31 BAB III
PARTIAL ADJUSTMENT MODEL (PAM)
3.1 Model Distribusi Lag
Pada dasarnya semua model regresi mengasumsikan bahwa hubungan antara peubah tak bebas dan peubah-peubah bebas bersifat serentak. Hal ini berarti peubah-peubah ini ada pada titik waktu yang sama. Asumsi ini mungkin bisa diterima dalam data lintas-sektoral tapi tidak dalam data deret berkala. Ini berarti bahwa ada hubungan yang tidak serentak atau terlambat (lagged relationship), antara peubah tak bebas dan peubah bebas dalam regresi linear berganda. (Gujarati 2006:159)
Perhatikan model berikut:
= + + + + (3.1) Keterangan:
= Peubah tak bebas pada saat t = Konstanta
= Peubah bebas pada saat t = Peubah bebas pada saat (t-1) = Peubah bebas pada saat (t-2) , , = Koefisien-koefisien = faktor pengganggu
Model regresi (3.1) disebut juga sebagai model dinamis. Model dinamis adalah suatu model yang melibatkan perubahan dari waktu ke waktu karena efek
perubahan unit pada peubah bebas yang dirasakan selama sejumlah periode waktu. Model dinamis tersebut dikatakan model keterlambatan terdistribusi (distributed lag models) karena efek perubahan satu unit dalam nilai peubah bebas terpencar atau terdistribusi pada sejumlah periode waktu.
Beberapa alasan timbulnya lag atau keterlambatan antara lain: • Alasan psikologi
Karena kebiasaan (kelembaman), orang tidak mengubah kebiasaan konsumsi mereka secara serentak atau segera setelah terjadi penurunan harga atau kenaikan pendapatan, mungkin karena proses perubahan langsung itu bersifat kontraproduktif. (Gujarati 2006:160)
• Alasan teknologis
Ada kemungkinan misalnya, harga modal (capital) relatif turun dibandingkan dengan tenaga kerja manusia (labour), maka dimungkinkan untuk mengadakan substitusi mengganti tenaga kerja dengan mesin-mesin, yaitu berubah dari padat karya (labour intensive) menjadi padat modal (capital intensive). (Supranto 2004:136)
• Alasan institusional atau kelembagaan
Sebagai contoh misalnya, keharusan suatu kontrak (contractual obligation) mungkin mencegah perusahaan untuk beralih dari sumber tenaga kerja yang satu ke sumber tenaga kerja lainnya atau sumber bahan mentah yang satu ke sumber bahan mentah yang lainnya. (Supranto 2004:136)
Persamaan (3.1) dapat diperumum dan dapat dinyatakan sebagai model keterlambatan terdistribusi k-periode yaitu:
= + + + + ⋯ + + (3.2) dengan efek perubahan per unit dalam nilai peubah penjelas dirasakan selama k periode. Pada persamaan (3.2), peubah tak bebas menanggapi perubahan setiap satu unit dalam peubah bebas tidak hanya dalam periode waktu saat ini tapi juga dalam beberapa periode waktu sebelumnya.
dikenal sebagai faktor pengali (multiplier) jangka pendek atau dampak (impact), karena perubahan dalam nilai mean peubah tak bebas mengikuti perubahan unit dalam peubah bebas pada periode waktu yang sama. Jika perubahan dalam peubah bebas X dipertahankan pada level yang sama setelah itu maka (+ ) menentukan perubahan nilai mean peubah tak bebas pada periode berikutnya, (+ + ) dalam periode setelah itu dan seterusnya. Jumlah parsial ini disebut Multiplier interim, atau perantara. Akhirnya setelah k periode dapat diperoleh;
∑ = + + + ⋯ + (3.3) yang dikenal sebagai multiplier jangka panjang atau total. (Gujarati 2006:161)
Pada prinsipnya model-model terdistribusi seperti pada persamaan (3.2) dapat diestimasi menggunakan metode kuadrat terkecil (Ordinary Least Square) karena jika diasumsikan nonstokastik, atau tetap dalam pengambilan sampel berulang, maka begitu pula dan semua nilai terlambat X lainnya. Oleh sebab itu, pada persamaan (3.2) dengan sendirinya tidak melanggar asumsi standar model regresi linear klasik apapun. Namun, ada beberapa masalah praktis yang
perlu dikemukakan misalnya menentukan berapa banyak nilai keterlambatan peubah bebas yang harus dimasukkan, bahkan dengan sampel yang besar pun seringkali terjerumus dalam masalah multikolinearitas, karena sebagian besar nilai peubah ekonomi yang berurutan cenderung berkorelasi, kadang sangat tinggi. Multikolinearitas dapat menghasilkan estimasi yang tidak tepat, artinya kesalahan standar cenderung besar sesuai dengan banyaknya koefisien yang diestimasi. Akibatnya, berdasarkan rasio t hitung biasa, cenderung menyatakan bahwa koefisien (-koefisien) terlambat tak signifikan secara statistik. Masalah lain yang muncul adalah bahwa koefisien faktor keterlambatan berurutan kadang berbeda-beda tanda, yang membuat sulitnya penafsiran sejumlah koefisien.
3.2 Pendekatan Koyck Terhadap Model Distribusi Lag
Suatu pendekatan yang baik untuk mengurangi jumlah faktor keterlambatan dalam model keterlambatan terdistribusi maupun masalah multikolinearitas adalah pendekatan Model Koyck, Ekspektasi Adaptif, dan Partial Adjustment Model (PAM). Ekspektasi Adaptif, dan Partial Adjustment Model (PAM) merupakan bentuk rasionalisasi model Koyck. Koyck telah mengusulkan suatu metode untuk memperkirakan model terdistribusi beda kala (distributed-lag models). Dianggap bahwa semua koefisien mempunyai tanda yang sama. Koyck menganggap bahwa koefisien tersebut menurun secara geometris, dengan model regresi pada persamaan (3.1) diperoleh;
= , = 0,1, … (3.4) dimana 0 < < 1 dikenal sebagai tingkat penurunan dari distribusi beda kala, sedangkan 1-C disebut kecepatan penyesuaian. Persamaan ini mempunyai arti
bahwa setiap koefisien lebih kecil dari nilai sebelumnya atau yang mendahuluinya. Dengan menganggap nilai-nilai C non negatif , Koyck memperlakukan nilai C tidak pernah berubah tanda dan dengan asumsi C<1, memberikan bobot yang lebih kecil dari koefisien yang jauh jaraknya (sudah terjadi) dibandingkan dengan yang dekat jaraknya (baru saja terjadi). Sehingga diperoleh suatu transformasi yang disebut sebagai transformasi koyck, secara matematis ditulis sebagai:
= 1 − + + + (3.5) dimana = −
Berdasarkan persamaan (3.5) hanya diperkirakan tiga parameter yaitu: A, , C. Oleh karena itu tidak ada lagi alasan multikolinearitas, sebab , , , …, sudah diganti dengan . Hal-hal yang berhubungan dengan transformasi tersebut adalah:
• Model distribusi lag menjadi model autoregresif sebab peubah beda kala tak bebas menjadi peubah beda kala bebas.
• Munculnya peubah tak bebas , sebagai peubah bebas akan menimbulkan persoalan statistik, karena peubah tak bebas bersifat stokastik yaitu tidak tetap jadi yang dimiliki adalah peubah bebas stokastik.
• Dalam persamaan (3.1) kesalahan pengganggu , sedangkan dalam model persamaan (3.5) . Sifat-sifat yang dimiliki oleh , tergantung kepada sifa-sifat yang dimiliki oleh . (Supranto 2004:140)
3.3 Rasionalisasi Model Koyck
Model-model autoregresif lainnya yang merupakan bentuk rasionalisasi dari model Koyck, yaitu: Model Ekspektasi Adaptif oleh Cagan dan Partial Adjustment Model (PAM) yang dikembangkan oleh Nerlove. (Gunawan 2007:295)
3.3.1 Model Ekspektasi Adaptif
Dalam model ini, suatu nilai yang diharapkan atau nilai optimal dari peubah ∗ dihubungkan dengan nilai peubah bebas pada suatu periode waktu tertentu (∗); yaitu:
∗ = + ∗+ (3.6) Oleh karena nilai harapan peubah tidak secara langsung dapat dilihat maka diusulkan hipotesis tentang bagaimana nilai harapan oleh Cagan sebagai berikut:
∗− ∗ = − ∗ (3.7) 0 < ≤ 1
dengan :
∗− ∗ = Perubahan yang sesungguhnya (aktual) − ∗ = Perubahan yang dibutuhkan (yang optimal) = Koefisien penyesuaian
Model ini menyatakan bahwa nilai harapan direvisi setiap periode dengan suatu pecahan dari celah (gap) antara nilai peubah yang baru (waktu t) dengan peubah waktu sebelumnya (waktu t-1). Cara lain untuk menyatakan model ini adalah:
∗ = + 1 − ∗ (3.8) Dengan mensubstitusikan (3.8) ke dalam persamaan (3.6) diperoleh:
= + + 1 − ∗ + (3.9) = + + 1 − ∗ + (3.10) Model kemudian dibuat lag, suatu periode dikalikan 1 − , kemudian mengurangi model (3.10), maka akan didapat suatu persamaan Model Ekspektasi Adaptif:
= + + 1 − + "
= + + 1 − + " (3.11) dimana: " = − 1 − .
3.3.2 Partial Adjustment Model (PAM)
Partial Adjustment Model (PAM) mengasumsikan bahwa tingkat nilai peubah tak bebas yang diharapkan tergantung dari tingkat nilai sekarang dari peubah bebas (Sarwoko:2005). Model ini mengacu pada model percepatan fleksibel dari teori ekonomi yang mengasumsikan bahwa ada jumlah keseimbangan optimal diinginkan atau jangka panjang yang diperlukan untuk memproduksi hasil (output) tertentu dalam keadaan teknologi tertentu, tingkat tertentu dan seterusnya.
Model ini berasumsi bahwa peubah tak bebas Y yang diharapkan dalam periode t ditulis ∗ tidak dapat diobservasi secara langsung. Peubah ∗ akan tergantung pada peubah bebas yang aktual.
Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:
dimana:
∗ = peubah tak bebas yang diharapkan
= peubah bebas aktual yang diduga akan mempengaruhi ∗ $ = Galat atau error
peubah ∗ tidak teramati karena masih merupakan target sehingga peubah ini harus diganti dengan menaksir modelnya. Oleh karena itu Nerlove mengasumsikan hipotesis sebagai berikut:
− = ∗− + " (3.13) dalam hal ini:
− = perubahan nilai yang sebenarnya ∗− = perubahan nilai yang diharapkan = koefisien penyesuaian 0 < ≤ 1 Model ini kemudian disebut sebagai “partial adjustment”.
Persamaan (3.13) menyatakan bahwa perubahan nilai yang sebenarnya dalam suatu periode waktu tertentu t merupakan pecahan dari perubahan nilai yang diharapkan untuk periode tersebut. Jika nilai = 1, berarti nilai Y aktual sama dengan nilai Y yang diharapkan. Hal ini berarti nilai aktual Y menyesuaikan terhadap nilai Y yang diharapkan dengan segera dalam periode yang sama. Akan tetapi, kalau nilai = 0, berarti nilai Y yang sebenarnya pada saat t sama seperti yang diamati pada tahun sebelumnya (tidak ada perubahan).
Dari persamaan (3.13) secara spesifik diketahui bahwa perubahan Y dalam periode t akan direspon hanya secara parsial oleh perbedaan (selisih) nilai Y yang diharapkan dengan nilai Y sebelumnya ∗− . Derajat respon ditunjukkan
oleh koefisien adjustment (penyesuaian) . Mekanisme penyesuaian pada persamaan (3.13) berlangsung sebagai berikut:
= ∗− + + " = ∗− + + "
= ∗+ 1 − + " (3.14) Substitusikan (3.12) ke persamaan (3.14), sehingga diperoleh:
= #+ # + $ + 1 − + " = #+ # + $+ 1 − + "
= #+ # + 1 − + $+ " (3.15) Penyelesaian persamaan (3.15) dapat dilakukan melalui teknik regresi, logaritma maupun secara linear. Dalam hal ini , #, # dan 1 − merupakan parameter yang diduga. Dengan diketahui 1 − , maka # dan # dapat diketahui.
Bentuk dasar dari Model Ekspektasi Adaptif dan Partial Adjustment Model (PAM) adalah:
= + + + (3.16) dimana adalah faktor kesalahan pengganggu. Model ini disebut autoregresif karena nilai keterlambatan peubah tak bebas muncul sebagai peubah bebas pada sisi kanan persamaan (3.16). Dalam persamaan ini, hanya diestimasi tiga peubah tak diketahui, titik potong dan koefisien kemiringan, penghematan dalam derajat kebebasan sehingga semua faktor keterlambatan dalam regresi (3.2) diganti dengan satu nilai terlambat tunggal Y.
Dengan mengurangi jumlah parameter yang diestimasi pada model (3.2) menjadi tiga, sudah memunculkan permasalahan dalam model (3.2). Pertama;
karena adalah stokastik atau acak, juga acak. Oleh karena itu, untuk mengestimasi model dengan Ordinary Least Square, harus dipastikan bahwa faktor kesalahan dan peubah terlambat tidak berkorelasi. Jika sebaliknya, estimator Ordinary Least Square tidak hanya bias tetapi juga tak konsisten. Tapi jika dan tidak berkorelasi, maka estimator Ordinary Least Square bias (dalam sampel kecil) tapi bias itu cenderung lenyap seiring semakin besarnya ukuran sampel. Artinya, dalam sampel besar estimator Ordinary Least Square akan konsisten. Kedua; jika terkorelasi secara serial, estimator Ordinary Least Square akan bias dan juga tak konsisten sementara prosedur pengujian t dan F yang lazim tak valid. Oleh sebab itu, dalam model-model autoregresif perlu diketahui apakah faktor kesalahan mengikuti skema AR (1). Ketiga; dalam model-model autoregresif tes Durbin-watson tidak bisa diterapkan. Dalam kasus seperti ini dapat digunakan h statistik Durbin untuk mendeteksi korelasi urutan pertama atau menggunakan runs test.
Dari persamaan (3.16), yang menarik bahwa koefisien yang menempel pada memberikan dampak jangka pendek perubahan unit terhadap mean dan /1 − memberikan dampak jangka panjang perubahan unit (sinambung) terhadap mean , ini ekivalen dengan penjumlahan nilai koefisien dalam model persamaan regresi (3.2). Dengan kata lain, faktor Y terlambat dalam regresi (3.16) bertindak sebagai “pekerja” untuk semua faktor X terlambat dalam model persamaan regresi (3.2).
Asumsi – asumsi Partial Adjusment Model (PAM):
Nilai koefisien harus bertanda positif atau berada di antara 0 dan 1. Nilai koefisien harus signifikan.( Fery Andrianus dan Amelia Niko)
Ketika berhadapan dengan data runtun waktu, maka harus dipastikan bahwa data runtun waktu tersebut bersifat stasioner atau terintergrasi bersama. Untuk melihat kestasioneran data dapat dilakukan dengan menganalisis grafik, yang dilakukan dengan membuat plot antara nilai pengamatan Y dan waktu t. Berdasarkan plot tersebut, dapat dilihat pola data yang dihasilkan. Jika diperkirakan mempunyai nilai tengah dan varian konstan, maka data tersebut dapat disimpulkan bersifat stasioner. Akan tetapi dalam menentukan stasioner atau tidaknya data dengan menggunakan grafik bukan cara yang mudah. Pengambilan kesimpulan dan skala ukuran dalam pembuatan grafik yang berbeda, memungkinkan terjadi perbedaan pengambilan keputusan. Jadi, dibutuhkan uji formal dalam menentukan kestasioneran data (Nachrowi dan Usman :2006). Ada dua macam pengujian yaitu:
a) Korelogram
Korelogram merupakan teknik identifikasi kestasioneran data time series melalui fungsi, akan memberi informasi bagaimana korelasi antara data-data (Yt) yang berdekatan.
Fungsi autokorelasi dengan lag ke-k didefinisikan sebagai:
) = *+,-./-0 1-2- 3-4 5 − ,-./-0 = *+,, 6 789789:; ; −1 < ) < 1
) = *+,, 6 789789:; = *+,, 6 78 = = =
Dengan demikian, ) untuk setiap proses stokastik, mempunyai ) = 1. Bila kita mempunyai proses stokastik yang sederhana = 5; dimana 5 white noise dan 5~//20, 7 , maka fungsi autokorelasi dari proses di atas adalah:
) =
*+,5, 56
,-.589 ,-.589:; / = 0 ; ?0@? > 0 b) Uji Akar Unit
Kestasioneran data dapat pula dilihat dengan mengunakan “Uji Akar Unit” yang dikenalkan oleh David Dickey dan Wayne Fuller. Untuk memudahkan pengertian mengenai unit root. Perhatikan model berikut :
= ) + ? (3.17) Bila persamaan diatas dikurangi sisi kanan dan kiri, maka akan diperoleh :
− = ) − + ? (3.18) ∆ = ) − 1 + ?
atau dapat dinyatakan sebagai berikut :
∆ = + ? (3.19) Berdasarkan persamaan (3.19) maka dapat dibuat hipotesis :
C: = 0 C : ≠ 0
Statistik uji yang diberikan untuk menguji hipotesis di atas adalah :
F = G H5G
Kriteria pengujian untuk hipoteis diatas adalah :
• H0 diterima jika F > nilai statistik DF(Dickey-Fuller)
artinya mempunyai akar unit atau tidak stasioner. • H0 ditolak jika F < nilai statistik DF artinya tidak
mempunyai akar unit atau stasioner.
Selanjutnya, apabila data tidak stasioner pada waktu uji kestasioneran maka dapat dilakukan uji derajat integrasi. Uji berfungsi untuk mengetahui pada derajat berapakah data akan stasioner. Dalam kasus dimana data yang digunakan tidak stasioner, Granger dan Newbold (1974) berpendapat bahwa regresi yang menggunakan data tersebut biasanya mempunyai nilai R2 yang relatif tinggi namun memiliki statistik Durbin-Watson yang rendah. Secara umum apabila suatu data memerlukan diferensiasi sampai ke d supaya stasioner, maka dapat dinyatakan sebagai I (d). (Nachrowi dan Usman :2006)
