Integral. Konstanta dari Integrasi. Integral Tak Tentu. AntiTurunan (Antiderivative)

(1)

Integral

Diberikan Pada

Pelatihan Guru-Guru Aceh Jaya 5 September 2013

Oleh: Ridha Ferdhiana, M.Sc

AntiTurunan (Antiderivative)

AntiTurunan dari sebuah fungsi f adl

sebuah fungsi F sedemikian hingga

F

 

f

Ex.

2

( ) 3

2 F x

_

x

_

AntiTurunan dari

f x

( ) 6



x

krn

F x



( )



f x

( ).

adl

( )

f x dx



Artinya adl mendapatkan semua antiturunan dari f. Pernyataan:

dibaca “integral tak tentu dari f terhadap x,”

( )

f x dx



Tanda Integral Integrand

Integral Tak Tentu

x disebut peubah integrasi

Setiap antiturunan F dari f harus dalam

bentuk F(x) = G(x) + C, dimana C adl

sebuah konstanta.

Perhatikan

₆

_xdx

_

₃

_x

2

_

_C



Konstanta dari Integrasi

Mewakili semua antiturunan

yang mungkin dari 6x.

(2)

Aturan Pangkat dari Integral

TakTentu, Bagian I

1

if

1

n n

x

x dx

C

n







 





Ex.

4 3

4 x

x dx





C



Aturan Pangkat dari Integral

TakTentu, Bagian II

1

1 _ln

x dx

dx

x C

x



_

_



x x

e dx e

 

C



Integral TakTentu dari e

x

dan b

x

ln

x x

b

b dx

C

b







Aturan Jumlah dan Kurang

( )

kf x dx k f x dx







f



g dx





fdx



gdx



Ex.

( constant)

k

4 4 3 3

2

4

2 x

x

x dx



x dx



 

C



C





_x

2

_

_{x dx}



_

_{x dx}

2

_

_xdx



3

2

x

C





Aturan Perkalian dengan Konstan

Ex.

Contoh:

Ex.

Dapatkan integral tak tentu dari:

2

7

3 e

u

2 u

6 du

u



_{ }

_













2

1

3 e du

u

7 du

2 u du

6 du

u

















3

2

3 7 ln

6

3

u

e

u

u C











(3)

Integrasi dengan Substitusi

Metode integrasi yang berhubungan

dengan aturan rantai. Jika u adl fungsi

dalam x, maka kita bisa mengunakan

formula/persamaan

/

f

fdx

du

du dx





 

_



_



Integrasi dengan Substitusi

Ex.

Dapatkan integral:

10

10 u

C





9

u du





3

10

5 

10

x

C







Subtitusi Integralkan Substitusi ulang

2

3 du

dx

x



dx

x

du

x

u

3

5 ,

maka

3

2

Ambil







∫

3x

2

(

x

3

+

5)

9

dx

2

Let

5 7 then

10 du

u

x

dx

x







Ex. Dapatkan





3 / 2

1

10 3/ 2

u

C

 



_{ }



 



₂



3/ 2

5

7

15 x

C







2

5

7 x

x



dx



2

1

1/ 2

5

7

10 x

x



dx



u du



Tentukan u, dptkan du Substitusi Substitusi Integralkan

 

3

ln

dx

x



Let

u



ln then

x

xdu dx



Ex.

Dapatkan

 

3 3

ln

dx

u du

x







2

2 u

C









 

2

ln

2 x

C









(4)

3 3

₂

t t

e dt

e





3 3

Let

+2 then

3

t t

du

u e

dt

e



Ex.

Dapatkan

3 3

1 1

3

2

t t

e dt

du

u

e







ln

3 u

C







3



ln

2

3

t

e

C







Ekspresi Integral yang

mengandung ax + b

Aturan









1



1



( 1) n n ax b ax b dx C n a n        







1 1 ln ax b dx ax b C a     



1

ax b ax b

e

dx

e

C

a



_



_



1 ln

ax b ax b

c

dx

c

C

a c



_



_



15

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

2

cos

sin

cos

sec

tan

xdx

x C

xdx

x C

xdx

x C





 









Ex.





3cos

x



2sin

x dx



3sin

x

2cos

x C





Integral Fungsi Trigonometri

16

Ex.

Substitusi











x



3 sin

x



6 x

dx

Dapatkan

2 u=x

2

+

6x

Jadi

du

dx

=2x+6=2

(

x+3

)

atau dx=

du

2 (

x+3

)

Penyelesaian:







       udu u C x 6x C 2 1 2 1 2 1 ₂ cos cos sin















_

_

_



















du

x

u

x

dx

x

3

2

1 sin

3

6 sin

3 shg

integral,

kedalam

kan

Substitusi

2

(5)

17

Substitusi

Ex.



_x

2

_sin

 

_{x dx}

3 3 2

Let

then

3 du

u x

dx

x



1 cos

3 u C

 



1 cos

 

3

3 x

C

 



 



x

sin

x

dx





sin

u

du

3

1

3 2 18

Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

tan

ln cos

cot

ln sin

sec

ln sec

tan

csc

ln csc

cot

xdx

x C

xdx

x C

xdx

x

x C

xdx

x

x C

 











 





19

Mengapa ?



tanxdx ln cosx C

Tuliskan tan x sbg (sin x)/(cos x) dan tetapkan

u = cos x, shg:

x

du

dx

x

dx

du

x

u

sin

dan

sin

Jadi

cos









C x C u u du x du u x dx x x xdx                 



cos ln ln sin sin cos sin tan 20

Integral mengandung (ax + b)

















1 sin

cos

1 cos

sin

ax b dx

ax b

C

a

ax b dx

ax b

C

a



 

 





 



Ex.



_{7sin 3}



_x



₅



_dx





7 cos 3

5

3 x

C

 

 

(6)

21

Integral mengandung (ax + b)









































1 tan

ln cos

1 cot

ln sin

1 sec

ln sec

tan

1 csc

ln csc

cot

ax b dx

ax b

C

a

ax b dx

ax b

C

a

ax b dx

ax b

C

a

ax b dx

ax b

C

a



 









 



 

 





Integration by Parts

(Pengintegralan Perbagian)

TEKNIK PENGINTEGRALAN

• Setiap aturan turunan pasti mempunyai

aturan integral yang berhubungan

– Contoh: Aturan Substitusi berhubungan dengan aturan rantai untuk turunan.

TEKNIK PENGINTEGRALAN

• Aturan integrasi yang berhubungan

dengan aturan kali para turunan adalah

aturan pengintegralan perbagian.

(7)

• Aturan Perkalian mengatakan, jika f dan g

adalah fungsi yang bisa diturunkan, maka

PENGINTEGRALAN PERBAGIAN



( ) ( )



( ) '( )

d

f x g x

g x f x

dx





• Penulisan integral tak tentu dari persamaan tsb

menjadi

• atau



f x g x

( ) '( )



g x f x dx

( ) '( )





f x g x

( ) ( )



( ) '( )

( ) ( )

f x g x dx



g x f x dx



f x g x



PENGINTEGRALAN PERBAGIAN

• Persamaan diatas bisa kita atur kembali spt:

( ) '( )

( ) ( )

( ) '( )

f x g x dx



f x g x



g x f x dx



Rumus 1

PENGINTEGRALAN PERBAGIAN

• Jika u = f(x) dan v = g(x).

– Maka, turunannya adl:

du = f’(x) dx and dv = g’(x) dx

(8)

• Shg, dgn aturan substitusi, maka rumus

integral perbagian menjadi:

u dv uv





v du



Rumus 2

PENGINTEGRALAN PERBAGIAN

• Dapatkan ∫ x sin x dx

– Misal f(x) = x dan g’(x) = sin x dx. – Maka, f’(x) = 1 dan g(x) = –cos x.

Contoh 1

PENGINTEGRALAN PERBAGIAN

• Menggunakan rumus 1:

– Coba turunkan fungsinya.

sin

( ) ( )

( ) '( )

( cos )

cos

sin

x

x dx

f x g x

g x f x dx

x

x dx

x

x dx

x

x C





 

 

 



 





Contoh 1

PENGINTEGRALAN PERBAGIAN

• Tujuan kita menggunakan pengintegralan

perbagian adl untuk mendapatkan bentuk

integral yg sederhana, jadi jika bentuknya lebih

rumit (sulit) untuk diselesaikan maka

pengintegralan kurang benar.

(9)

• Dari contoh 1

• Jika kita pilih u = sin x dan

dv = x dx , maka du = cos x dx dan v = x2_/2.

• Jadi, pengintegralan perbagian menjadi:

– Walapun benar namun x2_{cos x dx lebih susah diintegalkan.}

2

1 sin

(sin )

cos

2

2 x

x

x dx



x



x

dx



PERHATIKAN

• Jadi, dalam memilih u dan dv, sehrsnya u =

f(x) dipilih sdh sehingga menjadi fungsi yg

lebih sederhana ketika diturunkan.

– Namun, pastikan juga bahwa dv = g’(x) dx bisa diintegralkan dengan mudah.

PERHATIKAN

• Dapatkan ∫ ln x dx

Contoh 2

ln

u



x

dv dx



1 du

dx

v x

x



PENGINTEGRALAN PERBAGIAN

ln

dx

x dx x

x

dx

x

x x C











 



Contoh 2

PENGINTEGRALAN PERBAGIAN

(10)

MERASIONALKAN SUBSTITUSI

INTEGRAND MENGANDUNG

Substitusi dengan Selesaikan n

√

ax+b

Selesaikan

INTEGRAND MENGANDUNG

Substitusi dengan

(11)

Selesaikan Substitusi Shg Selesaikan Substitusi Shg dan

MELENGKAPKAN KUADRAT

Selesaikan

(12)

Jumlahan Riemann

Jika f adl sbh fungsi yg kontinu, maka

jumlahan Riemann dari n bagian yang sama untuk f sepanjang selang [a, b] didefinisikan sbg: 0 1 1

( )

...

(

_n

)

f x

x f x

x

f x

_

x



 

  



 

1 0 n k k

f x

x

 







f x

( )

0

f x

( ) ...

1

f x

(

n1

)



x





 



bagian adl dimanaa x₀  x₁x_n b n a b x (  )/ 

Integral Tentu

Jika f adl fungsi yg kontinu,

integral tentu f

dari a ke b

didefinisikan sbg

 

1 0

( )

lim

b _n k n k a

f x dx



f x

x

 _









fungsi f disebut

integrand

, angka a dan b

disebut

limits dari integrasi,

dan peubah x

disebut

peubah dari integrasi.

Pendekatan Integral Tentu

Ex.

Hitung jumlahan Riemann utk

integral menggunakan n = 10.

2 2 0

x dx



 

1 9 2 0 0

1

5

n k k k k

f x

x

  

 

 

_{ }

 



2 2 2

(1/ 5)

(2 / 5)

... (9 / 5) (1/ 5)







_



 

_

2.28 

Integral Tentu

dibaca “

integral dari a ke b dari f(x)dx.”

( )

b

a

f x dx



Peubah x bisa dirubah menjadi peubah apa

saja, contoh

( ) ( ) b b a a f x dx f t dt



(13)

Area dibawah Kurva

a b Ide: Mendapatkan area sebenarnya (tepat/persis) dibawah kurva sbh fungsi.

( )

y f x

Metode: Menggunakan tak hingga persegipanjang dgn lebar yg sama dan menghitung area dgn limit.

Lebar: _{b a} x n    (n persegi panjang.)

Memperkirakan Area

Perkirakan area dibawah kurva Menggunakan n = 4.

 

2 ( ) 2 on 0, 2 f x  x



( )

0

( )

1

( )

2

( )

3



A

 

x f x



f x



f x



f x

 

1

3

0

1

2

2 A



_



f



f

_{ }

 



f



 

f

_{ }



_

 





1

9

7

0

2

2 A





_

  



_







Area Dibawah Kurva

a b

( )

y f x

f kontinu, taknegatif pada [a, b]. Area adl

 

1 0 Area lim n k n k f x x   _ 



 ( ) b a f x dx 



Teorema Dasar Kalkulus

Jika f adl fungsi yg kontinu pada [a, b].

2. Jika F adl sebarang antiturunan yang

kontinu dari f dan bisa didefinisikan pada

[a, b], maka

( )

b a

f x dx F b





F a



1. If ( )

( ) , then ( )

( ).

x a

A x





f t dt

A x





f x

(14)

Ex.

If ( )

3 4

5 , find ( ).

x a

A x





t



tdt

A x



3 4

( )

A x





x



5 x

Teorema Dasar Kalkulus

Mengevaluasi Integral Tentu

Ex. Hitung 5 1 1 2x 1 dx x  _{ }    





5 5 ₂ 1 1 1 2x 1 dx x lnx x x  _{ } _ _ _    





₅2 _{ln 5 5}

 

₁2 _{ln1 1}



      28 ln 5 26.39056   

Substitusi untuk Integral Tentu

Ex. Hitung



₀12x x



2 3



1/ 2dx 2

let

u x





3 x

then 2 du dx x 





1 ₂ 1/ 2 4 _{1/ 2} 02x x 3x dx  0u du



4 3/ 2 0 2 3u  16 3  Perhatikan bhw limit integrasi berubah

Menghitung Area

Ex.

Dapatkan area yg dibatasi oleh sumbu x,

garis vertikal x = 0, x = 2 dan kurva

2 ₃

0

2x dx



2x3 adl tak negatif pada [0, 2].

2 2 ₃ ₄ 0 ₀

1

2

2 x dx



x



1    

₂

4

1 ₀

4

2

2 





8

Antiturunan Teorema Dasar Kalkulus

2

2 .

y

_

x

(15)

Penggunaan Integral : Luas Kurva

Dapatkan area dibawah kurva

y=x

2

+

2

Dari x = 1 ke x = 2

Area=

∫

1 2

(

x

2

+

2)dx

=

[

x

3

3 +2x

]

1 2

=

13

3 Penggunaan Integral : Luas Kurva

Dapatkan area dibawah kurva

_y=

_√

_x−1

Sumbu y, y = 1 dan y= 5

Area=

∫

1 5

(

y

2

+

1)dy

=

[

y

3

3 +

y

]

1 5

=45

1

3 y

2

=

x−1

x= y

2

+

1 Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva

Area=Luas=

∫

a b

[

f ( x

₂

)−

f (x

₁

)]

dx=

∫

a b

(

y

₂

−

y

₁

)

dx

Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva

Area=

∫

c d

f ( y)dy

Dapatkan area yang dibatasi oleh

y=x

3

, x=0, dan y=3

y=x

3

, jadi x= y

1/3

(16)

Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva

Area=

∫

c d

f ( y)dy

=

∫

0 3

(

y

1/3

)

dy

=

[

3

4 y

4 /3

]

0 3

=3.245

Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva

Dapatkan area yang dibatasi oleh

y=x

2

+

5x , dan y=3−x

2

Area=

∫

a b

(

y

₂

−

y

₁

)

dy

kurva

y=3−x

2 diatas

y=x

2

+

5x

Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva

Titik perpotongan terjadi pada

x

2

+5x=3−x

2

→

x=−3, atau x=0.5

Area=

∫

a b

(

y

₂

−

y

₁

)

dy

=

∫

−3 0.5

[

(

3−x

2

)−(

x

2

+5x)

]

dx

=

∫

−3 0.5

[

3−5x−2x

2

]

dx

=

[

3x−

5x

2

2 −

2x

3

]

−3 0.5

=14.29

Penggunaan Integral :Volume Benda Putar

Diberikan area yang dibatasi oleh y = 3x, sumbu x dan x=1 Diputar mengelilingi sumbu-x, 360 derajad