MODEL KOREKSI KESALAHAN DENGAN METODE BAYESIAN
PADA DATA RUNTUN WAKTU INDEKS HARGA KONSUMEN
KOTA - KOTA DI PAPUA
Mitha Febby R. D 1, Adi Setiawan 2, Hanna Arini Parhusip 3
1, 2 , 3
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga 50711 Email: mithafebby@gmail.com1,adi_setia_03@yahoo.com2,hannaariniparhusip@yahoo.co.id3
ABSTRAK
Melalui Model Koreksi Kesalahan (Error Correction Model– ECM) didapatkan bahwa Indeks Harga Konsumen di kota Jayapura, Sorong dan Manokwari saling berhubungan. Hubungan Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua merupakan hubungan linier dan membentuk garis regresi linier. Garis regresi tidak dapat ditentukan secara tepat sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier tersebut. Pada makalah ini, data yang digunakan adalah data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua dengan periode waktu Januari 2009 sampai dengan Mei 2013. Untuk mengestimasi parameter dapat digunakan metode Bayesian. Estimasi parameter dengan metode Bayesian digunakan untuk membentuk model koreksi kesalahan dari data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode Bayesian dibandingkan dengan model koreksi kesalahan yang diperoleh metode kuadrat terkecil dan metode bootstrap. Diperoleh bahwa kedua pendekatan tidak berbeda secara signifikan.
Kata-kata kunci: indeks harga konsumen, model koreksi kesalahan, regresi linier berganda, metode bayesian
PENDAHULUAN
Indeks Harga Konsumen (IHK) merupakan nomor indeks yang mengukur harga rata-rata dari barang dan jasa yang dikonsumsi oleh rumah tangga. IHK digunakan sebagai tolok ukur inflasi. Tingkat perubahan IHK berbeda di setiap daerah, seperti halnya IHK di kota Jayapura, kota Sorong dan kota Manokwari di Papua. Meski memiliki tingkat perubahan yang berbeda, IHK kota-kota di Papua saling berhubungan. Pada studi Donggori dkk [1] telah dijelaskan tentang model koreksi kesalahan dengan metode bootstrap untuk data runtun waktu Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Berdasarkan uji akar unit didapatkan data IHK kota-kota di Papua tidak stasioner dan melalui uji kointegrasi diketahui bahwa data tersebut memiliki hubungan jangka panjang sehingga dapat dibentuk model koreksi kesalahannya. Model koreksi kesalahan yang didapat merupakan model regresi linier berganda tanpa intersep. Model koreksi kesalahan yang didapat selanjutnya digunakan untuk membentuk hubungan jangka panjang. Hubungan jangka panjang IHK kota-kota di Papua merupakan hubungan linier karena apabila digambarkan dalam
diagram pencar, sebaran data cenderung membentuk pola linier atau garis lurus. Garis lurus tersebut atau yang lebih sering disebut garis regresi tidak dapat ditentukan secara tepat sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier. Untuk mengestimasi parameter dapat digunakan metode Bayesian. Dalam Puspaningrum [2] telah dijelaskan mengenai penerapan metode Bayesian untuk mengestimasi parameter pada model regresi sederhana dengan menggunakan data biaya promosi dan jumlah penjualan motor pada perusahaan “S” dari bulan Januari 2005 sampai dengan Desember 2006. Makalah ini akan dijelaskan mengenai membentuk model koreksi kesalahan dari data Indeks Harga konsumen kota-kota di Papua periode waktu Januari 2009 sampai dengan Mei 2013 dengan estimasi parameter-parameternya menggunakan metode Bayesian.
METODE
Regresi Linier Berganda
dependen untuk membuktikan ada atau tidaknya hubungan fungsi atau hubungan kausal antara dua variabel atau lebih dengan satu variabel dependen [3]. Model ini dijelaskan dalam persamaan berikut :
p pX
X X
Y 0 1 1 2 2 (1)
Dalam hubungannya dengan data hasil pengamatan, model regresi linier berganda dituliskan sebagai berikut :
i vektor dan matriks sebagai berikut :
,
Dengan menggunakan notasi tersebut, model dapat dituliskan kembali sebagai :
ε Dalam hal ini, fungsi likelihood didefinisikan sebagai :
sehingga fungsi likelihood menjadi :
2 berganda tanpa intersep dengan tiga variabel bebas dan dirumuskan sebagai berikut :
i sehingga mempunyai fungsi likelihood :
)
dengan
i i
i x x
x1 2 3
X danβ 1, 2, 3 T
Distribusi Prior Konjugat
Distribusi prior konjugat memiliki sifat jika dikombinasikan dengan fungsi likelihood akan menghasilkan posterior dengan distribusi yang sama dengan distribusi prior
[5]. Dengan β 1, 2, 3 T maka bentuk
dengan 2 berdistribusi
Gamma
s Kepadatan prior ditulis sebagai berikut : memiliki kepadatan prior bersyarat :
2
sehingga kepadatan prior bersyarat menjadi :
2
Distribusi Posterior
)
Posterior pada persamaan di atas dapat ditulis ulang sehingga mean posterior μn dari vektor parameter β dapat dinyatakan dalam
sehingga istilah kuadrat dalam eksponensial dapat diatur kembali sebagai bentuk kuadrat dalam β μn :
Selanjutnya, posterior dapat dinyatakan sebagai distribusi normal dikalikan dengan distribusi Invers-Gamma :
2
maka posterior dapat diparameterisasi sebagai berikut :
dengan kedua faktor sesuai dengan kepadatan dari distribusi N( n, 2(XTX Λ0) 1) dan
) , (an bn Gamma
Invers dengan parameternya
diberikan oleh :
I
Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Untuk merancang rantai Markov dapat digunakan Gibbs Sampling dari distribusi posterior dengan p( 2|y,X)~IG(an,bn)
g menghasilkan rantai Markov oleh sampling dari distribusi bersyarat.
Sebelumnya, disusun distribusi prior konjugat
dengan ( )~ ( 0, 0)
s ditentukan secara subyektif dan
1
dengan
22 maka untuk mendapatkan distribusi dari
T 3 2
1, , dengan metode Gibbs sampler
digunakan langkah-langkah sebagai berikut :
Sampel 1(1)
sehingga didapatkan sampel dari )
, | ( 2 y X
p dan p(β| 2,y,X) dalam bentuk rantai Markov.
Model Koreksi Kesalahan
Model koreksi kesalahan adalah model yang memasukkan penyesuaian untuk melakukan koreksi bagi ketidakseimbangan. Model koreksi kesalahan digunakan dalam mengatasi permasalahan data yang tidak stasioner, regresi lancung, mengoreksi ketidakseimbangan jangka pendek dan membentuk model hubungan jangka panjang [8]. Model koreksi kesalahan dapat digunakan ketika data tidak stasioner tapi terkointegrasi. Dalam mekanisme yang dipopulerkan oleh Engle-Granger, koreksi perilaku jangka pendek dilakukan menggunakan kesalahan ketidakseimbangan (disequilibrium error) dalam jangka panjang [9].
Salah satu model koreksi kesalahan yang berkembang adalah model koreksi kesalahan dari Domowitz dan Elbadawi. Model koreksi kesalahan Domowitz-Elbadawi menjelaskan bahwa perubahan Y atau Y dipengaruhi oleh perubahan variabel Xatau X , variabel X periode sebelumnya Xt 1 dan variabel koreksi kesalahan periode sebelumnya. Bentuk standar ECM Domowitz-Elbadawi adalah sebagai berikut :
t
Menurut model ini, model koreksi kesalahan valid jika koefisien koreksi kesalahan bertanda positif dan secara statistik signifikan. Nilai koefisien kesalahan besarnya adalah 0 g3 1 . Koefisien g dalam persamaan merupakan analisis jangka pendek. Sedangkan koefisien jangka panjang pada kondisi keseimbangan (ketika Yt Yt 1 kesalahan tanpa intersep sebagai berikut :
t
Model Regresi Bayesian untuk Model Koreksi Kesalahan Data Indeks Harga Konsumen Kota-Kota di Papua
Pada makalah ini digunakan model regresi berganda tanpa intersep dengan tiga variabel bebas dan dirumuskan sebagai berikut :
i
i sehingga model koreksi
kesalahan untuk data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua dapat dituliskan sebagai berikut :
t
dan mempunyai fungsi likelihood :
) kesalahan dapat dituliskan kembali menjadi:
mempunyai fungsi likelihood :
)
β sehingga bentuk untuk prior :
)
dengan 2 berdistribusi Invers-Gamma ) ditulis sebagai berikut :
Prior bersyarat β| 2 berdistribusi
bersyarat :
)
sehingga kepadatan prior bersyarat menjadi :
2
Posterior diparameterisasi sebagai berikut : )
kepadatan dari distribusi
) diberikan oleh:
I
METODE PENELITIAN
Data yang digunakan adalah data IHK bulanan kota Jayapura, kota Sorong dan kota Manokwari pada bulan Januari 2009 sampai dengan bulan Mei 2013 yang diperoleh dari website resmi Badan Pusat Statistik (BPS). Dipilihnya periode waktu tersebut karena pada periode waktu itu tidak terjadi kenaikan harga BBM. Selanjutnya menerapkan metode Bayesian pada model koreksi kesalahan data IHK kota-kota di Papua untuk memperoleh taksiran parameternya. Taksiran parameter diperoleh melalui beberapa tahap penghitungan, yaitu menentukan fungsi likelihood, distribusi prior konjugat, distribusi posterior dan kemudian mengestimasi parameter. Pengolahan data dilakukan setelah taksiran parameter diperoleh.
Langkah penyelesaian untuk mengestimasi parameter menggunakan model regresi linier Bayesian sebagai berikut :
1. Merancang rantai Markov dari distribusi posterior
)
yaitu Gibbs Sampling yang menghasilkan 3 rantai Markov dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu untuk taksiran parameter
3 Gibbs sampler setelah memotong nilai Gibbs sampler dari 500 iterasi pertama. 3. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut,
dihasilkan fungsi densitas untuk g1,g2,g3 berdistribusi normal.
Untuk melakukan perhitungan, digunakan alat bantu program WinBUGS 1.4.3.
PENGEMBANGAN MODEL KOREKSI KESALAHAN
Apabila dianggap bahwa IHK kota Jayapura (JPR) berpengaruh terhadap IHK kota Manokwari (MAN) dan IHK kota Sorong (SRG), melalui uji akar unit didapatkan data JPR, MAN dan SRG tidak stasioner namun stasioner pada tingkat diferensi pertama. Dengan demikian JPR, MAN dan SRG terkointegrasi yang berarti terdapat hubungan jangka panjang antara ketiganya.
Uji kointegrasi dapat dilakukan dengan membentuk persamaan :
t t t
t MAN SRG e
JPR 0 1 2 (16)
selanjutnya persamaan ditulis kembali dalam bentuk sebagai berikut :
t merupakan kombinasi linier. Jika variabel gangguan et stasioner atau I(0) maka antar variabelnya terkointegrasi yang berarti mempunyai hubungan jangka panjang.
variabel terbukti terkointegrasi yang berarti terdapat hubungan jangka panjang antar IHK ketiga kota tersebut. Selanjutnya dibentuk model koreksi kesalahan dengan metode Domowitz-Elbadawi sebagai berikut :
1 3
2 1
0 t t t
t g g MAN g SRG g MAN
JPR
t t
t g EC e
SRG
g4 1 5 1 (18)
dengan
,
1 1
1
1 t t t
t MAN SRG JPR
EC
JPR= IHK kota Jayapura, MAN = IHK kota Manokwari dan SRG = IHK kota Sorong. Hubungan jangka panjang dari model pada persamaan (18) :
t t
t h h MAN h SRG
JPR 0 1 2 (19)
dengan h0 g0 g5,h1 g3 g5 g5, dan
5 5 4
2 g g g
h
Tabel 1. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota
Manokwari dan kota Sorong
Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p
C 6.4047 3.5223 1.8183 0.0755
D(MAN) 0.3645 0.1307 2.7885 0.0077 D(SRG) -0.1197 0.1350 -0.8866 0.3799 MAN(-1) -0.0667 0.0890 -0.7501 0.4570 SRG(-1) -0.4415 0.1414 -3.1217 0.0031 ECT07 0.4192 0.1145 3.6612 0.0006
Pada Tabel 1, koefisien koreksi kesalahan (ECT07) bertanda positif dan secara statistik signifikan. Nilai-p untuk variabel D(SRG) dan MAN( 1) lebih besar dari tingkat signifikansi 0.05 sehingga kedua variabel tersebut secara statistik dikatakan tidak signifikan. Maka model koreksi kesalahan dikoreksi kembali dan didapatkan hasil estimasi model koreksi kesalahan tersebut yang ditampilkan pada Tabel 2.
Tabel 2. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota
Manokwari dan kota Sorong
Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p
D(MAN) 0.3167 0.1203 2.6330 0.0113 SRG(-1) -0.3397 0.1074 -3.1634 0.0027 ECT07 0.3089 0.0970 3.1821 0.0025
Model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :
1
1
3089 . 0
3397 . 0 3167
. 0
t
t t
t
EC
SRG MAN
JPR
dan memiliki hubungan jangka panjang :
t
t SRG
JPR 0.0998
Dengan cara yang sama, dilakukan estimasi untuk model koreksi kesalahan data IHK kota Manokwari terhadap IHK kota Jayapura dan Sorong. Hasil estimasi ditampilkan pada Tabel 3. Sedangkan hasil estimasi untuk model koreksi kesalahan data IHK kota Sorong terhadap IHK kota Jayapura dan kota Manokwari ditampilkan pada Tabel 4. Model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :
1
1
2241 . 0
2301 . 0 3785
. 0
t
t t
t
EC
JPR SRG
MAN
dan memiliki hubungan jangka panjang :
t
t SRG
MAN 0.0269
Sedangkan model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :
1
1
1730 . 0
1637 . 0 3466
. 0
t
t t
t
EC
JPR MAN
SRG
dan memiliki hubungan jangka panjang :
t
t JPR
SRG 0.0541
Tabel 3. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Manokwari terhadap IHK kota
Jayapura dan kota Sorong
Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p
D(SRG) 0.3785 0.1391 2.7206 0.0090 JPR(-1) -0.2301 0.0885 -2.5985 0.0123 ECT08 0.2241 0.0852 2.6286 0.0114
Tabel 4. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Sorong terhadap IHK kota
Manokwari dan kota Jayapura Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p
D(MAN) 0.3466 0.1274 2.7206 0.0090 JPR(-1) -0.1637 0.0806 -2.0311 0.0477 ECT09 0.1730 0.0835 2.0710 0.0436
HASIL DAN DISKUSI
Gambar 1. Diagram pencar data IHK kota Jayapura pada sumbu y terhadap data IHK kota Manokwari pada sumbu x (kiri) dan data IHK kota Manokwari pada sumbu y terhadap data IHK kota Jayapura pada sumbu x
(kanan)
Gambar 2. Diagram pencar data IHK kota Manokwari pada sumbu y terhadap data IHK kota Sorong pada sumbu
x (kiri) dan data IHK kota Sorong pada pada sumbu y terhadap data IHK kota Manokwari pada sumbu x (kanan)
Gambar 3. Diagram pencar data IHK kota Sorong pada sumbu y terhadap data IHK kota Jayapura pada sumbu x
(kiri) dan data IHK kota Jayapura pada sumbu y terhadap data IHK kota Sorong pada sumbu x (kanan)
Model koreksi kesalahan yang digunakan dalam makalah ini adalah model regresi berganda tanpa intersep dan dinyatakan dalam persamaan berikut :
t t t
t
t g MAN g MAN g EC
JPR 1 2 1 3 1
untuk t 1,2,,n dengan JPR IHK kota Jayapura, MAN IHK kota Manokwari dan
EC variabel koreksi kesalahan.
Dengan asumsi parameter berdistribusi normal, untuk mendapatkan estimasi parameter gˆ g1,g2,g3 dengan metode Bayesian, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. Dipilih nilai awal g1(0) 0, g2(0) 0 dan g3(0) 0 . Agar tidak mengacaukan hasil estimasi, dilakukan pemotongan (burn in) 500 iterasi pertama (yang terdapat nilai awal) sehingga didapatkan hasil estimasi pada Tabel 5. Rantai Markov untuk taksiran parameter
2 1,g
g dang3 ditampilkan dalam Gambar 4. Gambar 4 menunjukkan nilai-nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 nilai yang membentuk rantai Markov. Dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler tersebut, maka diperoleh hasil taksiran parameter g1,g2 dan g3 yaitu berturut-turut sebesar 0.3006, -0.0313 dan 0.3039. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut didapatkan fungsi densitas pada Gambar 5.
Tabel 5. Distribusi statistik model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura dan IHK kota
Manokwari dengan metode Bayesian.
node g1 g2 g3
mean 0.3006 -0.0313 0.3039
Sd 0.1211 0.0114 0.1035
MC error 0.0037 0.0012 0.0111
2.5% 0.0582 -0.0554 0.1192
median 0.3013 -0.0301 0.2938
97.5% 0.5364 -0.0109 0.5208
start 501 501 501
Gambar 4. Rantai Markov untuk taksiran parameter g1, g2, dan g3.
Gambar 5. Fungsi densitas parameter g1, g2,
g3.
Dengan parameter g1,g2 dan g3 yang
diperoleh menggunakan metode Bayesian, dibentuk model koreksi kesalahan yang baru. Model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian untuk data IHK kota Jayapura dan data IHK kota Manokwari dituliskan dalam persamaan berikut :
. 3039 . 0
0313 . 0 3006
. 0
1
1
t
t t
t
EC
MAN MAN
JPR
Dari persamaan di atas, dibentuk hubungan jangka panjangnya untuk data IHK kota Jayapura dan data IHK kota Manokwari sebagai berikut :
. 8970
.
0 t
t MAN
JPR
Dari persamaan di atas berarti bahwa dalam jangka panjang, kenaikan IHK kota Manokwari sebesar 1% akan menyebabkan kenaikan IHK kota Jayapura sebesar 0.8970%. Dengan cara yang sama, dilakukan
Tabel 6. Model Koreksi Kesalahan IHK Kota-Kota di Papua dengan metode Bayesian
No. Model Koreksi Kesalahan Hubungan Jangka
Panjang
1
1 1 0.3039
0313 . 0 3006
.
0 t t t
t MAN MAN EC
JPR JPRt 0.8970MANt
2 MANt 0.3735 JPRt 0.0285 JPRt 1 0.2111ECt1 MANt 1.1350JPRt
3
1 1 0.2271
0053 . 0 3751
.
0 t t t
t SRG SRG EC
MAN MANt 0.9766 SRGt
4
1 1 0.1650
0080 . 0 3437
.
0 t t t
t MAN MAN EC
SRG SRGt 1.0484 MANt
5
1
0973 . 0 0197
.
0 t t
t JPR EC
SRG SRGt 1.2024 JPRt
6
1
1715 . 0 0208
.
0 t t
t SRG EC
JPR JPRt 0.8787SRGt
Tabel 7. Hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode kuadarat terkecil, metode Bootstrap dan metode Bayesian.
Metode Kuadrat Terkecil Metode Bootstrap Metode Bayesian
t
t MAN
JPR 0.8966 JPRt 0.8972 MANt JPRt 0.8970 MANt
t
t SRG
JPR 0.8788 JPRt 0.8793SRGt JPRt 0.8787 SRGt
t
t JPR
MAN 1.1335 MANt 1.1328 JPRt MANt 1.1350 JPRt
t
t SRG
MAN 0.9763 MANt 0.9765 SRGt MANt 0.9766 SRGt
t
t MAN
SRG 1.0484 SRGt 1.0485 MANt SRGt 1.0484 MANt
t
t JPR
SRG 1.1993 SRGt 1.1958JPRt SRGt 1.2024 JPRt
Gambar 6. Diagram pencar hubungan jangka panjang IHK kota Jayapura dan Manokwari (kiri: model 1, kanan : model 2)
Gambar 7. Diagram pencar hubungan jangka panjang IHK kota Sorong dan Manokwari (kiri : model 3, kanan : model 4)
model 6) Perbandingan hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, dengan metode Bootstrap dan metode kuadrat terkecil ditampilkan pada Tabel 7. Dari Tabel 7 dapat dilihat bahwa hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, dengan metode kuadrat terkecil dan dengan metode Bootstrap memiliki koefisien yang relatif hampir sama.
Diagram pencar dan persamaan garis regresi hubungan jangka panjang pada Tabel 6 ditampilkan pada Gambar 6, 7, dan 8. Sebaran data cenderung berada di sekitar garis lurus dan membentuk hubungan linier.
KESIMPULAN
Dalam makalah ini telah dijelaskan mengenai model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian pada data runtun waktu Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Hasil penelitian menunjukkan bahwa estimasi parameter dengan metode Bayesian menghasilkan rata-rata posterior yang hampir sama dengan estimasi parameter dengan metode bootstrap. Dari analisis data IHK menggunakan model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, didapatkan hasil bahwa dalam jangka panjang jika terjadi kenaikan IHK kota Sorong sebesar 1% akan menyebabkan peningkatan IHK kota Jayapura sebesar 0.8787% dan peningkatan IHK kota Manokwari sebesar 0.9766%. Dengan kata lain, tingkat kenaikan IHK pada kota-kota di Papua hampir sama tetapi kenaikan IHK kota Jayapura dan Manokwari sedikit lebih lambat daripada kota Sorong. Model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode Bayesian memiliki nilai-nilai parameter yang hampir sama dengan model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode bootstrap sehingga hubungan jangka panjang yang dibentuk dari model koreksi kesalahan yang diperoleh dari kedua metode tersebut memiliki koefisien yang hampir sama.
DAFTAR PUSTAKA
[1] M. F. R. Donggori, A. Setiawan, dan H. A. Parhusip, “Model Koreksi Kesalahan pada Data Runtun Waktu Indeks Harga Konsumen Kota-kota di Papua,” Jurnal de Cartesian, vol.3, no. 1, pp. 81-88, 2014.
[2] D. Puspaningrum, Desy. Penerapan Metode Bayesian untuk Mengestimasi Parameter pada Model Regresi Linier Sederhana. FSM, Universitas Kristen Satya Wacana, 2008.
[3] V. Mutiarani, A. Setiawan, dan H. A. Parhusip, “Estimasi Parameter dan Interval Kredibel dengan Model Regresi Linier Berganda Bayesian”, Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan 2012 (SENDIKMAD 2012) Universitas Ahmad Dahlan, 2012.
[4] S. Evans, Bayesian Regression Analysis. Faculty of The College of Arts and Sciences, University of Louisville, 2012.
[5] D. B. Rowe, Multivariate Bayesian Statistics : Models for Source Separation and Signal Unmixing. CRC press, 2002.
[6] T. Lancaster, An Introduction to Modern Bayesian Econometrics. 2003.
[7] R. Jennings, M. Wakeman-Linn, and Xin Zhao, Multivariate Normal Distribution,
2010. [Online] Available :
http://www.colorado.edu/economics/morey/7 818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal /Multivariate%20Normal%20Distribution_W akeman-LinnJenningsZhao.pdf.
