• Tidak ada hasil yang ditemukan

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP"

Copied!
5
0
0

Teks penuh

(1)

1

Lusia Tri Listyowati Kristiana Wijaya M. Fatekurohman

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember e-mail: kristiana_wijaya@yahoo.com dan m_fatkur@yahoo.com

Abstract: A graceful labeling of digraph D

(

V,A

)

is a one to one function--- ---

such that each arc a =uv in D is labeled with λ(a)=λ

( )

uv =λ(v)−λ(u) mod

(

|A(D)|+1

)

, the resulting arc labels are distinct. A digraph D is called graceful if it admits any graceful labeling. In this paper we give a method for constructing a graceful labeling of path digraph P and complete bipartite n

digraph Km,n.

Kata kunci: pelabelan graceful, digraf, lintasan digraf, bipartit digraf lengkap.

Pelabelan graf sudah dikaji mulai tahun 60-an. Sejak itu sekitar 300 tulisan mengenai pelabelan banyak bermunculan. Pelabelan pada graf adalah pemberian nilai pada himpunan titik, himpunan sisi, atau gabungan himpunan titik dan sisi pada graf yang memenuhi sifat tertentu. Misal G graf tanpa loop, sisi paralel, dan hingga. Pelabelan graceful pada graf G merupakan pemberian nilai pada titik-titiknya dengan bilangan bulat tak negatif, yaitu nol sampai dengan sejumlah sisi yang dimiliki oleh graf G sehingga sisinya mendapat label harga mu-tlak dari selisih pelabelan kedua titik yang menem-pel pada sisi tersebut yang berbeda semua. Sebuah graf G disebut graf graceful jika setiap titik dan sisi pada graf G dapat diberi label menurut aturan pelabelan graceful. Dalam hal ini, pelabelan

graceful untuk beberapa kelas graf telah

ditunjuk-kan. Rosa (1967) menunjukkan bahwa graf sikel Cn

adalah graceful jika dan hanya jikan≡0atau 3

(mod 4). Hoede & Kuiper (1978) membuktikan

bahwa graf roda Wn adalah graceful untuk semua

3 ≥

n . Graf lengkap Kn adalah graceful jika dan

hanya jikan≤4dan graf bipartit lengkap Km,n

ada-lah graceful untuk setiap m dan n dibuktikan oleh Golomb (1972). Aldred & McKay (1998)

menun-jukkan bahwa graf pohon Tn adalah graceful

un-tukn ≤23,sedangkan untuk

n

>

23

masih

menja-di open problem. Selain itu telah menja-dibuktikan oleh

Huda & Wijaya (2002) bahwa graf tangga Ln yang

diperoleh dari hasil kali kartesius P2 × Pn dan graf

gabungan m buah graf tangga mLn adalah graceful

untuk setiap m dan n.

Sejalan dengan ide pelabelan graceful pada graf, Bloom & Hsu (1985) memperkenalkan pela-belan graceful pada digraf (graf berarah). Misal D digraf dengan himpunan titik V(D) dan himpunan

arc A(D). Pelabelan graceful pada digraf D

meru-pakan pemberian nilai pada titik-titiknya dengan himpunan bilangan bulat tidak negatif, yaitu nol sampai dengan banyaknya arc yang dimiliki oleh digraf D sedemikian hingga arc-nya mendapat la-bel selisih pelala-belan kedua titik yang menempel pa-da arc tersebut pa-dalam bilangan bulat modulo

) 1 ) (

(A D + yang berbeda semua. Secara matematis,

pelabelan graceful pada digraf D adalah fungsi sa-tu-satu:

{ }

: ( )V D 0, 1, 2, , |A D( ) |

λ → L

sehingga setiap arc a =uv di D mendapat label

( )a

λ =λ

( )

uv =λ( )v −λ( ) m od |u ( A D( ) | 1+ ) uur

... berbeda semua. Sebuah digraf D disebut digraf

graceful jika setiap titik dan arc pada digraf D

{

0,1,2, ,| ( )|

}

) ( :VD→ L AD λ yang

(2)

dapat diberi label menurut aturan pelabelan

grace-ful.

Konsep dasar graf dan digraf dapat dilihat di Chartrand & Lesniak (1996). Misalkan u dan v titik di V(D), maka u dan v dapat mempunyai satu atau dua arah, yaitu dari u ke v atau dari v ke u. Oleh sebab itu, ada kelas digraf satu arah dan kelas di-graf dua arah. Pada paper ini, akan diinvestigasi pelabelan graceful pada kedua kelas digraf, yaitu

digraf lintasanPnuntuk kelas digraf satu arah dan

digraf bipartit lengkapK ,mnuntuk kelas digraf dua

arah. Adapun definisi dari digraf lintasanPn dan

di-graf bipartit lengkapK ,mnadalah sebagai berikut.

Digraf lintasanPnadalah digraf terhubung dengan n

titik dan n−1arc dengan 1 titik berderajat keluar 1,

1 titik berderajat masuk 1, dan n−2titik berderajat

masuk 1 dan berderajat keluar 1. Digraf bipartit

lengkapK ,mnadalah digraf yang himpunan titiknya

dapat dipartisi ke dalam dua subhimpunan V1 dan

V2 denganV =1 mdanV2 =msehingga setiap arc di

n m

K , menghubungkan setiap titik di V1 dengan

se-tiap titik di V2.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini dijelaskan mengenai pelabel-an graceful pada digraf lintaspelabel-an dpelabel-an digraf bipartit lengkap. Pada setiap pembuktian diperlukan notasi

 yang mempunyai arti bilangan pembulatan

ke-atas dan yang mempunyai arti bilangan

pembu-latan ke bawah. Sebagai contoh, 2

3 5 =     dan -1 3 5 =     .

Pelabelan Graceful pada Digraf Lintasan

Misalkan digraf lintasanPn mempunyai

him-punan titikV Pn={v1,v2,v3,....,vn} 

  

dan himpunan arc

{1, 2, 3,...., −1} =       n n a a a v P A dengan ai=vi vi+1 untuk 1 ...., , 2 , 1 − = n i .

Berikut ini diberikan teorema pelabelan

gra-ceful pada digraf lintasan.

Teorema 1 Digraf lintasanPn merupakan digraf

graceful jika dan hanya jika n genap. Bukti

Definisikan pelabelan untuk titik-titik dari

di-graf Pnsebagai berikut.

    − = + 2 ) 1 ( ) ( 1 i v i i

λ

(mod n) untuk i = 1, 2, 3, ...., n.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa pendefinisian dari label titik di atas merupakan fungsi satu-satu dari V(Pn)k {0, 1, 2, ..., n}.

Misalvi,vjV(Pn)dengan

λ

(vi) =

λ

(vj), yaitu

    − =     − + + 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( i1 i j1 j (mod n)     − =     − 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( i i j j (mod n).

Akan ditunjukkan vi = vj, yaitu dengan

menunjukkan bahwa i = j.

Apabilai≠j, maka terdapat dua kemungkinan

yaitu: Jika i ganjil dan j genap (atau sebaliknya),

maka      =       − 2 2 j i

(mod n). Dengan demikian

      =       − 2 2 j i

(mod n) dipenuhi oleh j =1,2,3,....,n .

Karena 2n− (i−1) > n maka kontradiksi

de-ngan..j = 1, 2, 3, ..., n. Jika i dan j keduanya genap

(atau keduanya ganjil), maka

    =     2 2 j i . Persamaan     =     2 2 j i dipenuhi oleh j= i+1 jika 2 1

bulat dan j= i−1 jika

2 1

tidak bulat (pecah-an). Karena i genap maka diperoleh j ganjil. Hal ini bertentangan dengan i dan j keduanya genap (atau

keduanya ganjil). Jadi haruslahi = j. Dengan

de-mikian pendefinisian label titik λ(v) memenuhi

fungsi satu satu dari.V(Pn)ke {0, 1, 2, ..., n}. Setelah pelabelan titik-titiknya diperoleh

ma-ka perumusan pelabelan arca ∈i A(Pn)untuk i = 1,

2, 3, ..., n -1 adalah sebagai berikut.

( ) ( )

( )1 () 2 2 1 2 2 1 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) ( ) ( 2 1 1 i i i i i i i i i v v v v a i i i i i i i i − =    − =           +     +           +     + − =     − −     + − = − = = + + + λ λ λ λ

Dengan demikian himpunan label dari setiap arc di

n

P adalah:

(mod n)

(mod n), Untuk i ganjil (mod n), Untuk i genap

(mod n), Untuk i genap (mod n), Untuk i ganjil

(3)

{

n

1,

n

3,

n

5, , 3, 1 untuk

L

}

i

=

1, 3, 5, ,

L

n

1,

{

2, 4, 6, ,

L

n

4,

n

2 untuk

}

i

=

2, 4, 6, ,

L

n

2.

Jadi setiap arc di Pnmendapat label yang berbeda

semua. Karena setiap titik pada digraf Pndengan n

genap dapat diberi label yang memenuhi fungsi

sa-tu-satu dariV(Pn)ke {0, 1, 2, ..., n} sehingga setiap

arc diPnmendapat label yang berbeda semua,

ma-ka digrafPnuntuk n genap adalah digraf graceful.

Sebagai ilustrasi, Gambar 1 menunjukkan

pe-labelan graceful pada digraf Pn untuk n genap.

Gambar 1. Pelabelan Graceful pada Digraf P4

dan P6

Teorema 2 Jika n ganjil maka digraf lintasanPn

bukan merupakan digraf graceful.

Bukti

Andaikan digraf lintasanPnuntuk n ganjil

me-rupakan digraf graceful, maka ada pelabelan

grace-ful λ pada digraf Pn . Pelabelan untuk arc

) , (vi vi+1 diPnadalah: ) ( ) ( ) , (vi vi 1 λ vi 1 λ vi λ + = + − untuk i = 1, 2, 3, ..., n – 1.

Karena digrafPnmerupakan lintasan satu arah,

maka ). ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ( 1 1 2 2 1 1 1 1 1 v v v v v v v v v v n n n n n n i i i λ λ λ λ λ λ λ λ λ − = − + + − + − = − = +

K

Sedangkan λ merupakan pelabelan graceful pada

digraf Pn, maka label dari arc-nya adalah 1, 2,

3, ...., n-1, sehingga

Karena n ganjil, maka 2 ) 1 ( −n merupakan bilangan bulat. Akibatnya 0 2 ) 1 ( ≡ − n n (mod n).

Dengan demikian diperoleh λ (vn) - λ (v1) ≡ 0 (mod n).

Jadi, λ (vn) = λ (v1). Hal ini tidak diperbolehkan,

karena pada pelabelan graceful, pelabelan titik-ti-tiknya harus memenuhi fungsi satu-satu. Jadi digraf

lintasanPnuntuk n ganjil bukan merupakan digraf

graceful.

Pelabelan Graceful pada Digraf Bipartit Lengkap

Digraf bipartit lengkapKm,nmempunyai m + n

titik dan 2mn arc. Dengan demikian pelabelan

gra-ceful pada digraf bipartitKm,nlengkap mengguna-kan modulo 2mn + 1. Misalmengguna-kan digraph bipartit

lengkapKm,nmempunyai himpunan titik

} ..., , , , ..., , , { ) (Km,n u1u2 um v1 v2 vn V =

dan himpunan arc

{

}

, 1 2 1 2 ( m n) j, j, , mj, i, i, , ni A K = a a a b b b uuuur K K dengan j i ij u v a = danb =ij vjuiuntuk i = 1, 2, 3, ...., m, j = 1, 2, 3, ...., n.

Sebagai ilustrasi penotasian titik dan arc pada

digraf bipartit lengkapKm,ndapat dilihat pada

Gam-bar 2.

Berikut ini diberikan teorema pelabelan

gra-ceful pada digraf bipartit lengkap.

Teorema 3 Untuk setiap m dan n digraf bipartit

lengkapKm,nmerupakan digraf graceful.

Bukti

Definisikan pelabelan untuk titik-titik dari

di-grafKm,nsebagai berikut.

λ (ui) = i - 1 untuk i = 1, 2, 3, ...., m,

λ (vj) = mj untuk j = 1, 2, 3, ...., n.

Dapat dilihat bahwa label dari titik ui berbeda

semua untuk i = 1, 2, 3, ..., m dengan himpunan

label {0, 1, 2, ...., m-1}. Demikian juga label titik vj ,

berbeda semua untuk j = 1, 2, 3, ...., n dengan him-punan label {m, 2m, 3m, ...., nm}. Dapat dilihat

ju-ga bahwa label titik ui berbeda dengan label titik vj.

Jadi pelabelan titik pada digraf Km,n memenuhi

fungsi satu-satuV Km,nke {0, 1, 2, ...., 2mn}.

Setelah pelabelan titik-titiknya diperoleh ma-ka arc-nya mendapat label menurut aturan sebagai berikut. 1 ) ( ) (aijuivj =mji+ λ 1 ) 2 ( ) ( ) (bijuivj =m nj + λ Untuk i = 1, 2, 3, ..., m, 3 1 2 0 3 2 1 0 5 5 2 1 3 4 4 2 1 3 ) (mod 2 ) 1 ( ) ( 1 1 1 1 1 n n n i v v n i n i i i

− = − = + − = = λ dan

(4)

j = 1, 2, 3, ..., n.

Dengan demikian untuk i = 1, 2, 3, ..., m,

himpunan label untuk arc aij adalah {mj, mj – 1, mj

– 2, ..., mj – m + 1} dan himpunan label untuk arc

bij adalah { 2mn–mj +1, 2mn-mj + 2, ..., 2mn + m}

Jadi untuk j = 1, 2, 3, ...., n himpunan label untuk

arc aij adalah {m, m – 1, m – 2, ..., 1} ∪ {m, 2m,

2m – 1, 2m – 2, ..., m + 1} ∪ ... ∪ {mn, mn – 1, mn – 2, ..., mn – m + 1} dan himpunan label untuk arc

bij adalah {2mn – m + 1, 2mn – m + 2, ..., 2mn} ∪

{2mn – 2m + 1, 2mn – 2m + 2, ..., 2mn – m} ∪ ... ∪ {mn + 1, mn + 2, …, mn + m}.

Jadi label setiap arc dari digraf ... berbeda

semua. Karena pelabelan titik-titiknya memenuhi fungsi satu-satu dari V Km,nke {0, 1, 2, ..., 2mn}

dan pelabelan arc-nya berbeda semua maka pela-belan λ di atas adalah pelapela-belan graceful. Jadi

di-grafKm,n.adalah graceful untuk setiap m dan n.

Sebagai ilustrasi, Gambar 3 menunjukkan

pe-labelan graceful pada digraf Km,n.

KESIMPULAN

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai

berikut. Digraf lintasanPnmerupakan digraf

grace-ful untuk n genap. Sedangkan untuk n ganjil digraf

lintasanPnbukan merupakan digraf graceful.

Di-graf bipartit lengkapKm,nmerupakan digraf graceful

untuk setiap m dan n.

Permasalahan pelabelan graceful pada kelas digraf masih terbuka bagi peneliti yang lain, mi-salnya pelabelan graceful pada digraf sikel, digraf lengkap, digraf kipas, digraf matahari, dan digraf friendship.

Gambar 2. Penotasian Digraf Bipartit Lengkap Km,n

Gambar 3. Pelabelan Graceful pada Digraf K2,2 dan K2,3

DAFTAR RUJUKAN

Aldred, R.E.L. & McKay, B.D. 1998. Graceful and Harmonious Labellings of Trees. Bull. Inst. Com-bin. Application, 23:69-72.

Bloom, G.S. & Hsu, D.F. 1985. Graceful Directed Graphs. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 519–536.

Chartrand, G. & Lesniak, L. 1996. Graphs & Digraphs, 3rd edition. New York: Chapman and Hall. Golomb, S.W. 1972. How to Number A Graph, in Graph

Theory and Computing. New York: Academic Press. 0 1 2 4 1 2 3 6 5 7 4 8 2 4 6 0 1 7 6 8 5 3 4 2 1 9 10 11 12 1 2 m 2 2 a1 1 2 u1 u2 um b1 b1 b2 bn a11 a1 a2 a2 a2n a1n am Vn V2 V1 b2a am2 bm2 bn2 b1m am1 n m K ,

(5)

Hoede, C. & Kuiper, H. 1978. All Wheels are Graceful. Utilitas Mathematica, 14:311.

Huda, M.T. & Wijaya, K. 2002. Pelabelan Graceful pada Graf Tangga Ln dan Graf Gabungan m Buah

Graf Tangga mLn. Jember: Majalah Ilmiah

Ma-tematika dan Statistika, 32–43.

Rosa, A. 1967. On Certain Valuation of A Graph, in Theory of Graphs. Proceeding of International Symposium on Mathematics, Paris, July 1967.

Gambar

Gambar 2. Penotasian Digraf Bipartit Lengkap  K m , n

Referensi

Dokumen terkait

Dengan suatu sistem identitas seumur hidup yang dimulai sejak seseorang lahir akan mendapatkan nomor identitas dan memiliki suatu penyimpanan data secara online yang

Hasil penelitian predikat tingkat kesehatan bank ditinjau dari analisis CAMEL pada Bank Perkreditan Rakyat di Kecamatan Buleleng periode 2010-2012 sejalan dengan

Secara umum fungsi survival dan fungsi hazard mahasiswa IPB angkatan 2008 dengan metode nonparametrik memiliki nilai maksimum pada akhir semester 2 untuk proses

Pemilihan Kepala Urusan sebagai informan dalam penelitian ini didasarkan pada fokus penelitian berdasarkan sudut pandang setiap fakultas di Univeritas Telkom yang telah

a) Profil budaya yang diharapkan mitra perubahan adalah kombinasi antara budaya market 27% dan clan 26% : Mitra perubahan cukup memahami kebutuhan pasar, sudah

Dari hasil penelitian yang dilakukan, diketahui bahwa dari variasi water heater tunggal laju aliran kalor tertinggi yang didapatkan yaitu sebesar 7,17 kW pada debit aliran air

- 158 - ini menyatakan bahwa para guru yang sedang melanjutkan studi S2-nya tersebut lebih berprestasi karena adanya motivasi berprestasi dalam diri yang tinggi,

Pada hasil olah data menunjukkan bahwa bentuk sumber pesan yang paling efektif diterima oleh responden adalah media promosi yang dilakukan oleh penyelenggara