RESIDUATION OF MATRICES OVER DIOIDS

(1)

Dipresentasikan pada Seminar Nasional Himpunan Peminat Aljabar ( HPA) di UIN Syarif Hidayatullah Jakarta pada tanggal 27 Maret 2010

RESIDUATION OF MATRICES OVER DIOIDS

Musthofa

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

Ari Suparwanto

Jurusan matematika FMIPA UGM

Abstract

A solution of Ax = b in maxplus linear system can be determined by observing the greatest subsolution x•, where - x•=At ⊗ (-b). If A x•_{= b, then x}• _{is a solution.}

The structure of dioid (D,⊕, ⊗ ) is more general than maxplus. In order to solve

Ax=b in dioid, we use residuation of matrices over diod. The purposes here are to

establish the formula of the residual of A, and then use it to determine whether

Ax=b has a solution or not.

Key Words: Dioids, Maxplus , Residuated

A. PENDAHULUAN

Sistem persamaan linear maxplus Ax = b, mempunyai subsolusi terbesar x• dengan - x•=At ⊗ (-b). (1) Jika x• memenuhi persamaan A x• = b , maka x• merupakan solusi, jika tidak maka dengan menggunakan residuasi dapat ditunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai solusi. Sebagai contoh akan ditentukan solusi persamaan

1 2 5 1 7 2 4 7 x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ₌⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Subsolusi terbesar dari persamaan di atas adalah

5 2 7 2 5 2 ( ) 1 4 7 6 3 3 t x• A b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡− − ⊕ − ⎤ ⎡ ⎤− − = ⊗ − =_⎢ _{⎥ ⎢ ⎥ ⎢}= _{⎥ ⎢ ⎥}= − − ⊕ − −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦. Jadi subsolusi terbesarnya adalah 2 3

x• ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Selanjutnya dapat dicek

5 1 2 5 2 1 3 7 4 7 2 4 3 2 2 4 3 4 7 7 ⊗ ⊕ ⊗ ⊕ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ _{⊗ ⊕ ⊗} ⎥ ⎢ _⊕ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦. Jadi 2 3 x• ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦merupakan solusi.

Metode mencari subsolusi di atas secara umum tidak dapat digunakan untuk menentukan solusi dari sistem persamaan linear atas struktur yang lebih umum, misalnya dioid. Misalnya pada contoh di atas, jika operasi max diganti dengan operasi min, maka x•=[ 2 3]t_bukan merupakan solusi. Untuk mencari solusinya digunakan konsep residuasi.

Residuasi bertujuan untuk menyelesaikan persamaan f(x) = b, dengan f suatu pemetaan pada himpunan yang dilengkapi relasi urutan [1]. Karena pada diod selalu dapat dilengkapi dengan relasi urutan, maka konsep residuasi dapat diterapkan pada pemetaan dari suatu dioid

(2)

ke dioid, khususnya pemetaan linear yang direpresentasikan oleh suatu matriks. Akhirnya dengan menentukan residual dari matriks A, dapat ditunjukkan apakah suatu persamaan linear

A x = b atas dioid mempunyai solusi atau tidak mempunyai solusi.

B.PEMBAHASAN 1. Dioid

Berikut ini diberikan definisi dioid seperti dalam [2]. Definisi 1.

Dioid adalah himpunan (D, ⊕, ⊗ ) yang memenuhi aksioma:

1. ∀ a,b,c ∈ D , ( a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ ( b ⊕ c ) (⊕ bersifat assosiatif)

2. ∀ a,b ∈ D, a ⊕ b = b ⊕a (⊕ bersifat komutatif)

3. ∀ a,b,c ∈ D , ( a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ ( b ⊗ c ) (⊗ bersifat assosiatif) 4. ∀ a,b,c ∈ D , ( a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊕ b) ⊗ ( b ⊕ c) (⊗ distributif terhadap ⊗) c ⊗ ( a ⊕ b ) = ( c ⊗ a ) ⊕ ( c ⊗ b)

5. ∃ε∈ D : ∀ a ∈ D , a ⊕ε = ε⊕ a = a (elemen netral ⊕)

6. ∀ a ∈ D, a ⊗ε = ε⊗ a = ε

7. ∃ e ∈ D : ∀ a ∈ D, a ⊗ e = e ⊗ a = a (identitas ⊗ )

8. ∀ a ∈ D, a ⊕ a = a ( ⊕ bersifat komutatif)

Selanjutnya operasi pertama (⊕) disebut operasi penjumlahan dan operasi kedua (⊗) disebut operasi perkalian.

Contoh :

1. Himpunan R ∪ {+ ∞} , dengan operasi ⊕ = min dan ⊗ = + yang disebut Rmin

merupakan dioid dengan elemen netral {+∞} dan elemen identitas 0.

2. Himpunan R ∪ {- ∞} dengan operasi ⊕ = max dan ⊗ = + yang disebut Rmax

merupakan dioid dengan elemen netral {- ∞} dan elemen identitas 0.

3. Himpunan R ∪ {- ∞} ∪ {+ ∞} dengan operasi ⊕ = max dan ⊗ = min merupakan dioid dengan elemen netral {- ∞} dan elemen identitas {+ ∞}.

4. Himpunan N, dengan operasi ⊕ = + dan ⊗ = × merupakan dioid dengan elemen netral 0 dan elemen identitas 1.

Pada dioid ( D, ⊕, ⊗ ) dapat didefinisikan relasi urutan ≤ , misalnya a ≤ b ⇔ a ⊕ b = b. Dengan kata lain dioid D merupakan himpunan terurut. Selanjutnya seperti dalam [3], diberikan definisi tentang diod lengkap.

Definisi 2.

2.1.Suatu himpunan terurut (D,≤) dikatakan lengkap jika setiap A ⊂ D mempunyai suprimum.

(3)

( )

2.1.1 , , ( ) a A a A A D d D a d a d ∈ ∈ ∀ ⊆ ∀ ∈ ⊕ ⊗ = ⊕ ⊗

( )

2.1.1 , , ( ) a A a A A D d D d a d a ∈ ∈ ∀ ⊆ ∀ ∈ ⊗ ⊕ = ⊕ ⊗

Selanjutnya jika a , b ∈ D, suprimum a dan b ditulis sup{a,b}= a ∨ b dan infimum

a dan b, ditulis inf{a,b}= a ∧ b. Contoh :

R ∪ {-∞} dengan operasi ( max, +) yang disebut dengan Rmax bukan merupakan dioid lengkap, sedangkan (R∪ −∞ ∪ +∞ ={ } { }) Rmax dengan operasi (max, +) merupakan dioid

lengkap. 2. Residuasi Definisi 3.

Misalkan D dan E masing-masing himpunan terurut. Suatu pemetaan f: D → E dikatakan

isotone jika x ≤ y berakibat f(x) ≤ f(y) .

Contoh :

f:Rmax → Rmax dengan f(x) = x ⊗ 2 merupakan pemetaan isoton.

Definisi 4.

Suatu pemetaan f dari himpunan terurut D ke himpunan terurut E dikatakan residuated jika f

isotone dan ∀ b ∈ E, {x ∈ D / f(x) ≤ b} mempunyai elemen maksimal, dinotasikan dengan

f#(b). Suatu pemetaan isotone f#: E → D disebut residual dari f.

Jadi f#(b) merupakan subsolusi terbesar dari persamaan f(x) = b. Hubungan antara f dan f# sebagaimana dibahas dalam [2] adalah:

f ο f#_{≤ I (2a)} f# ο f ≥ I (2b) Contoh :

1.Pemetaan f:Rmax → Rmax dengan f(x) = x ⊗ 2 residuated dengan residual f#(y) = y ⊗ (-2)

2.Pemetaan gn: (N,+,⋅) → (N,+,⋅) dengan gn (x) = n x residuated dengan residual n( )

y g y n ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥_{⎣ ⎦} Definisi 5.

Suatu pemetaan f pada dioid lengkap D dikatakan lower semicontinuous ( lsc) jika untuk

setiap himpunan X ⊂ D berlaku

( )

x X x X

f x f x

∈ ∈

⊕ = ⊕ .

Sebagaimana dalam [2], salah satu sifat pemetaan pada dioid lengkap, yaitu f residuated jika dan hanya jika f lsc dan f(ε)=ε. Demikian juga telah diperoleh sifat sifat :

#

f fD Df = f (3a)

# # #

(4)

# # #

(f gD ) =g D f (3c)

# # #

(f ⊕g) = f ∧g (3d)

3. Matriks atas Dioid

Dari dioid D dapat dibentuk matriks berukuran n × n dengan entri-entrinya elemen-elemen dioid D. Operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan seperti pada operasi penjumlahan dan perkalian matriks dengan menyesuaikan penjumlahan elemen sebagai ⊕ dan perkalian elemen sebagai ⊗.

Contoh : 2 3 1 1 dan 1 2 1 A B ε ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_⎢ _⎥ =_⎢ _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦. 2 3 1 1 2 1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 2 1 A B ε ε ⊕ ⊕ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⊕ =_⎢ _{⎥ ⎢}⊕ _{⎥ ⎢}= _{⎥ ⎢}= _⎥ ⊕ ⊕ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 3 1 1 2 1 3 2 2 1 3 1 5 4 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 A B ε ε ε ε ⊗ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⊗ =_⎢ _{⎥ ⎢} _{⎥ ⎢}= _{⎥ ⎢}= _⎥ ⊗ ⊕ ⊗ ⊗ ⊕ ⊗ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Himpunan semua matriks berukuran n × n dengan operasi seperti di atas merupakan dioid yang dinotasikan dengan Dn × n.

Matriks ... ... ... ... dan ... ... e e e e ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε

ε

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

# # berturut-turut merupakan elemen netral dan elemen

satuan pada Dn × n.

4. Penyelesaian Sistem Ax = b

Berikut ini suatu sifat yang digunakan sebagai acuan dalam menyelesaikan persamaan

Ax = b sebagaimana yang dibahas dalam [4].

Lemma 1.

Jika D dioid lengkap, maka pemetaan isotone f : D → D dengan f(x)=a ⊗ x dan f(x) = x ⊗ a residuated.

Bukti :

Akan ditunjukkan f lsc dan f(ε) = ε.

Karena D lengkap maka

( )

( ) (

)

( )

x X x X x X x X

f x a x a x f x

∈ ∈ ∈ ∈

⊕ = ⊗ ⊕ = ⊕ ⊗ = ⊕ . Jadi f lsc. Demikian pula diperoleh f(ε) = a ⊗ ε = ε. Terbukti f residuated.

Untuk menentukan solusi persamaan A x = b, dengan A ∈ Dn×n_{, akan ditinjau terlebih} dahulu untuk kasus n =3, yaitu A ∈ D3 × 3_{. Misal D dan E adalah dioid lengkap. Diperhatikan}

(5)

1 1 2 2 3 3 : x b A x x b b x b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥} _{⎢ ⎥}= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 6 11 1 12 2 13 3 21 1 22 2 23 3 31 1 32 2 33 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x A x A x Ax A x A x A x A x A x A x ⊕ ⊕ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ ⊕ ⊕ _⎥ ⎢ ⊕ ⊕ ⎥ ⎣ ⎦ (4)

Untuk menentukan solusi sistem persamaan Ax = b, seperti dalam sistem linear max plus, dicari dulu subsolusi terbesar dari persamaan Ax ≤ b, yaitu ditentukan dulu A#(b). Menurut persamaan (4) di atas, bentuk Ax dapat dipandang sebagai

Ax = A1(x) ⊕ A2(x) ⊕A3(x) (5) dengan 13 3 11 1 12 2 1 22 2 2 23 3 3 21 1 33 3 31 1 32 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A x A x A x A x A x A x A x A x A x A x A x A x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_⎢ _⎥ =_⎢ _⎥ _{= ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Berdasarkan lemma 1 maka, maka Aij(x) residuated. Sehingga diperoleh

# # # 31 3 11 1 21 2 # # # # # # 1 22 2 2 32 3 3 12 1 # # # 33 3 13 1 23 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A b A b A b A b A b A b A b A b A b A b A b A b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (6)

Menurut persamaan (3d) dan (5) akhirnya diperoleh:

# # # 11 1 21 2 31 3 # # # # 12 1 22 2 32 3 # # # 13 1 23 2 33 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A b A b A b A b A b A b A b A b A b A b ⎡ ∧ ∧ ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ∧ ∧ ⎥ ⎢ ⎥ ∧ ∧ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (7)

Selanjutnya A#(b) ditulis sebagai (A\b). Sehingga (A\b) merupakan subsolusi terbesar dari persamaan A x = b . Analog dengan cara di atas, untuk A ∈ Dn × n_{, subsolusi terbesar} persamaan Ax = b ditunjukkan dalam teorema berikut:

Teorema 1.

Jika D dioid lengkap, A ∈ Dn × n , dan b ∈ Dn × 1 maka

1 ( \ )_i n ( _ji\ )_j j A b A b = =

∧

(8) Bukti :

(6)

11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) n n n n n n nn n A x A x A x A x A x A x Ax A x A x A x ⊕ ⊕ ⊕ ⎡ ⎤ ⎢ _⊕ _{⊕ ⊕} ⎥ ⎢ ⎥ =_⎢ _⎥ ⎢ _⊕ _{⊕ ⊕} ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Dibentuk : 12 2 1 11 1 23 3 22 2 21 1 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ; ... ; ( ) ... ... ... ( ) ( ) ( ) n n n nn n n nn n A x A x A x A x A x A x A x A x A x A x A x A − x− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Diperoleh : 1( ) 2( ) ... n( ) Ax A x= ⊕A x ⊕ ⊕A x Sehingga : ( \ )A b _i =(A b₁_i\ ) (₁ ∧ A₂_i\ ) ... (b₂ ∧ ∧ A_ni\ )b_n j=1 = (

∧

n A b_ji\ )_j Ada atau tidaknya solusi persamaan Ax = b dibahas dalam teorema berikut: Teorema 2.

Sistem persamaan linear Ax = b pada diod lengkap mempunyai solusi jika dan hanya jika A(A\b) = b (9) Bukti :

(⇐)

Diketahui A(A\b) = b. Jadi sistem persamaan linear Ax = b mempunyai penyelesaian. (⇒ )

Misalkan sistem persamaan linear Ax = b mempunyai solusi x•. diperoleh A x• = b, sehingga

A x• ≤ b. Karena (A\b) merupakan elemen maksimal dalam { x/ Ax ≤ b ) maka x• ≤ ( A\b). Diperoleh

A x• ≤ A ( A\b )

⇔ b = A x• ≤ A ( A\b) ………(*) Selanjutnya menurut (2a)

A (A\b) ≤ b………...(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh A ( A\b) = b.

5. Contoh - contoh Penyelesaian Ax = b.

1. Akan dicari solusi persamaan 1 2 5 1 2 2 4 2 x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ₌⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦atas Rmax = (R ∪ {-∞}, max,+).

1 11 1 21 2

( \ )A b =(A \ ) (b ∧ A \ ) (2 5) (2 2)b = − ∧ − = − ∧ = − 3 0 3

2 12 1 22 2

(7)

Diperoleh ( \ ) 3 2 A y _{= ⎢ ⎥}⎡ ⎤− − ⎣ ⎦. Dapat dicek 5 1 3 2 ( \ ) 2 4 2 2 A A b =⎡_⎢ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤_{⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥}− = =b − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Jadi persamaan tersebut mempunyai solusi.

2. Akan dicari solusi persamaan 1 2 5 1 2 2 4 2 x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ₌⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦atas Rmin = ( R ∪ {+∞}, min,+).

1 11 1 21 2 ( \ )A b =(A \ ) (b ∧ A \ ) (2 5) (2 2)b = − ∧ − = − ∧ = 3 0 0 2 12 1 22 2 ( \ )A b =(A \ ) (b ∧ A \ ) (2 1) (2 4) 1b = − ∧ − = ∧ − = 2 1 Diperoleh ( \ ) 0 1 A y _{= ⎢ ⎥}⎡ ⎤ ⎣ ⎦. Dapat dicek 5 1 0 2 ( \ ) 2 4 1 2 A A b =⎡_⎢ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤_{⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥}= =b ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Jadi persamaan tersebut mempunyai solusi.

3. Akan dicari solusi persamaan 1 2 5 1 2 2 4 2 x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦atas D = (R ∪ {±∞}, max,min). 1 11 1 21 2 ( \ )A b =(A \ ) (b ∧ A \ ) min(5, ) 2 min(2, ) 2 2 2 2b = x ≤ ∧ x ≤ = ∧ = 2 11 1 21 2 ( \ )A b =(A \ ) (b ∧ A \ ) min(1, ) 2 min(4, ) 2b = x ≤ ∧ x ≤ = +∞ ∧ = 2 2 Diperoleh ( \ ) 2 2 A y _{= ⎢ ⎥}⎡ ⎤ ⎣ ⎦. Dapat dicek 5 1 2 2 ( \ ) 2 4 2 2 A A b =⎡_⎢ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤_{⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥}= =b ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Jadi persamaan tersebut mempunyai solusi.

4. Akan dicari solusi persamaan 1 2 5 1 2 2 4 2 x x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ₌⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦atas ( N, + , ⋅ ). 1 11 1 21 2 2 2 ( \ ) ( \ ) ( \ ) 0 1 0 5 2 A b = A b ∧ A b =⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎢ ⎥ ⎢ ⎥}∧ = ∧ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 12 1 22 2 2 2 ( \ ) ( \ ) ( \ ) 2 0 0 1 4 A b = A b ∧ A b =⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎢ ⎥ ⎢ ⎥}∧ = ∧ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Diperoleh ( \ ) 0 0 A y _{= ⎢ ⎥}⎡ ⎤ ⎣ ⎦. Ternyata 5 1 0 0 2 2 4 0 0 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ≠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦. Jadi persamaan tersebut tidak mempunyai solusi.

(8)

C. KESIMPULAN

Jika D dioid lengkap, maka sistem persamaan Ax = b, dengan A ∈ Dn ×n _{dan b ∈ D}n × 1 mempunyai subsolusi terbesar berbentuk

1 ( \ )i n ( ji\ )j j A b A b = =

∧

Berdasarkan pembahasan di atas, dapat dilihat bahwa dalam hal dioid D adalah : 1. \max maka 1 ( \ )A b i =min(_{≤ ≤}_{j n} −Aji+bj) 2. \min, maka 1 ( \ )_i max( _ji _j) j n A b A b ≤ ≤ = − + 3. (R ∪ {±∞}, max,min), maka 1 ( \ )_i min(max ( , ))_ji _j j n A b A b ≤ ≤ = 4. ( N, + , ⋅ ), maka 1 ( \ ) min i i _{j n} ji b A b A ≤ ≤ ⎢ ⎥ = _⎢ _⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Selanjutnya persamaan Ax = b akan mempunyai solusi jika ( A\b) merupakan solusi, yaitu jika A ( A\b) = b. Jika A (A\b) ≠ b maka persamaan tersebut tidak mempunyai solusi.

D. SARAN

Dalam makalah ini belum dibahas bagaimana jika A ∈ D m×n_{dengan m ≠ n. Sehingga} perlu dikaji bagaimana bentuk solusi dari persamaan Ax = b untuk A ∈ D m×n_{. Demikian pula} dapat diteliti lebih lanjut untuk persamaan yang berbentuk Ax = By atas dioid.

E. DAFTAR PUSTAKA

[1] G.Cohen, S.Gaubert, J.P Quadrat. “Max-plus algebra and system theory: where we are and where to go now”. IFAC Conference on System and control. 1998.

[2] F.Baceeli, G.Cohen, G.J.Olsder, J.P.Quadrat. Synchronization and Linearity. New York:John Wiley and Sons, 2001.

[3] M.Gondran, M.Minoux. Graph, Dioids, and Semirings.New York: Springer, 2008

[4] S.Gaubert,Max Plus.”Methods and applications of (max,+) linear algebra”,Rapport de