MODUL 1 PENGANTAR PROGRAM MATLAB DAN PENGGUNAANNYA UNTUK ALJABAR MATRIKS SEDERHANA

(1)

MODUL 1

PENGANTAR PROGRAM MATLAB DAN PENGGUNAANNYA UNTUK ALJABAR MATRIKS SEDERHANA

KOMPETENSI:

1. Mengenal dan dapat mengoperasikan program MATLAB pada PC.

2. Memiliki ketrampilan dasar menggunakan MATLAB untuk operasi aljabar matriks sederhana.

3. Mengenal fungsi‐fungsi dalam MATLAB.

4. Dapat mencari determinan dan invers dari suatu matriks.

5. Dapat mengaplikasikan persamaan linear simultan dalam bentuk matriks pada Matlab.

I. DASAR TEORI

PENGANTAR PROGRAM MATLAB

Pada awalnya MATLAB merupakan kependekan dari MATrix LABoratory, namun pada perkembangan selanjutnya MATLAB juga pantas dijuluki MAThematical Laboratory. Sesuai dengan namanya maka MATLAB merupakan sebuah paket perangkat lunak yang sangat dibutuhkan dalam operasi‐operasi matriks dan matematika, baik dalam aljabar maupun bilangan kompleks, fungsi‐fungsi matriks, analisis data, polinomial, pengintegralan, pendeferensialan, persamaan‐persamaan nonlinear, interpolasi, pemrosesan sinyal, dll. MATLAB juga telah memiliki sejumlah perintah yang siap pakai (Built‐in), baik berupa variabel, pernyataan, maupun fungsi yang dapat langsung digunakan. Dengan kemampuan‐kemampuan tersebut, MATLAB merupakan alat bantu yang handal.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa Matlab adalah suatu program interaktif yang bekerja sebagai piranti untuk melakukan komputasi yang menyangkut matrik dan matematika. MATLAB menyediakan rutin‐rutin komputasi matrik yang mudah diakses dan dikembangkan untuk aplikasi pada bidang tertentu, misalnya bidang teknik.

Paket perangkat lunak MATLAB pertama kali dikembangkan dalam proyek LINPACK dan CISPACK tahun 1964. MATLAB sendiri merupakan program yang ditulis dan dikompilasi dengan FORTRAN, sehingga untuk memakainya diperlukan diperlukan sedikit pengetahuan mengenai sintaks Fortran. Meskipun begitu, untuk penulisan MAT‐filenya MATLAB tetap terbuka untuk bahasa pemrograman selain FORTRAN, misalnya bahasa PASCAL dan bahasa C.

Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik -1

(2)

A. MEMBUAT MATRIK

1. Dengan menuliskan elemen per elemen

‐ spasi digunakan untuk memisahkan elemen dalam suatu baris

‐ tanda semicolon ( ; ) digunakan untuk memisahkan baris dengan baris berikutnya.

‐ elemen‐elemen matrik diletakkan di antara tanda [ dan ] Contoh:

>> A = [ 3 9 2; 2 0 4; 8 6 7 ] hasilnya adalah:

A =

7 6 8

4 0 2

2 9 3

Untuk matrik yang besar dapat dinyatakan ke dalam beberapa baris input dengan carriage return (ENTER) menggantikan tanda ; .

Contoh:

>> A = [ 3 9 2 <ENTER>

2 0 4 <ENTER>

8 6 7 ] <ENTER>

yang hasilnya adalah :

A =

7 6 8

4 0 2

2 9 3

2. Dengan perintah FOR dan WHILE

Elemen‐elemen matrik dapat dimasukkan dengan rumus‐rumus sederhana.

Contoh:

>> For i = 1:3, For j = 1:3,

a(i,j) = 4*i‐(3+j);

end

3. Dengan rutin‐rutin di MATLAB Misal untuk membuat :

(3)

a. Matrik satuan orde nxn

>> ones(n)

b. Matrik satuan identitas berorde nxn >> eye(n)

c. Matrik yang elemennya acak berorde nxn

>> rand(n)

d. Matrik dengan elemen bilangan Segitiga Pascal berorde nxn

>> pascal(n)

BEBERAPA OPERASI MATRIK DASAR

1. Operasi penambahan ( dengan operator ‘+’ ) 2. Operasi pengurangan ( dengan operator ‘‐’ ) 3. Operasi perkalian ( dengan operator ‘*’ )

4. Operasi pembagian ( dengan operator ‘/’ atau ‘\’ )

BEBERAPA FUNGSI PADA MATLAB : 1. Mencari Determinan suatu matrik

>> det(A)

2. Mencari Invers suatu matrik

>> inv(A)

3. Penjumlahan elemen diagonal suatu matrik

>>trace(A)

4. Mencari koefisien persamaan polinomial

>> poly(A)

5. Mencari akar dari persamaan polinomial

>> roots(A)

BEBERAPA PERINTAH BAKU PADA MATLAB :

1. Menampilkan nama file yang ada di direktori MATLAB subdirektori BIN

>> dir

2. Menampilkan nama variabel yang kita buat

>> who

3. Menampilkan variabel dan keterangannya

(4)

>> whos

4. Untuk menghapus semua variabel dan nilai yang kita buat

>> clear

MEMBUAT SCRIPT FILE

Untuk persoalan komputasi yang spesifik, MATLAB menyediakan fasilitas makro bagi pemakainya, yang disebut M‐file MATLAB karena ekstension filenya .M. Dengan fasilitas makro ini pemrograman terhadap rutin‐rutinnya dapat dilakukan sendiri oleh pemakai. Script file merupakan file yang berisi sekumpulan instruksi. Jika file ini dijalankan, maka instruksi‐instruksi tersebut akan dijalankan secara berurutan. Dengan menuliskan nama file, kita dapat memanggil isi file tersebut. Cara membuatnya adalah sbb:

A. Dengan kembali ke prompt C.

‐ tulis ! lalu tekan Enter

‐ ketikkan copy con namafile.m kemudian tekan Enter.

‐ tuliskan isi file yang diinginkan.

‐ akhiri dengan menekan CTRL Z (^Z).

‐ untuk memanggil, masuklah ke MATLAB kemudian tuliskan namafile lalu tekan Enter.

B. Dengan EDITOR DOS

‐ tuliskan !edit <ENTER>

‐ tuliskan isi file

‐ simpanlah file

‐ keluar dari EDITOR DOS

‐ untuk memanggil, ketik nama file lalu tekan Enter.

C. Dengan NOTEPAD

‐ dengan menggunakan mouse, klick di File Æ New Æ M‐file

‐ tuliskan isi file

‐ simpanlah file pada direktori BIN dengan tahapan‐tahapan berikut :

• untuk pilihan FILE NAME, isilah dengan nama dari script‐file beserta ekstension‐nya.

Adapun ekstension dari script‐file Matlab adalah .M , contoh : data . m

• untuk pilihan SAVE AS TYPE, pilihlah : ALL FILES (*.*).

• lalu klik‐lah pilihan SAVE.

‐ keluar dari NOTEPAD

(5)

‐ untuk memanggil klick di FileÆ Run Æ M‐file, ketik nama file lalu klick OK, atau dapat juga dengan langsung mengetikkan nama dari Script‐filenya.

BEBERAPA HAL YANG HARUS DIPERHATIKAN MENGENAI MATLAB :

1. MATLAB hanya dapat digunakan untuk matrik‐matrik persegi panjang dengan elemen bilangan kompleks.

2. Bila bagian imaginer bernilai nol maka tidak akan dicetak tetapi masih disediakan tempat di memori.

3. Matrik 1x1 dianggap sebagai skalar.

4. Matrik 1xn dianggap vektor baris.

5. Matrik mx1 dianggap vektor kolom.

6. MATLAB adalah software yang case sensitive, jadi huruf besar dan huruf kecil dianggap berbeda . Contoh‐nya : variabel ‘A’ berbeda dengan variabel ‘a’. Untuk sintaks‐sintaks dan fungsi‐fungsi baku dalam MATLAB sebaiknya digunakan huruf kecil.

7. Untuk melihat susunan fungsi‐fungsi yang disediakan MATLAB dapat dilihat dengan menggunakan perintah HELP.

Syntax penulisan : >> help <ENTER> atau >> help nama fungsi <ENTER>

ALJABAR MATRIK DAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN

A. Penjumlahan dan Pengurangan Matrik.

Penjumlahan dan pengurangan matrik merupakan dua operasi matrik yang mirip.

Pengurangan merupakan operasi invers dari penjumlahan. Definisi penjumlahan matrik adalah sbb :

jika A = [aij] dan B = [bij] dimana i = 1,2,3,...m dan j = 1,2,3,..n C = A + B jika dan hanya jika C = [cij]mxn dan cij = aij + bij B. Perkalian Matrik.

Definisi perkalian matrik adalah :

bila A = [aij] dengan ordo m x p, dan B = [bij] dengan ordo p x n, maka C = A x B jika dan hanya jika

C=[ ]cij _mxn

dan ∑

=

×

= ^p

k

kj ik

ij a b

c

1

(6)

C. Identitas

Matrik identitas yang dimaksud di sini adalah matrik satuan identitas pada operasi perkalian.

Definisi matrik satuan identitas adalah :

Matrik diagonal yang seluruh elemen diagonalnya sama dengan satu.

D. Determinan

Determinan adalah nilai skalar yang dimiliki oleh sebuah matrik bujur sangkar. Nilai ini diperoleh sebagai hasil penjumlahan semua suku yang dibentuk oleh permutasi elemen.

dari setiap vektor yang dapat dibentuk dari matrik tsb.

Didefinisikan sbb :

] det[

) 1 ( ) , (

) , ( ]

[

1

ik k

i n

k ik

a k

i cofactor

k i cofactor a

A Det

×

−

=

×

=

+

∑=

dimana :

aik = matrik A yang dibuang baris i dan kolom k E. Invers.

Invers suatu matrik adalah matrik yang memenuhi definisi berikut ini:

Jika A = [aij] dengan ordo nxn maka

A‐1 = [aij] dengan ordo nxn dan memenuhi AA‐1 = I

A‐1A = I

PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN.

Bentuk persamaan linear simultan adalah sbb : a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + ...+ a3nxn = b3 .... ... ... ...

am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

Persamaan linear diatas dapat ditulis dalam bentuk matrik sbb : A x X = B

(7)

a a a

x x x

x

b b b

b

n n n

m m mn m m

11 12 1

21 22 2

31 32 3

1 2

1 2 3

...

... ...

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

∗

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

Sehingga persamaan linear diatas dapat diselesaikan dengan operasi matrik seperti berikut ini:

A. Metode Determinan

x

A

j A

= j

Keterangan : Aj adalah matrik A yang kolom ke j diganti dengan B. Metode Invers

A.X = B

A‐1.A.X = A‐1.B

I.X = A‐1.B atau X = A‐1.B C. Metode Pembagian

X = A \ B

X = A\B = inv(A)*B adalah pembagian kiri atau perkalian sebelah kiri matrik B dengan invers matrik A. Hal ini sama artinya dengan penyelesaian

X dari persamaan : A*X=B X=inv(A)*B

II. DEMO

MENGENAL LINGKUNGAN PROGRAM MATLAB

1. Untuk masuk ke program Matlab, pertama‐tama klik start ‐> Program ‐> Developer ‐>

Matlab 6.5.1 atau carilah dimana program Matlab tersebut berada. Setelah melakukan langkah tersebut maka akan tampak tampilan program Matlab seperti berikut :

(8)

Command History Command Window

Workspace

Jadi pada Layar Matlab terdapat 3 komponen penting yang akan dijelaskan dibawah ini :

• Workspace : Menampilkan semua variable yang pernah dibuat meliputi nama variable, ukuran, jumlah byte dan class.

• Command Window : Tempat utama untuk mengetikkan perintah – perintah Matlab dan tempat untuk menampikan hasil eksekusi dari perintah.

• Command History : Menampilkan perintah ‐ perintah yang telah diketikkan pada command Window.

• Apabila kita ingin menghapus variabel – variabel yang telah dibuat maka kita mengetikkan perintah >> clear

• Apabila kita ingin menyimpan listing program yang telah diketik maupun hasilnya maka kita tinggal me‐blok bagian yang ingin disimpan kemudian lakukan perintah Copy (Ctrl‐C) dan kemudian klik icon New dan akan tampil jendela M‐File kemudian kita lakukan perintah Paste (Ctrl‐V), Selanjutnya klik Menu File kemudian klik Sub Menu Save As

(9)

kemudian kita tentukan tempat penyimpanannya, nama File‐nya dan diberi extension .M (Misal nama File data menjadi data.M) dan untuk Save As Type diisi dengan All Files akhiri dengan mengklik Save.

MELAKUKAN OPERASI ‐ OPERASI DASAR PADA MATLAB

2. Apabila kita ingin mendefinisikan sebuah matrik maka kita mengetikkan pada command window sebagai berikut :

>> A=[ 0 1 2 ; 3 5 6 ; 7 7 9]

Setelah mengetikan perintah tersebut kemudian kita menekan ↵ (enter) dan akan tampak hasil sebagai berikut :

A =

0 1 2 3 5 6 7 7 9

3. Setelah mendefinisikan sebuah matrik, berikutnya dicoba untuk mendefinisikan sebuah vector. Vektor ada 2 macam yaitu vector baris dan vector kolom, untuk membuatnya kita mengetikkan perintah sebagai berikut :

Vector baris :

>> A=[ 1 5 9 ]

Tekan enter dan muncul hasil yaitu : A =

1 5 9

Vector Kolom :

>> A=[ 1 ; 2 ; 3 ]

Tekan enter dan muncul hasil yaitu : A =

1 2 3

(10)

4. Beberapa Operasi Matrik Dasar :

• Operasi penambahan ( + )

Misalkan ada 2 matrik yaitu matrik A :

>> A =[1 2 ; 3 4]

A = 1 2 3 4

Dan Matrik B

>> B = [5 6 ; 7 8 ] B =

5 6 7 8

Kemudian dilakukan operasi penambahan, jadi pada Matlab kita mengetikkan :

>> A + B

Tekan Enter dan muncul hasil yaitu : ans =

6 8 10 12

• Operasi Pengurangan ( ‐ )

Masih dengan Matrik A dan B diatas, kemudian dilakukan operasi pengurangan dengan kita mengetikkan :

>> A ‐ B

Tekan enter dan muncul hasil yaitu : ans =

‐4 ‐4 ‐4 ‐4

• Operasi Perkalian ( * )

Masih dengan Matrik A dan B diatas dan untuk pengalinya maka kita definisikan sebuah skalar pada matlab yaitu k = 3 :

>> k=3

Modul 2 –Fungsi M dan Fungsi Grafik -10

(11)

Hasil : k = 3

Kemudian dilakukan proses perkalian yaitu :

>> A * k Hasil : ans = 3 6 9 12

• Operasi Pembagian ( / )

Masih dengan matrik A dan B serta skalar k =3 diatas, kemudian dilakukan proses pembagian yaitu :

>>B/k Hasil : ans =

1.6667 2.0000 2.3333 2.6667

MELAKUKAN FUNGSI ‐ FUNGSI PADA MATLAB 5. Determinan

Masih dengan Matrik A yaitu : A =

1 2 3 4

Kemudian dilakukan pencarian determinan dari matriks A dengan mengetikkan :

>> det(A) Hasil : ans = ‐2

(12)

6. Invers

Masih dengan Matrik A, kemudian dilakukan pencarian Invers dari Matrik A dengan mengetikkan :

>> inv(A) Hasil : ans =

‐2.0000 1.0000 1.5000 ‐0.5000

7. Trace

Masih dengan Matrik A, dilakukan operasi trace yaitu penjumlahan elemen diagonal suatu matrik :

>> trace(A) Hasil : ans = 5

8. Poly

Misalkan ada suatu persamaan : x² + x – 12 = 0 dan akar – akarnya adalah x=3 dan x=‐4, kemudian akan dicari koefisien persamaan polynomial‐nya jadi kita mengetikkan :

Sebelumnya dibuat sebuah variabel yang berisi akar‐akar persamaan diatas : m=[3 ‐4]

Hasil : m = 3 ‐4

Kemudian untuk mencari koefisien persamaan polinomial diketikkan : poly(m)

Hasil : ans =

1 1 ‐12

(13)

9. Roots

Masih menggunakan persamaan diatas, kemudian akan dicari akar dari persamaan polinomial‐nya :

Diketikkan :

>> roots(ans)

ans merupakan koefisien persamaan polynomial yang telah ditemukan pada langkah sebelumnya.

Hasil : ans =

‐4

3

MEMBUAT MATRIK DENGAN ALGORITMA PERULANGAN FOR . .

Untuk membuat matrik dengan perulangan for maka kita mengetikkan algoritma‐nya pada command window setelah pengetikan selesai diakhiri dengan end yang menyatakan akhir dari program.

>>for i=1:3,

for j=1:3,

a(i,j)=i+j;

end

Program tersebut berarti didefinisikan i dari 1 sampai 3 yang merupakan baris dari matrik dan kemudian juga didefinisikan j dari 1 sampai 3 yang merupakan kolom matrik.

Kemudian dibuat matrik a yang setiap elemen‐nya merupakan hasil penambahan dari i dan j sesuai looping yag berjalan.

Untuk mengetahui hasilnya maka diketikkan a yang merupakan variable penampung hasil eksekusi program :

>> a Hasilnya : a =

2 3 4

(14)

3 4 5 4 5 6

MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN DALAM BENTUK MATRIKS Kasus:

Ubahlah persamaan linear berikut menjadi persamaan matriks A * X = b, kemudian cari nilai x1, x2, x3 dan x4 !

A. Membuat Model Matematis:

x1 + x2 + x3 + x4 = 3 x1 ‐ 2x2 + 3x3 + 4x4 = 15 3x1 + 2x2 ‐ 3x3 + 2x4 = 24 2x1 + 4x2 + 3x3 ‐ 2x4 = 17

B. Mengubah ke bentuk matriks dan selesaikan dengan Matlab:

Teori metode determinan : 1. Membuat matriks A

>> A=[ 1 1 1 1 ; 1 ‐2 3 4 ; 3 2 ‐3 2 ; 2 4 3 ‐2 ] A =

1 1 1 1 1 ‐2 3 4 3 2 ‐3 2 2 4 3 ‐2

2. Membuat vektor kolom b

>> b=[ 3 ; 15 ; 24 ; 17 ] b =

3 15 24 17

(15)

3. Mencari determinan matriks A

>> da=det(A) da =

‐54

4. Mencari determinan matriks A1, dimana A1 adalah matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen vektor kolom b.

>> A1=A A1 =

1 1 1 1 1 ‐2 3 4 3 2 ‐3 2 2 4 3 ‐2

>> A1(:,1)=b A1 =

3 1 1 1 15 ‐2 3 4 24 2 ‐3 2 17 4 3 ‐2

>> da1=det(A1) da1 =

‐1212

5. Mencari determinan matriks A2, dimana A2 adalah matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen vektor kolom b.

>> A2=A A2 =

1 1 1 1 1 ‐2 3 4 3 2 ‐3 2

(16)

2 4 3 ‐2

>> A2(:,2)=b A2 =

1 3 1 1 1 15 3 4 3 24 ‐3 2 2 17 3 ‐2

>> da2=det(A2) da2 =

641

6. Mencari determinan matriks A3, dimana A3 adalah matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen vektor kolom b.

>> A3=A A3 =

1 1 1 1 1 ‐2 3 4 3 2 ‐3 2 2 4 3 ‐2

>> A3(:,3)=b A3 =

1 1 3 1 1 ‐2 15 4 3 2 24 2 2 4 17 ‐2

>> da3=det(A3) da3 =

‐48

(17)

7. Mencari determinan matriks A4, dimana A4 adalah matriks A yang kolom keempat diganti dengan elemen vektor kolom b.

>> A4=A A4 =

1 1 1 1 1 ‐2 3 4 3 2 ‐3 2 2 4 3 ‐2

>> A4(:,4)=b A4 =

1 1 1 3 1 ‐2 3 15 3 2 ‐3 24 2 4 3 17

>> da4=det(A4) da4 =

457

8. Mencari nilai x1, x2, x3, x4, x5

>> x1=da1/da x1 =

22.4444

>> x2=da2/da x2 =

‐11.8704

>> x3=da3/da x3 =

0.8889

(18)

>> x4=da4/da x4 =

‐8.4630

III. LATIHAN TERPANDU LANGKAH‐LANGKAH KERJA:

1. Pada windows, klik‐lah shortcut MATLAB dua kali.

2. Membuat matrik A dengan memasukkan elemen per elemen.

Kerjakan :

>> A1 = [ 6 2 9 ; 7 0 4 ; 1 9 5 ] >> a1 = [6 2 9

7 0 4 1 9 5 ] Buatlah juga

>> Y = [ 2 ; 7 ; 0 ; 1 ] Cetak hasilnya!

3. Membuat matrik dengan menuliskan elemen per elemen

Membuat matrik sembarang dengan cara yang sama seperti di atas ( elemen matriksnya dimasukkan satu per satu ).

Buatlah:

a. Matrik kosong dengan nama MK.

b. Matrik satuan orde 3x3 dengan nama MS.

c. Matrik satuan identitas berorde 3x3 dengan nama MSI.

d. Vektor baris dengan orde 1x4 dengan nama VB.

e. Vektor kolom dengan orde 5x1 dengan nama VK.

f. Matrik bujur sangkar dengan orde 4x4 dengan nama MBS.

g. Matrik persegi panjang dengan orde 2x5 dengan nama MPP.

Cetak hasilnya!

4. Membuat matrik dengan perintah for.

(19)

Tuliskan:

>>for i = 1:4, for j = 1:4,

a2(i,j) = j*(2‐i)+i;

end end

Untuk mengetahui hasilnya ketiklah

>> a2

Cetaklah hasilnya!

Apa yang terjadi jika tanda titik koma ‘;’ dalam perintah diatas diganti dengan tanda koma?

Jelaskan!

5. Membuat matrik dengan rutin di MATLAB a. Matrik satuan orde 3x3

>> ones(3)

b. Matrik satuan identitas berorde 3x3 >> eye(3)

c. Matrik yang elemennya acak berorde 4x4

>> rand(4)

d. Matrik Segitiga Pascal berorde 5x5

>> pascal(5)

6. Membuat dan membaca file data / script‐file.

Buatlah script‐file dalam Matlab dengan menggunakan Notepad. Ikutilah langkah‐langkah‐

nya seperti pada dasar teori. Lalu kerjakan :

• Untuk script‐file dengan nama TES1.M : A2 = [ 8 9 0 ; 5 6 7 ; 3 2 1 ]

• Untuk script‐file dengan nama TES2.M : for i = 1:5,

for j = 1:5,

b(i,j) = i*(j‐5);

end

(20)

• Simpanlah file TES1.M dan TES2.M di direktori MATLAB dan sub direktori WORK.

• Setelah keluar dari Notepad , tuliskan di workspace Matlab:

>>TES1 dan juga >>TES2

Cetak hasil / output script‐nya ( Script‐file nya tidak perlu di‐print ) !

7. Operasi aljabar matrik sederhana Buatlah / kerjakan :

>> A = [ 2 6 4 3; ‐1 5 ‐2 1 ; 3 0 7 2 ] >> B = [ 2 9 5 ‐3; 2 3 12 4 ; 0 12 14 2]

>> C = [ ‐8 0 9 5; 1 ‐31 2 4 ; 5 6 1 0 ] >> D = [ 3 ; 1 ; 0; 8]

>> k = 3

a. Penjumlahan Matrik Kerjakan!

>> E1 = A + B

>> E2 = B + A

>> E3 = (A + B) + C

>> E4 = C + B + A

Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak ! b. Pengurangan matrik

Tuliskan :

>> F1 = A ‐ B

>> F2 = B ‐ A

Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak!

c. Perkalian skalar dengan matrik Tuliskan :

>> G1 = k * A

>> G2 = K * ( A+B+C )

>> G3 = k*A + k*B + k*C

(21)

d. Pembagian matrik dengan scalar

>> H1 = A/k

>> H2 = B/k Cetak hasilnya!

e. Transpose

>> I1 = A’

>> I2 = B’

Cetak hasilnya!

f. Buatlah matrik persegi panjang I3:

>> I3 = [‐3 1 11 0; 2 ‐1 5 0 ; 0 6 ‐4 12 ] >> I4 = ( I3 )’

Cetak hasilnya!

g. Pemangkatan matrik Tuliskan

>> pkt = 3 >> J1 = A^3 >> J2 = B^pkt

10. Perkalian matrik Kerjakan:

>> K1 = A*B

>> K2 = (A*B)*D

>> K3 = B*A

>> K4 = A*D

>> K5 = A*(B*D)

11. Pembagian matrik Kerjakan :

>> L1 = A / B

>> L2 = B \ A

12. Operasi Array

a. Penjumlahan dan pengurangan array

(22)

Buatlah matrik:

>> X = [ 1 2 3 4; 7 8 9 2; 3 7 1 11 ]

>> Y = [ 4 3 6 1; 1 7 1 4; 2 8 4 2]

Kerjakan >> Z1= X + Y >> Z2 = X – Y Cetak hasilnya!

b. Perkalian dan pembagian array Kerjakan :

>> W1 = X . * Y >> W2 = X . / Y

c. Pemangkatan Kerjakan:

>> V1 = X .^Y

>> V2 = X .^2

13. Manipulasi vektor dan matrik.

a. Kerjakan perintah berikut, perhatikan apa yang terjadi dan catat hasilnya!

>> x1 = 1: 5

>> y1 = 0 : pi/4 : pi

>> z1 = 6 : ‐1 : 1

>> x2 = [ 0.0 ; 0.2 ; 3.0];

>> y2 = exp( ‐x2 ) .* sin( x2 );

>> [x2 y2]

b. Kerjakan juga dan amati apa yang terjadi !

>> kn = linspace(‐pi,pi,4)

>> kj = logspace(‐pi,pi,4) Cetak hasilnya!

(23)

c. Operasi subscript/indeks

Operasi subscript dilakukan untuk membaca sebagian/subset/elemen dari suatu matriks atau vector.

Tuliskan

>> A

>> A(3,3) = A(1,3) + A(3,1)

>> A(1,1) = A(2,2) ‐ B(3,3)

>> A

Cetak hasilnya! Bandingkan antara matriks A yang pertama dengan matriks berikutnya setelah kedua operasi diatas dikerjakan !

Kerjakan juga operasi‐operasi berikut ini :

>> A

>> A(1:3,2)

>> A(1:2,2:3)

>> A(:,1)

>> A(1:3,:)

Cetak dan amati hasilnya untuk setiap perintah‐perintahnya !

kerjakan juga matrik berikut:

>> CC = [1 2; 3 4; 5 6]

>> DD = CC(:)

Cetak dan amati hasilnya untuk setiap perintah‐perintahnya !

14. Format Output Tuliskan

>> Q = A* 22/7

>> format long, Q

>> format short, Q Cetak dan amati hasilnya !

15. Operasi untuk menggabungkan Matrik Buatlah matrik‐matrik berikut ini:

>> M1 = [ 8 1 33; 8 4 11; 4 2 12]

>> M2 = [1 4; 1 2; 0 3]

(24)

>> M3 = [1 2 3 4 5]

Tulislah :

>> R1 = [M1 M2]

>> R2 = [M1 M2; M3]

>> R3 = [ M1 [ 1 1; 1 1; 1 1] ; [ 2 2 2 2 2 ] ] Cetak dan amati hasilnya!

16. Fungsi‐fungsi Elementer

Cobalah fungsi‐fungsi elementer berikut ini !

>> exp(M1)

>> log(M1)

>> sqrt(M1)

Cobalah fungsi‐fungsi trigonometri berikut ini ! Sebelumnya buatlah matrik MA1

>> MA1 = [ 0 0.5 ; 0.25 0.75 ]

>> sin(MA1)

>> acos(MA1)

>> atanh(MA1) Cetak hasilnya !

17. Memakai Variabel Terdefinisi (eye, ans, rand) Tuliskan

>> S = A + 3 * eye >> ans

>> for I=1:2, for j = 1:2,

t(I,j) = rand;

end

>> t

Cetak hasilnya dan sebutkan fungsi masing‐masing variabel yang anda gunakan di atas!

(25)

18. Polinomial dan akar‐akarnya Buatlah matrik

>> MM =[ 1 4 4 0; 2 ‐5 2 1; 7 1 5 4]

Kerjakan perintah

>> pp = poly(MM)

>> rr = roots(pp)

Buktikan bahwa perintah poly adalah invers dari roots, dan juga sebaliknya!

19. Kombinasi perintah‐perintah Matlab Kerjakan perintah‐perintah berikut : >> pld = pascal ( length ( diag ( MM ) ) ) >> essi = eye ( sum ( size ( inv ( MM ) ) + 1 ) )

Perhatikan hasil dari masing‐masing perintah diatas ! Jelaskan bagaimana hasil‐hasil tersebut diperoleh pada laporan Anda.

20. Matrik Identitas Kerjakan :

>> Idt1 = A * eye

>> Idt2 = eye * A

Apakah yang dimaksud dengan EYE? Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak !

21. Determinan Kerjakan :

>> dtm1 = det(A)

>> dtm2 = det(B) Cetak hasilnya !

Carilah determinan C secara ekspansi baris pada laporan resmi Anda !

22. Invers

Kerjakan : Inr1 = inv(A) Inr2 = inv(B) Inr3 = A*Inr1

Cetak hasilnya dan amati serta jelaskan sifat‐sifat yang tampak !

(26)

Carilah invers C secara manual pada laporan resmi Anda !

23. Persamaaan Linear Simultan

Sebelum masuk ke langkah ini, kerjakan dulu :

>> clear all

a. Ubahlah persamaan linear berikut menjadi persamaan matriks A * X = B ! 8x1 ‐ 3x2 + 1x4 = 32

2x1 ‐ 5x2 + 5x3 + 4x4 = 26 x2 + x3 + 2x4 = 8 2x1 + x2 + 6x3 + 2x4 = 1

Ketikan matriks A dan B dari persamaan diatas!

b. Tentukan

4 3 2

1 , , ,

, A A A A

A dengan :

untuk | A | :

>> DA = det(A)

untuk | A₁| :

>> A1 = A >> A1(: , 1) = B >> DA1 = det(A1)

untuk | A₂ | :

>> A2 = A

>> A2( : , 2 ) = B

>> DA2 = det(A2)

untuk | A₃ | :

>> A3 = A >> A3( : , 3 ) = B >> DA3 = det(A3)

(27)

untuk | A₄ | :

>> A4 = A

>> A4( : , 4 ) = B

>> DA4 = det(A4)

Cetak semua hasil determinan diatas!

c. Carilah nilai x1 , x2 , x3 , x4 yang merupakan penyelesaian persamaan diatas sesuai dengan teori metode determinan.

Cetak langkah anda serta hasilnya! ( untuk rumus‐nya dilihat pada dasar teori ! )

d. Carilah x1 , x2 , x3 , x4 yang merupakan penyelesaian persamaan diatas sesuai dengan teori metode invers sebagai berikut :

>> X = inv(A) * B

Cetak langkah anda dan hasilnya!

e. Carilah x1 , x2 , x3 , x4 yang merupakan penyelesaian persamaan diatas sesuai dengan pembagian matriks sebagai berikut :

>> X = A\ B

Cetak hasilnya dan bandingkan dengan hasil dari dua metode sebelumnya ! 24. Menggunakan help

Tuliskan >>help >>help length >>help Abs

Cobalah gunakan fungsi‐fungsi dibawah dengan bantuan informasi help:

diag size plot

poly roots det

Eye Inv eig

Rand Sum abs

function Hold lu

Cetak pada laporan Anda