Kunci Ringkasan Matematika SMA c

(1)

1. Kunci: C

3 3

1 1 1 1

3 2 3 2

3 3

3

3 2

2 1 2 2(3) 9 16 36

9 16 36

3 4 6

a b c

§ · § ·

¨ ¸ ¨ ¸

§ ·

¨ ¸

© ¹

§ ·

¨ ¸

© ¹

2 3 6

1 2 3 6 2

3

1 2 3

3 4 6

1 1 216 3 8

1

216 9 24

2. Kunci: E

1

1 2

2

3 3 3 3

log 225 log (225) log 15 log 15

2 2 30

log 15 log

3 3 2

2 10 3

log

3 2

2

log 10 log 3 log 2 3

2 2,352

1 0,477 0,301 0,784

3 3

§ · ¨ ¸ © ¹

§ § ··

¨ ¸

¨ _© _¹¸

© ¹

3. Kunci: B

1 1

1 6

6

3 3

3 2 6

3 2

log 1

3 2

( 1) log 1

3

2 1

log

3 1

2

log ₁

3

log 6 1

log 2 log 3 1 1 log 2 log 3

log 2 x x

x x

x x x x x

§ · ¨ ¸_{© ¹}

§ ·

¨ ¸ © ¹

4. Kunci: D

2 8 3

2

1 1

3 3

2 9 2 4 ₃

2

2 4

2 4 2

3

3 9

3 3

3 1 ₃ ₃

3

8

2 4

3

6 12 8

6 20 1 3

3

x x

§ _· ¨ ¸

© ¹

5. Kunci: A

3 2 1 3 1 2 1

1 1

3 3 3 3 3

2 4 2 4

3

0,25 0,5 25 1 5 1 100 3 10 3

1 3 2

2 ₆ 4 ₁₂ 3 ₉

25 5

4 300 4 30 1

3

25 16 27 (25 ) (16 ) (27 ) 625 81

(625 ) (81 ) (5 ) (2 ) (3 )

(5 ) (3 ) 5

p

2 3 2 3

1 3 5

2 3 3

2

6. Kunci: C

x 2_{log 5} _p log 5

log 2 p log 5 p log 2

x 3_{log 2} _q log 2

log 3 q log 3 log 2

q Sehingga,

x 3_{log 125}

3

log 125 log 5 3 log 5 log 3 log 3 log 3

3 ( log 2) log 2

3 p

q pq

x 8_{log 27} 3 3

log 27 log 3 3 log 3 log 8 log 2 3 log 2

log 3 log 2 log 2 1

log 2 1

q

u

Jadi,3log 125 8log 27 3pq 1 3pq2 1

q q

BAB

1

Bentuk Pangkat, Akar, dan

Logaritma

(2)

7. Kunci: A

AB BC AC x

AD BD 1

2AB 1 2x Lihat 'BDC

(DC)2 (BC)2

(BD)2

x2

2 1 2x x2

1

4x 2 3 4x

2

DC 3

2 x Sehingga,

K AB BC AC CD

99 3

2

x x x x

99 3 3 2

x x

3 3

2 x§_¨_¨ ·_¸_¸

x

3 3

99 ₂

3 3

2 2

u

3 99 3

2 3 9

4

§ ·

¨ ¸

© ¹

3 99 3

2 3 4

§ ·

¨ ¸

© ¹

12 3 3 2

§ ·

¨ ¸

© ¹

36 6 3m 8. Kunci: C

Misalkan KO OL OM MN KN x. Perhatikan 'MOL

(ML)2 (MO)2 (OL)2

x2 x2 2x2 ML ₂x

Keliling

23 2 5 2

23 (5 2)

23 5 2

5 2 5 2

23(5 2) 25 2 23(5 2)

5 2

23

KO OL OM MN NK ML

x x x x x x x x

x x

2 2(5 2) (10 2 2) cm

KL KO OL

x x x

1. Kunci: A

Titik balik (a, b) (2, 1). Melalui titik (x, y) (3, 5). Persamaan grafik fungsi

y c(x a)2 b

5 c(3 2)2 (1) 5 c 1

c 6 Persamaannya

y 6(x 2)2 1

y 6(x2 4x 4) 1

y 6x2 24x 24 1

y 6x2 24x 23

2. Kunci: D

Misalkan persamaan kuadrat adalah y a(xx₁)(xx₂). Grafik memotong sumbu-x di titik (3, 0) dan (5, 0)

y a(x 3)(x 5)

y a(x2 8x 15)

Grafik memotong sumbu-y di titik (0, 15) 15 a(02 8 · 0 15)

15 a(15)

a 1

Jadi, persamaan kuadratnya adalah y x2 8x 15

3. Kunci: C

x Bentuk umum fungsi kuadrat

f(x) ax2 bx c

x f(x) memiliki nilai maksimum 3 untuk x 1, sehingga diperoleh

1 2 2

2 b

b a b a

a

• Substitusikan nilai b ke bentuk umum

f(x) ax2 2ax c

Untuk x 1:f(1) a 2a c

3 a c ... (i) • Melalui titik (3, 1), maka

f(3) a(3)2 2a(3) c

1 9a 6a c

1 3a c ... (ii) • Eliminasi a pada Persamaan (i) dan (ii)

a c 3 u 3 3a 3c 19 3a c 1 u1 3a c 11 4c 10

c 5 2 Jadi, grafik tersebut melalui 0, 5

2 . 4. Kunci: B

2x2 14x 20 0

a 2, b 14, c 20

• x₁ x₂ ( 14) 7 2 b

a

• x₁ · x₂ 20 10 2 c a

• x₁2 x₂2 (x₁ x₂)2 ₂_x 1 · x2 72 2 · 10

49 20 29

(3)

5. Kunci: C

Misalkan:

a alas AB t tinggi AC

K_segitiga AB BC AC

56 a 25 t a t 31

t 31 a ... (1) Dengan menggunakan dalil Pythagoras.

a2 t2 252

a2 (31 a)2 625

a2 961 62a a2 625 2a2 62a 336 0

a2 31a 168 0 (a 7)(a 24) 0

a 7 atau a 24

x untuk a 7 o t 31 7 24

x untuk a 24 o t 31 24 7 Sehingga diperoleh,

2

1 1

Luas 24 7 84 cm

2at 2u u 6. Kunci: E

• Rumus untuk membentuk persamaan kuadrat jika

a 1 adalah (x x₁)(x x₂) 0 • Substitusikan akar-akarnya

(x 5)(x 2) 0

x2 2x 5x 10 0

x2 3x 10 0

7. Kunci: A

• Persamaan kuadrat: 3x2 5x 1 0

p p p

a b c

• D E b_a 5₃

• D E _ac 1₃ Sehingga

2 2 2

2 2 2 2 2

2

1 1 ( ) 2

( ) 5 ₂ 1 25 2

3 3 9 3

1 1

9 3

25 6

19 9

9 9 ₁₉

1 9 1

9

D E D E DE

u

8. Kunci: A

• Persamaan kuadrat

x2 (m 2)x 9 0

p p p

a b c

• Syarat mempunyai akar-akar nyata b2 4ac t 0 (m 2)2 4(1)(9)t 0

m2 4m 4 36t 0

m2 4m 32t 0 (m 8)(m 4)t 0

9. Kunci: C

f(x) (p 2)x2 2(2p 3)x 5p 6

p p p

a b c

Syarat selalu bernilai positif (i) a ! 0 p 2 ! 0

p ! 2 (ii) D 0 b2 4ac 0

[2(2p 3)]2 4[(p 2)(5p 6)] 0 (4p 6)2 4(5p2 16p 12) 0 16p2 48p 36 20p2 64p 48 0

4p2 16p 12 0

p2 4p 3 0 (p 3)(p 1) 0

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah md 4 atau mt 8.

p 1 atau p! 3

Jadi, nilai yang memenuhi adalah p ! 3 karena berdasarkan syarat (i) bahwa nilai p ! 2.

10. Kunci: D

• Persamaan kuadrat

(k 2)x2 (2k 1)x k 1 0

p p p

a b c

• Syarat D 0 b2 4ac 0 [(2k 1)]2 4[(k 2)(k 1)] 0 (2k 1)2 4(k2 k 2) 0 4k2 4k 1 4k2 4k 8 0

8k 9 0

8k 9

k 9₈

• Substitusi nilai k pada persamaan kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat yang baru.

2 2

2

2 2

( 2) (2 1) 1 0

9 ₂ ₂ 9 ₁ 9 ₁ ₀

8 8 8

18 8

9 16 9 8

1 0

8 8 8

25 10 1 ₀

8 8 8

25 10 1 0

k x k x k

x x

§ ·

¨ ¸ ¨ ¸

p p p

a b c

Jadi, jumlah kedua akar adalah

1 2

10 2 10

25 25 5 b

x x

a

11. Kunci: E

• K 3p 4l 32 4l 32 3p

l 8 3

4p

•

2

3 3

2 8 16

4 2

L p l

p p p p

u

Agar luas maksimum maka Lc 0

Lc 16 3p 0 3p 16

p 16 51

3 3

4 8

A a B

25

t

1 3

kedua ... ruas

(4)

12. Kunci: C

x K 5x 5y 60

x y 12

y 12 x

x L 3xy

3x(12 x) 36x 3x2

x 36 6 0 6 36

6 dL

x dx

x x

y 12 6

y 6

Jadi, luas bangun 3xy 3 u 6 u 6 108 m2

x 4y ... (i)

x 4 5(y 4) 8 ... (ii) Dari Persamaan (ii)

x 4 5(y 4) 8

x 4 5y 20 8

x 5y 8 ... (iii) Substitusi (i) ke (iii)

4y 5y 8

y 8

Substitusi y 8 ke (i)

x 4y 4 u 8 32

Jadi, jumlah umur Ayah dan Ahmad adalah

x y 32 8 40 tahun

5. Kunci: B

4x 3y z 16 ... (1) 2x 7y 3z 8 ... (2)

x 3y 2z 14 ... (3)

• Eliminasi salah satu variabel dari Persamaan (1) dan (2)

4x 3y z 16 u 3 12x 9y 3z 48 2x 7y 3z 8 u1 2x 7y 3z 08

14x 2y 40

7x y 20 .... (4) • Dari Persamaan (2) dan (3) diperoleh

2x 7y 3z 8 u 2 4x 14y 6z 016

x 3y 2z 14 u3 3x 9y 6z 42 7x 5y 26 .... (5) • Eliminasi y dari Persamaan (4) dan (5)

7x y 20 u 5 35x 5y 100 7x 5y 26 u1 7x 5y 26

42x 126

x 3 • Substitusi nilai x 3 ke Persamaan (4)

7(3) y 20 21 y 20

y 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 1, 7)}.

6. Kunci: B

Misalkan:x uang A y uang B z uang C

Masalah di atas dimodelkan menjadi:

x y z 60.000

y 10.000 x 10.000

z 20.000 x y

Kemudian diubah menjadi SPL berikut.

x y z 60.000 ... (i)

x y 20.000 ... (ii)

x y z 20.000 ... (iii) Persamaan (i) (ii), maka

2y z 80.000 ... (iv) Persamaan (ii) (iii) maka

2y z 40.000 (5) Persamaan (iv) (v), maka

4y 120.000 4y 30.000

Substitusi y 30.000 ke (iv) 2(30.000) z 80.000

60.000 z 80.000

z 20.000

1. Kunci: D

7x 2y 6 u 2 14x 4y 12 3x 4y 22 u 1 3x 4y 22 17x 34

x 2 Substitusi nilai x ke salah satu persamaan. 7(2) 2y 6 14 2y 6

2y 8

y 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 4)}.

2. Kunci: A

Misalkan: x Jumlah cokelat

y Jumlah permen

Vina : 2x 5y 13.000 ... (i) Luna : 3x 4y 16.000 ... (ii) Persamaan (i) dan (ii)

2x 5y 13.000 u3 6x 15y 39.000 3x 4y 16.000 u2 6x 8y 32.000 7y 7.000

y 1.000 Substitusi y 1.000 ke Persamaan (i)

2x 5(1.000) 13.000 2x 8.000

x 4.000

Dewi: x 2y 4.000 2(1.000) 4.000 2.000 6.000 Jadi, Dewi harus membayar Rp6.000,00.

3. Kunci: E

Misalkan x karcis anak dan y karcis dewasa

x y 180 ... (1) 2.000x 3.000y 420.000 ... (2) (1) x y 180 u3 3x 3y 540 (2) 2x 2y 420 u1 2x 3y 420

x 120 Substitusi nilai x 120 ke Persamaan (1)

x y 180 120 y 180

y 180 120 60

Jadi, banyaknya karcis anak dan dewasa yang terjual berturut-turut adalah 120 dan 60.

4. Kunci: C

Misal: Umur ayah x

Umur Ahmad y

(5)

1. Kunci: A

2 3 12

0 8 12 3( 4)

0 ( 2)( 6)

x

x x

x

x x

Jadi, HP: (f, 2) atau (4, 6).

2. Kunci: C

1 x 2x 6 1 x 2x 6

3x 5

x! 5 3

Syarat: x 1 xt 0

xt 0 1

xd 1

x 2x 6t 0 2xt 6

xt 3

4. Kunci: E

x x 10! 0

x! 10

x x 10! (x 2)2

x 10! x2 4x 4

x2 5x 6 0 (x 6)(x 1) 0 Substitusi y 30.000 dan z 20.000 ke (i)

x 30.000 20.000 60.000

x 10.000 Perbandingan x : y : z adalah

10.000 : 30.000 : 20.000 1 : 3 : 2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1 x 6.

5. Kunci: D

1 1 2

2 6 ( 2)( 6)

1 1 2

0 2 6 ( 2)( 6)

6 2 2

0 ( 2)( 6)

2( 3) 0 ( 2)( 6)

x x x x

x x

x

x x

d

_d

BAB

4

Pertidaksamaan Satu Variabel

HP:

^

| 5 1

`

3

x x d

3. Kunci: E

2 2

6 6 6 0 ( 3)( 2) 0

x x

!

2 3

6 2 3

x Syarat: (i) x 6 t 0

x t 6 (ii) x > 0

Jadi, HP = {x|x ! 3, x R}

10 1 6

Jadi, nilai x adalah x d 3 dan 2 x 6.

6. Kunci: C

2 2

3 5

3 2 4 3

x x x x

3(x2 4x 3) 5(x2 3x 2) 3x2 12x 9 5x2 15x 10

2x2 3x 1 0 2x2 3x 1 0 (2x 1)(x 1) 0

1 21

1 2

3

Syarat:x x2 3x 2z 0 (x 2)(x 1)z 0

x z 2 atau x z 1

1 2

2 3

x x2 4x 3z 0 (x 3)(x 1)z 0

x z 3 atau xz 1

HP: {x| x ! 3}

3 5₃ 1

1

2 1

3 2 6

(6)

1. Kunci: B

Misalkan:p Ida lulus kuliah

q Ida menikah

r Ibu memberi hadiah Premis (1) : (p q) o r

Premis (2) :r

Kesimpulan :a(p q)

ap aq

Jadi, Ida tidak lulus kuliah dan tidak menikah.

2. Kunci: D

Negasi dari pernyataan: ”Jika ulangan dibatalkan, maka semua murid bersuka ria” adalah ”Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak bersuka ria”.

3. Kunci: E

Ingkaran dari pernyataan: ”Seorang siswa dinyatakan lulus ujian apabila semua nilai ujiannya tidak kurang dari 4,25” adalah ”Semua nilai ujian seorang siswa tidak kurang dari 4,25 tetapi ia tidak lulus”.

4. Kunci: C

Ingkaran dari pernyataan: ”Semua peserta ujian berdoa sebelum mengerjakan soal” adalah ”Beberapa peserta ujian tidak berdoa sebelum mengerjakan soal”.

5. Kunci: C

Ingkaran dari pernyataan: ”Jika Fathin mendapat nilai 10, maka ia diberi hadiah” adalah ”Fathin mendapat nilai 10, tetapi ia tidak diberi hadiah”.

6. Kunci: D

(ap aq)q

Kontraposisi : aq (ap aq){ aq (p q)

{q (p q)

7. Kunci: B p (p aq)

Kontraposisi:a(p aq) ap

(ap q) ap 8. Kunci: E

Cara 1: paq

q r { aq r

? p r {p r Cara 2:

p r aaaaap ooooo r p r aaaaap r p aaaaar aaaaap r p r

B B B B B S S B

B S B S S B S B

S B B S B S B B

S S S S B S S S

ekuivalen Dari tabel kebenaran diperoleh: (ap r) (p r)

9. Kunci: A p q{ aq r

p q

q

½ ¾ ¿

ekuivalen dengan

p q

q p

?

BAB

5

Logika Matematika

10. Kunci: A

Kontraposisi: ap q p q 11. Kunci: A

p q

q r

r

a ½ ° ¾ °¿

ekuivalen dengan

(Silogisme)

(Modus tollens)

p q

q r p r r p a a ? a ? a Jadi, kesimpulannya adalah ap. 12. Kunci: E

p (q ar){ ap (q ar)

{ a[ap (q ar)]

{p a(q ar)

{p (aq r)

13. Kunci: E

p q p q

q r q r

p r p r

? ?

Jadi cara penarikan kesimpulan tersebut adalah silogisme.

14. Kunci: B

p q

p

½ ¾ ¿

ekuivalen dengan

q p

p q

?

Dengan demikian argumennya dapat dinyatakan menjadi modus tolens dan kesimpulan argumen tersebut adalah sah.

15. Kunci: D

(i) ( ) _{Modus ponen}

(sah)

p q r

p

q r

½_o ¾ ¿ ?

(ii) q ap p

? aq (tidak sah) (iii) ( )

S ilogisme

( )

( ) ( ) (sah)

p q r

r p q

p q p q

½_o

¾ _¿ ?

Jadi, argumen yang sah adalah (i) dan (iii).

16. Kunci: D

s pernyataan yang salah

pq: Benaro p : Salah

q r: Benaro q : Salah

r s: Benaro r : Salah

Sehingga diperoleh kesimpulan berikut. : Benar

: Benar : Benar p q r

½ ° ¾ °¿

: Salah : Benar p r

p r

17. Kunci: C

(I) p aq o p aq

q r aq r

(7)

(II) a(apq) o p aq o ap aq

q r q r aq r

? ap r (tidak sah) (III) p aq o ap aq

aq r aq r

? ap r(sah)

Jadi, argumen yang sah adalah (I) dan (III).

BAB

6

Ruang Dimensi Tiga

Pada kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R pertengahan rusuk AB, BC, dan CG.

Irisan bidang yang melalui P, Q, dan R dengan kubus membentuk segi enam.

2. Kunci: C

T.ABCD limas beraturan dengan panjang rusuk alas 12 cm dan rusuk tegak 12 2 cm.

1. Kunci: A

A 12 B

D C

T P

2 12

A B

H G

E F

D C

O P

Jarak D ke garis HT adalah DP (DP A DH)

DP TD sin PTD

PTD HTD, jadi DP TD sin HTD

x TD 1 2 uDB

1

6 2 3 2 cm 2

u DH tinggi prisma 8 cm

TH 2 2

2 2 ( ) ( )

(3 2) 8 18 64 82 TD DH

x sin HTD 8 82 DH TH

8

sin 3 2

82

3 2 8 24 24

41 41

2 41 41

DP TD HTD

u u

5. Kunci: C

Misalkan proyeksi E pada BDG adalah Q, maka proyeksi

EG pada BDG adalah GQ.

x GP ₍_GC₎2 ₍_CP₎2

2 2

6 (3 2) 3 6 cm

x EP GP 3 6 cm

x GE 6 2 cm

x Perhatikan 'GEP!

(EP)2 (GE)2 (GP)2 2GE · GP cos G

54 72 54 26 2 3 6 cos G cos G 72 1

72 3 3

x QE A GP maka cos

1 3

6 2 3 2 6 cm GQ G

EG GQ EG GQ GQ

Jadi, panjang proyeksi garis EG pada bidang

BDG 3 6 cm.

6. Kunci: D

x Rusuk 6 cm

x Diagonal ruang s 3 6 3

AG

x 1 3 3 2

AQ AG

x _AP ₆2₃2 ₃₆₉ ₄₅

Jarak titik P ke AG adalah PQ.

2 2

( ) ( )

45 27 18 3 2 cm

PQ AP AQ

4. Kunci: B

H G

T

8

E F

A 6 B D P C

6

Jarak A ke TC AP

x 'AP A TC

x 'ATP segitiga siku-siku di P

x AT 12 2 ;TP 6 2

x _{(12 2 )}2 _{(6 2 )}2 288 72 216 6 6 cm

AP

3. Kunci: B

Jarak titik O ke BCGF adalah

1 1 ₆ _{3 cm}

2 2

OP AB u

A B H G

E F

D C

P Q

A B

E F

H G

D C

P Q A P B

H S G

E F

D C

R

Q U

(8)

7. Kunci: C

x Panjang rusuk 8 maka panjang diagonal 8 2 8 2

BD

x 2 2

2 2

( ) ( )

4 8

16 64 80 4 5

BP FP BF

Jarak titik P dan garis BD adalah OP.

x Panjang rusuk 8 BD 8 2 cm

x 2 2

2 2 ( ) ( )

4 8 16 64 80 4 5

BP FP BF

x HP BP 4 5

x 'DHP siku-siku di H

2 2

( ) ( )

64 80 144 12 cm

DP DH HP

x Pehatikan 'BDP!

(DP)2 (BD)2 (BP)2 2 · BD · BP cos E 144 128 80 2 8 2 4 5 cos E cos E _{64 10}64 1₁₀

sin E 3₁₀

• OP^BO sehingga diperoleh sin

3 10 4 5

12

6 2 cm 2

OP BP OP

OP

E

8. Kunci: C

Misalkan proyeksi P pada BDG

adalah Q, maka jarak P dengan

BDG adalah PQ.

x 2 2

2 2

( ) ( )

(2 2) 4 2 6 cm

OG OC CG

x Perhaikan 'OPG!

1 1

2 2

1 1

4 2 2 2 6

2 2

4 3 4

3 cm 3 OPG

L OP PG OG PQ

PQ

' u u u u

u u u u

9. Kunci: C

x Garis DE dan HF ber-silangan (DE, HF)

(DE, BD) BDE

x BD//HF

x Karena BD BE DE 2

b maka 'BDE samasisi. Jadi, BDE 60q.

2 1 1

tan 2

2

2 2 2

DH BD

T

11. Kunci: B

x (OC)2 (DC)2 (OD)2

, 1

2

DC BC OD AB

172 82 289 64 225

x OC 15

x alas

3 1 3

1 ₁₆ ₁₆ ₁₅ 3

1.280 cm

V u L ut

u u u

12. Kunci: C

x (DE)2 (DA)2 (AE)2 22 12 4 1

DE ₅

x tan 5 1 5 45

TE DE

T T q

13. Kunci: E

x (AB)2 (AC)2 (CB)2 82 82 128

AB _{8 2}

x OA 1 4 2 2AB

x (OC)2 (AC)2 (OA)2

2 2

8 (4 2) 64 32 32

OC 4 2

x tan 6 3 3 2 4 4 2 2 2 TC

OC

D

14. Kunci: A

x Bidang empat beraturan dengan panjang rusuk 4 cm.

x Sudut antara TP dengan bidang atas sudut TPC.

x Dari 'TPC terlihat TP PC 2 2

4 2

12 2 3 dan 4

TP

TC

3

1

E

10

H G

E RF

D C

A B

P Q

A B

E F

H G

D C

10. Kunci: A

H G

E F

D C

A B

T

C

17

A O D

B

16

T

E

D A

C B

T

B O A

8

C

6 8

D

T

4

A

2

P

2

B C

4

T

H G

E F

P

8

D C

8

(9)

x Dari rumus kosinus didapat:

(TC)2 (TP)2 (PC)2 2 · TP · PC cos D 42

2 3 2 2 32 2 3 2 3 cosD

16 12 12 2 · 12 cos a

8 24 cos a

cos a 8 1 24 3 Lihat gambar!

tan a 2 2 2 2 1 15. Kunci: B

Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah a.

Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah PTQ a.

TP TQ

(TP)2 (TA)2 (AP)2 1

2 2

AP AD

o

2 2

11 2

11 2 9

TP 9 3 TQ PQ AB 2 2 cm Dari rumus kosinus didapat:

(PQ)2 (TP)2 (TQ)2 2 · TP · TQ cos a 2

2 2 32 32 2 · 3 · 3 cos a

8 18 18 cos a

18 cos D 10 cos D 10 5

18 9 16. Kunci: B

x 2 2

2 ₂ ( )

2 2 4 8 16 24 2 6

OB OF BF

Sehingga diperoleh, 2 2 2 sin

2 6 6

2 1 1

3 3

2 3 3

D

18. Kunci: D

Sudut antara bidang TAB

dengan bidang ABC adalah

TDC D cos DE TD

D

Karena T.ABC limas ber-aturan, maka DE 1 .

3DC

x 2 2

2 2 1

( ) ( ) 3

1 1 1

6 3 27 3 3 3

3 3 3

DE BC BD

x ₍ ₎2 ₍ ₎2 ₉2 ₃2 72 6 2

TD TB BD

x cos 3 6 12 6 2 DE TD

D

x _sin ₁ _cos2 ₁ 6 12

6 144 6 138

1

144 144 12

D D ¨§_¨ ·¸_¸ © ¹

19. Kunci: B

x AE jarak (A, TBC)

x 'ABC siku-siku di A

x _BC ₅2₅2 _{5 2 cm}

x 'TAC siku-siku di A

x _TC ₅2₅2 _{5 2}

x 1 5 2

2 2

CD TC

x 2 2

2 2

( ) ( )

5 25 75

5 2 2 50

2 2 2

BD BC CD

§ ·

_¨ _¸

© ¹

BD Garis berat pada BCT

E Perpotongan ketiga garis berat Jadi BE : ED 2 : 1

x 2 2 75

3 3 2

BE BD

x 'AEBoAE (AB)2(BE)2 2

2 2 75 50

5 25

3 2 3

25 5 3

3 3

§ ·

¨_¨ ¸_¸

© ¹

D

3

1 2 2

H

G

E _F

D

C A

B P D

1 2 2

P D B

1

F T

A 2 2 B2 2 Q

D C

11 cm

D

P

2 2

3 2

1 2 3

1 2 1

2 4 2

sin 1

1 1 2 1

sin 6

3 3 PF

PF

D

§ ·

x _¨ _¸

© ¹

x

17. Kunci: C

H G

E F

D C

A 4 B 4

4

D

Q

x D adalah sudut antara BF dan bidang BEG

D FBO

x sin FI BI

D

x 1 1 4 2 2 2

2 2

OF u HF u

T

9 9

C

9 3 3 D A

B E

D

C E

F B A

T

5

(10)

D (ADHE, ACH) CPD

Misalkan: rusuk kubus D

x 1 1 ₂

2 2

PD ED a

x

2 2

2

2 2 2 2

( ) ( )

3

1 ₂ 1 1 ₆

2 2 2 2

CP CD PD

a a a a a a

x

1 ₂

2 1

cos 3

1 ₆ ₆ ₃ 3 2

a PD

CP _a

D

21. Kunci: C

Limas segi empat beraturan T. ABCD semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD

adalah D.

Misalkan AB BC CD AD TA TB TC TD a

1 1

2 2

AC a oAO AC a

Perhatikan 'AOF! 1 ₂

2 1

cos 2

2 45

a AO

AT a

D D q 22. Kunci: D

T A TB 5

TC 2

AC BC 4

AB 6

BP AP 1

2AB 3

x ₍ ₎2 ₍ ₎2 ₅2 ₃2 25 9 16 4

TP TB BP

x _PC ₍_BC₎2₍_PB₎2 ₄2₃2 ₁₆₉ ₇

x 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

cos

2

4 2 ( 7) 16 4 7 13

2 4 2 16 16

TP TC PC

TP TC

D

23. Kunci: E

Misalkan panjang rusuk adalah a, maka panjang diago-nal bidang adalah a 2.

x 1 2 2

AP a

x

2 2

2 2 1

2 ( ) ( )

2 6 2

FP BF BP

a a

a

x sin 1 6

3 6 6 2

BF a a

a FP

D

x Proyeksi CD pada ACH adalah CQ

(CD, ACH) PCD

x AC CH AH _{6 2} cm

x 'CDP siku-siku di D dan DP 1 3 2 cm 2DE

x ₍ ₎2 ₍ ₎2

18 38 54 3 6 cm

CP DP CD

x sin 3 2 1 1 3 cm 3 3 6 3 DP

PCD CP

25. Kunci: A 20. Kunci: B

H G

E F

D C

A B

P _D

T

O

A B

D _C

D

T

A

C B

P

D

5

2

H G

A a B

E F

8

D C

D

P P

D a C

1 ₂

2a

D

24. Kunci: A

H G

E F

D C

A B

I

D

Q

3 2

1

T

D

A C

B 3 P3

x UV FB a

x HF a 2 (diagonal bidang)

x 1 1 2

2 2

UF HF a

x 2 2

2 2

( ) ( )

1 1

2

2 2

3 2

PU PV AP AV

a a

a

§ · § ·

¨ ¸ ¨ ¸

x 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

cos

2

3 3

1

4 4

3

2 3

2

PU UV PV

PU UV

a a a

a a

D

x sin 2 1 6 3 3

D

26. Kunci: D

x ₍ ₎2 ₍ ₎2 36 9 3 3

AP AB BP

x ₍ ₎2 ₍ ₎2 81 9 6 2

TP TB BP

H G

A B

D C

E F

V

DU

(11)

x (AP)2 (AT)2 (PT)2 2 · AT · PT cos D 27 81 72 2 · 9 · 6 2 cos D

26 2 96 2 cosD cosD 126 7

108 2 6 2

Jadi, tan 23 7

D .

27. Kunci: C

x

2 2

( ) ( ) 18 18 6

CD BC BD

x ₍ ₎2 ₍ ₎2 18 9 3 3

AC BC AB

x _AD ₍_BD₎2₍_AB₎2 _{18 9}_{3 3}

x _BP ₍_BC₎2₍_CP₎2 _{18 9}₃

x tan 3 1

3 4

AB

P P

BP

S

o

28. Kunci: B

• (ABC, BCD) AED

Misalkan panjang rusuk a

• 2 2

2 2

( ) ( ) 1

3

2 2

AE BD BE

a

a a

§ · _¨ _¸ © ¹

• 3

2 a DE AE

•

2 2 2

2

( ) ( ) ( )

cos

2

3 3 1

1

4 4 2

3 3

2 3 3

2 2 2

AE DE AD

AE DE

a a

a

a a

D

Jadi, tan 2 2 2 2 1

D

29. Kunci: C

Misalkan panjang semua rusuk kubus a tan TC

GC

D

AC a ₂ (diagonal sisi)

TC 1 2

2 AC 2a 1 ₂

2 1

tan 2

2 a

a

D

30. Kunci: A

x

2 2

( ) ( )

2 1 5

PC QC BQ

BF FQ

x 2 2

2 2

( ) ( )

1 ( 5)

1 5 6

PQ PB BQ

32. Kunci: E

• (AC)2 (AB)2 (BC)2 32 32 9 9 18

AC _{3 2}

• (HC)2 (HG)2 (GC)2 32 62 9 36 45

HC _{3 5}

• (HO)2 (HO)2 (DO)2

2

2 3

6 2

2

₃₆ 9

2

41

2

HO 41 41 2

2 2 Sehingga diperoleh,

sin 2 2 sin cos 2 3 2

6 ₂ 36

2 2

41 ₂ 41 ₂ 1.681

2 2

DH DO

HO HO

T T T

x 1 _{1 6}

2 2

OQ PQ

x 2 2

2 2

( ) ( )

3

1 1

( 5) 6 5 14

2 2 2

OC QC OQ

x _Luas 1 2

1 ₆ 1 ₁₄ 1 ₂₁

2 2 2

PCQ PQ OC

' u u

u u

31. Kunci: B

Sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah TOC

dengan O titik tengah AB.

x Lihat 'TOB!

(TO)2 (TB)2 (OB)2 42 22 16 4 12

T O _{2 3}

x Lihat 'OBC!

(OC)2 (BC)2 (OB)2 42 22 16 4 12

OC _{2 3}

x Lihat 'TOC, dengan menggunakan dalil kosinus. (TC)2 (TO)2 (OC)2 2 · TO · OC cos T

42 _{(2 3)}2 _{(2 3)}2 _{2(2 3)(2 3) cos}_T

16 12 12 24 cos T 24 cos T 8

cos T ₂₄8 1₃

D C B

A

3

P

3 3 3 23

H G

E F

A P B

D C

O Q D C

A E

B

D

D C

H G

E F

A 3 B

6

T

7

23 6 2

D

T

B

A C

O

T

BAB

7

Statistika

1. Kunci: E

4 5 6 6 6 7 7 8 54 6

9 9

x

H G E F

D C

A T B

(12)

7. Kunci: D

Kelas f x_i d f · d

Interval (Nilai tengah) (xi xs) 03 – 70 3 5 10 30 08 – 12 4 10 5 20 13 – 17 7 15 xs 0 0 18 – 22 10 20 5 50 23 – 27 6 25 10 60

Jumlah 30 60

60

15 15 2 17

30 s f d

x x

f

6

2. Kunci: E

Data setelah diurutkan 2 3 4 6 8 9 12 14

p p p

Q₁ Q₂ Q₃

Simpangan kuartil 1 (₂ 3 1) 1 (12 3) 2

1 ₉ ₄1

2 2

Q Q

u

3. Kunci: C

1 7, 1 161, 2 3 dan 160,7

n x n x

1 1 2 2

1 2

2

2 2

7 (161) 3 ( ) 160,7

7 3

3 10(160, 7) 7(161) 3 1.607 1.127

3 480 160

n x n x

x

n n

x

x x

4. Kunci: D

x 4(17) (10) 6,5(6) 8(7) 40

x

5,5 68 10 39 56 40 x

220 68 10x 39 56 10x 220 (68 39 56) 10x 220 163

10x 57 x 5,7

5. Kunci: D 1

1 2

12 6

44,5 5

(12 6) (12 8) 6

44,5 44,5 3 47,5

6 4 o b

d

M t i

d d

§ ·

¨ ¸

© ¹

§ ·

¨ ¸

© ¹

§ ·

¨ ¸

© ¹

6. Kunci: B

• Letak Q₁ 1 4 dari jumlah data, yaitu

1 ₁₂₀ ₃₀ 4 u

Maka Q₁ terletak pada data ke-30.

• Jumlahkan frekuensi dari kelas 1, 2, dan seterusnya sampai men-capai jumlah 30. Berarti

Q₁ terletak pada kelas ke-4 (60–69)

1

1 1

1 1 ₍ ₎ 4

1₍₁₂₀₎ ₁₅ 4

59,5 10

21 15

59,5 10

21 59,5 7,1 66,6

b

n f

Q t i

f

§ ₆ ·

¨ ¸

_¨ _¸

¨ ¸

© ¹

§ ·

¨ ¸

_¨ _¸

¨ ¸

© ¹

Nilai Frekuensi

30 – 39 1 40 – 49 3 50 – 59 11 60 – 59 21 70 – 79 43 80 – 89 43 90 – 99 9

BAB

8

Peluang

1. Kunci: A

1 4 3 1 u 4 u 3 12

Yang mengisi kolom pertama hanya angka 2 (1 angka), kolom kedua angka 3, 7, 8, 9 (4 angka), dan kolom ketiga adalah sisanya (3 angka). Sehingga bilangan yang kurang dari 300 sebanyak (1)(4)(3) 12 bilangan.

2. Kunci: D

Banyaknya cara membentuk tim yang beranggotakan 6 orang dengan anggota putri paling banyak 2 orang adalah:

4 8 4 7 7

2 putri 4 putra 1 putri 4 putra 5 putra

4 8 4 7 7

2 2 4 4 1 3 4 3 5 2 6 70 4 35 21

420 140 21 581

C C C C C

3. Kunci: B

Pasangan dadu yang berjumlah 9 atau 10 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)4 kejadian (4, 6), (5, 5), (6, 4) 3 kejadian 7 kejadian

Sehingga peluangnya adalah P(9 10) 4 3 7 36 36 36 atauP 7 7

6u6 36. 4. Kunci: C

x Ruang sampel mata uang: {A,G} 2

x Ruang sampel gambar pada mata uang: {G} 1

x Peluang muncul gambar 1₂

x Ruang sampel dadu: {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6

x Ruang sampel bilangan ganjil pada dadu: {1, 3, 5} 3

x Peluang bilangan ganjil pada dadu 3 1 6 2 Jadi, peluangnya adalah P 1 1 1

2u2 4. 5. Kunci: E

P(mata dadu 3 dan mata dadu 5) 1 1 1 6u6 36

(13)

6. Kunci: C

x Jumlah bola pada kotak I 5 3 8

x Jumlah bola pada kotak II 2 6 8

x Peluang terambilnya bola merah dari kotak I 5₈

x Peluang terambilnya bola merah dari kotak II 2₈ Jadi, peluang kedua bola berwarna merah adalah

P(M) 5 2 10 8u8 64

x Peluang terambilnya bola kuning dari kotak I 3 8

x Peluang terambilnya bola kuning dari kotak II 6 8 Jadi, peluang kedua bola berwarna kuning adalah

P(K) 3 6 18 8u8 64

Sehingga, peluang kedua bola berwarna sama adalah

P P(M)P(K) 10 18 28 7 64 64 64 16 7. Kunci: C

Banyaknya plat nomor yang dapat dibuat sebagai berikut. {semua nomor} {nomor yang memuat angka 2 3 4}

4 4 4 4 4 4 1 1 1 4

4. Kunci: C

sin 45q cos 15q cos 45q sin 15q sin (45q 15q) sin 60q 1 3

2 5. Kunci: D

2

sin sin 1 cos sin (1 cos )

1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

sin (1 cos ) 1 cos sin sin

A A A A A

A A A A

A A A

A A

6. Kunci: B

x sin 30q 1₂ a_c

c 2a

x a c 9

a 2a 9 2a 9

a 3

x c 9 9 9 3 6

x sin 60q ₂3 3

2 6

b b

c b 3 3 7. Kunci: A

1

Luas segitiga sin 2

1

3 3 4 sin

2 1

sin 30

2

b c A

A

A A

o q

8. Kunci: E

x cos A

2 2 2

2

c b a

bc

2 2 2

6 5 ( 21) 2 6 5 36 25 21

60 40 2 60 3

x sin2 1 cos2 1 22 1 4 5

3 9 9

5 1 1

sin 5 5

9 9 3

A A

A

9. Kunci: E 4

sin 90 sin 60 4 sin 60 sin 90

1

4 3

2

2 3 CD

CD CD CD

q q

10. Kunci: C

x y A sin kx A 2

x 0 0 2 sin k · 0

x 1

2 2 2 sin k · 12 x 1 0 2 sin k · 1

Pada grafik, y bergerak dari 0 ke 2 maka nilai

A 2 dan x bergerak dari 0 ke 1 maka nilai k S.

29

21

20

x

C A

B

60q

30q

4 u 4 u 4 u 4 u 4 4 u 1 u 1 u 1 u 4 1.024 16 1.008

A, B, C, D

1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4

1, 2, 3, 4

A,B,C,D A, B,

C, D 2 3 4 A, B, C, D

BAB

9

Trigonometri

1. Kunci: B 3 ,

2

S S

§ ·

¨ ¸

100 20 sinx 21

29

(kuadran III)

2. Kunci: D

2 2

2

tan sin 1

sin cos cos sin cos

1 1

cos cos

sec

x x

x x x x x

x x x

§ · ¨_© ¸_¹

3. Kunci: C

sin 5x 1 2 2

sin 5x sin 225q atau sin 5x sin 315q 5x 225 k360q 5x 315q k 360q

x 45q k72q x 63q k72q

b 5

c

a

A 6 B

21

C

3 cm

A D B

60°

4 cm

(14)

11. Kunci: C 14. Kunci: A

2

1 1

2 sin (81 21) cos (81 21)

sin 81 sin 21 ₂ ₂

1 1

sin 69 sin 171 _{2 cos} ₍₆₉ _{171) sin} ₍₆₉ ₁₇₁₎

2 2

1 1

2 sin (102) cos (60)

2 2

1 1

2 cos (240) sin ( 102)

2 2

sin 51 cos 30 cos 120 sin 51

1 3

cos 30 ₂ ₁ ₂

3 3

1 2 1

cos 120 2

q q

q _q

q q q q

q

q q

q _u

q

15. Kunci: B

2 sin 5 sin 3 cos 5 cos 3

x x

1 1

sin (5 3 ) cos (5

2 x x 2 x 3 )

2

x

1 1

cos (5 3 ) cos (5

2 x x 2 x 3 )

1 1

sin (5 3 ) sin (8 )

2 2

1 1

cos (5 3 ) sin (8 )

2 2

sin 4

tan 4 cos 4

x

x x x

x

x x

16. Kunci: A

sin 3 cos 3 0; 0 360

3, 1, 3

x x x

a b c

q q d

x Syarat: c2 da2 b2

Sehingga persamaan tersebut mempunyai penyelesai-an sebagai berikut.

sin 3 cos 3 cos ( ) 3

x x

k x A

q q

x _k _a2 _b2 _{( 3)}2 ₁2 ₄ ₂

x

1 tan

3 1

arc tan 3 150 3

b A

a A

q

x 2 cos (xq A) 3 cos (xq 150q) 3 2 cos (xq 150q) 1 3

2 cos (xq 150q) cos 30q

x 150 r30 n · 360q

x x₁ 30q 150q n · 360q

x 180q n · 360q

x x₂ 30 150q n · 360q

x 120q n · 360q

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120q, 180q}.

17. Kunci: A

6 sin xq 2 cos xq 2; 0 d x d 360

p p

a b

x _k _a2 _b2 _{( 6)}2 _{( 2)}2 ₈ _{2 2}

x tan 6 6 2 12 2 3 3

2 2

2 2 2

arc tan 3 (kuadran I) 60 a

b

D

u

q

x 6 sin xq 2 cos xq kcos (xq D) sin (x 45q) ! sin 60q

Batas:

x xq 45q 60q n · 360q

x 105q

x xq 45q (180 160)q n · 360q

x 45q 120q n · 360q

x 165q

Dari grafik di atas diperoleh nilai x yang memenuhi adalah {x| 105q x 165q}.

12. Kunci: C

Grafiky cos x digeser sejauh 1₃S ke kiri dan dikali 2, sehingga diperoleh persamaan y 2 cos

1

3 x S .

13. Kunci: B

• cos2A 1 2 sin2A 1

3 1 2 sin2A 2 sin2A 2₃

sin2A 2

2 1 1 3

2 3 u 2 3 • cos2A 1 sin2A

cos2A 1 1 2 3 3

cos A 2 3

•

1 sin 3 tan

cos 2 3

1 2 2 1

2

3 3 9 3

2 2

3 3

1 3 1

2 2

3 2 2

A A

A

u

u 1

1 3 2 1 2 2

1 2₂ 1 3

2

1

O 45 90 135 180 215 270 315 360

y cos x

S O

2 3S 2

1

2

(15)

x 2 2 cos (x 60)q 2 2 cos ( 60)

2 2 1 cos ( 60) 2

2 cos ( 60) cos 45

60 45 360 x

x x

x n

q

q q

q r q q

x x 45q 60q n · 360q 105q

x x 45 60 n · 360q 15q

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {15q, 105q}.

18. Kunci: E

2 cos2 2x 5 sin

2

3

2 x

S 0 2 cos2 2x 5 cos 2x 3 0 (2 cos 2x 1)(cos 2x 3) 0 2 cos 2x 1 cos 2x 1 2 1 2 sin2 x 1 2 2 sin2 x 1 2 sin2 x 1 4 Jadi, nilai sin x 1

2 atau sin x 12. 19. Kunci: C

x cot 54 1 tan 54 x x

q o q

x tan 54 tan (45 9 ) tan 45 tan 9 1 tan 45 tan 9

1 tan 9 1 1 tan 9 x

x

q q q q q

q q

q

2 2 2

2 2

2 tan 9 1 tan 9

1 (1 ) tan 9 1 tan 9

1

( 1) ( 1)

2 1 2 1

2 2 2( 1)

2( 1)

x x

r x x

x x x x

x x

r x

q q

q

x

2 2( 1) cosec 9

1 1

x r

x x

q

20. Kunci: B

2 2

( )

12 cos 5 sin 16

(12) ( 5) 169 13 dan 16 ( )

13 cos ( ) 16 d f x

x x

k c

d f x

x D

f(x) bernilai maksimum jika penyebut minimum, sehingga

3

13( 1) 16 3

13 16 9

d

21. Kunci: D 1

sin sin (360 ( ))

2 2

sin sin

2 2

1 1

sin (180 ( ) sin ( )

2 2 ₁

1

sin sin ( )

2 2

A

B C

B C B C

B C

q

22. Kunci: A

Segitiga yang menyinggung bagian dalam lingkaran dan sisi miringnya diameter lingkaran merupakan segitiga siku-siku, sehingga

1. Kunci: A

Persamaan lingkaran

x2 y2 4x 6y 27 0

Titik (a, 1) terletak pada lingkaran, maka diperoleh

a2 12 4a 6 27 0

a2 4a 32 0 (a 8)(a 4) 0

a 8 atau a 4

2. Kunci: E

Persamaan lingkaran

x2y2 4x 10y 23 0

x2 4xy2 10y 13

BAB

10

Persamaan dan Garis

Singgung Lingkaran

C

p M

B K A

E J

180° (E J

x Perhatikan 'AKC! cos [180q (E J) AK

p

x Perhatikan 'AKM! cos [180q (E D) AM

AK

AM AK · [cos (E J)]

[p cos (E J)][cos (E J)]

p cos2 (b J)

B A

X Y Z

O

T T

Pada'YZO, cos T YO YO YO acos

YZ a T

Jadi, AB YO a cos T

(16)

x2 4x 4 y2 10y 25 13 4 25 (x 2)2 (y 5)2 16

(x 2)2 (y 5)2 42

Jadi, jari-jari 4 dan titik pusat (2, 5).

3. Kunci: E

x Ujung diameter A(2, 4) dan B(4, 2)

x Pusat 2 4 4, 2 ( 1, 3)

2 2

§ _·

¨ ¸

© ¹

x r2 (1)2 32 1 9 10

Jadi, persamaan lingkaran: (x 1)2 (y 3)2 10.

4. Kunci: C

Lingkaran: x2 4x y2 4 0

x y 4x 4 0

Pusat: 1 1 1( 4) 1(0) (2, 0)

2A 2B 2 2

§ · § ·

¨ ¸ ¨ ¸

Jarak antara pusat dengan sumbu-yadalah 2.

5. Kunci: A

x x y c

y x c rm 1

x Persamaan garis singgung lingkaran dengan jari-jari

r 2

y mx r r 1 m2 y (1)x r 2 1 12 y x r 2 2 x y r2 2 Sehingga didapat nilai c 2 2.

6. Kunci: B

x Persamaan garis singgung: y 0 1(x 1)

y x 1

8. Kunci: E

Garis menyinggung kurva y x3 3x2 2x 5 di titik T(1,3)

y 3x2 6x 2 Gradiennya pada x 1

m 3 · 12 6 · 1 2 7 Persamaan garis singgungnya:

y(3) 7(x 1)

y 7x 10

9. Kunci: A

L{x2 y2 4x 6x 6y 12 0 di titik (5, 1)

xx₁ yy₁ 1 2

· 4(x x₁) 1 2

· 6(y y₁) 12 0

x · 5 y · 1 2(x 5) 3(y 1) 12 0 5x y 2x 10 3y 3 12 0 3x 4y 19 0

10. Kunci: B

y x3 5x2 7 ... (i)

y 2x 3 o m₁ 2

KarenaAmaka m₁ · m₂ 1 2 · m₂ 1

m₂ 1

2 Absis:x 1

Substitusix 1 ke (i)

y 13 5 · 12 7 3 Diperoleh titik (1, 3)

y y₁ m₂(x x₁)

y 3 1( 1) 2 x

y 1 1 3 1 7

2x 2 y 2x 2

2y x 7 x 2y 7 0

11. Kunci: B

x l : x 2y 13 0 2y x 13

y 1 13 2x 2

x Gradienl:M_e 1 2

x g garis singgung

gA l o m_g

1 2 1 1

2 l

m m_g yc 4x 6 2

4x 8 o x 2

x 2 o 2(2) 6(2) 7 8 12 7 11 Jadi titik singgung: P(2, 11)

g melalui P(2, 11) dengan gradien 2

y y₁ m(x x₁)

y 11 2(x 2)

y 2x 4 11

y 2x 15 2x y 15 0

12. Kunci: D

Diketahui lingkaran x2 y2 4

Ditanyakan persamaan garis singgung dari titik (0, 4). Persamaan garis singung pada lingkaran yang ditarik dari titik (x , y) di luar lingkaran adalah:

y

x P(1, 2)

2

1

O 1

x Persamaan lingkaran

(x 1)2 (y 2)2 4

x2 2x 1 y2 4y 4 4

x Titik potong dengan sumbu-y x 0

y2 4y 1 0

y 4 16 4

2

r

2r 3

y₁ 2 3 atau y₂ 2 3

P 2 3 Q 2 3

x Jarak PQ _P Q_ (2 3) (2 3) 2 3 7. Kunci: B

x y x3 2x 1 dan x 1

x yc 3x2 2

m yc 3(1)2 2 3 2 1

x Substitusix 1 ke y x3 2x 1

(17)

y m(x x₁)y₁

denganm (gradien) dicari dari:

y₁ mx₁ _R ₁_m2 R Jari-jari lingkaran

Pada lingkaran di atas R 2 dan (x₁,y₁) (0, 4). Sehingga diperoleh,

2

2 2

2

4 0 2 1

2 1 1 4

4 1 3 3

m m

r

Persamaan garis singgungnya adalah

3( 0) 4 3 4

y r x r x

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y 3x4 atau y 3x4.

13. Kunci: E

Garis yang melalui titik (0, 0) adalah y mx. Kemudian substitusikan ke persamaan lingkaran.

x2y2 4x 10y 20 0

x2 (mx)2 4x 10(mx) 20 0

x2m2x2 4x 10mx 20 0 (m2 1)x2 (4 10m)x 20 0

a b c

x Syarat bersinggungan: D 0

b2 4ac 0 (4 10m)2 4(m2 1) (20) 0 16 80m 100m2 80m2 80 0 20m2 80m 64 0 5m2 20m 16 0

p p p

a b c

2

2 4 2

20 4(5)( 16) 2 5 20 400 320

10

20 720 20 12 5 10 6 5

10 10 5

b b ac

m

a b

r

r r r

Sehingga diperoleh

1 10 ₅6 5 atau 2 10 ₅6 5

m m

14. Kunci: D

m₁ · m₂ 1 1

( 1) 4 b a

§ · ¨ ¸

b 1 a 4

b a 3 ... (1)

x Persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari

r adalah

(xa)2 (yb)2 r2

x Melalui (4, 1) (4 a)2 (1 b)2 r2 ... (2)

x Melalui (8, 2) (8 a)2 (2 b)2 r2 ... (3)

x Substitusikan Persamaan (1) ke Persamaan (2) dan (3)

(4a)2 (1 b)2 (8 a)2 (2 b)2 (4a)2 (1 (a 3))2 (8 a)2 (2 (a 3))2

(4a)2 (4 a)2 (8 a)2 (5 a)2

2(16 8aa2) 64 16aa2 25 10aa2

32 16a 2a2 2a2 26a 89 10a 57

a 57 10

x Dari persamaan (2) diperoleh (4a)2 (1 b)2 r2

(4a)2 (1 (a 3)2 r2

(4a)2 (4 a)2 r2 r2 2(4 a)2

r2

2 2 ₄₀ ₅₇ 57

2 4 2

10 40

§ ·

¨ ¸ ¨ ¸

289 578

2 5,78

100 100 § _·

¨ ¸

© ¹

r 5,78 1,7 2 15. Kunci: C

Diketahui lingkaran x2 y2 25

Garis singgung di titik (3, 4) menyinggung lingkaran lain yang pusatnya (10, 5).

x Gradien garis singgung:

m ( 3) 3

4 4

x y

x Persamaan garis singgungnya melalui titik (3, 4):

4 3 3

4 ( 3)

( 3) 4 4

y

y x

x

_{... (i)}

x Karena yang ditanyakan panjang jari-jari lingkaran kedua yang berpusat di (10, 5), maka dapat langsung digunakan rumus garis singgung lingkaran berikut.

y b m(x a)R 1m2

dengan (a, b) adalah pusat lingkaran kedua.

Persamaan garis singgung dari Persamaan (i) adalah

y 4 3 4(x 3) (y 5) 1 3

4(x 10 13) (y 5) 1 3

4(x 10) 39

1 4

(y 5) 3 4(x 10)

35 4 Sehingga,

2 2 2

2

3 35 4 3 35

1

4 4 4 4

25 35 16 4

5 35 35

7

4 4 5

R R

R

R R

§ ·

_{¨ ¸} © ¹

x Garis yang melalui (a,b) dan (4, 1) A garis xy 5. Gradienxy 5 adalah 1. Sehingga diperoleh

y

5

O 5 8

P(a, b)

(8, 2) (4, 1)

(18)

Penyelesaian paling sederhana dengan sketsa.

'AOB 90q, berarti BA diameter.

Garis singgung yang melalui titik Aharus tegak lurus pada garisBA.

Persamaan garis BAadalah: 8x 6y 8 · 6 8x 6y 48

4x 3y 24 0 m₁ 4 3 Persamaan garis singgung yang melalui A(0, 8) adalah

yy₁ m(xx₁)

y 8 3 4(x 0) 4y 32 3x

3x 4y 32 0

17. Kunci: D

Diketahui persamaan lingkaran (x 4)2 (y 3)2 40 tegak lurus garis x 3y 5 0.

Pusat lingkaran (4, 3) dan r 40 Gradien garis singgungnya

x 3y 5 0 3y x 5

y 1 5 ₁ 1

3x 3 m 3

Karena tegak lurus garis, maka hasil kali gradien 1

m₁ · m₂ 1 2 2

1 ₁

3

3 m m

Maka persamaan garis singgung lingkaran (x 4)2 (y 3)2 40

yang tegak lurus garis x 3y 5 0 dapat digunakan rumus

2 2

( ) 1

3 3( 4) 40 3 1 3 12 3 40 10 3 15 400 3 15 20

y b m x a r m

y x

x x

r

r r

Sehingga diperoleh

x y₁ 3x 15 20 3x 5

x y₂ 3x 15 20 3x 35

18. Kunci: D

x y ax3 2x2di titik (1, a2) maka

x a 2 a· 13 2 · 12 a 2 a 2

x Karenaa 2 a 2, maka nilai y 0

x (1, 0) A dengan garis x 2y 4 2y x 4

y 1

1 1

2

2x m 2

x m₁· m₂ 1 1 2 2 m

2m₂ 2 Jadi persamaan garis singgungnya adalah

y m(x 1) 2(x 1) 2x 2

19. Kunci: D

x 4y 4 0 o x 4y 4 ... (i) 2x y 10 ... (ii) 2 (i) (ii) 2x 8y 8

2x y 10

9y 18

y 2 Substitusiy 2 ke (i)

x 4(2) 4

x 8 4

x 4 8 4 Diperolehx 4 dan y 2

1 1

3 4 3 4 4 2 20 4

5 5

9 16

x y

r

Persamaan lingkaran:

(x 4)2 (y 2)2 42

x2 8x 16 y2 4y 4 16 0

x2 y2 8x 4y 4 0

20. Kunci: A

x y 1 0 x y 1 ... (i)

x y 3 0 x y 3 ... (ii) 2x 4

x 2 Substitusix 2 ke (i) 2y 1 o y 1 Diperolehx 2, y 1

1 1

2 2

3 4 35 3(2) 4 1 35 9 16 3 4

6 4 35 25 5

5 5

x y

r

Persamaan lingkaran:

(x 2)2 (y 1)2 52

x2 4

Kunci Ringkasan Matematika SMA c

1. Kunci: C

Bentuk Pangkat, Akar, dan

7. Kunci: A

3. Kunci: C

7. Kunci: A

10. Kunci: D

5. Kunci: B

1. Kunci: D

4. Kunci: C

Pertidaksamaan Satu Variabel

3. Kunci: E

3. Kunci: E

6. Kunci: D

Logika Matematika

10. Kunci: A

15. Kunci: D

Ruang Dimensi Tiga

2. Kunci: C

6. Kunci: D

8. Kunci: C

14. Kunci: A

18. Kunci: D

17. Kunci: C

23. Kunci: E

• (ABC, BCD) AED

Statistika

1. Kunci: E

Nilai Frekuensi

Peluang

1. Kunci: A

3. Kunci: B

6. Kunci: C

4. Kunci: C

Trigonometri

2. Kunci: D

16. Kunci: A

12. Kunci: C

20. Kunci: B

2. Kunci: E

Persamaan dan Garis

3. Kunci: E

9. Kunci: A

13. Kunci: E

17. Kunci: D

18. Kunci: D

• (ABC, BCD) AED