PIRAMIDA PASCAL: SUATU PENGEMBANGAN SEGITIGA PASCAL

PIRAMIDA PASCAL: SUATU PENGEMBANGAN SEGITIGA PASCAL

I Wayan Puja Astawa

SMKN 1 Abang, Kab. Karangasem, Bali

Abstract.The ability to expand and generalize is one of the most important skills need to be developed by teachers. In this articles, the familiar application of Pascal Triangle to determine the coefficients of a binomial expansion is developed by the use of “Pascal pyramid” to consider the coefficients of a trinomial expansion , expansion of ,to polynomial expansion. Whereas a binomial expansion can be represented by a readily visible triangle, trinomial expansionto polynomial expansion are represented by more complex pyramid.There is a unique relationships between Pascal triangle and Pascal pyramid. The general formula of called binomial theorem also could be used to determine the formula of expansion, from trinomialto polynomial expansion.

Keyword.binomial theorem, Pascal triangle, Pascal pyramid, polynomial, trinomial

1. Pendahuluan

Pada tahun 1963 Blaise Pascalmenerbitkanbuku berjudul Traité du Triangle Arithmétiquedan di dalamnyaterdapat susunan bilangan yang kemudian dikenal dengan Segitiga Pascal. Meski dikenal dengan nama Pascal, ternyata Segitiga Pascal telah dikenal di Arab dan Cina sebelum tahun 1300,seperti oleh Al-Karaji (953 – 1029), Omar Khayyam (1048 – 1131), Jia Xian (1010 – 1070) dan Ying Hui (1238 – 1290).

Segitiga Pascal merupakan susunan bilangan-bilangan yang merupakan koefisien-koefisien binomial atau bentuk aljabar bersuku dua dalam bentuk segitiga.Koefisien binomial

dapat dinyatakan dengan menggunakankombinasi dan aljabar.Dengan kombinasi, koefisien

binomial dilambangkan dengan . Bentuk menyatakan banyak cara membuat himpunan bagian dengan

elemen dari suatu himpunan dengan elemen. Secara aljabar, koefisien binomial merupakan koefisien suku pada ekspansi bentuk aljabar dua suku

untuk nbilangan cacah.Dimulai dengan 1.Setiap baris berikutnya mulai dan berakhir dengan 1.Bilangan lainnya diperoleh dengan menambahkan dua suku terdekat dari baris diatasnya.

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 3 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 4 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 4 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 4 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 3 4 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 4 4 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Sebagai contoh, untuk menentukan , gunakan koefisien-koefisien pada baris ke-5 sehingga:

4 0 41 42 4 3 44 atau 4 6 4

Dengan menggunakan notasi sigma, ekspansi binomial dapat dituliskan dalam bentuk:

   … 1 dengan , bilangan real, bilangan cacah dan koefisien binomial dari suku ke-    1 .

Dalam pembelajaran matematika, kemampuan untuk menjabarkan dan membuat generalisasi sangat penting bagi guru dalam membantu siswa

mengembangkan kemampuan berpikir matematis.Penerapan Segitiga Pascal untuk menentukan

ekspansi sudah dipelajari sejak sekolah menengah.

Yang menjadi pertanyaan adalah jika suku-suku bentuk aljabar tersebut

ditambah.Misalnya ,

, dan seterusnya sampai bentuk aljabar buah suku.Dalam konteks ini, Segitiga Pascal masih dapat digunakan walaupun harus melalui beberapa tahapan operasi aljabar.Oleh karena itu, pada artikel iniakan diselidiki susunan koefisien-koefisien dan rumus dari ekspansi trinomial

.

2. Metoda Penulisan

Artikel ini merupakan hasil kajian pustaka dalam upaya menggali dan

mengembangkan pengetahuan matematika yang sudah ada.Hasil pengembangan ini diharapkan dapat memperkaya materi matematika di sekolah.Pada akhirnya dapat digunakan untuk memecahkan

masalah yang muncul, baik dalam matematika maupun dalam ilmu lainnya yang memerlukan bantuan matematika.

3. Hasil dan Pembahasan

a. Piramida Pascal

Segitiga Pascal merupakan susunan bilangan-bilangan yang merupakan koefisien-koefisien binomial dari ekspansi dua suku, misalnya suku-sukunya dan . Bagaimana jika terdiri dari 3 suku,yaitu , dan

atau . Untuk itu akan

dicoba mengekspansikan

untuk pangkat kecil dengan menggunakan formula Segitiga Pascal, sebagai berikut.

Untuk    0, 1, 2, 3 dan 4 berturut-turut diperoleh 1 2 2 2 3 3 3 6 3 3 3 4 4 6 12 6 4 12 12 4 4 6 4

Dari contoh ekspansi di atas, terlihat bahwa banyak suku dari ekspansi dengan  

 0, 1, 2, 3, 4, …berturut-turut adalah 1, 3, 6, 10, 15, … yang merupakan barisan bilangan segitiga.

Ekspansi pertama,

mempunyai koefisien tunggal yaitu 1.

Ekspansi kedua,

mempunyai koefisien1    1    1 , yang diwakili oleh segitiga lapis pertama dengan angka-angka hanya pada titik-titik sudutnya.

1 1 1

Ekspansi ketiga,

mempunyai koefisien1    2    2    1    2    1 ,yang dapat disusun dalam segitiga lapis kedua, yaitu 1 2 2 1 2 1 Ekspansi keempat, mempunyai koefisien1    3    3    3    6    3    1    3    3    1 ,yang dapat

disusun dalam segitiga lapis ketiga, yaitu 1 3 3 3 6 3 1 3 3 1 Ekspansi kelima, mempunyai koefisien1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1 , yang dapat

disusun dalam segitiga lapis keempat, yaitu 1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1

Jadi susunan koefisien-koefisien dari ekspansi trinomial

membentuk lapisan segitiga dimana angka pada setiap sisinya sama dan merupakan koefisien-koefisien dari ekspansi serta bilangan pada setiap titik sudutnya 1. Jika masing-masing titik sudut lapisan segitiga tersebut dihubungkan maka akan berbentuk

piramida, seperti ditunjukkan pada gambar 1.

Gambar 1 Piramida Pascal untuk Ekspansi Trinomial Konstruksi bilangan-bilangan di atas

merupakan pengembangan dari Segitiga Pascal, sehingga konstruksi koefisien-koefisien dari ekspansi

tersebut dikenal dengan Piramida Pascal (Posamentier, 1990: 432).

1) Hubungan antara Segitiga Pascal dan Piramida Pascal

Di dalam Piramida Pascal tampak bahwa bilangan-bilangan pada setiap sisi segitiga merupakanbilangan-bilangan baris bersesuaiandari segitiga Pascal. Misalnya bilangan-bilangan pada tiap sisi dari

adalah 1  3  3  1sama dengan bilangan-bilangan baris ke-5padaSegitiga Pascal. Hubungan ini merupakan petunjuk untuk dan seterusnya 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 3 3 1 3 3 3 1 6 3 1 1 2 4 6 6 4 1 2 4 ₁ 4 2 4 6 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

menentukan metoda dalam menurunkan Piramida Pascal, yaitu sebagai berikut.

Misalkan bilangan-bilangan pada setiap sisi dari ekspansi trinomial

diwakili oleh bilangan-bilangan pada baris yang bersesuaian dari Segitiga Pascal.BuatSegitiga Pascal sampai bilangan baris

ke-1 .Kemudian kalikan bilangan-bilangan tiap baris dari Segitiga

Pascal dengan bilangan-bilangan pada baris terakhir secara berurutan. Hasil ini menunjukkan koefisien-koefisien dari ekspansi trinomial yang dicari.

Sebagai contoh,untuk menentukan koefisiendari .

Bilangan-bilangan pada sisi tepi dari adalah 1  4  6  4  1. Bilangan inimerupakan bilangan baris ke-5 dari Segitiga Pascal yang merupakan koefisien dari ekspansi     . Tabel 1 Menentukan koefisien dari

Bilangan baris ke-5

dari Segitiga Pascal sampai baris ke-5 Segitiga Pascal Koefisien dari ekspansi 1 4 6 4 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1 2) Penerapan Piramida Pascaluntuk

Ekspansi Trinomial Langkah-langkah

mengekspansikan adalah: a) menentukan susunan koefisien-koefisien (segitiga) menggunakan Piramida Pascal dan b) menggunakan koefisien-koefisien itu untuk menentukan ekspansi dari

menurut suku-sukunya, dengan aturan sebagai berikut.

1. Bilangan baris ke-1 dari segitiga adalah koefisien dari dengan pangkat tertinggidari ekspansi

.

2. Bilangan-bilangan pada setiap baris merupakan koefisien-koefisien dari perkalian antara variabel dengan pangkat turun satu tingkat dari baris sebelumnya dan variabel lain dengan pangkat naik satu tingkat dari baris sebelumnya, sehingga derajat tiap suku sama dengan .

3. Dalam 1 baris, pangkat tetap sedangkan pangkat turun satu tingkat dari kiri ke kanan dan pangkat c naik satu tingkat. Perhatikan aturan segitiga pada gambar 2!

Gambar2 Ilustrasi Aturan Penggunaan Piramida Pascal 3) Rumus Umum dari Ekspansi

Trinomial

Sebelum membahas rumus umum

untuk ekspansi , akan

diuraikan kembali mengenai

Piramida Pascal yang dikembangkan dari Segitiga Pascal. Dengan menggunakan notasi kombinasi maka segitiga Pascal dapat dituliskan sebagai berikut.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0

0

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0

r

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

r

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2

r

…

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

j

r

…

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− 2

r

r

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−1

r

r

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

r

r

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2

n

…

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

r

n

…

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−2

n

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−1

n

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

n

n

Susunan koefisien-koefisien dari ekspansi trinomial pada

Piramida Pascal diperoleh dengan cara sebagai berikut.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0

0

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2

2

|_, ↓_, ↑ ↓_, |_, ↑ ↓_, ↑_, | Keterangan: ↓_, ↓_, ↓_{: pangkat ( , , ) turun} |_, |_, |_{: pangkat ( , , ) tetap} ↑_, ↑_, ↑_{: pangkat ( , , ) naik}

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

r

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

n

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0

r

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

r

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2

r

…

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

j

r

…

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− 2

r

r

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−1

r

r

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

r

r

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

0

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

1

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2

n

…

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

r

n

…

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−2

n

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−1

n

n

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

n

n

Bentuk umum suku-suku dari ekspansi yang koefisien-koefisiennya baris ke- 1 adalah:

Dengan demikian ekspansi

dapat ditulis secara singkat

sebagai berikut. Jadi rumus umum dari ekspansi trinomial adalah seperti ditunjukkan rumus 2.

 … 2

b. Piramida Pascal untuk Ekspansi Pada pembahasan sebelumnya, terlihat bahwa Segitiga Pascal dapat dikembangkan untuk menentukan konfigurasi koefisien-koefisien dari

ekspansi yang dikenal

sebagai Piramida Pascal. Selanjutnya, apakah metode tersebut juga dapat dikembangkan untuk ekspansi

polinomial ,

dan seterusnya?Sebagai langkah awal akan diselidiki dulu formula dari ekspansi

sebagai berikut.

Pertama, ekspansi

menghasilkan koefisien tunggal yaitu 1

Kedua, ekspansi

memiliki koefisien-koefisien1    1    1    1 yang diwakili oleh piramida dengan elemen 1 pada tiap titik sudutnya.

Ketiga, ekspansi

memiliki koefisien-koefisien1    2    2    2        2  

 2        2     yang diwakili oleh piramida dengan konfigurasi sebagai berikut.

Terlihat bahwa koefisien-koefisien pada tiap rusuk sama, yaitu 1 2 1,yang merupakan baris ke-3 dari Segitiga Pascal dan koefisien-koefisien pada tiap bidang piramida juga sama

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1 2 2 1 2 1

yang merupakan bilangan segitiga baris ke-3 dari Piramida Pascal.

Langkah-langkah untukmenentukan konfigurasi koefisien dari ekspansi , pada dasarnya sama dengan langkah-langkah untuk menentukan konfigurasi koefisien dari ekspansi trinomial.

Contoh ekspansi :

1. Koefisien-koefisien tiap rusuk piramida unit untuk ekspansi

adalah 1 4 6 4 1 yang merupakan baris ke-5 dari Segitiga Pascal.

2. Piramida unit untuk ekspansi dibentuk dari Piramida Pascal untuk ekspansi

dengan

koefisien-koefisien pada segitiga alas adalah koefisien dari ekspansi

, yaitu:

3. Kalikanlahkoefisien-koefisien

pada tiap segitiga unit dari Piramida Pascal secara berturutan dengan: 1 4 6 4 1 sehingga diperoleh piramida unit untuk ekspansi . Hubungan antara Segitiga Pascal dan Piramida Pascal ditunjukkan oleh gambar 3.

Gambar 3 Menentukan Koefisien dari Ekspansi

Cara I Cara II 1 4 4 4 6 1 1 6 1 6 4 6 1 4 1 6 1 4 2 1 1 1 4 6 6 4 1 1 1 4 4 6 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 3 1 3 3 3 1 6 3 1 1 4 6 6 4 1 4 1 4 4 6 4 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 3 1 2 1 1 1 1 3 1 3 1 4 6 4 1 1 1 1 4 6 4 1 3 1 3 1 2 1 1 1 1 1 4 6 4 1

1

4 4

6 12 6

4 12 12 4

1 4 6 4 1

1) Aturan Penggunaan Piramida Pascal untuk Ekspansi

.

Aturan dari penggunaan Piramida Pascal untuk ekspansi

dapat diuraikan sebagai berikut.

a) Bilangan pertama (puncak piramida) adalah koefisien dari dengan pangkat tertinggi, yaitu b) Bilangan-bilangan pada lapis ke-2

adalah koefisien-koefisien dari perkalian antara dengan pangkat turun satu tingkat dari lapis sebelumnya dan variabel lain

, dan sedemikian sehingga derajat tiap suku adalah (pangkat     pangkat   

 pangkat     pangkat      )

c) Pada segitigalapis ke- , bilangan pertama (puncak) dari segitiga lapis ke- adalah koefisien-koefisien dari perkalian antara

dengan pangkat dan

variabel dengan pangkat , sedangkan koefisien pada baris ke-2 dari lapis ke- adalah koefisien-koefisien dari perkalian antara variabel dengan pangkat

tetap dari suku

sebelumnya dan variabel dengan pangkat turun satu tingkat dari sebelumnya serta variabel dengan pangkat naik satu tingkat dari sebelumnya.

Catatan:

ƒ Dalam satu baris, pangkat tetap dan pangkat tetap dari suku sebelumnya, pangkat turun serta pangkat naik satu tingkat dari suku sebelumnya sedemikian sehingga derajat tiap suku adalah .

ƒ Dalam satu lapis, pangkat sama.

Gambar 4Aturan untuk Menentukan Ekspansi

|_, ↓ ↑_, | |_, ↓ |_, ↑ |_, | ↓_, ↑ _an­r_br_c0_d0 an­r_br_c0_d0 an­r_b0_c0_dr an_b0_c0_d0 a0_b0_c0_dn a0_bn_c0_d0 a0_b0_cn_d0  ↓_, | ↑_, | ↓_, ↑ |_, | ↓_, | |_, ↑

2) Formula Umum dari Ekspansi .

Untuk menentukan formula umum

dari ekspansi akan

ditinjau kembali proses yang diuraikan sebelumnya, yaitu a) menentukan konfigurasi

koefisien-koefisiennya dan b) menggunakan koefisien-koefisien tersebut untuk

ekspansi . Dengan

menggunakan kombinasi maka konfigurasi koefisien-koefisien dari ekspansi dapat ditulis sebagai berikut.

Suku-suku pada segitiga ke- adalah

yang selanjutnya dapat dituliskan

Karena bergerak dari 0 sampai maka rumus umum untuk ekspansi seperti ditunjukkan pada rumus3. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 j ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 j ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 j ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 -j j ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 -j j ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ j j ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ m j ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 -r r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 -r r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ r r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ j r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 -r r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 -r r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ r r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ j r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 -n n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 -n n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ n n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ r n

×

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ r n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ n n

×

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 2

×

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 2

×

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 0

×

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ j r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ r r ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ n n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 0 n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 n ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ r n

×

    … 3 c. Piramida Pascal untuk

Ekspansi

Bentuk geometri dari konfigurasi koefisien-koefisien dari ekspansi 5 suku dapat dilihat pada lampiran, yang merupakan pengembangan dari Segitiga Pascal. Dengan demikian konfigurasi koefisien-koefisien dari ekspansi dengan 3 suku, 4 suku,

dan 5 suku atau lebih dapat diwakili oleh bilangan-bilangan yang membentuk Piramida Pascal.

Dengan berpedoman pada formula umum dari ekspansi 3 suku, dan 4 suku maka rumus umum dari ekspansi 5 suku dapat ditulis seperti ditunjukkan rumus 4.

   … 4

d. Ekspansi Polinomial

Dengan mengacu pada metode yang telah diuraikan sebelumnya, maka rumus umum untuk ekspansi polinomial dengan suku yang berbeda dapat ditentukan.

Misalkan suku-suku tersebutadalah , , ,

… ,

dengan bilangan asli, bilangan cacah, maka rumus umum dari

ekspansi polinomial ditunjukkan oleh rumus 5 berikut ini untuk

   1, 2, 3, … , 1, dengan bilangan asli dan bilangan cacah 4.

Simpulan dan Saran

Berdasarkan uraian pada pembahasan, maka bentuk umum dari ekspansi polinomial dapat disederhanakan seperti pada Tabel 2.

1 2 3

Tabel 2 Rangkuman Hasil Pengembangan

Banyak

suku Bentuk ekspansi geometris Bentuk Formula/rumus umum

2 Segitiga Pascal (lampiran 1) 3 Piramida Pascal (lampiran 2) 4 Piramida Pascal 1 derivatif (lampiran 3) 5 Piramida Pascal 2 derivatif (lampiran 4)

Banyak

suku Bentuk ekspansi geometris Bentuk Formula/rumus umum Piramida Pascal

3 derivatif

Daftar Pustaka

Naga, Dali S. 1980. Berhitung: Sejarah dan Pengembangannya. Jakarta: PT Gramedia.

Posamentier, Alfred S. dan Jay Stepelman.1990. Teaching Secondary School Mathematics: Techniques and Enrichment Units.Merril Publishing Company Columbus.

Segitiga Pascal untuk Ekspansi

      1                         1 1 1 1 ₂ 1 1 3 3 1 1 4 6 4

Piramida Pascal untuk Ekspansi

      1                         1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 3 3 3 6 3 3 4 6 4 1 4 6 12 4 12 12 1 4 6 4 1

Piramida Pascal 1 Derivatif untuk Ekspansi

      1                       1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 1 1 1 3 3 6 3 3 3 3 4 6 4 1 4 6 12 4 12 12 1 6 1 4 4 4 6 6 6 12 12 12 4 4 4 12 12 24 12 12 12 12 3 3 3 6 6 6 1

Piramida Pascal 2 Derivatif untuk Ekspansi

                      1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 3 3 6 6 6 3 3 3 6 6 6 1 1 1 3 3 3 3 6 3 3 1 3 3 3 3 3 3 6 6 6 4 4 4 12 12 24 12 12 12 12 4 4 4 6 6 6 12 12 12 1 4 6 4 1 4 6 12 4 12 12 1 4 6 4 1 4 4 4 4 6 12 12 12 6 6 6 12 12 12 1 1 4 12 12 12 12 24 12 12 4 12 12 12 12 12 12 24 24 24 1      

PENGEMBANGAN E-LEARNING PPPPTK SENI DAN BUDAYA YOGYAKARTA

MENGACU SCORM

Ceravina Susanti Kanisiastirin1_{, Paulus Insap Santosa}2_{, Ari Cahyono}3

1 _{PPPPTK Seni dan Budaya Yogyakarta}

Jl. Kaliurang Km. 12,5 Klidon Sukoharjo Ngaglik Sleman Yogyakarta 55581 INDONESIA 2 _{Jurusan Teknik Elektro FT UGM}

Jln. Grafika 2 Yogyakarta 55281 INDONESIA 3_{STIMIK Jend. A Yani Yogyakarta}

Jl. Beo 35, Demangan Baru Yogyakarta 55281 INDONESIA

Abstract:E-learning material should be able to replace the function of a teacher in a classroom and can interact with the user. One of the standards that can be used is the standard of the Advance Distributed Learning (ADL), which is sharable Content Object Reference Model (SCORM), which provides a variety of specifications must be met by the LMS. This study aims to develop an e-learning SCORM-compliant content especially which can be integrated into various LMS or e-learning system that supports SCORM. The method used is to convert the content that has not been referred to SCORM-based content using the open source-based tool. Content compiled packages will be packed in zip format that contains a lot of assets and a file IMSManifest.xml. The content is then uploaded to the system. Utilization of standard SCORM e-learning system provides added value and competitive advantage

Keywords:e-learning, SCORM

1. Pendahuluan

a. Latar Belakang

PPPPTK Seni dan Budaya Sleman Yogyakarta sebagai salah satu unit pelayanan teknis di bawah Badan Pemberdayaan SumberDaya Manusia Pendidikan dan Penjaminan Mutu

Pendidikan (BPSDMP-PMP) Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan sebagaimana tertuang dalam Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 8 Tahun 2007 mempunyai tugas untuk mengem-bangkan dan memberdayakan pendidik dan tenaga kependidikan bidang seni dan budaya dalam rangka meningkatkan kualitas sumberdaya manusia.

Dalam rangka menunjang tugas tersebut agar dapat menjangkau lebih banyak Pendidik dan Tenaga Kependidikan, maka PPPPTK Seni dan Budaya harus memanfaatkan perkembangan teknologi pembelaja-ran jarak jauh berbasis web

(e-learning). Hal ini memungkinkan calon peserta diklat dapat mengikuti diklat tanpa harus datang (tatapmuka) ke PPPPTK Seni dan Budaya tetapi dapat mengakses dan mengambil materi diklat di manapun dan kapanpun asalkan ada internet sehingga akan menjadi lebih efektif dan efisien. Dengan berkembangnya e-learning maka berkembang pula Learning Management System (LMS) yang beragam dan dapat mengakibatkan suatu materi menjadi tidak kompatibel pada LMS lain karena adanya perintah maupun standar yang berbeda pada LMS-LMS tersebut. Untuk menghindari hal tersebut maka digunakan teknologi e-learning dengan materi yang mengacu standar Sharable Content Object Reference (SCORM) yang disusun oleh Department of Defense (DoD)dan dikembangkan oleh Advanced Distributed Learning (ADL)initiativeTujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah mengembangkan

e-learning PPPPTK Seni dan Budaya

dengan fokus pada standar SCORM.

2. Tinjauan Pustaka dan

Landasan Teori

a. Tinjauan Pustaka

Metode SCORM sudah pernah diteliti oleh beberapa peneliti yang membahas objek yang berbeda-beda. Dalam Penelitian [19]mengatakan bahwa salah satu masalah penting dalam e-learning yaitu interoperable isi/materi dari mata ajar atau mata kuliah.

Dalam pembuatan bahan ajar yang mengacu SCORM ini, dilakukan langkah-langkah operasional seperti berikut.

1. Perangkat lunak yang digunakan adalah perangkat lunak khusus pembangun bahan ajar e-learning yang sudah compliant dengan SCORM.

2. Materi yang disajikan hanya sebatas pada teorema Thevenin dan Norton.

3. Sistem diujicobakan dengan mengintegrasikannya dengan antarmuka kelas virtual.

Penelitian lain [5] mengusulkan sebuah arsitektur sistem e-learning dengan ciri penggunaan layanan web dan komponen middleware yang cocok yang memungkinkan untuk memperluas sistem dengan layanan baru serta untuk mengintegrasikan dan penggunaan kembali komponen perangkat lunak e-learning yang heterogen. Sistem ini mendukung paradigma belajar “Kapan saja dan di mana saja“ yang menyediakan implementasi Run Time Environment

yang disarankan dalam The Sharable Content ObjectReference Model (SCORM) untuk menelusuri proses pembelajaran, yang juga cocok untuk mobile learning (m-learning). Aplikasi ini berkomunikasi dengan XML standar. Layanan Web didasarkan pada tiga teknologi: Web Services Description Language

(WSDL), Universal Description Discovery and Integration (UDDI), and the Simple Object Access Protocol (SOAP).

Referensi [35] melakukan pengem-bangan pada sisi konten pada sistem i-elisa dengan membuat rancangan model authoring tool yang dapat mengubah suatu materi yang belum berbasis SCORM menjadi materi yang berbasis SCORM. Model sistem yang dikembangkan melakukan 4 tugas utama yaitu menerima input user mengenai komunitas dan materi komunitas yang dipilih, membuat file manifest, membuat file resources, dan membuat package. b. Landasan Teori

1) Pembelajaran Elektronik (E-Lear-ning): E-learning merupakan kepen-dekan dari electronic learning. Salah satu definisi umum dari e-learning [28], yaitu: pengiriman materi pembelajaran melalui suatu media elektronikseperti internet, intranet/ extranet, satellite broadcast, audio/video tape, interactiveTV, CD-ROM, dan computer-based training (CBT). Dalam teknologi e-learning semua proses belajar mengajar yang biasa dilakukan di dalam kelas dilakukan secara live dan virtual. Hal ini berarti bahwa pada saat yang bersamaan seorang pengajar mengajar di depan sebuah komputer dan para siswa mengikuti pelajaran tersebut dari komputer lain yang terletak di tempat yang berbeda. Referensi [17] menyebutkan keun-tungan menggunakan e-learning antara lain adalah:

• menghemat waktu proses belajar; • mengurangi biaya perjalanan;

• menghemat biaya pendidikan

secara keseluruhan (infrastuktur,peralatan,buku)menj

angkau wilayah geografis yang lebih luas;

• melatih pelajar lebih mandiri dalam mendapatkan ilmu

Dalam penerapan di Indonesia e-learning juga memiliki beberapa kendala/keterbatasan yang harus diwaspadai, yaitu sebagai berikut. a. Investasi, walaupun e-learning

pada akhirnya dapat menghemat biaya akan tetapi memerlukan investasi yang sangat besar pada mulanya, sehingga bila tidak dikelola dengan baik akan mengakibatkan kerugian yang sangat besar.

b. Budaya, pemanfaatan e-learning memerlukan budaya belajar mandiri. Hal ini baru dimiliki oleh sebagian kecil manusia. c. Teknologi dan infrastuktur,

e-learning membutuhkan perang-kat komputer jaringan yang handal dan teknologi yang tepat. Akan tetapi ketersediaan infra-stuktur dan teknologi ini masih belum memadai.

2) Learning Management System (LMS): LMS disebut dengan e-Learningplatform atau Learning Content Management System (LCMS). LMS merupakan sebuah sistem yang didesain untuk menyajikan, melacak, melaporkan, dan mengatur konten pembelajaran, kemajuan pembelajar dan interaksi pembelajar. Intinya LMS adalah aplikasi yang mengotomasi dan memvirtualisasi proses belajar mengajar secara elektronik. LMS dapat juga didefinisikan sebagai perangkat lunak untuk mengelola sistem pembelajaran dan pelatihan, meliputi administrasi, pembuatan, penyimpanan dan media presentasi objek pembelajaran, data pengguna, hingga penyediaan laporan manajemen.

Keuntungan yang bisa didapatkan melalui LMS adalah sebagai berikut: • Proses pembelajaran efektif

karena perlakuan pada tiap siswa berbeda, tergantung perkem-bangannya. Selain itu siswa juga

dapat memilih konten pembe-lajaran dan pengajar yang sesuai. • Efisien dalam administrasi,

pendaftaran, pelaporan, pengar-sipan data siswa, pengajar dan sumber konten pembelajaran. • Akses yang luas pada

sumber-sumber yang dapat dijadikan sebagai referensi.

Namun ada beberapa kelemahan dan keterbatasan pada penggunaan LMS sebagai solusi untuk aplikasi e-learning, antara lain [17]:

• Ketergantungan terhadap vendors LMS yang digunakan.

• Organisasi harus menyesuaikan proses e-learning berdasarkan LMS yang digunakan.

• LMS pada umumnya hanya menyangkut perencanaan, penyampaian, administrasi, dan

manajemen kegiatan para pembelajar serta proses pembelajaran.

Hubungan antara LMS dengan SCORM dapat didefinisikan bahwa dengan LMS, SCORM membuat bahasan menjadi lebih simpel atau dipersempit secara arti bahasa, dikarenakan pembelajaran yang berbasis web mempunyai kemam-puan untuk mengatur pengiriman konten pembelajaran kepada pebelajar.

3) Perangkat Lunak Pembangun Bahan Ajar (Authoring Tools): Berdasarkan Authoring Tool Accessibility Guidelines 1.0 [35] yang dikeluarkan oleh W3C (2000) authoring tools mengacu pada software yang digunakan untuk mengasilkan konten web. Authoring tools dapat memungkinkan, men-dorong, dan membantu user(author) untuk menghasilkan konten web melalui prompt, alert, checking and repair function, help file dan automated tool. Beberapa authoring tools didesain agar mudah digunakan oleh user dengan

kemampuan komputasi yang terbatas. Authoring tools yang lain dapat mendukung user dengan berbagai tingkat kemampuan komputasi, contohnya dengan bahasa pemrograman yang mungkin tidak pernah dilirik oleh user tanpa keahlian teknis.

Thee-learning XHTML editor (eXe) merupakan salah satu authoring tools untuk membuat, mengembangkan dan mempublikasikan bahan ajar berbasis web yang memang dirancang untukpendidik. Software eXe bersifat gratis dan Open Source, dapat diunduh di

http://www.exe-learning.org. Aplikasipendukung yang diperlukan adalah Browser Mozilla. 4) Sharable Content Object Reference Model (SCORM):Interoperable materi dari mata ajar atau mata diklatmerupakan salah satu masalah penting dalam e-learning. Hal tersebut mendorong kelompok ADL (Advanced Distance Learning) membuat suatu standar materi pembelajaran yang dikenal dengan nama SharableContent Object Reference Model (SCORM) dengan berbagai kelengkapan yang menyertainya.

Referensi [5] menyebutkan bahwa SCORM adalah sesuatu yang menunjukkan jenis-jenis pelayanan apa saja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah-masalah tertentu, bagaimana masalah tersebut dapat ditempatkan secara bersama-sama, standar-standar relevan yang terkait dan bagaimana penggunaannya. Ada tiga buah kriteria utama untuk reference model seperti SCORM. Pertama, harus mampu menghubungkan petunjuk-petunjuk yang dapat dimengerti dan diimplementasikan oleh pengembang learning content. Kedua, sebisa mungkin harus diterapkan, dimengerti dan digunakan oleh banyak stakeholder. Ketiga, SCORM harus mengijinkan pemetaan dari setiap model spesifik para stakeholder untuk pengembangan dan

desain instruksional ke dalam dirinya sendiri. Stakeholder harus mampu untuk melihat model desain instruksional mereka direfleksikan dengan reference model yang mereka pakai pada umumnya.

Pada SCORM ada beberapa elemen pembentuk, di antaranya adalah seperti berikut:

1. Learning Management Sistem (LMS)

LMS berguna untuk mengirim, melacak, melaporkan dan mengelola isi pembelajaran, mengetahui kemajuan siswa dan interaksi siswa dengan materi pembelajaran. Sebuah model umum yang menunjukkan komponen atau service potensial dari sebuah LMS ditunjukkan pada Gambar 1. [8]

Gambar 1Learning Management Sistem LMS memiliki 7 (tujuh) buah layanan yang membentuk arsitektur sistem [8]:

a. Learning Profile Service: Menyimpan data mengenai pembelajar atau user.

b. Course Administrative Service: Berfungsi untuk mengatur materi belajar mengajar.

c. Assessment Service: Sebagai basis data ujian dan menentukan serta mengelola tes yang akan dilaksanakan.

d. Sequencing Service: Layanan yang dapat merangkai materi belajar maupun tes.

e. Delivery Service: Layanan yang dapat mengirimkan materi

belajar kepada pembelajar atau user.

f. Tracking Service: Layanan yang dapat mengetahui pencapaian pembelajar atau user sampai sejauh mana seorang user dapat melaksanakan tes dan belajar. g. Content Management Service:

Layanan yang dapat mengelola isi materi belajar dan tes.

2. Asset

Asset merupakan blok utama dari

sebuah learning resources. Asset merupakan representasi elektronik dari media seperti teks, gambar, suara, objek penilaian atau bagian data lain yang dapat diolah oleh web

client dan ditampilkan ke siswa.

Gambar 2Asset

3. Sharable Content Objects (SCO) SCO merupakan kumpulan dari asset yang menggunakan SCORM

Run-Time Environment (RTE) untuk

berkomunikasi dengan LMS. Perbedaan utama dengan asset adalah SCO berkomunikasi dengan LMS menggunakan pemrograman antarmuka IEEE ECMAScripts. SCO merupakan unit informasi minimum yang dapat diambil ke konten LMS. Skema dari SCO ditunjukkan pada Gambar 3. [8]

Gambar 3Skema SCO

4. Content Organization

Content Organization merupakan

representasi atau peta yang mendefinisikan penggunaan yang diharapkan dari isi sampai unit instruksi terstruktur. Peta akan memperlihatkan hubungan antara satu aktifitas dengan aktivitas lainnya seperti digambarkan pada Gambar 4. [8]

Gambar

4IlustrasiKonseptualOrganisasiKont en

5. Manifest File

Manifest merupakan dokumentasi

XML yang memiliki isi inventory yang terstruktur dari sebuah paket. Jika paket dikirim ke pengguna, maka

manifest akan berisi tentang

bagaimana isi paket tersebut diorganisasikan. Nama standar

manifest adalah “imsmanifest.xml”

dan harus ditempatkan di root

directory dari isi paket. Struktur dari manifest digambarkan pada Gambar

Gambar 5 Struktur Manifest

SCORM bermanfaat bagi komunitas pembelajaran jarak jauh dengan tersedianya serangkaian tujuan yang jelas dan baik yang ditetapkan untuk pengembangane-learningcourseware. Adapun tujuan konten SCORM adalah sebagai berikut[5].

1. Reusable - Isi independen dari konteks pembelajaran dan dapat digunakan untuk pelajar atau situasi pelatihandan pada sejumlah sistem pembelajaran manajemen yang berbeda-beda. 2. Interoperable - fungsi konten di

berbagai konfigurasi, dan tidak tergantung pada alat yang digunakan untuk menciptakannya. Misalnya, courseware akan

dirancang dan dikembangkan untuk dijalankan dalam lingkungan HTML Flash, yang umum untuk kebanyakan komputer.

3. Durable - Isi layak pada sistem perangkat lunak atau platform, bahkan jika platform diubah atau ditingkatkan.

4. Accessible - konten terletak di beberapa jenis repository di tempat yang dapat diakses untuk memenuhi kebutuhan pelatihan atau pendidikan. Sebuah universitas yang mengembangkan pembelajaran online dengan standar SCORM mungkin memiliki repository terpusat.

Dalam SCORM overview mengelom-pokkan SCORM menjadi 3 topik

utama yang selanjutnya merupakan framework SCORM secara teknis yaitu: Content Aggregation Model (CAM), Run-Time Environment (RTE) dan Sequencing and Navigation (SN) seperti digambarkan pada Gambar 6. [8]

Gambar 6 Organisasi SCORM 1. SCORMContent Aggregation Model

(CAM)

SCORM CAM merupakan taksonomi pembelajaran yang ditujukan bagi desainer dan implementer untuk mengumpulkan sumber-sumber pembelajaran dan menyajikan pengalaman pembelajaran yang diinginkan. Sumber pembelajaran adalah representasi informasi yang digunakan dalam pengalaman pembelajaran. Pengalaman pembela-jaran terdiri dari berbagai aktivitas yang didukung oleh sumber-sumber pembelajaran elektronik maupun non-elektronik. Salah satu aktivitas dalam proses pembuatan dan penyajian pembelajaran adalah membuat, mencari dan mengum-pulkan aset-aset yang sederhana menjadi sumber pembelajaran yang kompleks dan kemudian menata sumber-sumber tersebut menjadi suatu penyajian yang berurutan. 2. SCORMRun Time Environment

(RTE)

SCORM RTE meliputi proses menjalankan, komunikasi, tracking, data transfer dan error handlingpada

LMS. RTE menggunakan suatu aplikasi pada sisi client yang bertugas melakukan hubungan dengan server LMS sehingga server dapat menentukan proses berikutnya sesuai aktivitas client.RTE mempunyai tiga aspek utama yaitu launch, application programming interface (API) dan data model.Launch mendefinisikan cara standar LMS untuk menjalankan content object berbasis web serta mendefinisikan prosedur dan responsibilitas untuk penetapan mekanisme komunikasi yang distandarisasi dengan API.

Dalam hal ini meliputi pembangunan komunikasi antar SCO dengan LMS, sehingga LMS dapat memutuskan SCO berikutnya yang akan diberikan kepada peserta didik. Keputusan ini berdasarkan urutan learning resource pada paket konten.

3. SCORM Sequencing and Navigation (SN)

SCORM SN menggambarkan strategi pembuatan dan pengurutan learning content secara keseluruhan. Urutan learning content disusun dalam suatu hirarki dan digambarkan dalam struktur data XML.

Gambar 7. Konsep pohon aktivitas dan cluster

Gambar 7. menggambarkan SCORM sequencing bergantung pada: pohon aktivitas, sequencing definition model dan SCORM sequencing behaviours. Navigasi menggunakan user interface device untuk memicu event navigasi. User interface device ini dapat diberikan oleh LMS atau melekat pada content object.Diagram content structure merupakan alat yang biasa digunakan oleh masyarakat desain

instruksional untuk menggambarkan hubungan hirarki

sebuah pengalaman pembelajaran. Pohon aktivitas memungkinkan SCORM sequencing and navigation model untuk menjelaskan persyaratan informasional dan processing seperti algoritma dan tingkahlaku sequencing dalam implementasinya.Sequencing

definition model menjelaskan sekumpulan elemen-elemen yang dapat digunakan oleh content developer untuk menjelaskan tingkah laku sequencing yang diinginkan. Elemen model tersebut diaplikasikan pada aktivitas pembelajaran pada suatu pohon aktivitas.Sequencing behaviour menjelaskan tingkat laku yang berhubungan dengan beragam proses sequencing.

c. Pertanyaan Penelitian

1. Bagaimana mengembangkan e-learning dengan standar SCORM (SharableContent Object Reference Model) untukPPPPTK Seni dan Budaya Yogyakarta?

2. Bagaimana mengatur desain materie-learning yang sesuai denganspesifikasi SCORM?

3. Metoda Penelitian

a. Analisis kondisi existing

e-learning PPPPTK Seni dan

Budaya

E-learning PPPPTK Seni dan Budaya dibangun dengan tujuan untuk:

1. Pemerataan akses dan pening-katan percepatan pendidikan 2. Meningkatkan efektifitas dalam

penggunaan teknologi (effective technology (or mixture of technology))

3. Efisiensi biaya (Cost efficiency (Return on Investment))

4. Peningkatan Kualitas pendidikan (Quality of education)

b. Analisis kebutuhan berdasarkan SCORM

Sistem yang dirancang adalah suatu content package yang conformance dengan standar SCORM. SCORM mensyaratkan agar suatu content package memiliki 2 bagian yaitu filemanifest yang berisi penjelasan struktur konten dari suatu content

package diberi nama imsmanifest.xml dan file fisik yang

menyusun content package disebut sebagai resource.

c. Analisis kebutuhan sistem

Sistem yang akan dikembangkan adalah suatu sistem untuk membuat suatu materi pembelajaran mengacu SCORM yang dikemas dalam content package. Materi yang dibuat adalah materi pada program keahlian Kriya Keramik untuk diklat guru produktif keramik SMK Seni dan Budaya. Salah satu syarat content package adalah mempunyai file manifest yang berbentuk file XML sehingga sistem yang dirancang harus mampu menghasilkan file XML. Sistem secara otomatis akan membungkus filemanifest dan resources menjadi sebuah content package yang berbentuk ZIP

d. Analisis Pengguna

Dalam sistem elearning PPPPTK Seni dan Budaya menerapkan konsep pengguna (user) dengan memberikan peran (role) pada user yang berhubungan dengan hak akses sesuai default sebagai berikut:

1. Administrator, merupakan role tertinggi yang bisa melakukan apa saja dalam sistem

2. Course Creator, mempunyai tugas/peran membuat course sekaligus mengajarkannya.

3. Teacher, merupakan user yang dapat melakukan segala sesuatu terhadap course (materi), termasuk menambahkan

akti-vitas dan memberikan penilaian kepada siswa.

4. Non Editing Teacher merupakan user yang bisa mengajarkan materi, memberikan penilaian tetapi tidak bisa mengubah aktivitas dalam course.

5. Student, merupakan peran sebagai siswa yang dapat mengakses course.

6. Guest, merupakan user tamu yang bisa melihat/mengakses halaman public tetapi tidak mempunyai hak akses course tertentu

4. Hasil Penelitian dan

pembahasan

a. Hasil Penelitian

Hasil dari penelitian ini berupa pengembangan bahan ajar seni dan budaya mengacu SCORM pada sistem e-learning PPPPTK Seni dan Budaya Yogyakarta. Penelitian ini melakukan pengembangan pada sisi content dengan membuat materi pada Program Keahlian Keramik untuk diklat Guru Produktif Keramik SMK Seni dan Budaya (prototype). Bahan ajar yang telah dikembangkan diimplementasikan pada sistem e-learning dengan cara interaksi langsung ke sistem.

b. Pembahasan

Hasil dari pengembangan bahan ajar seni dan budaya mengacu SCORM berupa content package yang berisi materi-materi pembelajaran yang ditanam dalam sistem e-learning PPPPTK Seni dan Budaya. Content package tersebut menyampaikan materi pada diklat produktif program keahlian keramik PPPPTK Seni dan Budaya Yogyakarta. content package ini disusun dengan mengubah bahan ajar yang belum mengacu SCORM menjadi bahan ajar yang mengacu SCORM dengan menggunakan satu authoring tool. Bahan ajar yang

disusun menjadi content package yang dibuat sudah terstruktur, bahan ajar dalam e-learning belum ada keseragaman. Bahan ajar yang ditampilkan menggunakan format e-learning dapat memiliki ukuran yang tidak terbatas. E-learning tidak membatasi jumlah materi dalam satu program keahlian, batasan hanya digunakan untuk ukuran bahan ajar yang dapat di-upload ke e-learning. Sedangkandalam pembuatan bahan ajar content package perlu memperhatikan ukuran content package dengan tujuan agar bahan ajar tersebut dapat dikirim ke peserta atau LMS lain. Jika ukuran bahan ajar terlalu besar dapat mengganggu kelancaran proses pengiriman. Di samping itu, pembatasan ukuran bahan ajar juga bertujuan untuk mengantasipasi adanya batasan file yang dapat di-upload pada LMS lain. Misalnya, dalam Moodle dibatasi hanya file-file berukuran kurang dari 100 MB yang dapat di-upload ke CMS tersebut.

Dengan mengaplikasikan SCORM content package, banyak manfaat yang diperoleh ditinjau dari pengguna maupun sistem e-learning. Pengguna di sini dapat dikelom-pokkan menjadi dua yakni user petatar dan user instruktur.

5. Kesimpulan dan saran

a. Kesimpulan

Hasil dari pembahasan dan analisis pengembangan e-learning PPPPTK Seni dan Budaya Yogyakarta mengacu SCORM, yang dikemas

menjadi content package didapatkan beberapa kesimpulan, antara lain: 1. E-Learning PPPPTK Seni dan

Budaya sudah mempunyai prototype bahan ajar seni dan budaya yang dikemas menjadi content package sesuai persyaratan yang telah ditetapkan oleh SCORM yang mempunyai kemampuan aksesibilitas, reusa-bilitas dan interoperareusa-bilitas.

2. Content package yang dihasilkan disusun menggunakan satu authoring tool agar dapat berkomunikasi dengan user, membuat file XML dengan nama imsmanifest.xml, menyusun resources, membuat file ZIP dan menyimpan content package tersebut.

b. Saran

Saran-saran yang dapat diberikan untuk pengembangan penelitian ini antara lain:

1. Package content yang dibuat dalam penelitian ini belum mengakomodasi konten yang berupa video dan flash berbasis SCORM yang berukuran besar, diharapkan pada penelitian berikutnya dapat menghasilkan konten berupa video dan flash berbasis SCORM dengan ukuran besar.

Dalam penelitian ini Learning Management System yang digunakan hanya moodle, pada penelitian selanjutnya diharapkan dapat diimplementasikan pada Learning Management System yang lain.

Daftar Pustaka

[1] Alam, Lukis. (2007). Studi Efektivitas Pembelajaran ICT Dengan Metode

E-Learning di SMPN V Yogyakarta.Tidak Terpublikasi. Yogyakarta:

Universitas Gadjah Mada.

[2] ANTA. (2003). Definition of key terms used in e-learning (version 1.00). http://www.flexiblelearning.net.au/guides/keyterms.pdf. Diakses tanggal 5 Mei 2010, pukul 12.30.

[3] Bohl, O; Schellhase, J; Sengler, R; Winan, U. (2002). The Sharable Content

Object Reference Model (SCORM) – A Critical Review. Proceedings of the

International Conference on Computers in Education. IEEE..

[4] Carnegie Mellon University.(2004). SCORM Best Ptactices Guide for Content

Developer.

[5] Casella,G., Costagliola, G., Ferrucci, F., Polese, G., Scanniello,G.(2007).A

SCORM Thin Client Architecture for E-Learning Systems Based on Web Services. International Journal of Distance Education Technologies,

Volume 5, Issue 1.

[6] Diana, Elvisa. (2008). Sistem E-Learning menggunakan Sharable Content Object Reference Model (SCORM).Jurnal Media Sisfo Vol.2 No. 2.

[7] Djuniadi; Sihotang, B; Sukarno, P. (2003). Perkembangan Teknologi

e-Learning. Makalah disajikan pada Seminar e-Learning di Perguruan

Tinggi. ITB. Bandung.

[8] Dodds, Philips. (2006). SCORM 2004 3th Edition - Overview.

[9] Dodds, Philips. (2006). SCORM 2004 3th Edition – Content Aggregation Model. [10] Dodds, Philips. (2006). SCORM 2004 3th Edition - Run Time Environment. [11] Dodds, Philips. (2006). SCORM 2004 3th Edition – Sequencing and Navigation. [12] Efendi, E. & H, Zhuang. (2005). E-learning Konsep dan Aplikasi, Penerbit

Andi, Yogyakarta.

[13] Efendi, RMM Hidayatullah. Perancangan Sistem Informasi Akademik di

Fakultas ADAB UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta dengan konsep Human Computer Interaction. Tesis. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada. [14] Gilbert, & Jones, M. G. (2001). E-learning is e-normous. Electric

Perspectives, 26(3),66-82.

[15] Huang, Chin-Feng; Hwang, I-Hui; Yi, Cheh;Liao, Pei-Wen. (2009).Acceptance of Mobile Learning: a Respecification and Validation

of Information System Success. World Academy of Science,

Engineering and Technology 53.

[16] ILRT.(2005). Institute for learning & research technology of Bristol University.http://www.ilrt.bris.ac.uk/projects/elearning. Diakses tanggal 8 Mei 2010, pukul 07.12.

[17] Inixindo. (2009).Building E-Learning With Moodle. Yogyakarta : Inixindo. 2009. [18] Jesukiewicz, Paul. (2006). SCORM 2004 4th _{Edition. Advanced Distributed}

Learning Initiative.

[19] Juanda, Enjang A; Haritman E; Abdullah, AG. Upaya Membangun Prototipe

Bahan Ajar Mengacu SCORM. Paper yang dipresentasikan pada

Simposium Puslitjaknov.2008.

[20] Mackenzie, G. (2004). SCORM 2004 Primer A (Mostly) Painless Introduction to SCORM Version 1.0.

[21] Melfachrozi, M. (2003). Penggunaan Aplikasi e-learning (Moodle).www.IlmuKomputer.com. .Diakses tanggal 6 Juni 2012, pukul 21.32.

[22] PPPPTK Seni dan Budaya. (2010). Renstra PPPPTK Seni dan Budaya 2010 – 2014.

[23] Purwito, Brian Adi. (2007).Perancangan E-Learning Gateway (Studi Kasus di

I-Elisa UGM). Makalah Publikasi. Yogyakarta : MTI UGM.

[24] Rice, W. H. (2006). MOODLE e-Learning Course Development, complete guide to successful learning using Moodle. Birmingham-Mumbai: PACKET Publishing. [25] Rosenberg, M. J. (2001). E-learning: Strategies for delivering knowledge in

the digitalage. New York: McGraw-Hill.

[26] Sastrawangsa, Gde. (2006). Implementasi Standar SCORM Run Time Environment (RTE) pada sistem e_learning.Tesis Tidak Terpublikasi. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.

[27] SMA Kristen Petra Kediri. (2010). Implementasi SCORM (Shareable Content Object Reference Model) Untuk Pertukaran Content Antar Situs E-Learning Berbasis PHP. http://smakpetrakediri.com/2010/09/05. Diakses pada,13 Maret 2011, pukul 21.30

[28] Sohn, B. (2005). E-learning and primary and secondary education in Korea. KERISKorea Education & Research Information Service, 2(3), 6-9. [29] Somantri, M. . (2004). Implementasi e-Learning di Teknik Elektro FT Undip.

Jurnal Transmisi. 8(2):28-30

[30] Surjono, Herman Dwi. (2009).Pengantar Elearning dan Penyiapan Materi Pembelajaran. http://herman.elearning-jogja.org. Diakses tanggal 26 Februari 2010, pukul 21.14.

[31] Surjono, Herman. (2006). Development and evaluation of an adaptive hypermediasystem based on multiple student characteristics. Unpublished doctoraldissertation. Southern Cross University.

[32] Urdan, T. A., & Weggen, C. (2000). Corporate e-learning: Exploring a new frontier.http://www.spectrainteractive.com/pdfs/CorporateELearing Hamrecht.pdf. Diakses tanggal 26 Februari 2010, pukul 21.20.

[33] Wahid, F. (2005). Kamus Istilah Teknologi Informasi. Penerbit Andi, Yogyakarta.

[34] Wang, T. (2007). A SCORM Compliant Courseware Authoring Tool for Supporting Pervasive Learning. International Journal of Distance Education Technologies. 5(3).

[35] Wismaningrum, Sari K. (2007).Perancangan model content authoring tools berbasis SCORM (Sharable Content Object Reference Model) pada sistem e-learning I-Elisa. Tesis Tidak Terpublikasi. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada.

[36] Wu et al. (2005). An e-learning content authoring tool for transforming DICOM into SCORM, proceedings of the 2005 IEEE engineering in medicine and biology 27th _{annual conference: national Taiwan university.}

PENGARUH STRATEGI PEMBELAJARAN DAN GAYA BERPIKIR

TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA

Eksperimen pada Siswa SMP di Daerah Istimewa Yogyakarta Supinah

Abstract. The objective of this research is to study the effect of learning strategy, thinking style and the interaction of both variables on student’s outcome of mathematics study. This research applied the experimental method which has the outcome of mathematics study as a dependent variable, the treatment of learning strategy as an independent variable and the thinking style of student as an attribute variable. The experimental design is 2x2 factorial with two independent variables, i.e. Contextual Teaching and Learning (CTL) strategy and expository strategy. The participants of are 158 junior secondary school students in Special District of Yogyakarta which are divided into two groups. The results of this study are (1) the outcome of mathematics study for student using CTL strategy is higher than expository strategy, (2) there is an interaction between learning strategy and thinking style to the outcome of mathematics study, (3) the group having divergent thinking style and using CTL strategy gives a higher outcome compared with the group using expository strategy. This study suggests that the CTL strategy affects the improvement of the outcome of mathematics study, especially for students who have divergent thinking style.

Key words: learning strategy, thinking style, contextual, expository

PENDAHULUAN

Salah satu strategi pembelajaran yang dikembangkan dengan tujuan agar pembelajaran berjalan dengan produktif dan bermakna bagi siswa adalah strategi pembelajaran dengan pendekatan kontekstual (Contekstual Teaching and Learning) yang selanjutnya disebut CTL. Strategi CTL fokus pada siswa sebagai pembelajar yang aktif, dan memberikan rentang yang luas tentang peluang-peluang belajar bagi mereka yang menggunakan kemampuan-kemampuan akademik mereka untuk memecahkan masalah-masalah kehidupan nyata yang kompleks (Depdiknas: 2002:15).

Namun demikian, dalam pembelajaran di sekolah, guru lebih berperan sebagai subyek pembelajaran atau pembelajaran

yang berpusat pada guru dan siswa sebagai obyek, serta pembelajaran tidak mengkaitkan dengan kehidupan sehari-hari siswa (Zamroni, dalam Sutarto Hadi, 2000:1). Salah satu bentuk dari pendekatan pembelajaran yang berorientasi pada guru (teacher centered approach), adalah strategi pembelajaran ekspositori. Strategi pembelajaran ini menekankan kepada proses penyampaian materi secara verbal dari seorang guru kepada sekelompok siswa dengan maksud agar siswa dapat mengusai materi pelajaran secara optimal dan menyampaikan materi pembelajaran secara terstruktur dengan harapan materi pelajaran yang disampaikan itu dapat dikuasai siswa dengan baik (Wina Sanjaya, 2006:179). Strategi pembelajaran ekspositori paling banyak digunakan dibanding

pendekatan lain untuk mengajarkan matematika.

Para ahli pengajaran menyatakan bahwa dalam perencanaan dan pelaksanaan pembelajaran di sekolah menengah banyak variabel yang menentukan kualitas pembelajaran dan harus diterima apa adanya oleh guru, dan selanjutnya variabel-variabel itu dijadikan pijakan kerja (Reigeluth, 1983: 19). Seperti halnya tujuan pembelajaran, tidak dapat dimanipulasi oleh guru karena sudah ditetapkan dalam kurikulum. Demikian pula dengan karakteristik siswa sebagai subyek belajar (Dick & carey, 1996: 64-65). Tujuan pembelajaran dan karakteristik siswa tersebut tidak dapat dimanipulasi, untuk itu harus diterima guru apa adanya. Salah satu karakteristik siswa adalah gaya berpikir. Gaya berpikir ini menunjukkan pada kebiasaan seseorang atau individu dalam memproses informasi dan menggunakan strategi untuk menjawab tugas yang diterima (Good & Brophy, dalam Dick & carey, 1996: 64-65). Setiap individu memproses informasi dengan cara atau gaya yang berbeda. Gaya berpikir yang dimiliki siswa tersebut tidak dapat dimanipulasi dan harus diterima guru apa adanya. Oleh karena strategi pembelajaran memainkan peranan yang sangat penting dalam menentukan kualitas pembelajaran. Oleh karena itu, agar materi pembelajaran dikuasai dengan baik oleh siswa yang dibelajarkannya, guru dalam menggunakan strategi pembelajaran

perlu memperhatikan gaya berpikir siswanya.

Berkaitan dengan uraian tersebut di atas, menekankan bahwa proses pendidikan formal sistem persekolahan hendaknya lebih menekankan pada proses pembelajaran (learning) daripada mengajar (teaching). Salah satu strategi yang disarankan adalah strategi pembelajaran CTL. Namun pada kenyataannya strategi pembelajaran ekspositori yang paling banyak digunakan mengajarkan matematika dan bisa menjadi strategi yang efektif untuk mengajarkan matematika jika digunakan dengan tepat, yaitu digunakan dengan tepat dalam situasi yang sesuai. Dari kenyataan ini, perlu dicari strategi pembelajaran yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan peningkatan kualitas pembelajaran

matematika. Dalam penelitian ini dibahas dua strategi pembelajaran Contextual Teaching and Learning (CTL) dan ekspositori, serta karakteristik siswa yaitu gaya berpikir.

a. Perumusan Masalah

a. Apakah terdapat perbedaan hasil belajar matematika antara siswa yang dibelajarkan dengan strategi pembelajaran CTL dengan siswa yang dibelajarkan dengan strategi pembelajaran dengan ekpositori? b. Apakah terdapat interaksi antara

strategi pembelajaran dengan gaya berpikir siswa terhadap hasil belajar matematika?

c. Apakah terdapat perbedaan hasil belajar matematika antara siswa yang memiliki kecenderungan

gaya berpikir divergen yang dibelajarkan dengan strategi pembelajaran CTL dan strategi pembelajaran ekpositori?

d. Apakah terdapat perbedaan hasil belajar matematika antara siswa yang memiliki kecenderungan gaya berpikir konvergen yang dibelajarkan dengan strategi pembelajaran CTL dan strategi pembelajaran ekspositori?

b. Pengertian Hasil Belajar

Merujuk pada pengertian belajar yang dikemukakan oleh Kimble’s,dikutip langsung oleh Hergenhahn & Olsen (1997: 6-7), Woolfolk (1993: 196-197), Morgan dkk. dalam Soekamto dan Winataputra (1997: 8), dan (Bloom, 1981: 7) dapat dipahami bahwa pada dasarnya hasil belajar merupakan perubahan perilaku atau kemampuan yang relatif permanen dalam bidang kognitif (meliputi pengetahuan, pemahaman, aplikasi, analisis dan sintesis), afektif, atau psikomotor yang diperoleh melalui pengalaman yang dapat diamati dan diukur dengan tes hasil belajar. Tes hasil belajar ini pada umumnya merupakan evaluasi akhir untuk menentukan kedudukan seseorang setelah menyelesaikan suatu latihan atau pendidikan tertentu. Dalam penelitian ini hasil belajar yang dimaksud adalah kemampuan yang relatif permanen di bidang kognitif (pengetahuan, pemahaman, dan aplikasi) yang diperoleh siswa setelah menyelesaikan suatu latihan atau pendidikan tertentu dan dapat diukur dengan menggunakan tes hasil belajar.

c. Pembelajaran Contectual Teaching

and Learning (CTL)

Merujuk pada pengertian, filosofi, dan landasan CTL seperti yang dikemukakan oleh Direktorat Pendidikan Lanjutan Pertama (2003: 10-20, 26), pandangan konstruksivistik (Hudoyo, 1998: 4-5), dan Schell (Direktorat Pendidikan Umum, 2002: 21-22), dalam penelitian iniyang dimaksud pembelajaran CTL adalah pembelajaran yang lebih menekankan pada proses daripada hasil untuk mencapai tujuan yang ingin dicapai, sehingga proses lebih dipentingkan dari pada hasil. Tahapan dalam pendekatan CTL adalah: (1) Pendahuluan, pada tahap ini guru menyampaikan pokok-pokok materi yang akan dibahas, tujuan pembelajaran yang ingin dicapai dan mengadakan apersepsi, (2) Penyajian, pada tahap ini: (a) sebagai pembuka guru mengajukan permasalahan yang harus diselesaikan siswa berkaitan dengan materi yang akan dipelajari; (b) guru membagi siswa dalam kelompok-kelompok kecil secara adil (seimbang) antara kelompok yang pandai dan yang kurang; (c)

masing-masing kelompok diminta memecahkan masalah yang berdasarkan penge-tahuan dan pengalaman siswa; (d) masing-masing kelompok menyampaikan secara lisan hasil temuan kelompok, kemudian guru dan kelompok yang lain memberikan komentar atas temuan kelompok siswa yang menyajikan; (e) pemodelan cara menyelesaikan permasalahan yang diajukan dan model ini bisa siswa, guru atau mendatangkan orang lain