A. LATAR BELAKANG MASALAH

xii

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Model koreksi kesalahan (ECM - Error Correction Model) merupakan model regresi

linier yang menentukan keseimbangan jangka panjang di antara beberapa variabel. Di

dalam model koreksi kesalahan dilakukan penyesuaian sehingga terjadi keseimbangan

antara apa yang diinginkan dan apa yang terjadi. Model koreksi kesalahan dapat

digunakan pada variabel-variabel yang tidak stasioner namun terkointegrasi. Model

koreksi kesalahan digunakan dalam mengatasi masalah data runtun waktu yang tidak

stasioner, masalah regresi lancung, mengoreksi ketidakseimbangan jangka pendek dan

untuk membentuk hubungan keseimbangan jangka panjang antar variabel. Dalam

penelitian ini digunakan model koreksi kesalahan yang dibentuk dengan estimasi

parameternya menggunakan metode Bootstrap dan model koreksi kesalahan yang

dibentuk dengan estimasi parameternya menggunakan metode Bayesian.

Data yang digunakan adalah data runtun waktu Indeks Harga Konsumen kota

Jayapura, kota Sorong dan kota Manokwari di Papua dengan periode waktu bulan Januari

2009-Mei 2013. Jenis data adalah data sekunder.

B. RUMUSAN MASALAH

Bagaimana model koreksi kesalahan (ECM, Error Correction Model) dan hubungan

jangka panjang dari data runtun waktu indeks harga konsumen (IHK) kota-kota di Papua

dengan metode Bootstrap dan metode Bayesian?

C. TUJUAN

1. Mendapatkan model koreksi kesalahan dan hubungan jangka panjang data runtun

waktu IHK kota-kota di Papua dengan metode Bootstrap.

2. Mendapatkan model koreksi kesalahan dan hubungan jangka panjang data runtun

waktu IHK kota-kota di Papua dengan metode Bayesian.

Hasil penelitian ini dituangkan dalam dua makalah sebagai berikut :

1. Model Koreksi Kesalahan Pada Data Runtun Waktu Indeks Harga Konsumen

Kota-Kota Di Papua. Dipublikasikan pada Jurnal de Cartesian (JcD) FMIPA Universitas

Sam Ratulangi, Manado, pada vol. 3 no. 1 tahun 2014.

2. Model Koreksi Kesalahan Dengan Metode Bayesian Pada Data Runtun Waktu Indeks

Harga Konsumen Kota-Kota Di Papua. Dipublikasikan pada Seminar Nasional Sains

dan Pendidikan Sains IX yang diselenggarakan Fakultas Sains dan Matematika,

Universitas Kristen Satya Wacana pada tanggal 21 Juni 2014.

Model Koreksi Kesalahan pada Data Runtun Waktu

Indeks Harga Konsumen Kota-kota di Papua

1

Mitha Febby R. Donggori, 2Adi Setiawan, 3Hanna Arini Parhusip 1

Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711, e-mail : mithafebby@gmail.com

2

Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711, e-mail : adi_setia_03@yahoo.com

3

Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711, e-mail : hannaariniparhusip@yahoo.co.id

Abstract

The Consumer Price Index is used as a measure of inflation. Consumer Price Index data is time series data are often not stationary, causing decision-making related to the data becomes invalid. Consumer Price Index has a different rate of change in each region, as well as for the city of Jayapura, Sorong and Manokwari in Papua. In this paper, Error Correction Model is used to correct short-term imbalances and establish a long term relationship models Consumer Price Index cities - cities in Papua. We use time period : January 2009 to May 2013. To test stationarity of the data, we use Phillips - Perron unit root test. Engle - Granger cointegration test is performed to determine whether there is a long-term relationship among cities in Papua. Furthermore, the model established by using the Error Correction Method by Domowitz - Elbadawi to correct short- term imbalances and establish long-term relationships model. The obtained Error Correction Models were compared to the results obtained with the bootstrap method .

.

Keywords : consumer price index, stationarity test, co integration test, error correction model, the bootstrap method

Abstrak

Indeks Harga Konsumen digunakan sebagai tolok ukur inflasi. Data Indeks Harga Konsumen merupakan data runtun waktu yang seringkali tidak stasioner sehingga menyebabkan pengambilan keputusan yang berkaitan dengan data menjadi tidak valid. Indeks Harga Konsumen memiliki tingkat perubahan yang berbeda di setiap daerah, begitu juga untuk kota Jayapura, Sorong dan Manokwari di Papua. Model koreksi kesalahan digunakan untuk mengoreksi ketidakseimbangan jangka pendek dan membentuk model hubungan jangka panjang Indeks Harga Konsumen kota – kota di Papua pada makalah ini. Periode waktu yang diamati adalah bulan Januari 2009 sampai dengan bulan Mei 2013. Uji stasioneritas data dengan uji akar unit Phillips-Perron, uji kointegrasi Engle-Granger yang dilakukan untuk mengetahui ada tidaknya hubungan jangka panjang di antara kota – kota tersebut. Lebih lanjut, dibentuk model koreksi kesalahan dengan metode Domowitz-Elbadawi untuk mengoreksi ketidakseimbangan jangka pendek dan membentuk model hubungan jangka panjang. Model koreksi kesalahan yang diperoleh dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dengan metode bootstrap.

Kata kunci: indeks harga konsumen, uji stasioneritas, uji kointegrasi, model koreksi kesalahan, metode

bootstrap

1. Pendahuluan

Indeks Harga Konsumen (IHK) adalah nomor indeks yang mengukur harga rata-rata dari barang dan jasa yang dikonsumsi oleh rumah tangga [1]. IHK dijadikan sebagai ukuran inflasi karena tercermin perkembangan berbagai harga barang dan jasa. Tingkat perubahan IHK berbeda untuk setiap daerah pada suatu waktu sehingga seringkali data runtun waktu IHK tidak stasioner sedangkan kondisi stasioner diperlukan untuk analisa lebih lanjut. Oleh karena itu penyelesaian masalah dengan menggunakan data IHK perlu memperhatikan sifat stasioneritas agar segala keputusan yang terkait dengan data menjadi valid. Adanya hubungan keseimbangan antara daerah yang satu dengan yang lain juga sangat diperlukan untuk melakukan peramalan, yaitu melalui uji kointegrasi. Apabila antar daerah terkointegrasi berarti antar daerah tersebut memiliki hubungan jangka panjang. Jika tingkat IHK pada satu daerah mengalami kenaikan maka tingkat IHK daerah lain yang terkointegrasi dengan daerah tersebut juga mengalami kenaikan diartikan kedua daerah tersebut memiliki keseimbangan. Model koreksi kesalahan (ECM - Error Correction Model)

digunakan dalam mengatasi permasalahan data yang tidak stasioner, regresi lancung, mengoreksi ketidakseimbangan jangka pendek dan membentuk model hubungan jangka panjang [2]. Model koreksi kesalahan dapat digunakan ketika data tidak stasioner tapi terkointegrasi.

Dalam makalah [3] telah dijelaskan mengenai analisis kointegrasi data IHK untuk mengetahui ada tidaknya hubungan jangka panjang. Data IHK yang digunakan dalam makalah Saputra adalah data IHK beberapa komoditas barang di kota-kota di Jawa Tengah, uji stasioneritas data dengan uji akar unit Dickey- Fuller dan uji kointegrasi dengan menggunakan uji Johansen. Pada makalah [4], telah dijelaskan perumusan model dinamik pertumbuhan ekonomi Indonesia mengunakan model koreksi kesalahan Engle-Granger. Dengan metode yang berbeda, menarik untuk menjelaskan model koreksi kesalahan data IHK setelah dilakukan analisis kointegrasi. Makalah ini menjelaskan tentang model koreksi kesalahan pada data runtun waktu Indeks Harga Konsumen kota Jayapura, Sorong dan Manokwari dalam periode bulan Januari 2009 – Mei 2013 pada umumnya dan dengan pendekatan bootstrap. Metode yang digunakan yaitu uji stasioneritas data dengan uji akar unit Phillips -Perron, uji kointegrasi dengan metode Engle-Granger dan model koreksi kesalahan dengan metode Domowitz-Elbadawi.

2. Dasar Teori

Suatu data hasil proses stokastik dikatakan stasioner jika rata-rata dan variansinya konstan sepanjang waktu dan kovarian antara dua runtun waktu hanya tergantung dari kelambanan antara dua periode waktu tersebut. Secara statistik dapat dinyatakan sebagai berikut :

Mean : E

 

Yt , (1)

Variansi : var

 

Yt E





Yt  





2, (2)

Kovariansi : k E





Yt



Yt_k 





(3)

dengan k kovariansi pada kelambanan (lag) k adalah kovariansi antara nilaiY dan t Ytk. Data runtun waktu stasioner jika rata – rata, variansi dan kovariansi pada setiap lag adalah tetap sama pada setiap waktu. Jika rata-rata maupun variansi data runtun waktu tidak konstan, berubah-ubah sepanjang waktu maka data dikatakan tidak stasioner [5] .

2.1 Uji Akar Unit (Unit Root Test)

Ide dasar uji stasioneritas data dengan uji akar unit dijelaskan melalui model berikut ini : 1 1 1     _{t t}  t Y e Y (4)

denganet adalah variabel gangguan yang bersifat random (stokastik) dengan rata -rata nol, varian konstan dan tidak saling berhubungan (nonautokorelasi). Jika nilai 1maka variabel random (stokastik) Y mempunyai akar unit. Jika data runtun waktu mempunyai akar unit maka dikatakan data bergerak secara random (random walk ) dan data tidak stasioner. Oleh karena itu jika dilakukan regresi Yt pada lag Yt1dan

didapatkan nilai 1 maka data dikatakan tidak stasioner.

Penelitian ini menggunakan uji akar unit Phillips -Perron (PP). Uji akar unit PP menggunakan metode statistik non-parametrik dalam menjelaskan adanya autokorelasi antara residual tanpa memasukkan variabel independen kelambanan diferensi [2] . Dengan persamaan uji sebagai berikut :

Random walk : Yt Yt1et, (5) Random walk dengan intercept : Yt 0Yt1et, (6) Random walk dengan intercept dan trend : Yt 01TYt1et, (7) dengan  1 dan T adalah tren waktu. Dalam setiap model, hipotesis nolnya adalah 0 yang berarti data runtun waktu mengandung akar unit atau data tidak stasioner. Sedangkan hipotesis alternatifnya 0 yang berarti data stasioner.

2.2 Uji Kointegrasi

Regresi yang menggunakan data runtun waktu yang tidak stasioner kemungkinan besar akan menghasilkan regresi lancung. Regresi lancung adalah situasi dimana hasil regresi menunjukkan koefisien regresi yang signifikan secara statistik dan nilai koefisien determinasi (R2) yang tinggi tapi antar variabel di dalam model tidak ada hubungan yang bermakna. Hal ini terjadi karena hubungan antara variabel dependen dan variabel independen hanya menunjukkan tren saja. Estimasi regresi mengalami regresi lancung jika nilai koefisien determinasi lebih tinggi dari nilai Durbin-Watson-nya (R2d) [5]. Berdasarkan definisi formal kointegrasi oleh Engle dan Granger dikatakan bahwa data runtun waktu Y dan t X berkointegrasi pada t

derajat d ,b dengan db0 dituliskan sebagai Xt,Yt ~CI

 

d,b jika kedua data runtun waktu Y dan t t

X berintegrasi pada derajat yang sama I(d) dan terdapat kombinasi linier dari variabel – variabel yang berintegrasi.

Misalkan dipunyai persamaan : t

t

t X e

Y ₀₁  (8)

dibentuk kombinasi linier dari kedua variabel sebagai berikut :

    t t t Y X e 0 1 (9)

Jika uji stasioneritas menunjukkan e (error term) stasioner atau t I(0) maka kedua variabel terkointegrasi yang berarti data runtun waktu mempunyai hubungan jangka panjang. Adapun persamaan uji stasioneritas residual sebagai berikut:

Dickey-Fuller : et 1et1,  (10) Augmented Dickey-Fuller :



       p i j t j t a e e 2 1 (11)

2.3 Model Koreksi Kesalahan

Berkointegrasinya antar variabel tidak menjamin adanya keseimbangan dalam jangka pendek. Dalam jangka pendek ada kemungkinan terjadi ketidakseimbangan (disequilibrium). Untuk mengatasinya dilakukan koreksi dengan model koreksi kesalahan. Dalam mekanisme yang dipopulerkan oleh Engle- Granger, koreksi perilaku jangka pendek dilakukan menggunakan kesalahan ketidakseimbangan (disequilibrium error) dalam jangka panjang [6].

Misalkan hubungan jangka panjang atau keseimbangan antara dua variabel Y dan _t X _t sebagai berikut : t

t X

Y 01 (12)

mempunyai kesalahan ketidakseimbangan (disequilibrium error) :

    t t t Y X EC 0 1   (13)

Jika Y dan t X dalam kondisi keseimbangan maka kesalahan ketidakseimbangan tersebut akan bernilai t nol. ECM Engle -Granger dijelaskan dalam persamaan :

t t t t X EC e Y      ₀ ₁ ₂ (14)

dengan ECt



Yt101Xt1



. Koefisien 1 adalah koefisien jangka pendek sedangkan 1 adalah

koefisien jangka panjang.

Salah satu model koreksi kesalahan yang berkembang setelah model koreksi kesalahan Engle-Granger muncul adalah model koreksi kesalahan dari Domowitz dan Elbadawi. Model koreksi kesalahan Domowitz- Elbadawi menjelaskan bahwa perubahan Y( Y ) dipengaruhi oleh perubahan variabel X( X ), variabel X periode sebelumnya



Xt1



dan variabel koreksi kesalahan periode sebelumnya. Bentuk standar ECM

Domowitz-Elbadawi adalah sebagai berikut : t t t t t g g X g X g EC Y        _{0 1 2 1 3} (15) dengan ECt_1Xt_1Yt_1

Menurut model ini, model koreksi kesalahan valid jika koefisien koreksi kesalahan bertanda positif dan secara statistik signifikan. Nilai koefisien kesalahan besarnya adalah 0g31 . Koefisien g dalam persamaan (15) merupakan analisis jangka pendek. Sedangkan koefisien jangka panjang pada kondisi keseimbangan (ketika YYt1 dan XXt1) adalah :



1



2 1 3



1 1



1 0 1             _{t t t t t t} t Y g g X X g X g X Y Y Y_th0 h1X_t (16) dengan h₀g₀ g₃ dan h1



g2 g3



g3

2.4 Model Koreksi Kesalahan Data Indeks Harga Konsumen Kota Jayapura dan Kota Manokwari

Dalam penulisan ini akan digunakan model koreksi kesalahan dengan data Indeks Harga Konsumen (IHK) kota-kota di Papua. Dianggap bahwa IHK kota Jayapura (JPR) dipengaruhi IHK kota Manokwari (MAN) dan dinyatakan dalam hubungan jangka panjang atau keseimbangan sebagai berikut :

t

t MAN

JPR* ₀ ₁ (17)

dengan JPR = nilai keseimbangan. Dalam sistem ekonomi jarang sekali terjadi keseimbangan sehingga * terdapat ketidakseimbangan sebesar :

t t t JPR MAN EC 0 1 *_{ }  (18)

Dengan mengikuti pendekatan yang dikembangkan Domowitz-Elbadawi dapat dirumuskan fungsi biaya kuadrat tunggal sebagai berikut :



























  _{ } 2 1 1 1 2 * 0 t t t t t t t t b JPR JPR b JPR JPR f Z Z C (19)

Komponen pertama persamaan (19) menggambarkan biaya ket idakseimbangan dan komponen kedua merupakan biaya penyesuaian. JPR merupakan Indeks Harga Konsumen kota Jayapura aktual periode t t,Zt merupakan vektor variabel yang mempengaruhi Indeks Harga Konsumen kota Jayapura dimana dalam kasus ini hanya dipengaruhi oleh Indeks Harga Konsumen kota Manokwari (MAN), b0, b1 adalah vektor baris yang

memberi bobot kepada masing-masing biaya, serta f merupakan sebuah vektor baris yang memberi bobot t kepada elemen Zt Zt_1

Meminimalisasi fungsi biaya pada persamaan (19) terhadap variabel JPR dan menyamakan dengan nol akan menghasilkan persamaan sebagai berikut :



*



1





1





1





0

0 JPRJPRt b JPRtJPRt  ft Zt Zt 

b



b0b1



JPRt b0JPRt*b1JPRt1b1ft



Zt Zt1



(20) Karena vektor z hanya terdiri dari variabel MAN sehingga persamaan (20) dapat dinyatakan sebagai berikut :





1 1 1



1



* 0 1 0b JPRtb JPRt b JPRt b ft MANt MANt b (21)

Persamaan (21) dapat dinyatakan sebagai berikut :



1



1 * ) 1 ( ) 1 (  _    _   _{t t t t t} t cJPR c JPR c f MAN MAN JPR (22) dengan

_

_

   1 0 0 b b b

c Melalui substitusi persamaan (17) ke dalam persamaan (22) didapatkan persamaan berikut : t t t t t d dMAN d MAN d JPR JPR  0 1  2 1 3 1 (23) dengan

Parameterisasi persamaan menjadi bentuk standar model koreksi kesalahan sebagai berikut :



t t



t

t t

t g g MAN g MAN g MAN JPR

JPR       

 _{0 1 2 1 3 1 1}

atau dapat ditulis menjadi :

       JPR_t g0 g1 MAN_t g2MAN_t1 g3EC_t1 _t (24) 3. Metode Penelitian

Data yang digunakan adalah data IHK bulanan kota Jayapura, Sorong dan Manokwari untuk bulan Januari 2009 sampai dengan Mei 2013 yang diperoleh pada website resmi Badan Pusat Statistik (BPS). Dipilihnya periode waktu tersebut karena pada periode waktu itu tidak terjadi kenaikan harga BBM. Selanjutnya dilakukan uji stasioneritas data dengan uji akar unit Phillips Perron, uji kointegrasi Engle -Granger, koreksi ketidakseimbangan jangka pendek dan membentuk model hubungan jangka panjang dengan model koreksi kesalahan Domowitz-Elbadawi untuk data IHK. Distribusi statistik dari model koreksi kesalahan dianalisis dengan pendekatan bootstrap.

4. Hasil Dan Pembahasan

Hasil uji akar unit terhadap data IHK menunjukkan bahwa data mempunyai unit root, yang berarti bahwa data tidak stasioner. Grafik garis data IHK kota Jayapura, Sorong dan Manokwari di Papua menunjukkan bahwa data IHK cenderung tidak stasioner karena nilainya tidak bergerak naik-turun pada sekitar nilai yang sama. Ketidakstasioneran data juga dapat dilihat dari hasil perbandingan nilai-p dan tingkat signifikansi 0.05. Pada Tabel 1 ditunjukkan nilai -p dari uji akar unit data IHK kota Jayapura, Sorong dan Manokwari menggunakan Eviews. Dari hasil uji akar unit, didapatkan nilai-p pada ketiga kota tersebut lebih 0.05 maka data IHK kota Jayapura, Sorong dan Manokwari dikatakan tidak stasioner. Dengan uji akar unit Phillips-Perron dengan menggunakan Eviews didapatkan IHK kota Jayapura, Sorong dan Manokwari menjadi stasioner pada diferensi pertama ( first difference).

Selanjutnya digunakan regresi untuk mendeteksi ada tidaknya regresi lancung. Hasil regresi ditampilkan pada Tabel 2. Hasil regresi kombinasi kota Jayapura (𝐽𝑃𝑅) - Manokwari (𝑀𝐴𝑁) memiliki nilai koefisien determinasi (R ) lebih kecil dari nilai Durbin Watson (2 d ) sedangkan kombinasi kota Jayapura - Sorong (𝑆𝑅𝐺) dan kota Manokwari-Sorong memiliki nilai R2 > d yang berarti merupakan regresi lancung. Hal ini kemungkinan disebabkan oleh karakteristik inflasi kota Sorong yang berbeda dari kota Jayapura dan kota

Manokwari sehingga perubahan IHK di kota Sorong cenderung tidak berpengaruh terhadap perubahan IHK di kedua kota tersebut.

Gambar 1. Grafik garis IHK Kota Jayapura, Sorong dan Manokwari bulan Januari 2009 sampai dengan Mei 2013

Tabel 1. Hasil Uji Akar Unit Phillips-Perron Kota Nilai-p Keterangan Jayapura 0.9770 Tidak stasioner Manokwari 0.9982 Tidak stasioner Sorong 0.9214 Tidak stasioner

Tabel 2. Hasil Regresi Kombinasi Kota Jayapura, Sorong dan Manokwari

Kota

Koefisien Std.error t-Statistik Nilai R-squared d

Dependen Independen JPR MAN 0.7729 0.0260 29.6342 0.945 1.032 JPR SRG 0.7233 0.0368 19.6099 0.882 0.616 MAN SRG 0.9338 0.0357 26.0993 0.930 0.581 MAN JPR 1.2227 0.0412 29.6342 0.945 1.020 SRG JPR 1.2206 0.0622 19.6099 0.882 0.598 SRG MAN 0.9962 0.0381 26.0993 0.930 0.576

Untuk mengetahui ada tidaknya hubungan jangka panjang antar variabel dilakukan uji kointegrasi Engle-Granger. Dengan menggunakan persamaan (8) dibentuk persamaan :

t

t MAN

JPR  0 1

dengan 𝐽𝑃𝑅 = IHK kota Jayapura dan 𝑀𝐴𝑁 = IHK kota Manokwari, sehingga diperoleh kombinasi linier dari variabel-variabelnya sebagai berikut :

    _{t t} t JPR MAN e 0 1

Selanjutnya dilakukan uji akar unit terhadap et dengan metode Augmented Dickey-Fuller (ADF). Dari uji akar unit ADF, didapatkan nilai-p dari e_t sebesar 0.0015 sehingga lebih kecil dari tingkat signifikansi 0.05. Hasil uji akar unit menunjukkan bahwa et tidak mengandung akar unit atau I(0) atau data stasioner maka kedua variabel dan terkointegrasi yang berarti mempunyai hubungan jangka panjang.

Estimasi persamaan dilakukan dengan IHK kota Jayapura (𝐽𝑃𝑅) sebagai variabel dependen

Y

dan IHK kota Manokwari (𝑀𝐴𝑁) sebagai variabel independen

X

. Dari uji akar unit ADF, didapatkan nilai- residual persamaan tersebut sebesar 0.0015, lebih kecil dari tingkat signifikansi 0.05. Hal ini berarti bahwa residual tidak mengandung akar unit atau data stasioner atau I(0) maka kedua variabel 𝐽𝑃𝑅 dan 𝑀𝐴𝑁

terkointegrasi yang berarti mempunyai hubungan jangka panjang.

Karena data IHK kota Jayapura dan kota Manokwari tidak stasioner dan terkointegrasi maka hubungan antara keduanya dapat dijelaskan dengan model koreksi kesalahan ( Error Correction Model ). Penelitian ini menggunakan model koreksi kesalahan untuk mengoreksi ketidakseimbangan jangka pendek IHK kota Jayapura dan kota Manokwari dan membentuk model hubungan jangka panjangnya. Model koreksi kesalahan dituliskan dalam persamaan (24). Hasil estimasi model koreksi kesalahan ditampilkan pada Tabel 3. Pada Tabel 3, variabel koreksi kesalahan (𝐸𝐶𝑇1) bertanda positif dan secara statistik signifikan yang berarti model koreksi kesalahan yang digunakan dalam penelitian ini valid. Perubahan MAN( MAN )

bertanda positif dan signifikan. Kelambanan 𝑀𝐴𝑁 bertanda negatif dan signifikan sehingga model koreksi kesalahan pada kasus ini dapat dituliskan dalam persamaan berikut :

100 110 120 130 140 150 160 170 Jan -09 Me i-09 Se p -09 Jan -10 Me i-10 Se p -10 Jan -11 Me i-11 Se p -11 Jan -12 Me i-12 Se p -12 Jan -13 Me i-13 JPR SRG MAN

2057 . 2 2797 . 0 4285 . 0 0914 . 0 3242 . 0 4392 . 6 2 1 1         _{ }  d R EC MAN MAN JPR_{t t t t}

Hubungan jangka panjang Indeks Harga Konsumen Jayapura pada kondisi keseimbangan ditampilkan dalam persamaan di bawah ini :

 

 _t

t MAN

JPR 14.8172 0.7866

Pada Tabel 3, nilai-p untuk konstanta ( C ) tidak signifikan sehingga dibentuk model koreksi kesalahan yang baru dengan menghilangkan konstanta. Model koreksi kesalahan yang baru dituliskan dalam persamaan berikut : 2973 . 2 2274 . 0 3182 . 0 0328 . 0 3059 . 0 2 1 1        _{ } d R EC MAN MAN JPR_{t t t t}

dan hubungan jangka panjangnya adalah :



 _t

t MAN

JPR 0.8969

Dari persamaan di atas, dalam jangka panjang jika terjadi kenaikan IHK kota Manokwari sebesar 1% maka akan menyebabkan peningkatan IHK kota Jayapura sebesar 0.8969%. Dengan kata lain kenaikan IHK kota Jayapura sedikit lebih lambat daripada kenaikan IHK kota Manokwari.

Tabel 3. Estimasi Model Koreksi Kesalahan dengan data Indeks Harga Konsumen Kota Jayapura dan kota Manokwari (dengan konstanta)

Variabel Koefisien Std. Error t-Statistic Nilai- p

C 6.4392 3.4490 1.8669 0.0680 D(MAN) 0.3242 0.1163 2.7857 0.0076 MAN(-1) -0.0914 0.0330 -2.7622 0.0081 ECT1 0.4285 0.1125 3.8090 0.0004

Tabel 4. Estimasi Model Koreksi Kesalahan dengan data Indeks Harga Konsumen Kota Jayapura dan kota Manokwari (tanpa konstanta)

Model koreksi kesalahan yang didapat dalam persamaan (24) dapat diestimasi dengan pendekatan bootstrap. Pada Tabel 5 ditampilkan distribusi statistik model koreksi kesalahan dengan pendekatan bootstrap. Nilai-p dari model koreksi kesalahan dengan pendekatan bootstrap lebih kecil dari nilai-p model koreksi kesalahan sebelumnya. Model koreksi kesalahan dengan pendekatan bootstrap sebagai berikut :

1 1 0.4270 0913 . 0 3217 . 0 4499 . 6    _  _  JPR_t MAN_t MAN_t EC_t

sehingga hubungan jangka panjangnya adalah :

 

 _t

t MAN

JPR 15.1051 0.7861

Tabel 5. Distribusi Statistik Model Koreksi Kesalahan dari Data IHK Kota Jayapura dan Kota Manokwari (dengan konstanta)

Variabel Koefisien Std. Error t-Statistik Nilai- p bootstrap

C 6.4499 3.3817 1.9072 0.0624 D(MAN) 0.3217 0.1123 2.8646 0.0061 MAN(-1) -0.0913 0.0329 -2.7750 0.0077 ECT1 0.4270 0.1116 3.8261 0.0003

Pada Tabel 5 dapat dilihat nilai-p untuk konstanta ( C ) tidak signifikan karena lebih besar dari tingkat signifikansi 0.05. Untuk itu, dibentuk model koreksi kesalahan yang baru yang menggunakan pendekatan bootstrap dengan menghilangkan konstanta. Distribusi statistik ECM tersebut ditampilkan pada Tabel 6.

Model koreksi kesalahan yang baru dituliskan dalam persamaan berikut :

Variabel Koefisien Std. Error t-Statistic Nilai- p

D(MAN) 0.3059 0.1188 2.5737 0.0131 MAN(-1) -0.0328 0.0108 -3.0324 0.0039 ECT1 0.3182 0.0981 3.2426 0.0021

1 1 0.3279 0337 . 0 3090 . 0       JPRt MANt MANt ECt

dan hubungan jangka panjangnya adalah : t

t MAN

JPR 0.8972

Dari persamaan di atas berarti bahwa dalam jangka panjang, kenaikan IHK kota Manokwari sebesar 1% akan menyebabkan kenaikan IHK kota Jayapura sebesar 0.8972%.

Tabel 6. Distribusi Statistik Model Koreksi Kesalahan dari Data IHK Kota Jayapura dan Kota Manokwari (tanpa konstanta)

Variabel Koefisien Std. Error t-Statistik Nilai- p bootstrap

D(MAN) 0.3090 0.1182 2.6136 0.0119 MAN(-1) -0.0337 0.0106 -3.1682 0.0026 ECT1 0.3279 0.0969 3.3843 0.0014

Gambar 2. Grafik hubungan jangka panjang Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua.

Model koreksi kesalahan IHK kota-kota di Papua untuk pasangan kota yang lain ditampilkan dalam Tabel 7 sedangkan dari hubungan jangka panjang ditampilkan pada Gambar 2. Pada Gambar 2, dapat dilihat bahwa dalam jangka panjang, IHK kota Jayapura lebih rendah dan cenderung lebih stabil dibanding IHK kota Manokwari dan kota Sorong. Jika IHK kota Jayapura mengalami kenaikan sebesar 1% akan menyebabkan

peningkatan IHK kota Sorong sebesar 1.1985% dan kenaikan IHK kota Manokwari sebesar 1% akan menyebabkan peningkatan IHK kota Sorong sebesar 1.0485%. Sehingga dalam jangka panjang, kenaikan IHK kota Sorong sedikit lebih cepat dibanding kota Jayapura dan Manokwari.

Tabel 7. Model Koreksi Kesalahan Indeks Harga Konsumen Kota-Kota di Papua (tanpa konstanta)

No. Model Koreksi Kesalahan Hubungan Jangka Panjang

1 1 1 0.3279 0337 . 0 3090 . 0   _  _ 

JPR_t MAN_t MAN_t EC_t JPR_t 0.8972MAN_t

2 1 1 0.2379 0316 . 0 3839 . 0   _  _  MAN_t JPR_t JPR_t EC_t t t JPR MAN 1.1328 3 1 1 0.2299 0054 . 0 3812 . 0   _  _  MAN_t SRG_t SRG_t EC_t MAN_t 0.9765SRG_t 4 1 1 0.1670 0081 . 0 3462 . 0   _  _ 

SRG_t MAN_t MAN_t EC_t SRG_t 1.0485MAN_t

5 1 1149 . 0 0225 . 0  _  SRG_t JPR_t EC_t SRG_t 1.1958JPR_t 6 1 1699 . 0 0205 . 0  _   JPR_t SRG_t EC_t JPR_t 0.8793SRG_t 5. Kesimpulan

Dalam makalah ini telah dijelaskan mengenai model koreksi kesalahan pada data runtun waktu Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Hasil penelitian menunjukkan bahwa perubahan Indeks Harga Konsumen di kota Jayapura dan kota Manokwari saling mempengaruhi sehingga hubungan antara keduanya dapat dijelaskan dengan model koreksi kesalahan (ECM). Dari analisis data IHK menggunakan model koreksi kesalahan dengan pendekatan bootstrap, didapatkan hasil bahwa dalam jangka panjang jika terjadi kenaikan IHK kota Manokwari sebesar 1% akan menyebabkan peningkatan IHK kota Jayapura sebesar 0.8972% dan jika terjadi kenaikan IHK kota Sorong sebesar 1% akan menyebabkan peningkatan IHK kota Manokwari sebesar 0.9675%. Dengan kata lain, tingkat kenaikan IHK pada kota-kota di Papua hampir sama tetapi kenaikan IHK kota Jayapura dan Manokwari sedikit lebih lambat daripada kota Sorong.

6. Daftar Pustaka

[1] Hidayat, Imam. 2010. Analisis Pengaruh Harga Bahan Bakar Minyak Eceran dan Industri terhadap Indeks Harga Konsumen di Indonesia. FE, Universitas Indonesia, Jakarta.

[2] Maruddani, D. A. I., Tarno, Anisah, R. A. 2008. Uji Stasioneritas Data Inflasi dengan Phillips-Perron Test. FMIPA, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

[3] Saputra, Mariani J., Setiawan, A., Mahatma, T. 2012. “Analisis Kointegrasi Data Runtun Waktu Indeks Harga Konsumen Beberapa Komoditas Barang Kota di Jawa Tengah”. Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni 2012.

[4] Maruddani, D. A. I., Wilandari, Y., Safitri, D. “Model Dinamik Pertumbuhan Ekonomi Indonesia Pasca Krisis Moneter : Suatu Pendekatan Koreksi Kesalahan (Model Koreksi Kesalahan)”. Jurnal Sains & Matematika 15 (1) : 19-24, Januari 2007.

[5] Gujarati, Damodar N. 2006. Dasar-dasar Ekonometrika. Jakarta : Erlangga.

MODEL KOREKSI KESALAHAN DENGAN METODE BAYESIAN

PADA DATA RUNTUN WAKTU INDEKS HARGA KONSUMEN

KOTA - KOTA DI PAPUA

Mitha Febby R. D 1, Adi Setiawan 2, Hanna Arini Parhusip 3

1, 2 , 3

Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga 50711

Email: mithafebby@gmail.com1, adi_setia_03@yahoo.com2, hannaariniparhusip@yahoo.co.id3

ABSTRAK

Melalui Model Koreksi Kesalahan (Error Correction Model – ECM) didapatkan bahwa Indeks Harga Konsumen di kota Jayapura, Sorong dan Manokwari saling berhubungan. Hubungan Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua merupakan hubungan linier dan membentuk garis regresi linier. Garis regresi tidak dapat ditentukan secara tepat sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier tersebut. Pada makalah ini, data yang digunakan adalah data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua dengan periode waktu Januari 2009 sampai dengan Mei 2013. Untuk mengestimasi parameter dapat digunakan metode Bayesian. Estimasi parameter dengan metode Bayesian digunakan untuk membentuk model koreksi kesalahan dari data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode Bayesian dibandingkan dengan model koreksi kesalahan yang diperoleh metode kuadrat terkecil dan metode bootstrap. Diperoleh bahwa kedua pendekatan tidak berbeda secara signifikan.

Kata-kata kunci: indeks harga konsumen, model koreksi kesalahan, regresi linier berganda, metode

bayesian

PENDAHULUAN

Indeks Harga Konsumen (IHK) merupakan nomor indeks yang mengukur harga rata-rata dari barang dan jasa yang dikonsumsi oleh rumah tangga. IHK digunakan sebagai tolok ukur inflasi. Tingkat perubahan IHK berbeda di setiap daerah, seperti halnya IHK di kota Jayapura, kota Sorong dan kota Manokwari di Papua. Meski memiliki tingkat perubahan yang berbeda, IHK kota-kota di Papua saling berhubungan. Pada studi Donggori dkk [1] telah dijelaskan tentang model koreksi kesalahan dengan metode bootstrap untuk data runtun waktu Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Berdasarkan uji akar unit didapatkan data IHK kota-kota di Papua tidak stasioner dan melalui uji kointegrasi diketahui bahwa data tersebut memiliki hubungan jangka panjang sehingga dapat dibentuk model koreksi kesalahannya. Model koreksi kesalahan yang didapat merupakan model regresi linier berganda tanpa intersep. Model koreksi kesalahan yang didapat selanjutnya digunakan untuk membentuk hubungan jangka panjang. Hubungan jangka panjang IHK kota-kota di Papua merupakan hubungan

linier karena apabila digambarkan dalam diagram pencar, sebaran data cenderung membentuk pola linier atau garis lurus. Garis lurus tersebut atau yang lebih sering disebut garis regresi tidak dapat ditentukan secara tepat sehingga diperlukan taksiran parameter

untuk model regresi linier. Untuk

mengestimasi parameter dapat digunakan metode Bayesian. Dalam Puspaningrum [2] telah dijelaskan mengenai penerapan metode Bayesian untuk mengestimasi parameter pada

model regresi sederhana dengan

menggunakan data biaya promosi dan jumlah penjualan motor pada perusahaan “S” dari bulan Januari 2005 sampai dengan Desember 2006. Makalah ini akan dijelaskan mengenai membentuk model koreksi kesalahan dari data Indeks Harga konsumen kota-kota di Papua periode waktu Januari 2009 sampai dengan Mei 2013 dengan estimasi

parameter-parameternya menggunakan metode

METODE

Regresi Linier Berganda

Analisis regresi linier berganda ialah suau alat analisis peramalan nilai pengaruh dua atau lebih variabel independen terhadap variabel dependen untuk membuktikan ada atau tidaknya hubungan fungsi atau hubungan kausal antara dua variabel atau lebih dengan satu variabel dependen [3]. Model ini dijelaskan dalam persamaan berikut :

         X  X _pX_p  Y _{0 1 1 2 2}  (1)

Dalam hubungannya dengan data hasil pengamatan, model regresi linier berganda dituliskan sebagai berikut :

i ip p i i i x x x y ₀_{1 1}_{2 2}  (2) untuk i1,2,,n dengan _i ~ N(0,2)[4]. Model ini dapat dituliskan dalam bentuk vektor dan matriks sebagai berikut :

, 2 1              n y y y  y                np n n p p x x x x x x x x x         2 1 2 22 21 1 12 11 1 1 1 X , 2 1

























 p     β 2 . 1              n     

Dengan menggunakan notasi tersebut, model dapat dituliskan kembali sebagai :

   X β ε y (3) ) 1 (n



n(p1)





(p1)1



(n1) Dalam hal ini, fungsi likelihood didefinisikan sebagai :    n i i X y p X y p 1 2 2 ) , , | ( ) , , | (           













n i T 1 2 2 ) ( ) ( 2 1 exp 2 1 Xβ y Xβ y

















_{  }   ) ( ) ( 2 1 exp ) ( 2 n/2 ₂ y Xβ T y Xβ  

sehingga fungsi likelihood menjadi : 2 / 2 2 ) ( ) , , | ( n py Xβ







       _{  } ) ( ) ( 2 1 exp 2 y Xβ y Xβ T  (4)

Pada makalah ini digunakan model regresi berganda tanpa intersep dengan tiga variabel bebas dan dirumuskan sebagai berikut :

i i i i i x x x y _{1 1} _{2 2} _{3 3}  (5) dengan i1,2,,n dan _i ~ N(0, ) sehingga mempunyai fungsi likelihood :

      _{  }   ) ( ) ( 2 1 exp ) ( ) , , | ( 2 2 / 2 2 Xβ y Xβ y β X y T n p    dengan X



x_1i x_2i x_3i



dan





  T 3 2 1, ,  β

Distribusi Prior Konjugat

Distribusi prior konjugat memiliki sifat jika dikombinasikan dengan fungsi likelihood

akan menghasilkan posterior dengan

distribusi yang sama dengan distribusi prior [5]. Dengan β



₁,₂,₃



T maka bentuk untuk prior : ) | ( ) ( ) , (β



2 p



2 p β



2 p  (6)

dengan 2 _{berdistribusi Invers}_Gamma

)

,

(

a

₀

b

₀ dengan a₀ v₀ 2 dan b₀ v₀s₀2 dengan v₀ 1 dan s₀2 1 Kepadatan prior ditulis sebagai berikut :

          ₂ 2 0 0 ) 1 2 / ( 2 2 2 exp ) ( ) ( 0    v s p v . (7)

Prior bersyarat β|



2 berdistribusi )

, (μ₀ 2Λ₀1

N .

Pada makalah ini,



3(0)



T

) 0 ( 2 ) 0 ( 1 0  , , μ





Λ I  0,0,0 , 0 T

dan memiliki kepadatan prior bersyarat : 2 / 2 2 ) ( ) | ( k p β







      _{  } ) ( ) ( 2 1 exp ₂ β μ₀ TΛ₀ β μ₀  (8) dengan (βμ₀)TΛ₀(βμ₀)                                                                 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 3 2 1 3 3 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 3 2 1             I T





                                   _ ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 3 2 1 3 3 ) 0 ( 3 3 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( 1 1 , ,             I 2 ) 0 ( 3 3 2 ) 0 ( 2 2 2 ) 0 ( 1 1 ) ( ) ( ) (

























sehingga kepadatan prior bersyarat menjadi :



(0) 2 1 1 2 2 / 2 2 ) ( 2 1 exp ) ( ) | (           k p β



    (



2



2 ) (



3



3 ) (9) Distribusi Posterior

Posterior dapat diperoleh dari hasil kali fungsi likelihood dan prior dan dapat dinyatakan sebagai [6]:



β,



2|y,X



p(y|X,β,



2)p(



2)p(β|



2) p 

 

     _{  }   ( ) ( ) 2 1 exp ₂ 2 2 Xβ y Xβ y T n  

 

 

 

₂ 2 2 0 1 2 2 exp 0 k a b                   _{  } ) ( ) ( 2 1 exp ₂ β μ₀ TΛ₀ β μ₀  10)

Posterior pada persamaan di atas dapat ditulis ulang sehingga mean posterior

μ

_n dari vektor

parameter β dapat dinyatakan dalam

estimator kuadrat terkecil βˆ dan mean prior 0

μ

dengan kekuatan dari prior ditunjukkan oleh matriks prior presisi Λ₀12[3]:

) ˆ ( ) (X X Λ₀ 1 X X Λ₀μ₀ μ  T   T _ n (11)

sehingga istilah kuadrat dalam eksponensial dapat diatur kembali sebagai bentuk kuadrat dalam

β



μ

_n : 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( μ Λ μ μ Λ X X μ y y μ β Λ X X μ β μ β Λ μ β Xβ y Xβ y T n T T n T n T T n T T             

Selanjutnya, posterior dapat dinyatakan sebagai distribusi normal dikalikan dengan distribusi Invers-Gamma :



  

 

     _           _{   }      2 0 0 0 0 0 1 2 ) ( 2 0 2 2 2 2 2 ) ( exp ) )( ( ) ( 2 1 exp , | , 0      μ Λ μ μ Λ X X μ y y μ β Λ X X μ β X y β T n T T n T v n n T T n k b p

maka posterior dapat diparameterisasi sebagai berikut :



β,2|y,X



p(β|2,y,X)p(2|y,X)

p  (12)

dengan kedua faktor sesuai dengan kepadatan

dari distribusi ( , ( 0) 1) 2 _Λ  X XT n N   dan

)

,

(

a

_n

b

_n

Gamma

Invers



dengan

parameternya diberikan oleh :





I Λ μ Λ y X Λ X X μ μ Λ μ μ Λ μ y y            0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 T T n n n T n T T n n b b v n a

Pada makalah ini digunakan

v

₀



1

, n52

dan XTX berdimensi 33 sehingga

Λ

₀ berdimensi 33 yaitu

I

3₃.

Markov Chain Monte Carlo (MCMC)

Untuk merancang rantai Markov dapat digunakan Gibbs Sampling dari distribusi posterior dengan p(



2|y,X)~IG(a_n,b_n)

dan p(β|



2,y,X)~N





_n,



2(XTXΛ₀)1



yang menghasilkan rantai Markov oleh sampling dari distribusi bersyarat.

Sebelumnya, disusun distribusi prior konjugat dengan p(2)~InversGamma(a₀,b₀) dengan

a

₀



v

₀

2

dan b₀ v₀s₀2 dengan

v

₀ dan s₀2 ditentukan secara subyektif dan



1



0 2 2 ) ( , ~ ) | (β N _n XTXΛ  p    dengan 0

μ

ditentukan secara subyektif dan prior presisi Λ₀12 dengan memilih nilai _2_. Jika 2 ~InversGamma(a_n,b_n) maka :

  _  ( ), 2 1 ~ , | ₀ 2 _{y X Invers Gamma n v}       ( ) 2 1 0 0 0 0 n n T n T T b y y μ Λ μ μ Λ μ (*) Jika ~ , , 22 21 12 11 3 2 1 3 2 1                                               N [7]

maka distribusi dari ₁ bersyarat pada ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ,  (**) :           _                      12 1 22 3 2 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 1 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 1| , ~ _        N dengan





 _           22 33 32 23 22 11 11, 12 12 13,















Apabila diberikan



2 dan vektor





T 3 2 1, ,  

untuk mendapatkan distribusi dari





T

3 2 1, ,

 dengan metode Gibbs sampler

digunakan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Dipilih nilai awal



2(0),



₁(0),



₂(0),



₃(0)

2. Sampel



2(1) dari p(2(1) |y,X) sehingga

X y, | ) 1 ( 2  memenuhi (*). Sampel



1(1) dari ) , , , , | (₁(1) 2(1) ₂(0) ₃(0) y X p sehingga ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 2 ) 1 ( 1 | , , ) 1 (     memenuhi (**).

3. Langkah 2 diulangi sebanyak B kali

sehingga didapatkan sampel dari

) , | (



2 y X

p dan p(β|



2,y,X) dalam

bentuk rantai Markov.

Model Koreksi Kesalahan

Model koreksi kesalahan adalah model yang memasukkan penyesuaian untuk melakukan koreksi bagi ketidakseimbangan. Model

koreksi kesalahan digunakan dalam

mengatasi permasalahan data yang tidak stasioner, regresi lancung, mengoreksi

ketidakseimbangan jangka pendek dan

membentuk model hubungan jangka panjang [8]. Model koreksi kesalahan dapat digunakan ketika data tidak stasioner tapi terkointegrasi. Dalam mekanisme yang dipopulerkan oleh Engle-Granger, koreksi perilaku jangka pendek dilakukan menggunakan kesalahan ketidakseimbangan (disequilibrium error) dalam jangka panjang [9].

Salah satu model koreksi kesalahan yang berkembang adalah model koreksi kesalahan dari Domowitz dan Elbadawi. Model koreksi kesalahan Domowitz-Elbadawi menjelaskan bahwa perubahan

Y

atau



Y

dipengaruhi oleh perubahan variabel

X

atau



X

, variabel

X

periode sebelumnya

 

X

t1 dan variabel koreksi kesalahan periode sebelumnya. Bentuk standar ECM Domowitz-Elbadawi adalah sebagai berikut :

t t t t t g g X g X g EC Y        _{0 1 2 1 3 1} (13) dengan

EC

_t1



X

_t1



Y

_t1.

Menurut model ini, model koreksi kesalahan valid jika koefisien koreksi kesalahan bertanda positif dan secara statistik signifikan. Nilai koefisien kesalahan besarnya adalah

0



g

₃



1

. Koefisien

g

dalam

persamaan merupakan analisis jangka

pendek. Sedangkan koefisien jangka panjang pada kondisi keseimbangan (ketika

Y

t



Y

t₁ dan

X

t



X

t₁) adalah :







1 1



3 1 2 1 1 0 1             t t t t t t t Y X g X g X X g g Y Y

Y

_t



h

₀



h

₁

X

_t (14) dengan

h

₀



g

₀

/ g

₃ dan h₁ 



g₂g₃



/ g₃. Pada makalah ini digunakan model koreksi kesalahan tanpa intersep sebagai berikut :

t t t t t g X g X g EC Y       _{1 2 1 3} (15) dengan

EC

t₁



X

t₁



Y

t₁.

Model Regresi Bayesian untuk Model Koreksi Kesalahan Data Indeks Harga Konsumen Kota-Kota di Papua

Pada makalah ini digunakan model regresi berganda tanpa intersep dengan tiga variabel bebas dan dirumuskan sebagai berikut :

i i i i i

x

x

x

y





_{1 1}





_{2 2}





_{3 3}





dengan i1,2,,n dan i ~N(0,2) sehingga model koreksi kesalahan untuk data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua dapat dituliskan sebagai berikut :

t t t t t

g

X

g

X

g

EC

Y















1 2 1 3 1

dan mempunyai fungsi likelihood :

     _{  }   ) ( ) ( 2 1 exp ) ( ) , , | ( 2 2 / 2 2 Xβ y Xβ y β X y T n p    dengan

y





Y

_t, X



X_t X_t1 EC_t1



dan





  T g g g1, 2, 3 β

Apabila dianggap bahwa IHK kota Jayapura )

(JPR dipengaruhi IHK kota Manokwari )

(MAN maka model koreksi kesalahan dapat

dituliskan kembali menjadi:

t t t t t

g

MAN

g

MAN

g

EC

JPR















1 2 1 3 1

mempunyai fungsi likelihood :

     _{  }   ) ( ) ( 2 1 exp ) ( ) , , | ( 2 2 / 2 2 Xβ y Xβ y β X y T n p    dengan

y





JPR

_t,



1 1



 MANt MANt ECt X dan





T g g g1, 2, 3  β

sehingga bentuk untuk prior :

) | ( ) ( ) , (β



2 p



2 pβ



2 p 

dengan  berdistribusi Invers-Gamma

)

,

(

a

₀

b

₀ dengan

a

₀



v

₀

2

dan b0 v0s02 dengan

v

₀



1

dan s02 1. Kepadatan prior ditulis sebagai berikut :

          2 2 0 0 ) 1 2 / ( 2 2 2 exp ) ( ) ( 0







v s p v .

Prior bersyarat β|



2 berdistribusi ) , ( 01 2 0  Λ μ  N dengan



g g g3(0)



T ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 0 , , μ



0,0,0



T,



Λ

₀



I

dan memiliki kepadatan

prior bersyarat :      _{  }   ) ( ) ( 2 1 exp ) ( ) | ( 0 0 0 2 2 / 2 2 μ β Λ μ β β T k p   

sehingga kepadatan prior bersyarat menjadi :





           2 ) 0 ( 3 3 2 ) 0 ( 2 2 2 ) 0 ( 1 1 2 2 / 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 exp ) ( ) | ( g g g g g g p k    β

Posterior diparameterisasi sebagai berikut :



β,



2|y,X



p(β|



2,y,X)p(



2|y,X)

p 

dengan kedua faktor sesuai dengan

kepadatan dari distribusi

) ) ( , ( 0 1 2 _Λ  X XT n N   dan Invers-Gamma

)

,

(

a

_n

b

_n dengan parameternya diberikan oleh:





I Λ μ Λ y X Λ X X μ μ Λ μ μ Λ μ y y            0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( 2 1 ) ( 2 1 T T n n n T n T T n n b b v n a

serta digunakan

v

₀



1

, n52 dan XTX

berdimensi 33 sehingga

Λ

₀ berdimensi

3

3 yaitu

I

3₃.

METODE PENELITIAN

Data yang digunakan adalah data IHK bulanan kota Jayapura, kota Sorong dan kota Manokwari pada bulan Januari 2009 sampai dengan bulan Mei 2013 yang diperoleh dari website resmi Badan Pusat Statistik (BPS). Dipilihnya periode waktu tersebut karena pada periode waktu itu tidak terjadi kenaikan harga BBM. Selanjutnya menerapkan metode Bayesian pada model koreksi kesalahan data

IHK kota-kota di Papua untuk memperoleh taksiran parameternya. Taksiran parameter

diperoleh melalui beberapa tahap

penghitungan, yaitu menentukan fungsi likelihood, distribusi prior konjugat, distribusi

posterior dan kemudian mengestimasi

parameter. Pengolahan data dilakukan setelah taksiran parameter diperoleh.

Langkah penyelesaian untuk mengestimasi parameter menggunakan model regresi linier Bayesian sebagai berikut :

1. Merancang rantai Markov dari distribusi posterior



β,



2|y,X



p(β|



2,y,X)p(



2|y,X) p  dengan p(



2 |y,X)~ Invers-Gamma

)

,

(

a

_n

b

_n dan p(β|



2,y,X)~ ) ) ( , ( 0 1 2 _Λ  X XT n N   yaitu Gibbs

Sampling yang menghasilkan 3 rantai Markov dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu untuk taksiran parameter

g

₁

,

g

₂

,

g

₃. 2. Taksiran

g

₁

,

g

₂

,

g

₃ diperoleh dengan

mencari nilai rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler setelah memotong nilai Gibbs sampler dari 500 iterasi pertama. 3. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut,

dihasilkan fungsi densitas untuk

g

₁

,

g

₂

,

g

₃ berdistribusi normal.

Untuk melakukan perhitungan, digunakan alat bantu program WinBUGS 1.4.3.

PENGEMBANGAN MODEL KOREKSI KESALAHAN

Apabila dianggap bahwa IHK kota Jayapura (JPR) berpengaruh terhadap IHK kota Manokwari (MAN) dan IHK kota Sorong (SRG), melalui uji akar unit didapatkan data JPR, MAN dan SRG tidak stasioner namun stasioner pada tingkat diferensi pertama. Dengan demikian JPR, MAN dan SRG terkointegrasi yang berarti terdapat hubungan jangka panjang antara ketiganya.

Uji kointegrasi dapat dilakukan dengan membentuk persamaan : t t t t MAN SRG e JPR₀₁ ₂  (16)

selanjutnya persamaan ditulis kembali dalam bentuk sebagai berikut :

t t

t

t JPR MAN SRG

e  ₀₁ ₂ (17)

variabel gangguan et dalam hal ini

merupakan kombinasi linier. Jika variabel gangguan et stasioner atau I(0) maka antar

variabelnya terkointegrasi yang berarti mempunyai hubungan jangka panjang. Dari uji kointegrasi didapatkan nilai-p residual sebesar 0,0017, lebih kecil dari tingkat signifikansi 0,05 sehingga antar variabel terbukti terkointegrasi yang berarti terdapat hubungan jangka panjang antar IHK ketiga kota tersebut. Selanjutnya dibentuk model koreksi kesalahan dengan metode Domowitz-Elbadawi sebagai berikut :

1 3 2 1 0       JPR_t g g MAN_t g SRG_t g MAN_t t t t g EC e SRG g    _{4 1 5 1} (18) dengan , 1 1 1 1      t  t  t t MAN SRG JPR EC

JPR= IHK kota Jayapura, MAN = IHK kota Manokwari dan SRG = IHK kota Sorong. Hubungan jangka panjang dari model pada persamaan (18) : t t t h h MAN h SRG JPR  0 1  2 (19) dengan h0 g0 g5,h1



g3g5



g5, dan







  _{4 5 5} 2 g g g h

Tabel 1. Hasil estimasi model koreksi kesalahan

data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p

C 6.4047 3.5223 1.8183 0.0755 D(MAN) 0.3645 0.1307 2.7885 0.0077 D(SRG) -0.1197 0.1350 -0.8866 0.3799 MAN(-1) -0.0667 0.0890 -0.7501 0.4570 SRG(-1) -0.4415 0.1414 -3.1217 0.0031 ECT07 0.4192 0.1145 3.6612 0.0006

Pada Tabel 1, koefisien koreksi kesalahan (

07

ECT ) bertanda positif dan secara statistik signifikan. Nilai-p untuk variabel D(SRG)

dan MAN(1) lebih besar dari tingkat signifikansi 0.05 sehingga kedua variabel tersebut secara statistik dikatakan tidak signifikan. Maka model koreksi kesalahan dikoreksi kembali dan didapatkan hasil estimasi model koreksi kesalahan tersebut yang ditampilkan pada Tabel 2.

Tabel 2. Hasil estimasi model koreksi kesalahan

data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p

D(MAN) 0.3167 0.1203 2.6330 0.0113 SRG(-1) -0.3397 0.1074 -3.1634 0.0027 ECT07 0.3089 0.0970 3.1821 0.0025

Model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :

1 1 3089 . 0 3397 . 0 3167 . 0        t t t t EC SRG MAN JPR

dan memiliki hubungan jangka panjang :  

 t

t SRG

JPR 0.0998

Dengan cara yang sama, dilakukan estimasi untuk model koreksi kesalahan data IHK kota Manokwari terhadap IHK kota Jayapura dan Sorong. Hasil estimasi ditampilkan pada

Tabel 3. Sedangkan hasil estimasi untuk

model koreksi kesalahan data IHK kota Sorong terhadap IHK kota Jayapura dan kota Manokwari ditampilkan pada Tabel 4. Model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :

1 1 2241 . 0 2301 . 0 3785 . 0        t t t t EC JPR SRG MAN

dan memiliki hubungan jangka panjang :  

 _t

t SRG

MAN 0.0269

Sedangkan model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :

1 1 1730 . 0 1637 . 0 3466 . 0        t t t t EC JPR MAN SRG

dan memiliki hubungan jangka panjang : 

 t

t JPR

SRG 0.0541

Tabel 3. Hasil estimasi model koreksi kesalahan

data IHK kota Manokwari terhadap IHK kota Jayapura dan kota Sorong

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p

D(SRG) 0.3785 0.1391 2.7206 0.0090 JPR(-1) -0.2301 0.0885 -2.5985 0.0123 ECT08 0.2241 0.0852 2.6286 0.0114

Tabel 4. Hasil estimasi model koreksi kesalahan

data IHK kota Sorong terhadap IHK kota Manokwari dan kota Jayapura

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p

D(MAN) 0.3466 0.1274 2.7206 0.0090 JPR(-1) -0.1637 0.0806 -2.0311 0.0477 ECT09 0.1730 0.0835 2.0710 0.0436 HASIL DAN DISKUSI

Pada Gambar 1, 2, dan 3 ditampilkan diagram pencar data Indeks Harga Konsumen (IHK) kota Jayapura, Sorong dan Manokwari. Dari ketiga gambar tersebut, terlihat sebaran data cenderung membentuk pola linier sehingga dapat dikatakan hubungan diantara variabel bebas dan variabel terikatnya merupakan hubungan linier. Karena data memiliki hubungan linier maka selanjutnya

dapat ditentukan persamaan regresi

Gambar 1. Diagram pencar data IHK kota Jayapura pada sumbu y terhadap data IHK kota Manokwari pada sumbu x (kiri) dan data IHK kota Manokwari pada sumbu y terhadap data IHK kota Jayapura pada sumbu x

(kanan)

Gambar 2. Diagram pencar data IHK kota Manokwari pada sumbu y terhadap data IHK kota Sorong pada sumbu x (kiri) dan data IHK kota Sorong pada pada sumbu y terhadap data IHK kota Manokwari pada sumbu x (kanan)

Gambar 3. Diagram pencar data IHK kota Sorong pada sumbu y terhadap data IHK kota Jayapura pada sumbu x (kiri) dan data IHK kota Jayapura pada sumbu y terhadap data IHK kota Sorong pada sumbu x (kanan)

Model koreksi kesalahan yang digunakan dalam makalah ini adalah model regresi berganda tanpa intersep dan dinyatakan dalam persamaan berikut :

t t t t t

g

MAN

g

MAN

g

EC

JPR















_{1 2 1 3 1}

untuk t1,2,,n dengan JPRIHK kota Jayapura, MANIHK kota Manokwari dan



EC variabel koreksi kesalahan.

Dengan asumsi parameter berdistribusi

normal, untuk mendapatkan estimasi

parameter

g

ˆ





g

₁

,

g

₂

,

g

₃



dengan metode Bayesian, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. Dipilih nilai awal g1(0)0, 0 ) 0 ( 2  g dan g3(0) 0. Agar tidak mengacaukan hasil estimasi, dilakukan pemotongan (burn in) 500 iterasi pertama

(yang terdapat nilai awal) sehingga

didapatkan hasil estimasi pada Tabel 5. Rantai Markov untuk taksiran parameter

2 1

, g

g

dan

g

₃ ditampilkan dalam Gambar 4.

Gambar 4 menunjukkan nilai-nilai Gibbs

sampler sebanyak 4500 nilai yang

membentuk rantai Markov. Dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler tersebut, maka diperoleh hasil taksiran parameter

g

₁

, g

₂ dan

g

₃ yaitu berturut-turut sebesar 0.3006, -0.0313 dan 0.3039. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut didapatkan fungsi densitas pada Gambar 5.

Tabel 5. Distribusi statistik model koreksi

kesalahan data IHK kota Jayapura dan IHK kota Manokwari dengan metode Bayesian.

node g1 g2 g3 mean 0.3006 -0.0313 0.3039 Sd 0.1211 0.0114 0.1035 MC error 0.0037 0.0012 0.0111 2.5% 0.0582 -0.0554 0.1192 median 0.3013 -0.0301 0.2938 97.5% 0.5364 -0.0109 0.5208 start 501 501 501 sample 4500 4500 4500