PENAKSIR RANTAI RASIO DAN RANTAI PRODUK YANG EFISIEN UNTUK MENAKSIR RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

1

PENAKSIR RANTAI RASIO DAN RANTAI PRODUK YANG EFISIEN UNTUK MENAKSIR RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK

SEDERHANA

V. M. Vidya^1*, Bustami², R. Efendi²

1Mahasiswa Program S1 Matematika

2Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru, 28293, Indonesia

*viamona_unri@yahoo.com ABSTRACT

Three types of estimator are discussed for estimating the population mean in simple random sampling which is a review of Solanki, et al [4]. The estimators discussed are the chain ratio estimator and the chain product estimator proposed by Kadilar and Cingi [2] and the estimator proposed by Solanki, et al [4]. The third estimator disscussed is a biased estimator. From the three estimators, we choose the most efficient one based on mean square error and its relative efficiency. As an illustration of the discussion, we give an example of the relevant data of fish weight with the help of gonad weight of the fish.

Keywords: simple random sampling, chain ratio and chain product estimator, bias, mean square error

ABSTRAK

Tiga tipe penaksir dibahas untuk menaksir rata-rata populasi pada sampling acak sederhana yang merupakan review dari Solanki, dkk [4]. Penaksir yang dibahas adalah penaksir rantai rasio dan penaksir rantai produk yang diajukan oleh Kadilar dan Cingi [2] serta penaksir yang diajukan oleh Solanki, dkk [4]. Ketiga penaksir yang dibahas ini merupakan penaksir bias. Dari ketiga penaksir ini, dipilih yang lebih efesien berdasarkan mean square error dan relatif efisiensinya. Sebagai ilustrasi dari hasil pembahasan, diberikan contoh data yang relevan yaitu mengenai berat ikan dengan bantuan berat gonad dari ikan.

Kata kunci: sampling acak sederhana, penaksir rantai rasio dan rantai produk, bias, mean square error

1. PENDAHULUAN

Metode rasio dan produk digunakan untuk meningkatkan ketelitian penaksir dengan mengambil manfaat hubungan antara Y dan X. Misalkan yang menjadi perhatian adalah populasi Y. Untuk inferensi terhadap Y, dibantu informasi yang sudah ada terkandung

2

dalam variabel bantu X. Dengan adanya dua populasi yang berkorelasi positif, maka diperlukan penaksir rasio yang dinotasikan dengan 𝑦̅_𝑅. Dalam hal ini, untuk populasi yang berkorelasi negatif diperlukan penaksir produk yang dinotasikan dengan 𝑦̅_𝑃.

Pada sampling acak sederhana, penaksir rasio sederhana dan penaksir produk sederhana untuk rata-rata populasi Y dengan bentuk

𝑦̅_𝑅 =𝑦̅

𝑥̅𝑋̅, (1) 𝑦̅_𝑃 =𝑥̅

𝑦̅𝑋̅, (2) dimana rata-rata populasi X harus diketahui.

Berdasarkan gagasan Kadilar dan Cingi [2], suatu penaksir yang digunakan lebih dari sekali disebut penaksir rantai. Penaksir rantai rasio diperoleh ketika 𝑦̅ pada persamaan (1) disubstitusi dengan 𝑦̅_𝑅, dengan bentuk sebagai

𝑌̅̂_𝐶𝑅 = 𝑦̅ (𝑋̅

𝑥̅)

2

, (3) dan ketika 𝑦̅ pada persamaan (2) disubstitusi dengan 𝑦̅_𝑃, diperoleh penaksir rantai produk dengan bentuk sebagai

𝑌̅̂_𝐶𝑃 = 𝑦̅ (𝑥̅

𝑋̅)

2

. (4) Bentuk umum penaksir yang diajukan oleh Solanki, dkk [4] untuk menaksir rata- rata populasi dengan bentuk sebagai

𝑌̅̂_(𝛼,𝛿)= 𝑦̅ [2 − (𝑥̅

𝑋̅)

𝛼

𝑒𝑥𝑝 {𝛿(𝑥̅ − 𝑋̅)

(𝑥̅ + 𝑋̅)}], (5) dimana (𝛼, 𝛿) merupakan konstanta. Dalam bentuk khusus dengan memisalkan (𝛼, 𝛿) = (1,1) diperoleh

𝑌̅̂_(1,1) = 𝑦̅ [2 − (𝑥̅

𝑋̅) 𝑒𝑥𝑝 {(𝑥̅ − 𝑋̅)

(𝑥̅ + 𝑋̅)}]. (6) Dalam artikel ini dibahas penaksir pada persamaan (3), (4) dan (6) yang merupakan penaksir yang dibahas dalam artikel Solanki, dkk [4]. Penulis mendetilkan bias dan mean square error dari masing-masing penaksir. Kemudian, dari ketiga penaksir tersebut dipilih penaksir yang efisien berdasarkan mean square error dan relatif efisiensinya.

2. SAMPLING ACAK SEDERHANA

Sampling acak sederhana adalah suatu cara pengambilan sampel berukuran 𝑛 unit dari populasi berukuran 𝑁 unit, dimana setiap anggota populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk diambil menjadi anggota sampel. Pada sampling acak sederhana tanpa

3

pengembalian, probabilitas terpilihnya anggota 𝑛 dari 𝑁 unit populasi sebagai anggota sampel pada pengambilan pertama adalah 𝑛/𝑁, probabilitas pada pengambilan kedua adalah (𝑛 − 1)/(𝑁 − 1) dan seterusnya sampai pengambilan ke-𝑛. Maka probabilitas seluruh 𝑛 unit-unit tertentu yang terpilih dalam 𝑛 pengambilan adalah (𝐶_𝑛^𝑁)⁻¹.

Untuk pembahasan penaksir pada sampling acak sederhana diberikan teorema mengenai variansi dan kovariansi.

Teorema 2.1 [1: h. 27] Variansi dari rata-rata sampel 𝑦̅ pada sampling acak sederhana adalah

𝑉(𝑦̅) = 𝐸(𝑦̅ − 𝑌̅)² =𝑆_𝑦² 𝑛

𝑁 − 𝑛 𝑁 =𝑆_𝑦²

𝑛 (1 − 𝑓),

dengan 𝑓 = 𝑛/𝑁 adalah fraksi penarikan sampel dan ( ) ( 1)

1

2

2 



 



N Y y S

N

i i

y adalah

variansi 𝑦_𝑖 dalam sebuah populasi.

Bukti dari teorema ini dapat dilihat pada [1].

Teorema 2.2 [1: h. 29] Jika 𝑦_𝑖, 𝑥_𝑖 adalah sebuah pasangan yang bervariansi ditetapkan pada unit dalam populasi. 𝑦̅ dan 𝑥̅ adalah rata-rata dari sampel acak sederhana berukuran n, maka kovariansinya

𝐶𝑜𝑣(𝑦̅, 𝑥̅) =1 − 𝑓 𝑛

1

𝑁 − 1∑(𝑦_𝑖− 𝑌̅)(𝑥_𝑖− 𝑋̅) =1 − 𝑓 𝑛 𝜌𝑆_𝑦𝑆_𝑥

𝑁

𝑖=1

.

Bukti dari teorema ini dapat dilihat pada [1].

3. BIAS DARI PENAKSIR YANG DIBAHAS UNTUK RATA-RATA POPULASI

Untuk tujuan memeriksa penaksir bersifat bias, dapat memisalkan rata-rata sampel sebagai

𝑦̅ = 𝑌̅(1 + 𝑒₀) dan 𝑥̅ = 𝑋̅(1 + 𝑒₁), (7) dengan 𝑒₀ adalah fungsi dari 𝑦̅ dan 𝑌̅ dan 𝑒₁ fungsi dari 𝑥̅ dan 𝑋̅ yang dirumuskan sebagai

𝑒₀ = (𝑦̅ − 𝑌̅)/𝑌̅ dan 𝑒₁ = (𝑥̅ − 𝑋̅)/𝑋̅.

4 Fungsi 𝑒₀ dan 𝑒₁ mempunyai sifat khusus yaitu

𝐸(𝑒₀) = 𝐸(𝑒₁) = 0, (8) dengan menggunakan Teorema 2.1 dan Teorema 2.2 didapat

𝐸(𝑒₀²) = 𝐸(𝑦̅ − 𝑌̅)²

𝑌̅² =(1 − 𝑓)

𝑛 𝐶_𝑦², (9) 𝐸(𝑒₁²) = 𝐸(𝑥̅ − 𝑋̅)²

𝑋̅² = (1 − 𝑓)

𝑛 𝐶_𝑥², (10) 𝐸(𝑒₀𝑒₁) = 𝑐𝑜𝑣(𝑦̅ − 𝑌̅)(𝑥̅ − 𝑋̅)

𝑌̅𝑋̅ = (1 − 𝑓)

𝑛 𝑘𝐶_𝑥². (11) Penaksir pada persamaan (3) merupakan penaksir bias, dengan besar biasnya adalah

𝐵(𝑌̅̂_𝐶𝑅) ≈(1 − 𝑓)

𝑛 𝑌̅𝐶_𝑥²(3 − 2𝑘).

Penaksir pada persamaan (4) merupakan penaksir bias, dengan besar biasnya adalah 𝐵(𝑌̅̂_𝐶𝑃) ≈(1 − 𝑓)

𝑛 𝑌̅𝐶_𝑥²(1 + 2𝑘).

Bentuk umum penaksir pada persamaan (5) merupakan penaksir bias, dengan besar biasnya adalah

𝐵(𝑌̅̂_(𝛼,𝛿)) ≈1 − 𝑓

𝑛 𝑌̅𝐶_𝑥²[−(2𝛼 + 𝛿)

2 {𝑘 +(2𝛼 + 𝛿 − 2)

4 }],

dan untuk menyatakan bahwa penaksir pada persamaan (6) juga merupakan penaksir bias, maka akan ditentukan biasnya dengan mensubstitusikan persamaan (7) ke persamaan (6) menjadi

𝑌̅̂_(1,1) = 𝑌̅(1 + 𝑒₀) [2 − (1 + 𝑒₁) exp {𝑒₁

2 (1 +𝑒₁ 2)

−1

}]. (12) Kemudian sisi ruas kanan pada persamaan (12) diperluas menjadi

𝑌̅̂_(1,1)≈ 𝑌̅(1 + 𝑒₀) [2 − (1 + 𝑒₁) (1 +𝑒₁

2 (1 +𝑒₁ 2)

−1

+𝑒₁²

8 (1 +𝑒₁ 2)

−2

)]

= 𝑌̅(1 + 𝑒₀) [2 − (1 + 𝑒₁) (1 +𝑒₁

2 (1 −𝑒₁ 2 +𝑒₁²

4 − ⋯ ) +𝑒₁²

8 (1 − 𝑒₁+ ⋯ ))]

𝑌̅̂_(1,1)≈ 𝑌̅ [1 + 𝑒₀−3𝑒₁

2 −3𝑒₀𝑒₁

2 −3𝑒₁²

8 −3𝑒₀𝑒₁² 8 +𝑒₁³

8 +𝑒₀𝑒₁³

8 + ⋯ ]. (13)

5

Dari persamaan (13) error yang memiliki pangkat yang lebih besar dari dua diabaikan lalu diperoleh

𝑌̅̂_(1,1)≈ 𝑌̅ [1 + 𝑒₀−3 2𝑒₁−3

2𝑒₀𝑒₁−3

8𝑒₁²]. (14) Jika kedua ruas pada persamaan (14) dikurangkan dengan 𝑌̅, maka diperoleh

(𝑌̅̂_(1,1)− 𝑌̅) ≈ 𝑌̅ [𝑒₀−3 2𝑒₁−3

2𝑒₀𝑒₁−3

8𝑒₁²]. (15) Kemudian, dengan mengekspektasikan kedua ruas persamaan (15), maka diperoleh bias dari 𝑌̅̂_(1,1) adalah

𝐵(𝑌̅̂_(1,1)) ≈ −3(1 − 𝑓)

8𝑛 𝑌̅𝐶_𝑥²[1 + 4𝑘].

4. MSE DARI PENAKSIR YANG DIBAHAS UNTUK RATA-RATA POPULASI

Sebelumnya telah diketahui bahwa penaksir yang dibahas merupakan penaksir bias dan besar bias telah diperoleh. Selanjutnya, MSE dari masing-masing penaksir untuk rata- rata populasi pada sampling acak sederhana yaitu

MSE dari penaksir pada persamaan (3) adalah 𝑀𝑆𝐸(𝑌̅̂_𝐶𝑅) ≈1 − 𝑓

𝑛 𝑌̅²(𝐶_𝑦²+ 4𝐶_𝑥²(1 − 𝑘).

MSE dari penaksir pada persamaan (4) adalah 𝑀𝑆𝐸(𝑌̅̂_𝐶𝑃) ≈1 − 𝑓

𝑛 𝑌̅²(𝐶_𝑦²+ 4𝐶_𝑥²(1 + 𝑘).

MSE dari penaksir pada persamaan (5) adalah 𝑀𝑆𝐸(𝑌̅̂_(𝛼,𝛿))≈1 − 𝑓

𝑛 𝑌̅²[𝐶_𝑦² +(2𝛼 + 𝛿)

4 𝐶_𝑥²{(2𝛼 + 𝛿) − 4𝑘}],

kemudian MSE dari penaksir pada persamaan (6) juga merupakan penaksir bias, sehingga MSE diperoleh dengan mengkuadratkan persamaan (15) dan suku-suku yang memiliki error lebih dari dua diabaikan, sehingga MSE dari penaksir 𝑌̅̂_(1,1) adalah

𝑀𝑆𝐸(𝑌̅̂_(1,1)) ≈(1 − 𝑓)

𝑛 𝑌̅²(𝐶_𝑦² +3

4𝐶_𝑥²(3 − 4𝑘)).

6

Selanjutnya, akan ditentukan penaksir yang lebih efisien dengan membandingkan MSE dari masing-masing penaksir yang telah didapat.

5. PERBANDINGAN EFISIENSI

Penaksir bias yang efisien untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana dapat diperoleh dengan membandingkan MSE dari penaksir. Perbandingan efisiensi dari ketiga penaksir yang diajukan, yaitu

1. Perbandingan antara MSE 𝑌̅̂_(1,1) dengan MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑅 diperoleh MSE 𝑌̅̂_(1,1) < MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑅 jika

𝑋̅ <7 4

𝑆_𝑥 𝜌𝐶_𝑦

2. Perbandingan antara MSE 𝑌̅̂_(1,1) dengan MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑃 diperoleh MSE 𝑌̅̂_(1,1) < MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑃 jika

𝑋̅ < −1 4

𝑆_𝑥 𝜌𝐶_𝑦

3. Perbandingan antara MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑅 dengan MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑃 diperoleh MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑅 < MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑃 jika 𝑋̅ > 0

6. ILUSTRASI PEMBAHASAN

Sebagai contoh dari pembahasan, berikut ini penulis hadirkan data yang berguna untuk ilustrasi. Data mengenai pengukuran berat ikan dan berat gonad ikan barau di daerah Koto Panjang [3]. Pengukuran berat ikan barau berdasarkan 85 sampel ikan barau di Waduk PLTA Koto Panjang, Provinsi Riau. Dalam hal ini berat ikan barau dinyatakan Y. Sebagai informasi tambahan, digunakan berat gonad ikan barau yang dinyatakan dengan X. Hasil perhitungan yang diperoleh dari data dengan bantuan Microsoft Excel sebagaimana tertera pada Tabel 1.

Tabel 1 Statistik dalam Notasi

𝑁 85 𝐶_𝑥² 2.728788433

𝑛 25 𝑆_𝑦 514.2339306

𝑌̅ 405.9094118 𝑆_𝑥 9.556362683

𝑋̅ 5.785057647 𝑓 0.294117647

𝐶_𝑦 1.266868704 𝜌 0.905983151

𝐶_𝑥 1.651904487 𝑘 0.694811177

𝐶_𝑦² 1.604956314

7

Selanjutnya, nilai-nilai yang tertera pada Tabel 1 disubstitusikan ke dalam mean Square error masing-masing penaksir yang disajikan pada Tabel 2.

Tabel 2 Nilai MSE dari Penaksir

No. Penaksir MSE

1. 𝑌̅̂_(1,1) 8236.678

2. 𝑌̅̂_𝐶𝑅 22963.49

3. 𝑌̅̂_𝐶𝑃 93526.52

Dengan menggunakan informasi dari data di atas, diperoleh bahwa 1. MSE 𝑌̅̂_(1,1) < MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑅 jika

𝑋̅ <7 4

𝑆_𝑥 𝜌𝐶_𝑦 2. MSE 𝑌̅̂_(1,1) < MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑃 jika

𝑋̅ < −1 4

𝑆_𝑥 𝜌𝐶_𝑦 3. MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑅 < MSE 𝑌̅̂_𝐶𝑃 jika

𝑋̅ > 0

7. KESIMPULAN

Dari pembahasan diatas diperoleh bahwa penaksir 𝑌̅̂_(1,1) lebih efisien dari penaksir 𝑌̅̂_𝐶𝑅, penaksir 𝑌̅̂_(1,1) lebih efisien dari penaksir 𝑌̅̂_𝐶𝑃 dan penaksir 𝑌̅̂_𝐶𝑅 lebih efisien dari penaksir 𝑌̅̂_𝐶𝑃 jika syarat efisiensi terpenuhi.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Cochran. W. G. 1991. Teknik Penarikan Sampel, Edisi Ketiga. Terj. Dari Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E. R Osman. UI Press, Jakarta.

[2] Kadilar, C. & H. Cingi. 2003. A study on the chain ratio-type estimator, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics. 32: 105-108.

[3] Safrina, N. 2007. Aspek Biologi Reproduksi Ikan Barau (Hampala macrolepidota c. v) di Waduk PLTA Koto Panjang. Skripsi FAPERIKA Universitas Riau, Pekanbaru.

[4] Solanki, S. R., P. H. Singh & A. Rathour. 2012. An Alternative Estimator for Estimating the Finite Population Mean Using Auxiliary Information in Sample Surveys, International Scholarly Research Network. 2012: 1-14.