Bahan ajar Kls X Semester 1

(1)

Standar Kompetensi

Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.

BENTUK PANGKAT/EKSPONEN, AKAR DAN LOGARITMA.

Kompetensi Dasar : 1.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah

1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan tehnis yang berkaitan dengan pangkat, akar dan logaritma.

Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat 1.1.1. Mendefinisikan pangkat, akar dan logaritma.

1.1.2. Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma, serta hubungan satu dengan yang lainnya.

1.1.3. Mengaplikaikan rumus-rumus pangkat / eksponen. 1.1.4. Mengaplikaikan rumus-rumus bentuk akar.

1.1.5. Mengaplikaikan rumus-rumus logaritma.

. Prasyarat : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat.

2. Operasi hitung dalam aljabar. A. BENTUK PANGKAT/EKSPONEN DAN BENTUK AKAR

A.1. BENTUK PANGKAT / EKSPONEN.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pangkat/eksponen dan bentuk akar diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti dian- tara beberapa pola berikut ini:

Masalah 1 : Tentukan dan jabarkan bentuk : a. 35_{b. 5}6_{c. 10}4

Penyelesaian : a. 35= 3 x ….x ….. x ….. x ….. = 243

b. 56= …. x …. x ….. x ….. x ….. x …… = …….

c. 104= …. x ….. x ….. x ….. = ………

Penarikan kesimpulan:

an = …. x ….. x ….. x …… x ….. x a , di mana : an_{dibaca a pangkat n}

n factor a disebut bilangan pokok atau basis.

n disebut pangkat atau eksponen

an_{disebut bilangan berpangkat.}

A.1.1. PANGKAT BULAT POSITIF.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:

Masalah 2 : Tentukan nilai dari: a. 43 _{x 4}2 _{b. 2}4_{x 2}5

Penyelesaian :

a. 43 _{x 4}2= ( 4 x …. x 4 ) x ( 4 x ….. ) = ( 4 x ….. x ….. x ….. x ….)_{= 4}3 + 2_{= 4}…..

3 faktor 2 faktor (3 + 2) factor b. 24_{x 2}5₌( 2 x …. x …. x …. ) x ( 2 x …. x …. x …. x 2 )

= ( …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. ) = 2….. Penarikan kesimpulan:

ap_{. a}q= ( a x a x a x … x a ) ( a x a x a x … x a)_{= ( a x a x a x .. x a ) = a}… + ….

…. factor …. factor ( … + …. ) factor Sifat 1 : ap _{. a}q_{= a}…. + ……

(2)

LKS-Mat.X-02

Masalah 3 : Tentukan nilai dari: a. ₃ 5

4

b. ₄ 8

3

Penyelesaian : 5 faktor 3 faktor

a. ₃ 5

4

=

... ... 4

... ... ... 4 4

x x

x x x x

=

... ... 4

x x

x ( 4 x ….. ) = 1 x ( 4 x ….. ) = 42_{= 4}5 - 3

3 faktor 3 faktor 2 faktor 8 faktor 4 faktor 4 faktor

b. 4 8

3

=

3 ... ... 3

3 ... ... ... ... ... ... 3

x x x

x x x x x x x

=

... ... ... 3

x x x

x ( 3 x ….. x ….. x….. )

4 faktor 4 faktor

= 1 x ( 3 x …..x…..x….. ) = 3 x …. x …. x 3 = 34_{= 3}….. - ….. 4 faktor 4 faktor

Penarikan kesimpulan:

p faktor q faktor ( p - …. ) faktor

_q

p

a

=

xa x ax

xa x x x x x ax

... ...

... ... ... ... ... ...

=

... ... ...

x x ax

. ( a x ….. x ….. x….. )

q faktor q faktor

= 1 x ( a x …..x…..x a ) = a x a x …. x a = a…. - ……

( …. - …. ) faktor ( ….. - …. ) faktor

Sifat 2 : _q

p

a

= a….. - ……

Masalah 4 : Tentukan nilai dari: ( 2 x 5 )3

Penyelesaian : 3 faktor 3 faktor 3 faktor

( 2 x 5 )3= ( 2 x 5 ) x ( … x … )x ( …x 5 ) = ( 2 x … x 2 ) x ( 5 x …x … ) _{= 2}… _{. 5}….

( a . b )p = ( a x b ) x ( … x … )x …x ( … x b ) = ( a x … x …_{x a ) x ( b x .}…x … x b)

p factor p factor p factor = a … . b ….

Sifat 3 : ( a . b ) p_{= a}….. _{. b}p

Masalah 5 : Tentukan nilai dari: ( 53₎4

Penyelesaian :

4 faktor 4 faktor

( 53₎4_{= 5}3_{x 5}…._x_…_{x 5}3_{= ( 5 x}…._{x 5 ) x ( 5 x}…._x…. ) _{x ( 5 x}…._x…. ) _{x ( 5 x}…._x…. ) 3 faktor 3 faktor , 3 faktor 3 faktor = 5 x …. x …. x ….. x ….x ….x ….. x ….. x ….. x …. x …. x 5 = 5…. x ….. = 5……

2 faktor atau { ( …. x …. ) factor }

(3)

LKS-Mat.X-03 Masalah 6 : Tentukan nilai dari: (

5 2

)4

Penyelesaian : 4 faktor 4 faktor

(

5 2

)4₌

5 2

x

5

...

x ….. x 5 2

=

.... .... .... 5

2 .... .... 2

x x x

= _... ...

5

2

4 faktor Sifat 5 : (

b a

) p₌ ....

p

b

a

A.1.2. PANGKAT BULAT NOL DAN NEGATIF.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna membuktikan kebenaran hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:

Masalah 7 : Buktikan bahwa: a. ao _{= 1} _{b. a}-p₌ p

a 1

Bukti : a. Akan dibuktikan ao _{= 1}

Ambil sifat 1 : ap _{. a}q_{= a}…. + …… _{, missal : p = 0 didapat:}

a…. . aq_{= a}0 + …… _{= a}…..

a 0₌ ....

a

q

= ……. Terbukti.

Sifat 6 : a 0₌₁ b. Akan dibuktikan a-p₌

p

a 1

Ambil sifat 1 : ap _{. a}q_{= a}…. + …… _{, missal : q = -p didapat:} a…. . a….. = a….. – p_{= a}…..

a–p ₌ .... ....

a

=

...

_....

a

Terbukti.

Sifat 7 : a-p₌

p

a 1

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan sifat-sifat bilangan pangkat!

a. 4p2_{x 2p}3_{x 2}3_p _{c. 10y}7_{: 2y}2 _{e. 6d}8_{: ( 3d}2_{x 2d}2₎

b. ( -k3₎2_{: k}4 _{d. ( -m}5_{: m}2₎4_{x m}7 _{f. ( -6u}3_{v )}4_{: ( 2uv}2₎2

2. Ubah ke dalam bentuk pangkat negative ! a. ₆

4

1

t

b.

(

)

3

5

b

a



c.

(

2 3

)

3

2

c

b



3. Ubah ke dalam bentuk pangkat positif ! a. a-6_b4_{x a}2_b-2 _c.

2 7

9

27

p



e. ₁ ₂ ₆ 7 3 2

.

21

9

p

n

m

p

n

m

 



b. (5m2_n-3₎-2_{x 2(m}-2_n3₎2_d.

2

3 4 2

8

2 

 

   

 

mn n m

f.





6

3

4 2 2 2

:

3

m

p

n

m

 

A.2. PANGKAT RASIONAL / PECAHAN ATAU BENTUK AKAR.

Bentuk akar ialah akar bilangan rasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional.

(4)

LKS-Mat.X-04 Dengan menggunakan sifat 1 : ap _{. a}q_{= a} p + q_{akan kita coba membuktikan hubungan}

pangkat pecahan dan bentuk akar, sebagai berikut:

a. a = a berarti ... ... ... ... ... 2 1 2 1

.a a a

a    sehingga : a = ... 1

a

.

3

a

3

a

.

3 _a_{= a berarti} ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....

1 3 1

.

a



 



sehingga ... 1 3 1

a



Sehingga dapat disimpulkan berlakunya : Sifat 8 : ...

p

q p

a



Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Nyatakan dalam bentuk pangkat rasional/pecahan ! a. _q24 _q3 _b._m3 _m _c.

6 5 5

1

y

2. Nyatakan dalam bentuk akar ! a. 5

2

4a b. 2

5

9k c. 2

3 2 7

3

9a  a

3. Sederhanakan bentuk di bawah ini ! a.

2

2 3 2 1

.

3













b

a

b.

5 1

8 2

2 3

.

3

.

96













 

b

a

b

a

c.

m m m

x y y x

           

3 3

4. Hitung nilai dari ! a. 643

1

b. 2 5

3 1

9 ) 27 (

c.

   

3 2 2 1

8

.

144



A.2.a. OPERASI HITUNG BENTUK AKAR.

a.1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.

Bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangi hanyalah bentuk akar yang sejenis / sama.

Masalah 8 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:

a. 2 3 + 5 3 b. 4 7 - 7

Penyelesaian:

a. 2 3+ 5 3 = ( 2 + …. ) 3 = … 3 b. 4 7 - 7= (…. - ….) 7 = …. 7

Penarikan Kesimpulan : a

p



b

p

= ( a



…. )

...

a.2. Perkalian bentuk akar.

Masalah 9 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini: a. 3 x

2

b. 4 3 x 2 7

Penyelesaian:

a. 3 x

2

= 3x... ... b. 4 3 x 2 7= ( 4 x…. ) 3x...... ...

Penarikan Kesimpulan :

a

.

b

= a. b

a.3. Menyederhanakan bentuk akar.

Masalah 10 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini: a.

12

b. 8 x

12

Penyelesaian:

a. 12  ...x3 ...x ...... ...

(5)

LKS-Mat.X-05

A.2..b. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR.

Guna menyederhanakan penyebut bentuk akar dari suatu pecahan perlu dipahami tentang operasi perkalian pada bentuk akar, dan diskusikan beberapa permasalahan berikut ini:

Masalah 11 : Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini:

a.

3

6

b.

2

3

5



Penyelesaian:

a.

3

6

=

3

6

x 1 =

3

6

x

... ....

=

...



x

b.

2

3

5



=

3

2

5



x 1=

3

2

5



x

....

...

2

3



=

2 2

)

...

(

)

...

(

)

...

....(



=

... ...

) ... ... ...(

 

Di mana :

3



2

dan 3 2disebut bentuk akar yang saling sekawan dan jika di- kalikan menghasilkan bilangan Real: ( 3)2-( 2)2= 3 – 2 = 1

Penarikan Kesimpulan : a.

b

a

x

b

a

b

a

....



b.

c

b

a



=

...

)

....

(

....









a

b

x

c

b

a

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Nyatakan ke dalam bentuk akar yang paling sederhana !

a. 5 73 7 7 b.

3

2

(

2



5

)

c.

5

(

4

5



3

)



3

(

5



3

)

2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini !

a.

3

2

3



b.

2

3

2

11



c. 2

3 3 5



3. Diketahui x = 2

3



2

dan y = 2 3 2. Tentukan nilai dari : a. x2_y _{b. x}2_{+ 2xy + y}2 _c.

y

x

B. BENTUK LOGARITMA.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut logaritma diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Perlu diingat bahwa pada definisi eksponen: ax_{= c} Dari sini dapat ditarik hubungan sebabagi berikut:

1. a x₌……. _{dikenal dengan}_{operasi perpangkatan / eksponen.}

2. (….)x_{= c}_x _...

c dikenal dengan operasi bentuk akar. 3. a (….) = c  alog c = …... _{dikenal dengan}_{operasi logaritma}_.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa antara bentuk pangkat/eksponen dengan bentuk logaritma memiliki korelasi yang erat.

Definisi: Logaritma suatu bilangan c untuk bilangan pokok/basis a, adalah eks- ponen bilangan berpangkat yang menghasilkan c jika a dipangkatkan dengan eksponen tersebut, dimana a > 0 , a



1 dan c > 0.

(6)

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan nilai yang pasti di antara beberapa model logaritma berikut ini:

LKS-Mat.X-06

Masalah 12 : Tentukan nilai dari : a. 2_{log 8 b.}10_{log 10000 c.}3

log

1

9 Penyelesaian:

a. 2_{log 8 = 3} _{, sebab 2}3_{= 8}

b. 10log 10000 = ……. _{, sebab 10}….._{= 10000}

c. 3

log

1

9 = …….. , sebab

...

3 1

= ……..

Pada dasarnya logaritma dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu: 1. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan real:

1.1. Untuk bil. Pokok a = 10  10_{log c biasa ditulis log c}

1.2. Untuk bil. Pokok selain 10  a_{log c , missalnya:}2_{log 3}

Konsep ini dikenalkan oleh Robert Briggs dan biasa disebut sebagai Logaritma Briggs.

2. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan natural/alam (e = 1,7218….. )

e_{log c biasa ditulis ln c (dibaca Lon c)}

Konsep ini dikenalkan oleh John Napier dan biasa dikenal dengan Logaritma Natural. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti (sifat-sifat) di antara beberapa pola berikut ini:

Dari definisi : a_{log c = x}__ax _{= c didapat a}x_{= a}a_logc

= ….. Sehingga berlaku:

Sifat 1 : aalogc = c , Sederhanakan:

4

2log7



...

4

2log7



(....)

22log...



(...)

2log(...)2



(...)

2



...

Masalah 13 : Tentukan bentuk lain dari : a. a_{log x +}a_{log y b.} a_{log x -}a_{log y c.}a_{log x}p

Penyelesaian:

a. a_{log x +}a_{log y, missal : p =}a_{log x maka sesuai definisi didapat a}…._{= x}

q = a_{log y maka sesuai definisi didapat a}q= …..

sehingga x.y = ap_{. a}….._{= a}….. + ….._{maka :}alog (…. …..) = p + …..

Sehingga berlaku: Sifat 2 : a_{log x.y =}a_log….₊a_log…. Sederhanakan: 3_{log 15 jika diketahui}3_{log 5 = a}

3_{log 15 =}3_{log (….. x …..) =}3_{log ….. +}3_{log ….. = 1 + ……..}

b. a_{log x -}a_{log y , dengan cara yang sama didapat:}

y

x

= _q

p

a

= ap... maka a_log













y

x

= …. - ….. Sehingga berlaku:

Sifat 3 : a_log

y

x

= alog …. _-alog …. Sederhanakan: 4_{log 8 jika diketahui}4_{log 2 = a}

4_{log 8 =}3_log 2

16₌4 log …_{. -}4log …_{. =}4log (….)2–4log ….. = 2 4log … _-a = …. _-a

p faktor

c. a_{log x}p₌a_log( x . x . x . ….. . x )₌a_{log x +}alog x + …….. + a_{log x}= ….. a_{log x}

p suku Sehingga berlaku:

(7)

Sederhanakan: 2log 32 = ………

2_{log 32 =}2log (….)5= (….) 2log ….. = …….

LKS-Mat.X-07 Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Sederhanakan bentuk logaritma di bwah ini:

a. 6_{log 8}–6_{log 2 +}6_{log 9 c.}3_{log 81}–3_{log 9} _e.5_{log 100}–_2.5_{log 2}

b. 3_{log 3}8₊3_log 3

27

1













d. 2_{log 2 +}2_{log 3 +}2_{log 5 +}2_{log 7}–2_{log 105}

2. Sederhanakanlah:

a. log x4–_{3. log x + log 1/x} _{c. log x}3 1

+ log y2 1

-

2 1

log x y b. 2_log ₆_-

2 1

. 2_{log 3} _d.

2 1

. 10_{log 10 + 3 .}10 _log

10

3. Hitunglah bentuk-bentuk di bawah ini: a. 3_{log 27}5 _b.16_{log 8}9

7 c.

4 3

9

1

log

d. 25_log

 

₅ 21 _e.8_{log 4}-19

4. Tentukan nilai x yang memenuhi tiap persamaan berikut: a. log

3 1a

8 -

4 5_a

log 4 –a_log

16 1

= a_{log x} _{b. 4 .}2_{log x =}2_{log 81}

Masalah 14 : Buktikan bahwa: a. a_{log x =}

a

x

p p

log

c. b m

n b

a n am

log

log 

b. a_{log b .}b_{log x =}a_{log x}

Penyelesaian: a. a_{log x =}

a

x

p p

log

, Bukti: Missal a_{log x = m maka :}

 am _{= x}

 p_{log a}….₌plog …..

(…) p_{log a =}…._{log x}

 m =

...

log

...

log

...

p

= a_{log x terbukti.}

Sehingga berlaku:

Sifat 5 : a_{log x =}

a

x

p p

log

Sederhanakan: 4log 7 = …… jika diketahui 2_{log 7 = b} 4_{log 7 =}

...

....

log

2

...

log(....)

...

log

2 2 2

2



b. a_{log b.}b_{log x =}a_{log x, Bukti:}a_{log b.}b_{log x =}

...

log

...

log

.

....

log

...

p p

p

b

(dari sifat 5)

=

x

p

log

....

log

....

log

_...

....



, terbukti. Sehingga berlaku:

Sifat 6 : a_{log b .}b_{log x =}a_{log x}

Sederhanakan: 3_{log 36 .}6_{log 9}= ……

3_{log 36 .}6_{log 9 =}3_{log 6}…._.6log 9 = … 3_{log 6}_.6_{log 9 = ....}3_{log ....}

= …. x …. = ...

c. b

m n b

a n am

log

(8)

Missal : p = am

log

b

 (am₎…..= …_..

LKS-Mat.X-08 Maka a p_{= b}m

1



log

...

1

...



b

p

m log...

1...

…….2)

Dari 2)  1) didapat : am

log

b

n



(....)

am

log

...

= (….) 1 log...

...

m

=

log

...

Sehingga berlaku:

Sifat 7 : b m

n b

a n am

log

log 

Sederhanakan: 9log 8 = …… jika diketahui 3_{log 2 = a}

9_{log 8 =} _a

... ... .... log ... ... .(....)

log

3 ...

3...  

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

Tunjukan bahwa: a. Jika a_{log x = y maka}an

x

n



y

log

b. p_{log q +} _log ₀

1

 q

p

c. ab_{log x =}

b

x

a a

log

1

log



A. Pilih satu jawaban yang paling benar !

1. Bentuk 5a3 _{x 2a}6dapat disederhanakan menjadi bentuk ……….

a. 10 a9 _{b. 10 a}18 _{c. 10 a}3 _{d. 5 a}9 _{e. 5 a}18

2. Bentuk (x2_y)3_{: (x}-1_y-3_{) dapat disederha}nakan menjadi bentuk ………

a. x 6 _y7 _{b. x}-6_y-7 _{c. x}7_y6 _{d. x}6_y-7 _{e. x}-6_y7

3. Nilai (27)3 2

x (32) 5 4 

sama dengan ………

a.

32

9

b.

16 9

c.

15 9

d.

12 9

e.

10 9

4. Hasil operasi 5 2

.

3



...

.

a

a. 15

a

6 b. 15

a

7 c. 15

a

3 d. 15

a

4 e. 15

a

11

5. Hasil dari 2

20

+

45

- 125 = ………

a. -3 5 b. -2 5 c. 5 d. 2 5 e. 3 5

6. Jika penyebut bilangan

18

6

dirasionalkan, maka bentuknya menjadi ………

a.

2

b. 3 c. 6 d.

2

3

e.

2

6

7. Jika penyebut bilangan

2

3

4

2

3

4





dirasionalkan, maka bentuknya menjadi …………..

(9)

8. Nilai x yang memenuhi persamaan 54 – 2x = 25 adalah ……….

a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 3

LKS-Mat.X-09

9. ...

8 1 log

2 

a. -3 b. -4 c. -6 d. -9 e. -12 10. 3_{log 162}–3log 2 = …….

a. -3 b. -2 c. 2 d. 3 e. 4

11. Jika log 2 = 0,301, maka log 2000 = ……

a. 3,01 b. 3,301 c. 4,301 d. 30,1 e. 301

12. 25log 16 identik dengan bentuk …….

a.

5

log

2

2 b.

5

log

4

2 c.

5

log

8

2 d.

5

log

16

2 e.

4

25

log

2

13. Jika 3_{log 2 = a , maka}8log 9 = …….

a.

4 3a

b.

a 3

4

c.

a 3

8

d.

a 3

2

e.

2 3a

14. Nilai a yang memenuhi 4_{log a = ½ adal}_{ah …….}

a. 2 b. 1 c. ½ d. ¼ e. 1/16 15. Nilai 2

log

3

.

3

log

32

...

1



a. -5 b. -4 c. -3 d. 3 e. 5

B. Jawablah dengan teepat dan benar !

01. Sederhanakanlah bentuk-bentuk di bawah ini!

a. (6a5_b-4₎-3_{. 2(a}3_b-3₎2 _c.

4

a

2

b



9

ab

2



5

ab

2



6

a

2

b

b.

d

c

d

c

4 3 2

(

3

)

2

:

9

)

4

(

 

d.

b

ab

.

4

02. Jika x = 288 dan y = 224, Hitung nilai dari:

3 2 2 3

)

(

)

(

y

x

y

x





03. Sebuah balok panjang masing-masing rusuknya adalah 5 cm, 10 cm, dan 15 cm. Tentukan dalam bentuk akar paling sederhana dari:

a. panjang diagonal-diagonal bidang sisi. b. Panjang diagonal ruang balok tersebut.

04. Jika b_{log 2 = a dan}b_{log 3 = c, gunakan sifat logaritma untuk menghitung nilai dari:}

a. b_{log 144} _b.b_{log (72b}2₎

05. Tentukan nilai x yang memenuhi sistem di bawah ini:

a. 3x -2_{= 81} _{b. 4}2_{log x =}2_{log 81}

(10)

Standar Kompetensi

Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.

A. PERSAMAAN KUADRAT.

Kompetensi Dasar : 1.3. Mengggunakan sifat dan aturan tentang akar persamaan kuadrat, diskriminan, sumbu simetri, dan titik puncak dalam pemecahan masalah.

Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat

1.3.1. Menghitung akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan rumus kuadrat. 1.3.2. Menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan diskriminan suatu persamaan kuadrat 1.3.3. Menurunkan rumus tentang jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sekaligus

menggunakannya dalam soal.

1.3.4. Mendiskusikan cara menyusun persamaan kuadrat baru.

.

Prasyarat : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat terdahulu (SLTP). 2. Operasi hitung dalam aljabar.

A.1. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut persamaan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di an tara beberapa pola berikut ini:

Masalah 1 :

Tentukan dan jabarkan bentuk : a. x ( 2x + 3) b. (x – 2)(x + 3) c. (2x + 1)(x – 3) Penyelesaian :

a. x ( 2x + 3) = x . 2x + x . 3 = 2 x….+ ….. x

b. (x – 2)(x + 3) = …..2+ 3 …. _-….. x + (_-2) …. = ….2+ …… _-……

c. (2x + 1)(x – 3) = 2 ….2_-….x + …… _-……

Dari beberapa bentuk hasil perhitungan di atas : pangkat tertinggi dari variabel x adalah .. dan selanjutnya disebut dengan pangkat dua atau kuadrat, sehingga bentuk-bentuk di atas dapat disebut sebagai bentuk-bentuk kuadrat.

Secara umum dapat dinyatakan dalam : ax2_{+ bx + c}

Sehingga persamaan kuadrat secara umum adalah: ax2_{+ bx + c = 0 dimana a}



_{0 ; a, b, c}_R

A.2. AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

Suatu persamaan kuadrat bentuk ax2_{+ bx + c = 0 dimana a}



_{0 ; a,b,c}_{R akan} bernilai benar untuk dua nilai x tertentu yang disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat dan sering dikenal dengan Himpunan Penyelesaian.

A.2.1. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan.

(11)

Masalah 2 :

Tentukan dan selesaikan bentuk : a. 2x2_{+ 3x = 0 b. x}2_{+ x}–_{6 = 0 c. 2x}2_{-5x -3 = 0}

LKS-Mat.X-10 LKS-Mat.X-11 Penyelesaian :

Jika model pada masalah 1 dikerjakan terbalik akan didapat pola sebagai berikut:

a. 2x2_{+ 3x = 0} _{b. x}2_{+ x}–_{6 = 0 c. 2x}2_{- 5x - 3 = 0}  x ( …. + 3 ) = 0  ( x + …. )( x – 2 ) = 0  (2x + …)(…. – 3) = 0  x = … v (… + 3) = 0 (x +….) = 0 v (x - …) = 0 (2x +…) = 0 v ( …-…) = 0  x = …. v x = ….  x = …. V x = …..  2x = …. V x = ….

Jadi: HP = {….. , …. } HP = {….. , …. } HP = {….. , …. } Atau dapat juga diselesaikan:

c. 2x2_{- 5x - 3 = 0}

 2x2_-….x + ….x _{-3 = 0}

 2x ( x - ….)+ (…. -3 ) = 0

 ( 2x + ….)( …. -3 ) = 0  2x + …. = 0 v …. – 3 = 0

x = ….. ….. = 3 , HP = {….. , …. }

Jika diperhatikan maka penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggumakan pola perkalian dengan mengubah: ax2 + bx + c = 0 menjadi (… – p)(… –_{q) = 0} sehingga dapat dikatakan memiliki sifat factor nol dan dapat ditarik kesimpulan bahwa: (x –p) = …. atau (x –q) = ….

Pola ini dikenal dengan menyelesaikan system persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, di mana nilai p dan q merupakan salah satu pasangan factor dari bilangan c.

Masalah 3 :

Tentukan dan selesaikan bentuk : x2_{-8 x + 15 = 0}

Penyelesaian : x2_{-8 x + 15 = 0}

Pasangan faktor dari ( 15 ) yang jumlahnya ( -8 ) adalah p = ( …) dan q = (.. ) maka x2_{-8 x + 15 = 0 dapat difaktorkan menjadi ( x -}….) (x _-…. ) = 0

 ( x - …. ) = 0 v ( x - ….. ) = 0

 x = …. x = …. Jadi HP = { …… , …… }

Masalah 4 :

Tentukan Himpunan penyelesaian dari : x2_{+ 6 x + 2 = 0}

Penyelesaian: x2_{+ 6x + 2 = 0 ternyata tidak terdapat pasangan factor dari 2}

yang jumlahnya sama dengan 6, sehingga bentuk ini tidak dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan.

A.2.2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dg melengkapkan kuadrat sempurna

Ada beberapa persamaan kuadrat yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan cara memfaktorkan, sehingga perlu ada cara lain guna menentukan Himpunan penyelesaiannya.

Dengan mengingat sifat pemfaktoran : ( a



b )2_{= a}2



_{2. a. b + b}2_diskusikan masalah berikut ini !

Masalah 5 :

Tentukan Himp. Penyelesaian dari bentuk : a. x2_{+ 6x +2 = 0 b. 2x}2_{+ 8x + 1 = 0}

Penyelesaian :

a. x2_{+ 6x + 2 = 0} _{b. 2x}2_{+ 8x + 1 = 0}

+ ( -2 ) + ( - 1 )  x2+ ….x = _-2 _…. x2+ … x = _-(….)

x ( ½ )  x2+ … x = _{- ½}

( x +3 )2–_(...)2_{= -2}

+ ( ….2 ₎

 ( x + …. )2_{= -}2 + …. _( x + ….. )2–(…..)2_{= - ½}

 ( x + …. )2= …… + (….)2

 ( x + ….) =

....

 ( x + ….)2_{= -}½ + (….)2

+ ( - ….)  ( x + …. )2= ……..

x2_{+ 6x + 3}2

(12)

 x = - (….)



....

 ( x + …. ) =

....

+ ( - ….)

 x = - (….)



....

LKS-Mat.X-12 Penarikan kesimpulan:

Jika diperhatikan maka penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan pola pemfaktoran (kuadrat dua) dengan mengubah:

ax2 + bx + c = 0 menjadi ( x



_{p )}2_{= 0 sebagai berikut:}

ax2_{+ bx + c = 0 ( semua suku dibagi dengan a )}

 x2₊

...

... c

x

a  = 0 ( semua ruas dikurangi dengan a c

)

 x2₊ _x

a ...

=

-a c

 ( x + ½

a b

)2–₍

a .... 2 1

)2_{= -}

a ...

 ( x + ½

a b

)2_{= -}

a ... + ( a .... 2 1

)2dst ………

A.2.3. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat dapat diturunkan dari bentuk umum persamaan kuadrat: ax2_{+ bx + c = 0 dimana a}



_{0 ; a,b,c}_R

Dengan menggunakan kaidah pada melengkapkan kuadrat sempurna, maka rumus akar-akar persamaan kuadrat dapat diturunkan sebagai berikut:

ax2_{+ bx + c = 0 ( semua suku dibagi dengan a )}

 x2₊

...

... c

x

a  = 0 ( semua ruas dikurangi dengan a c

)

 x2₊ _x

a ...

=

-a c

 ( x + ½

a b

)2–₍

a .... 2 1

)2_{= -}

a ...

 ( x +

a b

2 )

2_{= -}

a ... + ( a .... 2 1 )2

 ( x +

.... 2 ...

)2₌

2 ...

4

)

(....

4

a

b

c





 ( x +

.... 2 ... ) =



















_... ...

...

....

)

(...

4

a

c

= 2 ...

4

a

ac

b





 x = -

(....)

2

(....)

4

2

....

a

b

a

b





atau x =

(....)

2

(...)(...)

4

....







b

Dan selanjutnya: b2 4ac dikenal sebagai diskriminan persamaan kuadrat ( D ) Masalah 6 :

Tentukan Himp. Penyelesaian dari: a. x2_{+ 8x +2 = 0 b. 2x}2_{- 10x + 5 = 0}

Penyelesaian :

a. x2+ 8x +2 = 0 maka a = ….. , b = ……. dan c = …….

X1,2 =

a

ac

b

2

4

2







sehingga :

b

2



4

ac

= ....2 4(...)(...)

= ...... = ... = 2 ...

X1,2 =

(...)

2

....

2

...





=



...



...

Jadi HP = {



...



...

,



...



...

}

b. 2x2_-10x + 5 = 0 maka a = ….. , b = ……. dan c = …….

(13)

= ...... = ... = 2 ...

X1,2 =

(...)

2

....

2

...





=

2 .... ...



Jadi HP = {

2 .... ...



}

LKS-Mat.X-13 Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan memfaktorkan!

a. x2–_{5x + 6 = 0} _{b. 3x}2_{+8x + 4 = 0} _{c. ( x + 3)}2_{-6( x + 3) + 8 = 0}

2. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan kuadrat sempurna!

a. x2_{-6x + 4 = 0} _{b. 2x}2_{+ 8x -1 = 0} _{c. 9x}2_{+ 6x}–_{4 = 0}

3. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan rumus kuadrat!

a. 4x2_{- 7x + 2 = 0} _{b. 3x}2–_{8x = 4} _c.

1 1 2 3

2 2

1

   

x x x x

A.3. JENIS-JENIS AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

Telah dijelaskan bahwa dari cara menentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara rumus kuadrat, didapat bentuk: b2 4acdikenal sebagai diskriminan persamaan kuadrat ( D )

Dan dengan melakukan identifikasi nilai D (diskriminan) nya, maka dapat disimpulkan jenis-jenis akar persamaan kuadrat (HP) nya, sebagai berikut:

1. Jika D > 0 (positif) maka bentuk

D

memiliki nilai ganda sbb:

D

dan



D

sehingga: Akar-akarnya : x =

a D b

2

 

dan x =

a D b

2

 

Jadi akar-akarnya Bilangan Real (Nyata) dan berbeda (berlainan). 2. Jika D = 0 (positif) maka bentuk

D

memiliki nilai ……. sehingga: Akar-akarnya : x1 , 2 =

a

b

2



Jadi akar-akarnya Bilangan Real (Nyata) dan sama (kembar)

3. Jika D < 0 (negatif) maka bentuk

D

memiliki nilai yang tidak real ( Imajiner ) sehingga akar-akarnya : tidak ada yang real

Jadi akar-akarnya Bilangan Khayal / Imajiner. Masalah 7 :

Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat ini: a. 2x2_{-5x + 1 = 0 b. 5x}2_{+ 2x + 4 = 0}

Penyelesaian :

a. 2x2_{-5x + 1 = 0}maka a = ….. , b = ……. dan c = …….

Sehingga : D = b2–4 a c = ….2–4.(….).(….) = ….. _-….. = …… > 0

Akar-akarnya Real dan berbeda.

b. 5x2_{+ 2x + 4 = 0}maka a = ….. , b = ……. dan c = …….

Sehingga : D = b2–4 a c = ….2–_4.(….).(….) = ….. _-….. = …… < 0

Akar-akarnya ………. Masalah 8 :

Tentukan nilai p jika px2_{-4x + 3 = 0 mempunyaiakar-akar yang sama.}

Penyelesaian : px2_-4x + 3 = 0 maka a = …. , b = ….. dan c = ……

Syarat akar-akar sama/kembar adalah : D = 0 D = b2–4 a c = ….2–4.(….).(….) = 0

16 = 12 …..  p =

... ...

=

... ...

A.4. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

(14)

Dan salah satu cara menentukan himpunan penyelesaiannya adalah memfaktorkan sehingga didapat bentuk ( x -



) ( x -



) = 0 dimana



dan



dikenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

LKS-Mat.X-14 Diskusikan dengan kelompok belajar anda korelasi (hubungan) antara bentuk:

ax2_{+ bx + c = 0 dengan ( x -}



_{) ( x -}



_{) = 0.}

Ambil bentuk: ( x -



) ( x -



) = 0 dan ax2_{+ bx + c = 0}

: ( a )  x…. -



x –(….) x + (….)(….) = 0 x2₊

... ..._{x +}

...

c _{= 0}  (….)2–( …. + …. ) x + (….)(….)_{= 0}

Jika ke dua bentuk terakhir dikorelasikan akan didapat kesepadanan sebagai berikut:

(…)2–(…+…) x + (…)(…) = 0

x2₊

.... ....

x +

... c

= 0 Penarikan kesimpulan:

1. –( …. + …. ) =

a

....

…. + …. =

a

....



( Jumlah akar-akar persamaan kuadrat)

2. (…..)(…..) = ...

c

 …. ….. =

... c

(Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat)

Masalah 9 :

Tentukan nilai jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut ini: a. 3x2_{- 4x}–_{6 = 0} _{b. -2x}2_{+ 3x}–_{1 = 0}

Penyelesaian : Missal akar-akar persamaan kuadratnya p dan q.

a. 3x2_{- 4x}–_{6 = 0} maka a = ….. , b =…… , c = …… sehingga:

p + q =

3

...







a

b

dan p.q =

...

6





a

c

b. -2x2_{+ 3x}–1 = 0 maka a = ….. , b = ….. , c = …… sehingga:

p + q =

)

2

(

...







a

b

dan p.q =

... ...

 a c

Masalah 10 :

Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x2_-9x + 4 = 0 adalah ………….

Penyelesaian :

3x2_{-9x + 4 = 0 , missal akar-akar persamaan kuadratnya p dan q, maka nilai:} q p

1 1



a = …… , b = ..… dan c = ….. maka p + q =

....



dan p.q =

.... ....

sehingga:

q p

1 1  ₌

) (....)(...

... ... ₌

... ...

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:

a. x2_{-6x + 4 = 0} _{b. 2x}2_{+ 8x -1 = 0} _{c. 9x}2_{+ 6x}–_{4 = 0}

2. Tentukan nilai dari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini: a. x2–_{5x + 6 = 0} _{b. 3x}2_{+8x + 4 = 0} _{c. ( x + 3)}2_{-6( x + 3) + 8 = 0}

3. Jika p dan q akar-akar persamaan x2_{-7x + 2 = 0 maka tentukan nilai dari:}

a. _qp



_pq b. p2_{+ q}2 _c. p q

1 1 

4. Persamaan x2_{-8x + k = 0 mempunyai akar-akar yang memiliki perbandingan 3 : 1,}

(15)

5. Persamaan kuadrat x2_{+ (m -3)x + m = 0 mempunyai akar-akar}



_dan



_{. Jika}

nilai dari

1



1



2





maka nilai m yang paling tepat adalah ……….

LKS-Mat.X-15 A.5. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU.

Suatu persamaan kuadrat dapat disusun berdasarkan beberapa informasi yang diberikan, dan sebelum anda mempelajari materi ini sebaiknya anda mengingat kembali beberapa cara menentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat serta konsep tentang jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

A.5.1. Menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadratnya.

Pada cara menentukan HP suatu persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan didapat: bentuk ( x -



) ( x -



) = 0 dimana



dan



dikenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Masalah 11 :

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : a. -3 dan 5 b. (1 - 3) dan (1 + 3) Penyelesaian :

a. ( x -



) ( x -



) = 0 b. ( x -



) ( x -



) = 0

 ( x – (- …) (x - ….) = 0  [ x – (1- …)] [(x –(1+ ….)] = 0

 x2+ …. x _-…. x _-…._{. = 0}__x2_{- (1 -}…)x –(1 + ….)x + (1_-…)(1+…) = 0

 x2+ …. x _-….. = 0 __x2_-….. x + …… = 0

A.5.2. Menyusun persamaan kuadrat baru dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadratnya.

Bentuk ( x -



) ( x -



) = 0 jika dijabarkan sebagaimana bagian terdahulu akan didapat bentuk: x2_-₍







₎_{x +}



_.



_{= 0 sehingga teori ini dapat digunakan}

untuk menyusun persaman kuadrat baru. Masalah 12 :

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : -3 dan 5

Penyelesaian: Jika akar-akar persamaan kuadratnya:



= -3 dan



= 5 maka (







) = …. + ….. = …… dan



.



= (….)(….) = ….. Sehingga : x2_-₍







₎_{x +}



_.



_{= 0}

x2–(…..) x + …… = 0

Masalah 13 :

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan x2

+8x + 10 = 0

Penyelesaian : Missal akar-akar dari x2_{+8x + 10 = 0 adalah p dan q maka:}

p + q = …… dan p.q = ……

Persamaan kuadrat baru akar-akarnya : 2 p dan 2 q sehingga didapat:

2 p + 2 q = 2 ( …. + q ) = 2 (…..) dan 2 p . 2 q = (…..) p.q = (….)(…..) = …….

Sehingga PKd baru adalah : x2–_{(+ akar baru) x + ( hasil kali akarbaru) = 0}

x2–(…..) x + ……. = 0

1. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya di bawah ini adalah:

a. -2 dan 5 b. ½ dan -3 c. 7 dan - ¼

2. Jika akar-akar persamaan 2x2_{- x + 3 = 0 adalah p dan q maka}

persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya sebagaimana tersebut di bawah ini adalah:

a. 2p dan 2q b. ( p – 1 ) dan ( q – 1) c. ₃1_p_dan

q

3 1

(16)

4. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1₂ 

p dan 2 1 

q jika diketahui

bahwa p dan q akar-akar dari persamaan 2x2–_{5x + 2 = 0}

5. Jika akar-akar persamaan x2_{+ 2x}–_{8 = 0 adalah x}

1 dan x2 , sedangkan akar-akar

persamaan x2_{+ 10x}–_{16 p = 0 adalah 3x}

1 dan 4x2, maka nilai p adalah ...

LKS-Mat.X-16

A. Pilih satu jawaban yang paling benar !

1. Nilai x yang memenuhi persamaan: 3x2_{+x -2 = 0 adalah ...}

a. 2 v 1 b. 2/3 v 2 c. 2/3 v 1 d. -2/3 v 2 e. -2/3 v 1 2. Salah satu akar persamaan kuadrat 2(x +1)2_{= (x +1)}2_{+2(2x +3) -3 adalah ...}

a. 1 +

2

b. 1 -

2

c. -1 -

2

d. 1 e.

2

3. Persamaan: x2_{+mx -1 = 0 akan mempunyai akar kembar jika nilai m adalah ...}

a. 2 b. 1 c. 0 d. -1 e. -2

4. Persamaan kuadrat x2_{+4x -5 = 0 dapat diubah menjadi bentuk (x}–_a)2_{= b, maka nilai a}

dan b yang tepat adalah ...

a. 2 dan 9 b. -2 dan 9 c. 2 dan -9 d. 2 dan 1 e. -2 dan 1 5. Persamaan kuadrat berikut ini yang mempunyai akar kembar adalah ...

a. x2_{+2x +2 = 0 b. 2x}2_{+x +2 = 0} _{c. 4x}2_{+4x +1 = 0 d. x}2_{+x +1 = 0} _{e. x}2_{-4 = 0}

6. Jumlah akar-akar dari persamaan kuadrat 3x2_{-12x -2 = 0 adalah ...}

a. 12 b. 4 c. 3 d. 2/3 e. -2

7. Hasil kali akar-akar persamaan ax2_{-(3a +1)x + 2(a -1) = 0 adalah sama dengan jumlah}

akar-akarnya, maka nilai a = ...

a. -3 b. -2 c. 1 d. 2 e. 3

8. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar – ½ dan 3/2 adalah ...

a. 2x2_{-x +3 = 0 b. 2x}2_{-x -3 = 0} _{c. 4x}2_{+4x +3 = 0 d. 4x}2_{-4x +3 = 0 e. 4x}2_{-4x -3 = 0}

9. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar 2 kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat 2x2_{-7x + 3 = 0 adalah ...}

a. 2x2_{+x +3 = 0 b. 2x}2_{-x +3 = 0} _{c. 2x}2_{+ x +3 = 0} _{d. 2x}2_{-x -3 = 0} _{e. -2x}2_{+x +3 = 0}

10. Diketahui dua buah bilangan yang jumlahnya 3/2 dan hail kalinya ½ , maka selisih dua bilangan tersebut adalah ...

a. – ½ b. ¼ c. 1 d. 2 e. 4

11. Himpunan penyelesaian dari: x2–5x + 6 = 0 adalah …….

a. (-2, 3) b. (2, 3) c. (2, -3) d. (-2, -3) e. (-3, 2) 12. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2+ 1 = 4x adalah …….

a. khayal b. kompleks c. nyata dan sama d. nyata dan irasional e. nyata 13. Persamaan kuadrat x2–ax + a = 0 mempunyai akar kembar jika nilai a = ……

a. 0 b. 4 c. 0 atau 4 d. 0 atau -4 e. -4 atau 4 14. Supaya persamaan kuadrat (p-2)x2_{+ 5x}–_{2 = 0 mempunyai akar khayal maka nilai p}

adalah ……

a. p < - ₈9_{b. p < -} 3

8 _{c. p <} 8

9_{d. p <} 3

8 _{e. p <} 8 41

15. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x2_{+ (a +1)x + (3a + 2) = 0 adalah 5 maka akar}

yang lainnya adalah

a. -4 b. -3 c. -2 d. 2 e. 4 16. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya ₂5 _dan

-2

3 adalah ………

a. 4x2_{+4x + 15 = 0} _{c. 4x}2_{-4x - 15 = 0} _{e. 4x}2_{-15x - 4 = 0}

b. 4x2_{+4x - 15 = 0} _{d. 4x}2_{-4x + 15 = 0}

(17)

a. 25 b. 33 c. 23 d. 17 e. 35 18. Selisih akar-akar persamaan x2_{+ 2x}–a = 0 adalah 8 maka nilai a = …….

a. 15 b. -15 c. 15 atau -15 d. 17 e. -17

LKS-Mat.X-17 19. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan 2x2_{+6x -5 = 0}

adalah …..

a. 2x2–_x–_{5 = 0} _{c. 2x}2–_2x–_{7 = 0} _{e. 2x}2–_x–_{7 = 0}

b. 2x2_{+ 2x + 7 = 0} _{d. 2x}2_{+ 2x}–_{7 = 07}

20. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 kali dari akar-akar persamaan kuadrat 10x2_{+ 11x}–6 = 0 adalah ………..

a. 10x2_{+ 22x}–_{12 = 0} _{c. 5x}2₊ 2

11_x–_{3 = 0} _{e. 5x}2_{+ 11x}–_{12 = 0}

b. 20x2_{+ 44x}–_{48 = 0} _{d. 5x}2_{+ 11x}–_{24 = 0}

B. Jawab dengan tepat dan benar !

01. Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a. 2x2_{+7x+ 6 = 0} _b.–_x2_{+8x-6 = 0} _{c. x}2_{+6x-5 = 0}

02. Tentukan nilai a jika persamaan kuadrat di bawah ini memiliki akar-akar yang Real dan sama!

a. 2x2_{+ (a +1)x + a}–_{1 = 0} _{b. x}2

-a 16

x + 1 = 0 03. Tentukan persamaan kuadrat yang :

a. akar-akarnya - ½ dan 3 b. akar-akarnya 2 kurangnya dari akar- akar persamaan: x2_{-3x + 2 = 0}

04. Jika akar-akar persamaan kuadrat x2–_x–_{2 = 0 adalah p dan q.}

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: a.

p 1

dan

q 1

b.

q p

dan

(18)

LKS-Mat.X-18 B. FUNGSI KUADRAT.

Kompetensi Dasar : 1.4. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, dan fungsi kuadrat.

1.5. Merancang model matematika yang berkaitan persamaan dan fungsi kuadrat, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh.

Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat 1.4.1. mengidentifikasi komponen-komponen grafik fungsi kuadrat.

1.4.2. Melakukan manipulasi aljabar tentang akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat.

1.4.3. Menganalisis dan menentukan komponen fungsi kuadrat dengan menggunakan cara melengkapkan bentuk kuadrat, serta menentukan fungsi kuadrat dengan ketentuan tertentu.

1.4.4. Mengaplikasikan konsep persamaan dan fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari.

.

Prasyarat : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat terdahulu (SLTP).

2. Persamaan kuadrat, Diskriminan dan Jumlah / hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

B.1. FUNGSI KUADRAT.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut fungsi kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan Tujuan Pembelajaran: Siswa dapat terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Definisi: Fungsi f : R  R yang didefinisikan f(x) = ax2–_{bx + c, untuk a, b, c}_{R; a}



₀

disebut dengan fungsi kuadrat.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang terdapat pada beberapa fungsi berikut ini:

Masalah 14 : Buat sketsa garfik fungsi yang didefinisikan sebagai f(x) = x2_{- x -2}

Penyelesaian :

f(x) = x2_{+ 4x - 5 biasa dinyatakan ke dalam y = x}2_{+ 3x - 4}

Sebagaimana telah anda pelajari saat SLTP , dapat anda gunakan beberapa titik menguntungkan sbb:

x ….. -3 -2 -1 0 1 2 3 ….. y ….. ….. 4 ….. -2 ….. ….. 4 …..

Pasangan titik tersebut tempatkan pada salib sumbu kartesius dan hubungkan dengan garis sehingga akan terbentuk grafik.

y

x

-1 2  titik potong pada sumbu x (titik potong pada sumbu y) -2

( ½ , ₂5_{) Puncak/titik balik}

Nampak bahwa grafik fungsi kuadrat merupakan bentuk kurva parabola. Masalah 15 : Buat sketsa garfik fungsi yang didefinisikan sebagai:

a. f(x) = ½ x2 _{b. f(x) = ½ (x}–₂₎2 _{c. f(x) = ½ (x}–₂₎2_{+ 3}

Penyelesaian :

(19)

x f(x) x f(x) x f(x)

-2 2 0 …. 0 ….

0 …. 2 …. 2 3

2 …. 4 2 4 ….

LKS-Mat.X-19

5

2 2

-2 2 0 2 4 0 2 4

Dari garfik di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik fungsi f(x) = ½ (x – 2)2_{+ 3}

diperoleh dengan cara mengeser grafik f(x) = ½ x2_{sejauh 2 ke arah kanan sehingga}

menjadi grafik fungsi dari f(x) = ½ (x – 2)2 _{dan selanjutnya mengesernya sejauh 3}

keatas, dimana factor gesernya merupakan koordinat titik puncak/balik kurva yaitu: ( 2 ,3 ) Secara umum dapat disimpulkan bahwa fungsi kuadrat : f(x) = a ( x – h )2_{+ k dengan}

( h , k ) disebut titik puncak/balik.

B.2. SKETSA GRAFIK FUNGSI KUADRAT.

Grafik fungsi f(x) = a (x –h)2_{+k ,a}



_{0 memiliki koordinat titik puncak/balik adalah (.}…, …_.)

Sehingga sumbu simetrinya x = h dan nilai balik maksimum/minimumnya f(h) = k di mana, jika a < 0 merupakan titik balik maksimum dan jika a > 0 merupakan titik balik minimum.

Masalah 16 :

Diskusikan dengan kelompok anda dapatkah bentuk y = ax2–_{bx +c, untuk a,b,c}_{R ; a}



₀

Kita ubah menjadi bentuk: y = a ( x – h )2_{+ k , a}



₀

Penyelesaian :

y = ax2–_{bx + c} __{y -}…. = ax2–_bx _ _x

a x y .... ... .... ... 

Dengan melengkapkan kuadrat sempurna didapat bentuk: 2 2 ... 2 2

4

....

4

...

....

a

b

x

a

x

a

b

y









 ... 2 2

(...)

4

...

....





















a

b

x

a

b

y

(masing-masing ruas dikurangi ₂ 2

4

a

b

)  _... 2 ...

4

(...)

...

....

a

b

a

b

x

y





















(masing-masing ruas dikalikan a)

 _... 2

4

(...)

...

a

b

a

b

x

a

y





















(masing-masing ruas ditambah c)

(20)

Jika dibandingkan dengan bentuk y = a ( x – h )2_{+ k terlihat bahwa fungsi kuadrat}

tersebut di atas memiliki sumbu simetri: x =

a b 2

 dan titik puncak (balik) adalah

   



 



a D a b

4 ,

2 , perlu diingat bahwa Diskriminan persamaan kuadrat D = b

2–_4ac

LKS-Mat.X-20 Penarikan kesimpulan:

Berdasar pada uraian di atas maka untuk fungsi kuadrat y = ax2–_{bx + c model grafik} fungsi (kurva) nya dapat diidentifikasikan menurut beberapa komponen/unsur pembentuk nya, sbb:

1. Titik potong kurva dengan sumbu koordinat, yaitu:

a. memotong sumbu x untuk y = ….:

ax2– bx + c = 0 (merupakan persamaan kuadrat) ,sehingga titik potongnya meru- pakan Himpunan Penyelesaian Persamaan Kuadrat. Dengan syarat D



0.

b. memotong sumbu y untuk x = ….. sehingga didapat titik potong ( 0, ….. )

2. Persamaan sumbu imetri, yaitu: x =

(....)

2

....



3. Nilai titik balik atau nilai maksimum / minimum, yaitu: y =

(....)

4

D



4. Koordinat titik balik, yaitu : 

  



 



a

a 4

... , 2 ...

5. Jenis titik balik ditentukan oleh nilai a (koefisien dari x2_{) , yaitu:}

a. jika a > 0, maka kurva terbuka ke ………. dan titik baliknya ………. b. Jika a < 0, maka kurva terbuka ke bawah dan titik baliknya ……….. 6. Range, ditentukan oleh:

a. Jika a > 0 maka Range =

   



 __

a D y y

4 /

b. Jika a < 0 maka Range =

   



 __

a D y y

4 /

Masalah 17 :

Buatlah sketsa grafik fungsi y = 2x2_{-x - 6}

Penyelesaian :

Sketsa grafik fungsi y = 2x2_-x–_{6 dapat ditentukan dengan menemukan beberap unsur}

pembentuknya, sebagai berikut: a) Titik potong pada sumbu koordinat:

a. memotong sumbu x  y = 0 didapat : 2x2 _-x–_{6 = 0}

(2x + ….)(x - ….. ) = 0

(2x + ….) = 0 v ( x - …. ) = 0

2x = ….. x = …… x = …...

didapat pasangan titik potong ( ….., 0 ) dan ( ….. , 0 )

b. memotong sumbu y  x = 0 didapat : y = 2.02_-… _-6 = ……

didapat pasangan titik potong ( 0 , …. )

b) Persamaan sumbu simetri: x =

4

...

(....)

2

...

2









a

b

c) Nilai balik : D = b2–_{4ac =}(….)2–_4.2.(-….) = …… _-…… = ……

Jadi nilai baliknya adalah :











(....)

4

...

4

a

D

y

....

d) Koordinat titik balik : ( ….. , …… )

e) Sketsa grafik/kurvanya, adalah :

(21)

-₂3_{¼ 2}

₈37

LKS-Mat.X-21 Masalah 18 :

Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = -1 dan grafiknya melalui titik

(1, 4), memotong sumbu y di titik ………

Penyelesaian :

Bentuk kuadrat : y = a ( x – h )2_{+ k maka y = a ( x}–_{( -}….))2_{+ 2}

Grafik melalui : (1, 4)  4 = a ( …. + …. )2_{+ 2}_a = …..

Didapat : y = ½ ( x + 1)2_{+ …. Mem}_{otong sumbu y}__{x = 0 didapat y = …..}

Jadi titik potong pada sumbu y adalah ( ….. , ……)

Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat yang mempunyai bentuk sebagai berikut: 1. y = x2_{-4x + 5} _{6. Titik balik ( 2, 1 0 dan melalui titik ( 5, 19)}

2. y = -3x2_{+ 4x -1} _{7. Persamaan sumbu simetri x = -3, a = 1 melalui (-2, 8)}

3. y = -x2_{+ 2x}–₄ _{8. Persamaan sumbu simetri x = -1 dan melalui ( 1, -5) ,}

(-2, 1)

4. y = 2x2–_{4x + 2} _{9. Melalui titik (2, 0) , (6, 0) dan ( 4, 5 )}

5. y = -5 + 6x- x2 _{10. Melalui titik ( -2, 0 ) , ( 9, 0 ) dan ( 3, 7)}

B.3. BEBERAPA MASLAH KEHIDUPAN SEHARI-HARI TERKAIT FUNGSI KUADRAT. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang terdapat pada beberapa fungsi berikut ini:

Masalah 19 :

PQRS adalah suatu persegi panjang yang panjangnya x cm dan lebarnya (8 – x) cm, Jika fungsi L(x) menyatakan luas PQRS maka :

a. Nyatakan arumus luas dalam fungsi L !

b. Htung luas maksimum PQRS dan ukuran-ukuran yang memenuhi ! Penyelesaian :

a. L(x) = panjang x lebar = …. ( 8 - …. ) sehingga fungsi L(x) = x ( 8 - …) = ... x - …..2

b. L(x) maksimum =

(....)

4

D



=

....)

(

4

0

....).

(

4

(....

2



= ...

... ...

 

, untuk x = ... (....)

2 ...

 

Jadi Luas maksimumnya = …… untuk panjang = …… dan lebar = (8 - ….. ) = …… Masalah 20 :

Tinggi suatu lemparan setelah t detik diwakili oleh fungsi h(t) yang didefinisikan : h(t) = 30t -5t2_{untuk 0}



_t



_{6 , t bilangan real.}

Jika satuan tinggi dalam meter, sketsalah grafik fungsi h, berdasarkan kurva tersebut Tentukan :

a. Tinggi maksimum yang ditempuh dan waktu yang diperlukan. b. Selang waktu ketika tinggi lemparan di atas 30 meter

c. Tinggi lemparan pada saat t = 5,5 detik. Penyelesaian :

(22)

h maksimum =

(....)

4

D



=

....)

(

4

0

....).

(

4

(....

2



= ...

... ..._



untuk t = ... (....)

2 ...

 

Jadi tinggi maksimumnya adalah …… m terjadi pada saat t = ….. detik.

LKS-Mat.X-22 b. Untuk h(t) = 30 maka: 30t -5t2_{= 30}__5t2_-…. t + …. = 0 (dibagi 5)

 t2_-….t + …. = 0

 t1 = 3 - ….. dan t2= ….. + 3

Jadi tinggi lemparan di atas 30 meter terjadi dalam selang waktu: 3 - …… < t < ….. + 3

c. Untuk t = 5,5 detik  h(5,5) = 30(…..) –5 ( ….. )2= ….. _-…… = ……

Jadi tinggi lemparan saat t = 5,5 detik adalah ……… meter.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Sebuah partikel ditembakan secara vertical ke atas dengan kecepatan mula-mula Vo meter/detik. Dalam waktu t detik jarak s meter didefinisikan s = Vo t – 16 t2_.

Jika kecepatan partikel mula-mula 12 m/det, maka tentukan : a. jarak setelah 2, 3 dan 5 detik

b. kapan partikel berada pada 192 meter di atas titik awal.

2. Jumlah dua bilangan asli sama dengan 16, tentukan masing-masing bilangan terse-but jika hasil kalinya maksimum !

3.