Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar Teori Kestabilan
TEORI KESTABILAN
Kus Prihantoso Krisnawan
March 6, 2012
Topik 2 Krisnawan Review
Mat Fund Teorema Dasar Teori Kestabilan
Review
Pada pertemuan terdahulu, kita telah mengetahui beberapa hal mengenai sistem
˙
x =Ax, (1)
Krisnawan Review
Mat Fund Teorema Dasar Teori Kestabilan
Review
Pada pertemuan terdahulu, kita telah mengetahui beberapa hal mengenai sistem
˙
x =Ax, (1)
denganAmatriks kuadrat, yaitu:
Topik 2 Krisnawan Review
Mat Fund Teorema Dasar Teori Kestabilan
Review
Pada pertemuan terdahulu, kita telah mengetahui beberapa hal mengenai sistem
˙
x =Ax, (1)
denganAmatriks kuadrat, yaitu:
Solusi dari sistem (1) adalahx(t) =eAtx0.
Sehinggaxi(t), untuk setiapi, merupakan kombinasi linier
Krisnawan Review
Mat Fund Teorema Dasar Teori Kestabilan
Review
Pada pertemuan terdahulu, kita telah mengetahui beberapa hal mengenai sistem
˙
x =Ax, (1)
denganAmatriks kuadrat, yaitu:
Solusi dari sistem (1) adalahx(t) =eAtx0.
Sehinggaxi(t), untuk setiapi, merupakan kombinasi linier
darieRe{λj}t, untuk setiapj. Sebagai akibatnya:
• JikaRe{λj}<0,∀j∈ {1,2,· · ·,n}, maka saatt → ∞,
berakibat(x1,x2,· · · ,xn)→(0,0,· · ·0), dengan
Topik 2
Pada pertemuan terdahulu, kita telah mengetahui beberapa hal mengenai sistem
˙
x =Ax, (1)
denganAmatriks kuadrat, yaitu:
Solusi dari sistem (1) adalahx(t) =eAtx0.
Sehinggaxi(t), untuk setiapi, merupakan kombinasi linier
darieRe{λj}t, untuk setiapj. Sebagai akibatnya:
• JikaRe{λj}<0,∀j∈ {1,2,· · ·,n}, maka saatt → ∞,
berakibat(x1,x2,· · · ,xn)→(0,0,· · ·0), dengan
demikiansistem stabil.
• Jika adajsehinggaRe{λj}>0, maka saat nilai
t → ∞, berakibat adaisehinggaxi → ∞, dengan
Krisnawan
Review
Mat Fund
Teorema Dasar Teori Kestabilan
Matriks Fundamental
Namun, kita baru bekerja secara intuitif (belum kita buktikan secara formal), pada pertemuan kali ini kita akan mencoba membuktikan hal-hal tersebut secara formal.
Lema
Diberikan matriks kuadrat A, maka
Topik 2 Krisnawan
Review
Mat Fund
Teorema Dasar Teori Kestabilan
Matriks Fundamental
Namun, kita baru bekerja secara intuitif (belum kita buktikan secara formal), pada pertemuan kali ini kita akan mencoba membuktikan hal-hal tersebut secara formal.
Lema
Diberikan matriks kuadrat A, maka
AeAt =eAtA (2)
Lema
Misalkan A adalah matriks kuadrat, maka
d dte
At =
Krisnawan
Review
Mat Fund
Teorema Dasar Teori Kestabilan
Matriks Fundamental
Proof.
Dengan menggunakan definisi dari turunan, kita dapatkan:
d dte
At
Topik 2 Krisnawan
Review
Mat Fund
Teorema Dasar Teori Kestabilan
Matriks Fundamental
Proof.
Dengan menggunakan definisi dari turunan, kita dapatkan:
d dte
At
= lim
h→0
eA(t+h)−eAt
h =hlim→0
eAh−I
h e
Krisnawan
Dengan menggunakan definisi dari turunan, kita dapatkan:
Topik 2
Dengan menggunakan definisi dari turunan, kita dapatkan:
Krisnawan
Dengan menggunakan definisi dari turunan, kita dapatkan:
Topik 2
Dengan menggunakan definisi dari turunan, kita dapatkan:
d
Krisnawan
Review
Mat Fund
Teorema Dasar Teori Kestabilan
Teorema Dasar Sistem Linier
Teorema
(Teorema dasar untuk sistem linier)Misalkan A adalah
matriks n×n dan x0∈Rn. Masalah nilai awal
˙
x = Ax
x(0) = x0 (4)
mempunyai solusi tunggal yang diberikan oleh
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund
Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teorema Dasar Sistem Linier
Proof.
Bukti bahwax(t) =eAtx0solusi sistem (4)
Berdasarkan lema sebelumnya, jikax(t) =eAtx0maka kita
dapatkan
˙
x(t) = d dte
At
x0=AeAtx0=Ax(t) (6)
Krisnawan
Review Mat Fund
Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teorema Dasar Sistem Linier
Proof.
Bukti bahwax(t) =eAtx0solusi sistem (4)
Berdasarkan lema sebelumnya, jikax(t) =eAtx0maka kita
dapatkan
˙
x(t) = d dte
At
x0=AeAtx0=Ax(t) (6)
untuk setiapt ∈R. Selanjutnya,x(0) =eA.0
x0=Ix0=x0.
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund
Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teorema Dasar Sistem Linier
Bukti ketunggalan solusi sistem (4)
Misalkanx(t)(belum tahu bentuknya) adalah sebarang solusi dari sistem (4), definisikan fungsi baruy(t)sbb
Krisnawan
Review Mat Fund
Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teorema Dasar Sistem Linier
Bukti ketunggalan solusi sistem (4)
Misalkanx(t)(belum tahu bentuknya) adalah sebarang solusi dari sistem (4), definisikan fungsi baruy(t)sbb
y(t) =e−Atx(t). (7)
Maka berdasarkan lema sebelumnya, dan fakta bahwax(t)
adalah solusi dari sistem (4) didapatkan
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund
Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teorema Dasar Sistem Linier
Bukti ketunggalan solusi sistem (4)
Misalkanx(t)(belum tahu bentuknya) adalah sebarang solusi dari sistem (4), definisikan fungsi baruy(t)sbb
y(t) =e−Atx(t). (7)
Maka berdasarkan lema sebelumnya, dan fakta bahwax(t)
adalah solusi dari sistem (4) didapatkan
˙
Krisnawan
Review Mat Fund
Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teorema Dasar Sistem Linier
Bukti ketunggalan solusi sistem (4)
Misalkanx(t)(belum tahu bentuknya) adalah sebarang solusi dari sistem (4), definisikan fungsi baruy(t)sbb
y(t) =e−Atx(t). (7)
Maka berdasarkan lema sebelumnya, dan fakta bahwax(t)
adalah solusi dari sistem (4) didapatkan
˙
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund
Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teorema Dasar Sistem Linier
Bukti ketunggalan solusi sistem (4)
Misalkanx(t)(belum tahu bentuknya) adalah sebarang solusi dari sistem (4), definisikan fungsi baruy(t)sbb
y(t) =e−Atx(t). (7)
Maka berdasarkan lema sebelumnya, dan fakta bahwax(t)
adalah solusi dari sistem (4) didapatkan
˙
y(t) = −Ae−Atx(t) +e−Atx˙(t) = −Ae−Atx(t) +e−AtAx(t) =0
Krisnawan
Review Mat Fund
Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teorema Dasar Sistem Linier
Bukti ketunggalan solusi sistem (4)
Misalkanx(t)(belum tahu bentuknya) adalah sebarang solusi dari sistem (4), definisikan fungsi baruy(t)sbb
y(t) =e−Atx(t). (7)
Maka berdasarkan lema sebelumnya, dan fakta bahwax(t)
adalah solusi dari sistem (4) didapatkan
˙
y(t) = −Ae−Atx(t) +e−Atx˙(t) = −Ae−Atx(t) +e−AtAx(t) =0
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund
Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teorema Dasar Sistem Linier
Bukti ketunggalan solusi sistem (4)
Misalkanx(t)(belum tahu bentuknya) adalah sebarang solusi dari sistem (4), definisikan fungsi baruy(t)sbb
y(t) =e−Atx(t). (7)
Maka berdasarkan lema sebelumnya, dan fakta bahwax(t)
adalah solusi dari sistem (4) didapatkan
˙
y(t) = −Ae−Atx(t) +e−Atx˙(t) = −Ae−Atx(t) +e−AtAx(t) =0
untuk setiapt ∈R, sehinggay(t)konstan.
Krisnawan
Review Mat Fund
Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teorema Dasar Sistem Linier
Bukti ketunggalan solusi sistem (4)
Misalkanx(t)(belum tahu bentuknya) adalah sebarang solusi dari sistem (4), definisikan fungsi baruy(t)sbb
y(t) =e−Atx(t). (7)
Maka berdasarkan lema sebelumnya, dan fakta bahwax(t)
adalah solusi dari sistem (4) didapatkan
˙
y(t) = −Ae−Atx(t) +e−Atx˙(t) = −Ae−Atx(t) +e−AtAx(t) =0
untuk setiapt ∈R, sehinggay(t)konstan.
Dg demikiany(t) =y(0) =e−A.0x(0) =Ix0=x0,∀t ∈ R. Jadi: satu-satunya solusi dari sistem (4) adalah
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Definisi
Diberikan matriks real A dengan nilai eigenλj =aj +ibj dan
vektor eigen tergeneralisasi yang terkait adalah wj =uj+ivj
Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Definisi
Diberikan matriks real A dengan nilai eigenλj =aj +ibj dan
vektor eigen tergeneralisasi yang terkait adalah wj =uj+ivj
(ingat bahwa: jika bj =0maka vj =0). Misalkan
B ={u1,· · ·,uk,uk+1,vk+1,· · ·,um,vm} (8)
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Definisi
Diberikan matriks real A dengan nilai eigenλj =aj +ibj dan
vektor eigen tergeneralisasi yang terkait adalah wj =uj+ivj
(ingat bahwa: jika bj =0maka vj =0). Misalkan
B ={u1,· · ·,uk,uk+1,vk+1,· · ·,um,vm} (8)
Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Definisi
Diberikan matriks real A dengan nilai eigenλj =aj +ibj dan
vektor eigen tergeneralisasi yang terkait adalah wj =uj+ivj
(ingat bahwa: jika bj =0maka vj =0). Misalkan
B ={u1,· · ·,uk,uk+1,vk+1,· · ·,um,vm} (8)
adalah basis untukRn, dengan n=2m=k maka subruang-subruang atasRnberikut ini
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Definisi
Diberikan matriks real A dengan nilai eigenλj =aj +ibj dan
vektor eigen tergeneralisasi yang terkait adalah wj =uj+ivj
(ingat bahwa: jika bj =0maka vj =0). Misalkan
B ={u1,· · ·,uk,uk+1,vk+1,· · ·,um,vm} (8)
adalah basis untukRn, dengan n=2m=k maka subruang-subruang atasRnberikut ini
Es = span{uj,vj|aj <0},
Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Definisi
Diberikan matriks real A dengan nilai eigenλj =aj +ibj dan
vektor eigen tergeneralisasi yang terkait adalah wj =uj+ivj
(ingat bahwa: jika bj =0maka vj =0). Misalkan
B ={u1,· · ·,uk,uk+1,vk+1,· · ·,um,vm} (8)
adalah basis untukRn, dengan n=2m=k maka subruang-subruang atasRnberikut ini
Es = span{uj,vj|aj <0},
Eu = span{uj,vj|aj >0}, dan
Ec = span{uj,vj|aj =0}.
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Definisi
Diberikan matriks real A dengan nilai eigenλj =aj +ibj dan
vektor eigen tergeneralisasi yang terkait adalah wj =uj+ivj
(ingat bahwa: jika bj =0maka vj =0). Misalkan
B ={u1,· · ·,uk,uk+1,vk+1,· · ·,um,vm} (8)
adalah basis untukRn, dengan n=2m=k maka subruang-subruang atasRnberikut ini
Es = span{uj,vj|aj <0},
Eu = span{uj,vj|aj >0}, dan
Ec = span{uj,vj|aj =0}.
Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Definisi
Diberikan matriks real A dengan nilai eigenλj =aj +ibj dan
vektor eigen tergeneralisasi yang terkait adalah wj =uj+ivj
(ingat bahwa: jika bj =0maka vj =0). Misalkan
B ={u1,· · ·,uk,uk+1,vk+1,· · ·,um,vm} (8)
adalah basis untukRn, dengan n=2m=k maka subruang-subruang atasRnberikut ini
Es = span{uj,vj|aj <0},
Eu = span{uj,vj|aj >0}, dan
Ec = span{uj,vj|aj =0}.
disebutsubruang stabil(Es),subruang takstabil(Eu),
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Teorema
Sistemx˙ =Ax stabil asimtotis jika dan hanya jika bagian real semua nilai eigen dari A bernilai negatif.
Proof.
Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Teorema
Sistemx˙ =Ax stabil asimtotis jika dan hanya jika bagian real semua nilai eigen dari A bernilai negatif.
Proof.
Bukti kekanan:
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Teorema
Sistemx˙ =Ax stabil asimtotis jika dan hanya jika bagian real semua nilai eigen dari A bernilai negatif.
Proof.
Bukti kekanan:
Andaikan ada nilai eigen yang bagian realnya positif. Ingat bahwa solusi sistemx˙ =Ax selalu memuat bentuk
eRe(λ)t
sehingga jika ada bagian real dari (λ) yang bernilai posistif maka untukt → ∞nilaieRe(λ)t
Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Teorema
Sistemx˙ =Ax stabil asimtotis jika dan hanya jika bagian real semua nilai eigen dari A bernilai negatif.
Proof.
Bukti kekanan:
Andaikan ada nilai eigen yang bagian realnya positif. Ingat bahwa solusi sistemx˙ =Ax selalu memuat bentuk
eRe(λ)t
sehingga jika ada bagian real dari (λ) yang bernilai posistif maka untukt → ∞nilaieRe(λ)t
juga akan semakin besar (menuju tak hingga).
Topik 2
Sistemx˙ =Ax stabil asimtotis jika dan hanya jika bagian real semua nilai eigen dari A bernilai negatif.
Proof.
Bukti kekanan:
Andaikan ada nilai eigen yang bagian realnya positif. Ingat bahwa solusi sistemx˙ =Ax selalu memuat bentuk
eRe(λ)t
sehingga jika ada bagian real dari (λ) yang bernilai posistif maka untukt → ∞nilaieRe(λ)t
juga akan semakin besar (menuju tak hingga).
Andaikan ada nilai eigen yang bagian realnya 0. maka solusi dari sistem akan memuat bentuk
Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Proof.
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Proof.
Bukti kekiri:
Ingat bahwa solusi sistemx˙ =Ax selalu memuat bentuk
eRe(λ)t
sehingga jika semua bagian real dari (λ) bernilai negatif maka untukt → ∞nilaieRe(λ)t
Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Proof.
Bukti kekiri:
Ingat bahwa solusi sistemx˙ =Ax selalu memuat bentuk
eRe(λ)t
sehingga jika semua bagian real dari (λ) bernilai negatif maka untukt → ∞nilaieRe(λ)t
Topik 2 Krisnawan
Review Mat Fund Teorema Dasar
Teori Kestabilan
Teori Kestabilan
Akibat
Jika ada bagian real nilai eigen A yang bernilai positif maka sistemx˙ =Ax tidak stabil.
Proof.
