TI 2001 or 1 - Kuliah 07 - Analisis Sensitivitas - 11 MAR 14 (1)

Analisis Sensitivitas

(Sensitivity Analysis)

① Pengertian analisis sensitivitas

② Analisis sensitivitas dengan metode grafis

③ Analisis sensitivitas dengan metode simplex

TI 2001 Penelitian Operasional I 4

Analisis Sensitivitas

• Analisis thd. perubahan solusi optimal & nilai

optimal krn. perubahan parameter model (data input). • Perubahan:

1) Koefisien fungsi tujuan, c

2) Konstanta ruas kanan, b 3) Koefisien teknologi, a_ij

• Penambahan aktivitas atau variabel baru

• Perubahan pengunaan sumber dari aktivitas (perubahan kolom)

Efek dari Perubahan Parameter Model

• Perubahan parameter model yg.

mempenga-ruhi optimalitas :

– Perubahan koefisien fungsi tujuan

– Penambahan aktivitas (variabel) baru

– Perubahan penggunaan sumber daya dari aktivitas

• Perubahan parameter model yg.

mempenga-ruhi kelayakan :

– Perubahan konstanta ruas kanan – Penambahan pembatas baru

② Analisis Sensitivitas

dengan Metode Grafis

TI 2001 Penelitian Operasional I

Analisis Sensitivitas

– Perubahan Konstanta Ruas Kanan

(ketersediaan SumberDaya)

• Masalah Sensitivitas 1

– Berapa banyak suatu sumber daya dapat

ditingkatkan untuk memperbaiki nilai fungsi tujuan optimum Z* ?

– Berapa banyak suatu sumber daya dapat

diturunkan tanpa menyebabkan perubahan solusi optimum x*saat ini?

Pembatas binding dan nonbinding (1)

• Pembatas

– Binding  sumber daya yg langka (scarce resource)

– Non-binding  sumber daya yg berlebihan (abundant resource)

Contoh Masalah Produk Campuran (*)

Variabel keputusan:

x₁ = jumlah cat eksterior yang diproduksi per hari

x₂ = jumlah cat interior yang diproduksi per hari

TI 2001 Penelitian Operasional I 10

Contoh Masalah Produk Campuran (*)

Pembatas: 1) Ketersediaan bahan Bahan A : x₁ + 2x₂  6 Bahan B : 2x₁ + x₂  8 2) Permintaan Selisih permintaan : x₂ – x₁  1 Permintaan cat interior : x₂  2 3) Pembatas tak negatif

Contoh Masalah Produk Campuran (*)

Fungsi Tujuan:

Memaksimumkan Pendapatan Total : Z = 3x₁ + 2x₂

Contoh Masalah Produk Campuran (*)

Memaksimumkan Z = 3x₁ + 2x₂ dengan pembatas-pembatas: x₁ + 2x₂  6 2x₁ + x₂  8 –x₁ + x₂  1 x₂  2 x₁, x₂ ≥ 0

Pembatas binding dan nonbinding (2)

(6) (5) (2) (4) (3) (1) x x₂

Pada Titik Optimal C, pembatas-pembatas yang binding (aktif) & non-binding (non-aktif) adalah :

Binding  (1) : Bahan A

(2) : Bahan B

Nonbinding (3) : Selisih permintaan

(4) : Permintaan cat interior

A B C D E F

Peningkatan Pembatas (1) : x

₁

+ 2x

₂



6

(6) (2) (4) (3) (1) x₁ x₂ A F E B K

Bila b₁= 7, Titik K merupakan solusi optimum baru : x₁* = 3, x₂* = 2; Z* = 13

Bahan A dapat ditingkatkan s.d. = 3(1) + 2(2) = 7 ton. D C  Pembatas (1) :ditingkatkan : b₁ 7 Pembatas (1) : ditingkatkan : b₁ p, dimana p>7

(6) (5) (2) (4) (3) (1) x x₂ A B C D E F J

Bila b₂=12, Titik J adalah solusi optimum baru :

x₁* _{= 6; x}

2* = 0; Z* = 18.

Bahan B dapat ditingkatkan s.d. = 2(6) + 1(0) = 12 ton. Pembatas (2) : ditingkatkan : b₂ 12 Pembatas (2) : ditingkatkan : b₂ p, dimana p>12 Pembatas (2) : posisi awal : b₂ 8

Bila b₂>12, solusi optimum tetap di Titik J.

(6) (5) (2) (4) (3) (1) x x₂ A B C D E F

Konstanta ruas kanan : – x₁ + x₂ = -31_/

3 + 11/3 = -2

atau pembatas menjadi: – x₁ + x₂  -2

x₁ - x₂ ≥ 2

 Solusi optimal pada Titik C saat ini tak berubah walaupun selisih antara

permintaan eksterior dg. interior menjadi 2 ton.

(6) (5) (2) (4) (3) (1) x x₂ A B C D E F

Konstanta ruas kanan : x₂ = 11_/

3

atau pembatas menjadi: x₂  11_/

3

Solusi optimal pada Titik C saat ini tdk berubah walaupun batas permintaan cat interior turun hingga 11_/

3 ton.

C

Analisis Sensitivitas

– Sumberdaya yang diprioritaskan untuk ditingkatkan

• Masalah sensitivitas

– Sumberdaya mana yang perlu ditingkatkan?

i i i

b

Z

y

_max max







max_Z

i = perubahan maksimum dari nilai Z akibat

peningkatan pembatas i

max_b

i = perubahan maksimum dari sumber daya/pembatas i y_i = shadow price pembatas i

Shadow price

Sumber daya Jenis Perubahan maksimum dari sumber daya Perubahan maksimum dari fungsi tujuan (x 1.000) Shadow price 1 Langka 7 – (6) = 1 13 – 122_/ 3 = 1/3 (1/3)/1 = 1/3 2 Langka 12 – (8) = 4 18 – 122_/ 3 = 51/3 (51/3)/4= 4/3 3 Berlimpah – 2 – (1) = –3 122/₃ – 122/₃ = 0 0 4 Berlimpah 11_/ 3 – (2) = – 2/3 122/3 – 122/3 = 0 0

Interpretasi

• Sumber daya 2 (bahan B) seharusnya

mendapatkan prioritas dalam pengalokasian

dana

Analisis Sensitivitas

- Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

• Perubahan koefisien fungsi tujuan akan mempenga-ruhi slope dari garis lurus yg merepresentasikannya. • Perubahan koefisien fungsi tujuan akan mengubah

status dari suatu sumber daya (langka atau berlimpah) • Pertanyaan:

– Berapa besar koefisien fungsi tujuan dpt diubah tanpa menyebabkan perubahan pada solusi (titik) optimal. – Berapa besar koefisien fungsi tujuan dpt diubah utk

mengubah status sumber dari berlimpah ke langka, dan sebaliknya.

Pada contoh kasus yang telah dibahas sebelumnya : Memaksimumkan Z = 3x₁ + 2x₂ s/t : x₁ + 2x₂  6 2x₁ + x₂  8 – x₁ + x₂  1 x₂  2 x_1,, x₂ ≥ 0

Analisis Sensitivitas

Analisis Sensitivitas

- Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan

(6) (5) (2) (4) (3) (1) x x₂ A B C D E F Peningkatan c₂ Penurunan c₁ Peningkatan c₁ Penurunan c₂

Titik C tetap sebagai titik optimal sepanjang

slope dari Z berubah antara slope pembatas (1) dan (2)

Analisis Sensitivitas

- Perubahan Koefisien Suatu Fungsi

x x₂

Bentuk Fungsi : Z = c₁x₁ + c₂x₂

Z = 3x₁ + 2x₂

(6) (5) (2) (4) (3) (1) x x₂ A B C D E F

Slope Z sama dengan slope pembatas (1)

Analisis Sensitivitas

(6) (5) (2) (4) (3) (1) x x₂ A B C D E F

Slope Z sama dengan slope pembatas (2)

Analisis Sensitivitas

Rentang c

₁

untuk mempertahankan solusi optimal pada

titik C (dengan c

₂

tetap)

Minimum dari c₁ → slope Z = slope pembatas (1):

F. Tujuan : Z = 3x₁ + 2x₂

Pembatas (1) : x₁ + 2x₂  6 → c₁/c₂ = ½ Slope Z = c_1min/c₂ = c_1min/2 = ½ → c_1min = 1.

Maksimum dari c₁ → slope Z = slope pembatas (2) :

Pembatas (2) : 2 x₁ + x₂  8 → c₁/c₂ = 2/1 = 2 Slope Z = c_1max/c₂ = c_1max/2 = 2 → c_1max = 4.

Rentang c₁ agar titik C tetap sebagai titik optimal:

4

1



c

₁



Rentang c

₂

untuk mempertahankan solusi optimal pada

titik C (dengan c

₁

tetap)

Minimum dari c₂ → slope Z = slope pembatas (2):

F. Tujuan : Z = 3x₁ + 2x₂

Pembatas (2) : 2x₁ + x₂  8 → c₁/c₂ = 2/1

Slope Z = c₁/c_2min = 3/c_2min = 2/1 → c_2min = 3/2.

Maksimum dari c₂ → slope Z = slope pembatas (1) :

Pembatas (1) : x₁ + 2x₂  6 → c₁/c₂ = 1/2 Slope Z = c₁/c_2max = 3/c_2max = 1/2 → c_2max = 6.

Rentang c₂ agar titik C tetap sebagai titik optimal:

6

2

3

2



③ Analisis Sensitivitas

dalam Metode Simplex

Masalah Pemrograman Linier

Memaksimumkan Z = 3x₁ + 2x₂ dengan pembatas-pembatas:

x₁ + 2x₂  6 (Bahan A) 2x₁ + x₂  8 (Bahan B)

– x₁ + x₂  1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior)

x₂  2 (Permintaan cat interior)

x₁ ≥ 0

Tabel Awal

c_B 3 2 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ 0 x₃ 1 2 1 0 0 0 6 0 x₄ 2 1 0 1 0 0 8 0 x₅ -1 1 0 0 1 0 1 0 x₆ 0 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 0 0 Z = 0 Basis c_j c Baris

Tabel Akhir (Tabel Optimal)

c_B 3 2 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ 2 x₂ 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 3 x₁ 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3 0 x₅ 0 0 -1 1 1 0 3 0 x₆ 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3 0 0 -1/3 -4/3 0 0 Z = 38/3 Basis c_j c Baris

Perubahan dalam

Koefisien Fungsi Tujuan

• Perubahan koefisien fungsi tujuan dari :

a) variabel basis

b) variabel non basis

a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan

dari Variabel Basis

Variabel x₁:                  3 / 2 1 3 / 1 3 / 2 ) 0 , 0 , c , 2 ( 0 c_{3 1}  3 c 4 c 1 3                  3 / 1 1 3 / 2 3 / 1 ) 0 , 0 , c , 2 ( 0 c_{4 1}  3 c 2 2 c₄   1

Kondisi tetap optimal :

0 3  c 0 4  c  0 3 c 4 _{1 }  0 3 c 2 2 _{1 }    c1 1 4 1  c 4 1 c₁ 

2 1 1 4 Z 4x 2x c     0 3 / 2 1 3 / 1 3 / 2 ) 0 , 0 , 4 , 2 ( 0 c₃                  

Variabel x₁: misal, nilainya berubah :

2 3 / 1 1 3 / 2 3 / 1 ) 0 , 0 , 4 , 2 ( 0 c₄                

a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan

dari Variabel Basis

c_B 4 2 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ 2 x₂ 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 4 x₁ 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3 0 x₅ 0 0 -1 1 1 0 3 0 x₆ 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3 0 0 0 -2 0 0 Z = 16 Basis c_j c Baris

a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan

dari Variabel Basis

2 1 1 5 Z 5x 2x c     3 / 1 3 / 2 1 3 / 1 3 / 2 ) 0 , 0 , 5 , 2 ( 0 c₃                  

Variabel x₁: misal, nilainya berubah :

3 / 8 3 / 1 1 3 / 2 3 / 1 ) 0 , 0 , 5 , 2 ( 0 c₄                

a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan

dari Variabel Basis

c_B 5 2 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ 2 x₂ 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 5 x₁ 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3 0 x₅ 0 0 -1 1 1 0 3 0 x₆ 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3 0 0 1/3 -8/3 0 0 Z = 38/3 Basis c_j c Baris

a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan

dari Variabel Basis

c_B 5 2 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ 0 X₃ 0 3/2 1 -1/2 0 0 2 5 x₁ 1 1/2 0 1/2 0 0 4 0 x₅ 0 3/2 0 1/2 1 0 5 0 x₆ 0 1 0 0 0 1 2 0 -1/2 0 -5/2 0 0 Z = 20 Basis c_j c Baris

a) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan

dari Variabel Basis

b) Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan

dari Variabel Non Basis

                 3 / 2 1 3 / 1 3 / 2 ) 0 , 0 , 3 , 2 ( c c_{3 3}  3 1 c c₃  ₃ 

Variabel non basis x₃:

Kondisi tetap optimal :

0 3 1 c c₃  ₃   3 1 c₃   3 1 c₃     

Penambahan Aktivitas Baru

Memaksimumkan Z = 3x₁ + 2x₂ + 3/₂ x₇ dengan pembatas-pembatas: x₁ + 2x₂ + 3/₄ x₇  6 (Bahan A) 2x₁ + x₂ + 3_/ 4 x7  8 (Bahan B)

– x₁ + x₂ – x₇  1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior)

x₂  2 (Permintaan cat interior)

                  1 0 3 / 1 3 / 2 0 1 1 1 0 0 3 / 2 3 / 1 0 0 3 / 1 3 / 2 1 B 7 7 7 c πa c                 0 1 4 3 4 3 7 / / a

2

/

3

7



c









                     1 0 3 1 3 2 0 1 1 1 0 0 3 2 3 1 0 0 3 1 3 2 0 0 3 2 B c π 1 6 5 1 2 / / / / / / , , , π , π , π , π _B

Penambahan Aktivitas Baru



1 3,4 3,0,0



                                             4 1 1 4 1 4 1 0 1 4 3 4 3 1 0 3 1 3 2 0 1 1 1 0 0 3 2 3 1 0 0 3 1 3 2 7 / / / / / / / / / / / a

Penambahan Aktivitas Baru





1 4 0 1 4 3 4 3 0 0 3 4 3 1 2 3 π ₇ 7 7 / / / , , / , / /                   c a c

c_B 3 2 3/2 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₇ x₃ x₄ x₅ x₆ 2 x₂ 0 1 1/4 2/3 -1/3 0 0 4/3 3 x₁ 1 0 1/4 -1/3 2/3 0 0 10/3 0 x₅ 0 0 -1 -1 1 1 0 3 0 x₆ 0 0 -1/4 -2/3 1/3 0 1 2/3 0 0 1/4 -1/3 -4/3 0 0 Z = 38/3 Basis c_j c Baris

c_B 3 2 3/2 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₇ x₃ x₄ x₅ x₆ 3/2 x₇ 0 4 1 8/3 -4/3 0 0 16/3 3 x₁ 1 -1 0 -1 1 0 0 2 0 x₅ 0 4 0 5/3 -1/3 1 0 25/3 0 x₆ 0 1 0 0 0 0 1 2 0 -1 0 -1 -1 0 0 Z = 14 Basis c_j c Baris

Perubahan dalam Penggunaan Sumber dari

Aktivitas

• Perubahan pada aktivitas (variabel) non basis

– Dilakukan analisis seperti kasus penambahan aktivitas baru

• Perubahan pada aktivitas (variabel) basis

– Menyelesaikan masalah pemrograman linier dari awal lagi

Perubahan yang Mempengaruhi Ketidaklayakan

• Perubahan dalam konstanta ruas kanan

• Penambahan pembatas baru

Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan

Pembatas 1:              2 1 8 1 * b b 0 1   b B                   1 0 3 / 1 3 / 2 0 1 1 1 0 0 3 / 2 3 / 1 0 0 3 / 1 3 / 2 1 B

                                                  3 / 14 3 / 2 9 3 / 16 3 / 3 / 8 3 / 2 2 1 8 1 0 3 / 1 3 / 2 0 1 1 1 0 0 3 / 2 3 / 1 0 0 3 / 1 3 / 2 1 1 1 1 1 * 1 b b b b b b B 4 0 3 8 3 2 1 1     b b 16 0 3 16 3 1 1      b b 9 0 9 ₁ 1     b b 7 0 3 14 3 2 1 1      b b 7 4 b₁ 

Pembatas 1:              2 1 8 7 * b                                            0 2 3 2 2 1 8 7 1 0 3 / 1 3 / 2 0 1 1 1 0 0 3 / 2 3 / 1 0 0 3 / 1 3 / 2 * 1 b B

       

3 2 2 2 0 0 0 13 3      Z

c_B 3 2 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ 2 x₂ 0 1 2/3 -1/3 0 0 2 3 x₁ 1 0 -1/3 2/3 0 0 3 0 x₅ 0 0 -1 1 1 0 2 0 x₆ 0 0 -2/3 1/3 0 1 0 0 0 -1/3 -4/3 0 0 Z = 13 Basis c_j c Baris

Pembatas 1:              2 1 8 9 * b                                             3 / 4 0 3 / 7 3 / 10 2 1 8 9 1 0 3 / 1 3 / 2 0 1 1 1 0 0 3 / 2 3 / 1 0 0 3 / 1 3 / 2 * 1 b B

c_B 3 2 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ 2 x₂ 0 1 2/3 -1/3 0 0 10/3 3 x₁ 1 0 -1/3 2/3 0 0 7/3 0 x₅ 0 0 -1 1 1 0 0 0 x₆ 0 0 -2/3 1/3 0 1 -4/3 0 0 -1/3 -4/3 0 0 Basis c_j c Baris

Terapkan dual simplex

c_B 3 2 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ 2 x₂ 0 1 0 0 0 1 2 3 x₁ 1 0 0 1/2 0 -1/2 3 0 x₅ 0 0 0 1/2 1 -3/2 2 0 x₃ 0 0 1 -1/2 0 -3/2 2 0 0 0 -3 0 -1/2 Z = 13 Basis c_j c Baris

Penambahan Pembatas Baru

• Solusi optimal saat ini memenuhi pembatas

baru

Pembatas baru bersifat nonbinding atau redundant sehingga tidak mengubah solusi optimal saat ini.

• Solusi optimal saat ini tidak memenuhi

pembatas baru

Pembatas baru: x₁  4

Solusi optimal saat ini : x = (x₁, x₂, x₅, x₆) = (10/3, 4/3, 3, 2/3)

x₁ = 10/3  4

Pembatas baru: x₁  3

Solusi optimal saat ini : x = (x₁*_{, x}

2*, x5*, x6*) = (10/3, 4/3, 3, 2/3)

Solusi optimum saat ini utk variabel x₁* = 10/3 , lebih besar dari 3 → x₁* _{= 10/3 > 3 sehingga pembatas baru ini akan mengubah solusi}

optimum saat ini

Penambahan Pembatas Baru

c_B 3 2 0 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ 2 x₂ 0 1 2/3 -1/3 0 0 0 4/3 3 x₁ 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 10/3 0 x₅ 0 0 -1 1 1 0 0 3 0 x₆ 0 0 -2/3 1/3 0 1 0 2/3 0 x₇ 1 0 0 0 0 0 1 3 0 0 -1/3 -4/3 0 0 0 Basis c_j c Baris

c_B 3 2 0 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ 2 x₂ 0 1 2/3 -1/3 0 0 0 4/3 3 x₁ 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 10/3 0 x₅ 0 0 -1 1 1 0 0 3 0 x₆ 0 0 -2/3 1/3 0 1 0 2/3 0 x₇ 0 0 1/3 -2/3 0 0 1 -1/3 0 0 -1/3 -4/3 0 0 0 Z = 38/3 Basis c_j c Baris

Terapkan dual simplex

c_B 3 2 0 0 0 0 0 Konstanta x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ 2 x₂ 0 1 1/2 0 0 0 -1/2 3/2 3 x₁ 1 0 0 0 0 0 1 3 0 x₅ 0 0 -1/2 0 1 0 3/2 5/2 0 x₆ 0 0 -1/2 0 0 1 ½ ½ 0 x₄ 0 0 -1/2 1 0 0 -3/2 1/2 0 0 -1 -4/3 0 0 0 Z = 12 Basis c_j c Baris