BAB VII. TEKNIK PENGINTEGRALAN
7.1. SUBSTITUSI
7.2. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI 7.3. SUBSTITUSI YANG MERASIONALKAN 7.4. PENGINTEGRALAN PARSIAL
7.5. PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL 7.6. INTEGRAL TAK WAJAR
Daftar pendek integral yang sudah diketahui:
sec 1
18) tanh
1 17)
tan 1
16) cosh
1
15)
sinh 1
14) cos
sin 1
13)
cos cot
cos
12) sec
tan sec
11)
cot cos
10) tan
sec ) 9
sin ln cot
8) cos
ln tan
7)
sin cos
6)
cos sin
5)
0 ,
1 ,
ln
4)
3)
ln
2) 1
bila , 1
1)
1
2 1
2
1 2
1 2
1
2 1
1
2
2 2
1
C x x
x dx C
x x
dx
C x x
dx C
x x
dx
C x x
dx C
x C
x -x
dx
C ecx xdx
ecx C
x xdx
x
C x xdx
ec C
x xdx
C x xdx
C x xdx
C x xdx
C x xdx
a a
C a a dx a C
e dx e
C x x
dx r
C r
x dx x
x x
x x
r r
) ( )
( dan
, ) ( ),
(
bila
, ))
( ( )
( )
( )
( )) ( (
u f u
F dx
x g du x
g u
C x
g F C
u F du u f dx
x g x g f
7.1. TEKNIK SUBSTITUSI
Contoh-contoh:
4
4
10)
tan sec
sec
9)
1
1
8)
4 ,
3
25
6 7
7)
tan
cos
6)
11
11
5)
9 4 4)
1
6 3)
9 5
3
2)
) ( cos
5
1)
SUBSTITUSI
INTEGRAL
2 5
2
2 2 2
2 tan
4 4
3
2 2
2 5 9 2
2 2
2
1
x u dx
x x
x x
u xdx
x u dx
x x x
u v x
u dx
x x
x u
dx x a
x u dx
x x
e u dx
e e
x u dx
x e
x u
dx x
x u dx
x x
x
x x
x
7.2. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
du u
dx x x
xdx du
x u
dx x x
dx x x
dx x x
dx x dx
x
m m
n n
dx x
m m
m m
m m
n n
2 2
2 2
2 1
2
1 )
sin( )
( cos 1
sehingga
, sin
maka
cos misalkan
) sin( )
( cos 1
) sin( )
( sin
) sin( ) ( sin )
( sin
) ( sin
sehingga ,
... 3 , 2 , 1 ,
1 2
maka ganjil
Bila
? )
( sin 1)
dx x
dx x
dx x
m m n
n
m m
m
2 2 cos 1
) ( sin )
( sin
sehingga bulat,
bilangan ,
2 maka
genap Bila
2 2
,... 3 , 2 , 1 ,
1 2
yaitu ganjil
Bila
? )
( cos ) ( sin 2)
k k
n n
dx x
x n
m
Simpan satu faktor cosinus dan gunakan sehingga faktor yang tersisa adalah sinus, kemudian gunakan substitusi u = sin x
x
x 2
2
sin 1
cos
Demikian pula bila m ganjil.
Bila m dan n genap gunakan rumus sudut ganda
x x
x
x x
c x
x
cos sin
2 2
sin atau
2 2 cos 1
os atau
2 2 cos 1
sin2 2
Contoh-contoh:
C x
x x
) u u
(u
du u u
du u
xdx du
x u
xdx x
xdx x
dx x
5 5
1 3
3 2 5
5 1 3 3 2
4 2
2 2
2 2 4
5
cos cos
cos
2 1 )
1 (
sehingga ,
sin maka
cos Misalkan
sin )
cos 1
( sin
sin )
( sin
1)
C x
x x
x x
x
dx x
x
dx x
x
dx x x
dx x
dx x
dx x
32 4 cos 2
sin 4 1 8
3
8 4 cos 2
sin 2
3 4 1
2 4 cos 2
cos 2 2 3 4
1
2 4 cos 1
2 cos 2 1 4
1
2 cos 2
cos 2 1 4 1
2 2 cos 1
) (cos )
( cos
2)
2
2 2
C x
x x
C u
u u
du u
u u
du u
u u
du u
u xdx
x x
x dx du
x u
xdx x
x
xdx x
x dx
x x
9 9
1 7
7 2 5
5 1
9 9 1 7 7 2 5 5 1
8 6
4
4 2
4
2 2 4
2 2 4
2 2 4
4 4
5 4
sin sin
sin
) 2
) 2
1 (
) 1
( cos
) sin 1
)( ( sin
sehingga
, cos
maka sin
Misalkan
cos )
sin 1
)( ( sin
cos ) ( cos ) ( sin )
( cos ) ( sin
3)
C x
x x
x
dx x x
x
dx x x
x
dx x x
x x
xdx x
x x
x
x xd
x x
x xd
xdx x
dx x
4 sin sin
cos
) 4 cos 1
( sin
cos
2 sin sin
cos
cos sin
3 sin
cos
sin cos
3 . sin sin
cos
cos sin
sin cos
sin cos
cos cos
) ( cos
2)
16 3 4
3 3
4 3 3
2 2
3 3
2 2
3
2 3
3 3
3 3
4
7.3. SUBSTITUSI YANG MERASIONALKAN
Kasus 1 :Integran memuat bentuk n ax b
Penanganan: lakukan substitusi
atau
n
b
ax
u
b
ax
u
dx
x
x
dx
x
x
dt
t
t
dx
x
x
x
3 2
4)
)
1
(
3)
1
2)
4
3
1)
:
Contoh
3 2
Kasus 2 :Integran memuat bentuk
2 2
2 2
2 2
atau
,
,
a
x
x
a
x
a
Bentuk
Substitusi
2 2
x
a
2 2
x
a
2 2
a
x
u
a
x
sin
u
a
x
tan
u
a
1
3)
)
4
(
2)
16
1)
:
Contoh
3
2
3 2
2 2
2
2 3
dx
x
x
t
dt
dx
x
x
7.4. PENGINTEGRALAN PARSIAL
Teknik ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan integral dari perkalian fungsi.
Ingat kembali bahwa
dx x dv x u x
v dx
x du x
v x u dx
d ( )
) ( )
( ) ( )
( )
(
sehingga
( ) ( )
( ) ( ). )( ) (
dx x du x v x
v x u dx
d dx
x dv x
u
Bila kedua ruas dikalikan dengan
dx
maka
( ) ( )
( ) ( ). )( )
(x dv x d u x v x v x du x
u
Bila kedua ruas diintegralkan maka
u(x)dv(x)
d u(x)v(x) v(x)du(x)
dx
x
x
xdx
x
xdx
x
dx
e
x
xdx
x
dx
x
dx
x
xdx
x
dx
xe
dx
x
x
x x
)
ln(sin
cos
10)
sec
9)
ln
8)
7)
cos
6)
)
1
ln(
5)
)
(
sin
4)
ln
3)
2)
1
1)
:
Contoh
2 3
2 1
2
2
Agar terampil mengintegralkan diperlukan
1. Mata jeli
2. Feeling
7.5. PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL
Bentuk umum fungsi rasional:
m m
n n
x
b
x
b
x
b
b
x
a
x
a
x
a
a
x
g
x
f
y
2 2 1
0
2 2 1
0
)
(
)
(
Bentuk umum integral fungsi rasional:
dx
x
b
x
b
x
b
b
x
a
x
a
x
a
a
dx
x
g
x
f
m m
n n
2 2 1
0
2 2 1
0
)
(
)
(
Langkah-langkah penyelesaian:
1. Jika , bagilah f(x) dengan g(x), sehingga diperoleh
2. Uraikan g(x) menjadi hasil kali faktor-faktor linier dan kuadrat yang tak terfaktorkan lagi.
3. Untuk tiap faktor yang berbentuk
(
ax
+
b
)
k, dekomposisi-kanlah menjadi4. Untuk tiap faktor yang berbentuk
(
ax2
+
bx+c
)
j, dekomposisikanlah menjadi5. Tentukan , lalu selesaikan integralnya.
m n
)
(
)
(
)
(
22 1
0
2 2 1
0
x
g
x
R
x
Q
x
b
x
b
x
b
b
x
a
x
a
x
a
a
m m
n
n
k k
b ax
A b
ax A b
ax A
) (
)
( 2
2 1
j j j
c bx ax
C x B c
bx ax
C x B c
bx ax
C x B
) (
)
( 2 2 2
2 2
2
1 1
j
C C
B B
A
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
x
4
4
7
5
5)
6
20
2
4)
6
2
5
3)
3
2
2)
5
1
2
1)
:
Contoh
2 2 2
2 3
2 3
7.6. Integral Tak Wajar (Improper Integral)
1. Integral Tak Wajar Jenis I: batas pengintegralan tak berhingga 2. Integral Tak Wajar Jenis II: integran tak berhingga
3. Integral Tak Wajar Jenis III: Campuran ITW I dan ITW II
1. Integral Tak Wajar Jenis I
2. Integral Tak Wajar Jenis III
1 1
0 0
1 1
2 2
0 0
1 1
5 5 5
6 6
5 5 5
5
) 1 ( )
1 ( )
1 ( )
1 ( )
1 ( )
1 (
) 1 ( )
1 ( )
1 ( )
1 ( . 2
5 5
5 5
5 5
. 1
: Contoh
2 1 2
1
x x
dx x
x dx x
x dx x
x dx x
x dx x
x dx
x x
dx x
x dx x
x dx x
x dx
x dx x
dx x
dx x
dx x
dx x
