
(1 2cos2x cos 2x)dx 4 1 2
) 2 4 cos 1 2 cos 2 ( 4 1 dx x dx x dx C x x x x sin 4 32 1 8 1 2 sin 4 1 4 1 C x x x sin4 32 1 2 sin 4 1 8 3 Bentuk
a). Untuk
n
ataum
ganjil, keluarkan sinx
atau cosx
dan gunakan identitas
b). Untuk
m
dann
genap, tuliskanmenjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas
Contoh :
sin
3x
cos
2x
dx
sin
2x
cos
2x
sin
x
dx
sin
mx
cos
nx dx
sin
2
x
cos
2
x
1
cos
2
x
2
cos
2
x
1
1
2
sin
2
x
1
cos
5
x
1
cos
3
x
C
x
x
n mcos
dan
sin
1
cos
2x
cos
2x
d
cos
x
sin2 cos2 1 cos 2 cos 2 1 2 2 x x dx
x x dx
(1 cos 2x)dx 4 1 2 ) 2 4 cos 1 1 ( 4 1
x dx
dx cos4xdx 8 1 8 3 C x x sin4 32 1 8 3
1
sec
tan
2x
2x
1
csc
cot
,
2x
2x
tan
mx
sec
nx
dx
dan
cot
mx
csc
nx
dx
. Bentuk Gunakan identitas
serta turunan tangen dan kotangen
xd
x
d
(tan
)
sec
2,
d
(cot
x
)
csc
2x
dx
Contoh
tan
4xdx
2x
2x
dx
tan
tan
tan
2x
(sec
2
1
)
dx
tan
2x
sec
2xdx
tan
2xdx
tan
2xd
(tan
x
)
(sec
2x
1
)
dx
C
x
x
x
1tan
3tan
a.C
x
x
5 3tan
3
1
tan
5
1
tan
2x
sec
4x
dx
tan
2x
sec
2x
sec
2x
dx
b.
tan
2x
(
1
tan
2x
)
d
(tan
x
)
Soal Latihan
sec
4x
dx
cot
2w
csc
4w
dw
/4 0 2 4sec
tan
dt
t
t
Hitungdx
x
x
4 5cos
sin
dx
x
3csc
1. 2. 3. 4. 5.9.3 Substitusi Trigonometri
2 2
x
a
t
a
x
sin
dx
x
x
2 225
t
x
5
sin
x
dx
x
2 225
a. Integran memuat bentuk ,misal Contoh Hitung Misal dx = 5 cost dt
t
dt
t
t
2 2sin
25
cos
5
sin
25
25
tdt
t
t
cos
sin
5
)
sin
1
(
25
2 2
dt
t
dt
t
t
2 2 2cot
sin
cos
c
t
t
dt
t
(csc
21
)
cot
x 5x
x
25
1 22 2 x a
t
a
x
tan
dx
x
x
2
225
1
t
x
5
tan
dx
x
x
2
225
1
b. Integran memuat bentuk ,misal Contoh Hitung Misal
t
t
dt
t
2 2 2tan
25
25
tan
25
sec
5
t
t
dt
t
sec
tan
sec
25
1
2 2
t
t
d
dt
t
t
2 2sin
))
(sin(
25
1
sin
cos
25
1
C
t
sin
25
1
t x 2 25 xC
x
x
25
25
2dt
t
dx
5
sec
25
tan
t
x
2 2 a x
t
a
x
sec
dx
x
x
25
1
2 2t
x
5
sec
dx
x
x
25
1
2 2c. Integran memuat bentuk ,misal Contoh Hitung Misal
25
sec
25
sec
25
tan
sec
5
2 2t
t
dt
t
t
t
t
dt
t
t
tan
sec
tan
sec
25
1
2
dt
t
dt
t
t
cos
25
1
sec
sec
25
1
2C
t
sin
25
1
x 2 C
x
x
25
25
2dt
t
t
dx
5
sec
tan
5
sec
t
x
Soal Latihan Hitung dx x dx x
2 2 9 2 3 4 2 x x dx
2
24
x
x
dx
dx x x2 9
16
2 2x
x
dx
x2 dx9
3 2
/ 3 2 5 2 x dx x x
5 4 2
x x dx2
1
2
2
2x
x
x
dx
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.Substitusi Bentuk Akar
x u ax
b
n
nb
ax
u
dx
x
2
2
du
u
u
u
udu
1
2
2
2
Integran memuat ,misal Contoh Hitung
Misal
u
2
x
Dengan turunan implisit
1
2
u
du
dx=2udu Jawab :dx
x
2
2
du
u
u
1
1
1
du
u
1
)
1
1
(
C
u
u
ln(
1
)
Soal Latihan
x
x
dx
34
x
x
x
dx
22
1
t
t
dt
1
dt t t 4 3
x
x
1
dx
x
(
1
x
)
2/3dx
Hitung 1. 2. 3. 4. 5. 6.9.4 Integral Fungsi Rasional
Integran berbentuk fungsi rasional : , der (P)< der(Q)
Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu : 1. Faktor linear tidak berulang.
2. Faktor linear berulang.
3. Faktor kuadratik tidak berulang. 4. Faktor kuadratik berulang.
Kasus 1 ( linier tidak berulang )
Misal maka,
f x
P x
Q x
Q x
a x
1
b
1a x
2
b
2...
a x
n
b
n
P x Q x A a x b A a x b A a x b n n n 1 1 1 2 2 2 ...
dx
x
x
9
1
2
(
3
)(
3
)
)
3
(
)
3
(
3
3
9
1
2
x
x
x
B
x
A
x
B
x
A
x
x
3
3
1
x
A
x
B
x
AB
x 3A3B
x dx dx 3 dx 2 3 1 1 Contoh Hitung Jawab Faktorkan penyebut : 2
9
(
3
)(
3
)
x
x
x
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan A +B =1 -3A+3B=1 x3 x1 3A +3B=3 -3A+3B=1 + 6B=4 B=2/3 ,A=1/3 Sehingga
C
x
x
1
ln
|
3
|
2
ln
|
3
|
1 2 2 1 x x dx
Q x
a x
i
b
i
p
p i i p p i i p i i i ia
x
b
A
b
x
a
A
b
x
a
A
b
x
a
A
x
Q
x
P
1 1 2 2 1...
p pA
A
A
A
1,
2,
...
,
1,
2
1
2
2
1
1
2 2
x
C
x
B
x
A
x
x
Kasus 2 Linear berulang
Misal Maka
dengan konstanta akan dicari Contoh Hitung
2
1
)
2
(
)
1
(
)
1
)(
2
(
1
2
1
2 2 2
x
x
x
C
x
B
x
x
A
x
x
2)
2
(
)
1
(
)
1
)(
2
(
1
A
x
x
B
x
C
x
)
2
4
(
)
4
(
)
(
1
A
C
x
2
A
B
C
x
C
A
B
Penyebut ruas kiri = penyebut ruas kanan
A+C=0 A+B+4C=0 -2A-B+4C=1 A+B+4C=0 -2A-B+4C=1 + -A+8C=1 A+C=0 -A+8C=1 + 9C=1 C=1/9 A=-1/9 B=-1/3
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
1
1
9
1
2
1
3
1
2
1
9
1
1
2
1
2 2C
x
x
1
ln
|
2
|
1
1
ln
|
1
|
Q x
a x
1 2
b x
1
c
1a x
2 2
b x
2
c
2...
a x
n 2
b x
n
c
n
P x
Q x
A x
B
a x
b x
c
A x
B
a x
b x
c
A x
B
a x
b x
c
n n n n n
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2...
n nB
B
B
A
A
A
1,
2,
...
,
,
dan
1,
2,
...
,
Kasus 3 Kuadratik tak berulang
Misal
Maka
Contoh Hitung
1 2 x x dx
1
1
1
2 2
x
C
x
B
x
A
x
x
1
) ( 1 2 2 x x x c Bx x A Jawab
x
Bx
c
x
A
1
(
)
1
2
A
B
x
2
cx
A
)
(
1
A+B=0 C=0 A=1 B=-1
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
1
1
1
1
2 2
x x d x x dx x x 2 ) 1 ( 1 1 2 2 2
1
)
1
(
2
1
2 2x
x
d
C
x
x
ln(
1
)
2
1
|
|
ln
2
Q x a xi 2 b xi ci p
p i i i p p p i i i p p i i i i i ia
x
b
x
c
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
x
Q
x
P
2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1...
p p p p A danB B B B A A A1, 2,..., 1, 1, 2,..., 1,Kasus 4 Kuadratik berulang
Misal Maka
Contoh Hitung 6
15
22
3 2 2 2 2 x x x x dx
2
2
2
2 2 22
2
3
2
3
22
15
6
x
E
Dx
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
2
2 2 2 22
3
)
3
)(
(
3
2
)
(
2
x
x
x
E
Dx
x
x
C
x
B
x
A
Jawab :
2
(
)
2
3
(
)(
3
)
22
15
6
x
2
x
A
x
2
2
B
x
C
x
2
x
Dx
E
x
4 3 2 2)
3
2
4
(
)
3
(
)
(
22
15
6
x
x
A
B
x
B
C
x
A
B
C
D
x
)
3
6
4
(
)
3
2
6
(
B
C
D
E
x
A
C
E
Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh A+B=0 3B+C=0 4A+2B+3C+D=1 6B+2C+3D+E=-15 4A+6C+3E=22
Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3 D=-5, E=0
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
x
x
2 2 2 2 2 22
5
2
3
3
1
2
3
22
15
6
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
x
dx
2 2 2 2)
2
(
2
2
5
2
3
2
2
2
1
3
.
5
tan
3
)
2
ln(
1
|
3
|
ln
x
x
2
1
x
C
Sehingga
Catatan
jika , bagi terlebih
dahulu P(x) dengan Q(x), sehingga
der
(
P
(
x
))
der
(
Q
(
x
))
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
Q
x
S
x
H
x
Q
x
P
,
der
(
S
(
x
))
der
(
Q
(
x
))
Contoh Hitungdx
x
x
x
x
2
2
4
4
2 3 Der(P(x))=3>der(Q(x))=2 Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x)4
2
2 3
x
x
x
4
2
x
xx
x
3
4
4
5
2
x
2
x
+28
2
x
2
4
4
5
2
4
4
2
2 2 2 3
x
x
x
x
x
x
x
)
2
(
)
2
(
)
2
)(
2
(
4
5
4
4
5
2
x
B
x
A
x
x
x
x
x
)
2
)(
2
(
)
2
(
)
2
(
x
x
x
B
x
A
)
2
(
)
2
(
4
5
x
A
x
B
x
………..(*)Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untuk Untuk x=2 dan x=-2
Untuk x = 2 5.2+4=A(2+2) A=7/2 Untuk x = -2 5.(-2)+4=B(-2-2) B=3/2
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
x
2
1
2
3
2
1
2
7
)
2
(
4
4
2
2 2 3Soal Latihan 2 1 6 18 2 x x x dx
dx
x
x
(
5
)
1
2(
1
)
dx
x
x
x
x
2 3 22
2
3
5
2
2)
1
(x
x
dx
22 1
3
369
2 2 x x x x dx
dx
x
x
x
x
5
2 2 3 24
3
2
dx
x
x
x
x
6
5
2 2 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. HitungIntegral Fungsi Rasional dalam sin dan cos
?
)
sin
,
(cos
f
x
x
dx
, f fungsi rasional Cara : Gunakan subsitusi x
t
2tan
2
1
)
(
sec
2 2xdx
dt
dt
dx
x)
(
tan
1
2
2 2
dt
t
dx
21
2
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1cos
cos
sin
2
cos
sin
2
sin
xx
x
x
x
x
2 2 2 2 2 2 21
2
tan
1
tan
2
sec
tan
2
t
t
x x x x
1
sec
2
1
cos
2
cos
2 2 2 1 2
xx
x
1 1 2 1 tan 1 2 2 2 2 t x 2 21
1
t
t
Contoh Hitung
1
sin
dx
x
cos
x
Jawabt
t
t
t
t
t
t
t
x
x
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
cos
sin
1
1
2 2 2 2 2 2
Gunakan substitusi diatas diperoleh
)
1
(
2
1
2t
t
1 sindxx cos x
dt t dt t t t 1 1 1 2 ) 1 ( 2 1 2 2C
C
t
x
ln
|
1
|
ln
|
1
tan
2|
Soal Latihan Hitung
