METODE POLINOMIAL TAYLOR DAN ESTIMASI ERROR UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM CAMPURAN. Ramadhani Syaputri 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT

METODE POLINOMIAL TAYLOR DAN ESTIMASI ERROR UNTUK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM CAMPURAN

Ramadhani Syaputri1∗, Zulkarnain2

1 _{Mahasiswa Program Studi S1 Matematika} 2 _{Dosen Jurusan Matematika}

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya, Pekanbaru 28293, Indonesia

∗_{ramadhani.syaputri@yahoo.com}

ABSTRACT

This article discusses the application of the Taylor polynomial method to obtain an approximated solution of mixed Volterra-Fredholm integral equation. The process begins by expanding the terms on mixed Volterra-Fredholm integral equation using Taylor polynomials that led to a system of linear equations. Approximated solution of mixed Volterra-Fredholm integral equation is obtained by solving this system analytically. At the end of the discussion an example is given to test the accuracy of the proposed method.

Keywords: Taylor polynomial method, Volterra-Fredholm integral equations, error estimation

ABSTRAK

Artikel ini membahas penerapan metode polinomial Taylor untuk memperoleh solusi aproksimasi persamaan integral Volterra-Fredholm campuran. Prosesnya dimulai dengan mengekspansikan suku-suku pada persamaan integral Volterra-Fredholm campuran menggunakan polinomial Taylor yang kemudian menghasilkan sistem persamaan linear. Solusi aproksimasi persamaan integral Volterra-Fredholm campuran diperoleh dengan menyelesaikan sistem ini secara analitik. Diakhir pembahasan diberikan sebuah contoh untuk menguji keakuratan metode yang diusulkan.

Kata kunci: metode polinomial Taylor, persamaan integral Volterra-Fredholm, estimasi eror.

1. PENDAHULUAN

Persamaan integral sering terlibat dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, dan permasalahan biologi. Dalam beberapa tahun terakhir, beberapa metode untuk memecahkan persamaan integral telah dipelajari secara numerik. Pendekatan

ekspansi untuk memecahkan persamaan integral yang disampaikan oleh Kanwal dan Liu [1], dan metode ini adalah metode yang sukses dan efektif untuk memecahkan permasalahan yang lebih besar. Metode ini telah digunakan untuk memecahkan persamaan integral Volterra [4], persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear [8], dan persamaan integro-diferensial Volterra-Fredholm dan linear orde tinggi [7, 3].

Berdasarkan bentuknya persamaan integral memiliki beberapa jenis, yaitu persamaan integral Volterra, persamaan integral Fredholm, persamaan integral Volterra-Fredholm dan lainnya. Pada artikel ini akan dibahas persamaan integral Volterra-Fredholm campuran [6, h. 33-34], yang berbentuk

A(x)y(x) + B(x)y(h(x)) =f (x) + λ1 Z h(x) a k1(x, t)y(t)dt + λ2 Z b a k2(x, t)y(h(t))dt, (1)

dimana fungsi k1(x, t), k2(x, t), dan f (x) diketahui mempunyai turunan ke-N pada

interval [a, b], dan a, b konstan, fungsi A(x), B(x), dan h(x) diketahui, dan a ≤ h(x) < ∞, y(x) fungsi kontinu yang akan ditentukan, λi ∈ R (i = 1, 2). Bila h(x)

polinomial orde pertama, persamaan (1) direduksi ke fungsi persamaan integral dengan penundaan proposional. Dengan menggunakan teorema terkenal Banach f ixed− point [2], dapat membuktikan solusi dari (1) ada dan unik pada [a, b].

Pada artikel ini di bagian dua di bahas uraian penurunan rumus mendapatkan solusi persamaan integral Volterra-Fredholm campuran dengan menggunakan metode polinomial Taylor. Pembahasan ini terdapat pada artikel yang berjudul Taylor Polynomial Method and Error Estimation for A Kind of Mixed Volterra-Fredholm Integral Equations oleh Keyan Wang, Qisheng Wang [5]. Kemudian pada bagian tiga dibahas estimasi error yang dihasilkan. Kemudian dilanjutkan dengan bagian empat mengaplikasikan penggunaan formula polinomial Taylor untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra-Fredholm campuran dan error yang dihasilkan dalam bentuk contoh numerik, dan di bagian lima merupakan kesimpulan.

2. METODE POLINOMIAL TAYLOR

Diberikan metode numerik untuk menghitung solusi dari persamaan integral Volterra-Fredholm dengan menggunakan metode polinomial Taylor sebagai berikut

yN(x) = N X n₌₀ 1 n!y (n)_{(c)(x − c)}n , x, c∈ [a, b]. (2) yN(h(x)) = N X n₌₀ 1 n!y (n)_{(c)(h(x) − c)}n , x, c∈ [a, b]. (3)

yang merupakan polinomial Taylor berderajat N pada x = c, dimana y(n)(c), n = 0, 1, 2, ..., N merupakan koefisien yang akan ditentukan.

Misalkan persamaan (1) ditulis dengan bentuk Y1(x) + Y2(x) = f (x) + λ1V(x) + λ2F(x), (4) dengan Y1(x) = A(x)y(x), Y2(x) = B(x)y(h(x)), V(x) = Z h(x) a k1(x, t)y(t)dt, F(x) = Z b a k2(x, t)y(h(t))dt.

Untuk mendapatkan solusi persamaan (4), pertama turunkan kedua ruas persamaan (4) terhadap x sebanyak n kali, maka persamaan (4) diperoleh

Y₁(n)(x) + Y₂(n)(x) = f(n)(x) + λ1V(n)(x) + λ2F(n)(x). (5)

Bagian yang memuat integral dari persamaan (5) dinyatakan dengan V(n)(x) = d n dxn Z h_(x) a k1(x, t)y(t)dt, (6) F(n)(x) = d n dxn Z b a k2(x, t)y(h(t))dt, atau F(n)(x) = Z b a ∂n k2(x, t) ∂xn y(h(t))dt. (7)

Dengan menggunakan aturan Liebnitz [6, h. 17], maka diperoleh V(n)(x) = n−1 X m₌₀ n−m−1 X i₌₀ n − i − 1 m  h(n−m−i−1)i (x)(y(h(x))h ′ (x))(m) + Z h(x) a ∂n k1(x, t) ∂xn y(t)dt, (8) dimana hi(x) = ∂i k1(x, t) ∂xi    _t =h(x) .

Subtitusi persamaan (2), (3), (7), (8) ke persamaan (5) diperoleh Y₁(n)(x) + Y₂(n)(x) =f(n)(x) + λ1 n−1 X m₌₀ n−m−1 X i₌₀ n − i − 1 m  h(n−m−i−1)i (x)Y (m) 3 (x) + λ1 Z h(x) a ∂n k1(x, t) ∂xn  N X m₌₀ 1 m!y (m)_{(x)(t − c)}m  dt + λ2 Z b a ∂n k2(x, t) ∂xn  N X m₌₀ 1 m!y (m)_{(x)(h(t) − c)}m  dt. (9)

Selanjutnya, subtitusi x = c kepersamaan (9) Y₁(n)(c) + Y₂(n)(c) =f(n)(c) + λ1 n−1 X m₌₀ n−m−1 X i₌₀ n − i − 1 m  h(n−m−i−1)i (c)Y (m) 3 (c) + λ1 Z h_(c) a ∂n k1(x, t) ∂xn    _x =c  N X m₌₀ 1 m!y (m)_{(c)(t − c)}m  dt + λ2 Z b a ∂n k2(x, t) ∂xn    _x =c  N X m₌₀ 1 m!y (m)_{(c)(h(t) − c)}m  dt, (10) dengan Y₁(n)(c) =  A(c) N X m₌₀ 1 m!y (m)_{(c)(t − c)}m (n) , Y₂(n)(c) =  B(c) N X m₌₀ 1 m!y (m)_{(c)(h(t) − c)}m (n) , Y₃(m)(c) =  h′ (c) N X k₌₀ 1 k!y (k)_{(c)(h(t) − c)}k (m) . Selanjutnya, misalkan Hnm = n−m−1 X i₌₀ n − i − 1 m  h(n−m−i−1)i (c), (11) Tnm = 1 m! Z h(c) a ∂n k1(x, t) ∂xn    _x =c (t − c)m dt, (12) Knm = 1 m! Z b a ∂n k2(x, t) ∂xn    _x =c (h(t) − c)mdt. (13) maka, persamaan (10) menjadi sebagai berikut

Y₁(n)(c) + Y₂(n)(c) =f(n)(c) + λ1 n−1 X m₌₀ HnmY (m) 3 (c) +  N X m₌₀ (λ1Tnm+ λ₂Knm)y(m)(c)  . (14)

Jika diambil m, n = 0, 1, ..., N , maka persamaan (14) menjadi sistem N + 1 persamaan, dan yang dapat ditulis menjadi persamaan berikut

Y1+ Y2− (λ1T + λ2K)Y − λ1HY3 = F,



Y1+ Y2− (λ1T + λ2K) − λ1HY3



dengan Y = y(0)_(c)y(1)_{(c) · · · y}(N )_(c) T , F = f(0)_(c)f(1)_{(c) · · · f}(N )_(c) T , Y1 = h Y₁(0)(c)Y₁(1)(c) · · · Y₁(N )(c) iT , Y2 = h Y₂(0)(c)Y₂(1)(c) · · · Y₂(N )(c) i T , Y3 = h Y₃(0)(c)Y₃(1)(c) · · · Y₃(N )(c) i T .

Elemen dari matrik H = [Hnm], T = [Tnm], dan K = [Knm](n, m = 0, 1, ..., N )

didefinisikan pada persamaan (14). Sehingga, koefisien y(n)_{(c), n = 0, 1, ..., N}

ditentukan secara khusus dari persamaan (15).

Persamaan (1) hanya mempunyai satu solusi khusus yang dihampiri dengan polinomial Taylor yN(x) ∼= N X n₌₀ 1 n!y (n)_{(c)(x − c)}n . (16) 3. ESTIMASI ERROR

Pada artikel ini, lakukan estimasi error untuk persamaan (1). Berdasarkan metode polinomial Taylor bahwa solusi numerik yN(x) akan konvergen ke solusi eksak y(x)

dari persamaan (1) ketika N → ∞. Misalkan fungsi A(x), B(x), dan ki(i = 1, 2)

memenuhi sedemikian hingga dari persamaan (1) mempunyai solusi tunggal dan kekonvergenan metode polinomial Taylor diberikan pada Teorema 1.

Teorema 1 Asumsikan terdapat bilangan real x ∈ [a, b], misalkan yN(x) dan y(x)

berturut-turut menunjukkan solusi aproksimasi dan solusi eksak dari persamaan (1), maka

ky(x) − yN(x)k_∞

ky(h(x)) − yN(h(x))k_∞

≤ q+ β

dengan γ = sup a≤x≤b |λ1| Z h(x) a |k1(x, t)| dt, (18) β = sup a≤x≤b |λ2| Z b a |k2(x, t)| dt, (19) p= min a≤x≤b|A(x)| , (20) q= max a≤x≤b|B(x)| , (21) p− γ > 0.

Bukti: Dengan mensubtitusi solusi pendekatan (16) ke persamaan (1) diperoleh A(x)yN(x) + B(x)yN(h(x)) = f (x) + λ1 Z h(x) a k1(x, t)yN(t)dt + λ2 Z b a k2(x, t)yN(h(t))dt. (22)

Kemudian persamaan (1) dikurangkan dengan persamaan (22), didapat A(x) y(x) − yN(x)
=λ1 Z h(x) a k1(x, t) y(t) − yN(t)
dt + λ2 Z b a k2(x, t) y(h(t)) − yN(h(t))
dt − B(x) y(h(x)) − yN(h(x))
. (23)

Dengan mengambil nilai mutlak dari persamaan (23), diperoleh  A(x)(y(x) − yN(x))  =  λ₁ Z h(x) a k1(x, t) y(t) − yN(t)
dt + λ2 Z b a k2(x, t) y(h(t)) − yN(h(t))
dt − B(x) y(h(x)) − yN(h(x))
 . Dengan menggunakan sifat-sifat nilai mutlak, didapat

min A(x)    y(x) − yN(x)  ≤  λ₁   Z h_(x) a  k₁(x, t)    y(t) − yN(t)  dt + λ2   Z b a  k2(x, t)    y(h(t)) − yN(h(t))  dt + maxB(x)  y(h(x)) − yN(h(x))  . (24)

Subtitusi persamaan (20) dan (21) ke persamaan (24), sehingga diperoleh p× ky(x) − yN(x)k_∞− |λ1| ky(x) − yN(x)k_∞ Z h(x) a |k1(x, t)|dt ≤ |λ2| ky(h(x)) − yN(h(x))k_∞ Z b a |k2(x, t)|dt + q × ky(h(x)) − yN(h(x))k_∞, maka, didapat ky(x) − yN(x)k_∞ ky(h(x)) − yN(h(x))k_∞ ≤ q+ |λ2| Rb a|k2(x, t)| dt p− |λ1| Rh(x) a |k1(x, t)| dt ≤ q+ β p− γ. Oleh karena itu persamaan (17) berlaku dan terbukti.

Karena deret Taylor yang digunakan terpotong atau ekspansi polinomial yang berhubungan adalah solusi aproksimasi dari persamaan (1), maka dengan mensubstitusi koefisien y(n)_{(c), n = 0, 1, ..., N ke persamaan (16), didapat}

|e(x)| = |y(x) − yN(x)| ,

dimana e(x) didefinisikan sebagai fungsi error. Sekarang, untuk x = xi ∈ [a, b],

diperoleh fungsi error e(xi) dalam bentuk berikut

|e(xi)| = |y(xi) − yN(xi)| ,

maka tujuan disini adalah bagaimana menjadikan e(xi) ≤ 10−ti. Jika maksimum

10−ti

= 10−t

diberikan, dalam hal ini t bilangan bulat positif sembarang, maka limit pemotongan N naik sampai perbedaan e(xi) disetiap titik lebih kecil dari 10−t yang

diberikan dan fungsi error e(xi) menuju nol dengan peningkatan n.

4. CONTOH NUMERIK

Pada bagian ini akan diberikan suatu contoh untuk mengilustrasikan penggunaan metode polinomial Taylor dan estimasi error dalam menemukan solusi untuk persamaan integral Volterra-Fredholm campuran.

Contoh

Temukanlah solusi dan estimasi error metode Polinomial Taylor untuk persamaan integral Volterra-Fredholm berikut

A(x)y(x) + B(x)y(ex ) = f (x) + Z ex 0 ex+ty(t)dt − Z 1 0 ex+ty(et )dt, (25) dengan f(x) = x2sin x + e2xcos x − ex ((eex (e2x− 2ex + 2) − 2) −1 3(e 3_{− 1)),}

A(x) = sin x, B(x) = cos x, h(x) = ex

, k1(x, t) = e x_+t , k2(x, t) = e x_+t λ1 = 1, λ2 = −1, a= 0, b= 1.

Solusi

Misalkan solusi dari persamaan (25) adalah yN(x) = N X n₌₀ 1 n!y (n)_{(c)(x − c)}n , a≤ x, c ≤ b. (26) yN(h(x)) = N X n₌₀ 1 n!y (n)_{(c)(h(x) − c)}n , a ≤ x, c ≤ b. (27) yang merupakan polinomial Taylor berderajat N pada x = c, dimana y(n)_(c),

n = 0, 1, 2, ..., N merupakan koefisien yang akan ditentukan.

Langkah pertama bentuk persamaan (25) menjadi persamaan (4), dengan

Y1(x) =y(x) sin(x), (28) Y2(x) =y(e x ) cos(x), (29) Y3(x) =y(e x )ex . (30)

Misalkan c = a = 0. Hitung nilai Hnm dengan n = 0, 1, 2 dan m = 0, 1, 2 dari

formula persamaan (11) diperoleh

H =   H00 H01 H02 H10 H11 H12 H20 H21 H22  =   0 0 0 e 0 0 2e e 0   (31)

Kemudian hitung nilai Tnm, dengan formula persamaan (12). Diketahui bahwa

c= a = 0, maka T =   T00 T01 T02 T10 T11 T12 T20 T21 T22  =   e− 1 1 e 2 − 1 e− 1 1 e 2 − 1 e− 1 1 e 2 − 1   (32)

Lalu hitung nilai Knm, dengan formula persamaan (13). Diketahui bahwa c = a = 0,

maka K =   K00 K01 K02 K10 K11 K12 K20 K21 K22  =   e− 1 e2 2 − 1 2 e3 6 − 1 6 e− 1 e2 2 − 1 2 e3 6 − 1 6 e− 1 e2 2 − 1 2 e3 6 − 1 6   (33)

Langkah berikutya yaitu hitung turunan dari f (x) terhadap x pada x = c = 0

F =   f(0) f(1) f(2)  =   e3 3 − e + 8 3 e3 3 − 2e + 11 3 e3 3 − 7e + 14 3   (34)

Selanjutnya hitung turunan Y1(x), Y2(x), dan Y3(x) terhadap x pada x = c = 0,

diperoleh Y1 =    Y₁(0)(0) Y₁(1)(0) Y₁(2)(0)   =   0 0 0 1 0 0 0 2 0     y(0)(0) y(1)(0) y(2)(0)   (35)

Y2 =    Y₂(0)(0) Y₂(1)(0) Y₂(2)(0)   =   1 1 1 2 0 1 1 −1 0 3₂     y(0)(0) y(1)(0) y(2)(0)   (36) Y3 =    Y₃(0)(0) Y₃(1)(0) Y₃(2)(0)   =   1 1 1 2 1 2 3₂ 1 4 9 2     y(0)(0) y(1)(0) y(2)(0)   (37)

Kemudian substitusi nilai-nilai yang diperoleh dari persamaan (31), (32), (33), (34), (35), (36), dan (37) ke persamaan (15) sebagai berikut

  1 3.194528050 3.321781906 −1.718281828 0.476246222 2.462640993 −9.15488109 −11.87312731 −3.833063577     y(0)(c) y(1)(c) y(2)(c)  =   f(0)(c) f(1)(c) f(2)(c)     1 3.194528050 3.321781906 −1.718281828 0.476246222 2.462640993 −9.15488109 −11.87312731 −3.833063577     y(0)(c) y(1)(c) y(2)(c)  =   6.6436 4.9253 −7.6661     y(0)₍₀₎ y(1)₍₀₎ y(2)₍₀₎  =   −1.8318 × 10−9 3.4383 × 10−9 1.9999   Dengan demikian diperoleh solusi polinomial Taylor untuk persamaan (25) yaitu

yN(x) = N X n₌₀ 1 n!y (n)_{(c)(x − c)}n , =1 0!y (0)_(0)x0₊ 1 1!y (1)_(0)x1₊ 1 2!y (2)_(0)x2_, = − 1.8318 × 10−9_{+ 3.4383 × 10}−9_x+ 1 2(1.9999)x 2_, = − 1.8318 × 10−9+ 3.4383x + 0.99995x2.

Adapun error ketika x berada di interval [0, 1] adalah solusi eksak dikurangi dengan solusi aproksimasi, yaitu

Tabel 1: Solusi eksak, solusi aproksimasi, dan error yang dihasilkan untuk contoh 1 x y(x) yN(x) Error 0 0 0 0 0.1 0.01 0.1 0.09 0.2 0.04 0.2 0.16 0.3 0.09 0.3 0.21 0.4 0.16 0.4 0.24 0.5 0.25 0.5 0.25 0.6 0.36 0.6 0.24 0.7 0.49 0.7 0.21 0.8 0.64 0.8 0.16 0.9 0.81 0.9 0.09 1 1 1 1 5. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya maka dapat disimpulkan bahwa di dapat metode polinomial Taylor untuk persamaan integral Volterra-Fredholm campuran. Jenis persamaan integral Volterra-Fredholm yang dibahas adalah persamaan integral Volterra-Fredholm jenis kedua. Pada pembahasan ini, dilakukan aproksimasi terhadap solusi persamaan integral Volterra-Fredholm campuran oleh polinomial Taylor yang berderajat N . Dengan menggunakan aturan Liebnitz, diperoleh suatu sistem persamaan linear yang digunakan untuk menentukan koefisien dari polinomial Taylor yang merupakan solusi hampiran dari persamaan integral Volterra-Fredholm campuran.

Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Dr. Imran M., M. Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan skripsi yang menjadi acuan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Kanwal, R. P. & Liu, K. C. 1989. A Taylor Expansion Approach for Solving Integral Equation. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 20: 411–414.

[2] Kauthen, J. P. 1989. Continuous Time Collocation Methods for Volterra-Fredholm Integral Equations. Numerische Mathematik, 56: 409–424.

[3] Maleknejad, K. & Mahmoudi, Y. 2003. Taylor Polynomial Solution of High-order Nonlinear Volterra-Fredholm Integro-Differentials Equation. Applied Mathematics and Computation, 145: 641–653.

[4] Sezer, M. 1994. Taylor Polynomial Solution of Volterra Integral Equations. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 25: 625–633.

[5] Wang, K. Y. & Wang, Q. S. 2014. Taylor Polynomial Method and Error Estimation for a Kind of Mixed Volterra-Fredholm Integral Equations. Applied Mathematics and Computation, 229: 53–59.

[6] Wazwaz, A. M. 2011. Linear and Nonlinear Integral Equations. Springer. Beijing.

[7] Yalcinbas, S. & Sezer, M. 2000. The Approximate Solution of High-order Linear Volterra-Fredholm Integro-Differential Equation in Terms of Taylor Polynomials. Applied Mathematics and Computation, 112: 291–303.

[8] Yancibas, S. 2002. Taylor Polynomial Solution of Nonlinear Volterra-Fredholm Integral Equation. Applied Mathematics and Computation, 25: 625–633.