BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
A. Kemampuan Penalaran Matematika
Salah satu tujuan mata pelajaran matematika adalah agar siswa mampu melakukan penalaran. Menurut Russeffendi (dalam Suwangsih, 2006 : 3) matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi. Matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran. Pada tahap awal matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika.
Menurut Suriasumantri (1999 : 42) penalaran merupakan suatu proses berpikir dalam menarik sesuatu kesimpulan yang berupa pengetahuan.
Menurut Fadjar Shadiq (dalam Wardhani, 2008 : 11) penalaran adalah suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik suatu kesimpulan atau proses berpikir dalam rangka membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasarkan pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya.
Materi matematika dan penalaran matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan. Materi matematika dipahami melalui penalaran, dan penalaran dipahami dan dilatihkan melalui belajar matematika. Jadi pola pikir
6
yang dikembangkan matematika seperti yang dijelaskan di atas memang membutuhkan dan melibatkan pemikiran kritis, sistematis, logis dan kreatif.
Ada dua tipe penalaran yang digunakan dalam menarik sebuah kesimpulan yaitu :
1. Penalaran induktif merupakan proses berpikir yang berusaha menghubungkan fakta-fakta atau kejadian-kejadian khusus yang sudah diketahui menuju kepada suatu kesimpulan yang bersifat umum. Penalaran induktif berkaitan dengan empiris, bersumber pada empiri atau fakta.
2. Penalaran deduktif merupakan proses berpikir untuk menarik kesimpulan tentang hal khusus yang berpijak pada hal umum atau hal yang sebelumnya telah dibuktikan (diasumsikan) kebenarannya. Penalaran deduktif berkaitan dengan rasionalisme, bersumber pada rasio.
Menurut Suriasumantri (1999 : 43) sebagai suatu kegiatan berpikir maka penalaran mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri yang pertama ialah adanya suatu pola berpikir yang secara luas dapat disebut logika. Kegiatan penalaran merupakan suatu proses berpikir logis, dimana berpikir logis diartikan sebagai kegiatan berpikir menurut suatu pola tertentu. Ciri yang kedua dari penalaran adalah sifat analitik dari proses berpikirnya. Penalaran merupakan suatu kegiatan berpikir yang menyandarkan diri kepada suatu analisis. Analisis pada hakekatnya merupakan suatu kegiatan berpikir berdasarkan langkah-langkah tertentu.
Indikator siswa memiliki kemampuan dalam penalaran adalah mampu:
1. Mengajukan dugaan
Kemampuan mengajukan dugaan merupakan kemampuan siswa dalam merumuskan berbagai kemungkinan pemecahan sesuai dengan pengetahuan yang dimilikinya.
Contoh soal :
Suatu prisma segi empat yang alasnya berbentuk persegi mempunyai volume 144 cm3. Bila dibuat prisma dengan panjang rusuk 2 cm, berapa banyaknya prisma semacam itu yang dapat dibuat!
Penyelesaian :
Diketahui : V prisma besar = 144 cm3
panjang rusuk prisma kecil = 2 cm
Ditanya : Banyaknya prisma kecil yang dapat dibuat Jawab : V prisma kecil = L.alas x tinggi
= (s x s) x t
= (2 x 2) x 2
= 8 cm3
Jadi banyaknya prisma kecil yang dapat dibuat adalah 18 buah.
2. Melakukan manipulasi matematika
Kemampuan manipulasi matematika merupakan kemampuan siswa dalam mengerjakan atau menyelesaikan suatu permasalahan dengan menggunakan cara sehingga tercapai tujuan yang dikehendaki.
Contoh soal :
Sebuah pengki (alat pengumpul sampah) berbentuk seperti prisma tegak segitiga dengan ukuran yang terlihat pada gambar di bawah ini.
Apabila pengki (tanpa pegangan) itu dibuat dari bahan plastic, tentukanlah luas bahan plastik yang dibutuhkan untuk membuat pengki!
Penyelesaian :
Diketahui : Pengki (berbentuk prisma) Alas berbentuk segitiga siku-siku a segitiga = 15 cm
t segitiga = 8 cm t prisma = 20 cm
Ditanya : Luas bahan plastik yang diperlukan
Jawab : Sebuah pengki terdiri dari dua buah bidang segitiga kongruen serta dua buah bidang persegi panjang.
20 cm 15 cm
8 cm
panjang persegi
L.
+ panjang persegi
L.
segitiga L.
x 2 bahan
L.
20) x (8 + 20) x (15 t) x a 2 x (1 x
2
160 + 300 8) x 15 2 x (1 x
2
460 60 x
2
= 580 cm2
Jadi, luas bahan plastik yang diperlukan untuk membuat pengki adalah 580 cm2.
3. Menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran solusi
Siswa mampu menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran solusi apabila siswa mampu menunjukkan lewat penyelidikan.
Contoh soal :
Kardus pepsodent alasnya berbentuk persegi, bagaimanakah cara menemukan luas permukaan kardus pepsodent tersebut?
Penyelesaian :
Kardus pepsodent merupakan prisma segi empat yang terdiri dari dua buah bidang persegi yang kongruen serta empat buah bidang persegi panjang.
Jika prisma tersebut dibuka, maka akan membentuk jaring-jaring.
x t) (s + x t) (s + x t) (s + x t) (s + s) x (s + s) x (s pepsodent kardus
permukaan
L.
t) x (4s s) x s x 2
(
t) x alas (K.
+ alas) L.
x (2
4. Menarik kesimpulan dari pernyataan
Kemampuan menarik kesimpulan dari pernyataan merupakan proses berpikir yang memberdayakan pengetahuannya sedemikian rupa untuk menghasilkan sebuah pemikiran.
Contoh soal :
Ada sebuah jaring-jaring yang mempunyai lima sisi berbentuk segitiga sama kaki dan satu buah sisi berbentuk segi lima beraturan. Jaring-jaring apakah itu? Gambarkan!
Penyelesaian :
Limas segi lima beraturan.
5. Memeriksa kesahihan suatu argumen
Kemampuan memeriksa kesahihan suatu argumen merupakan kemampuan yang menghendaki siswa agar mampu menyelidiki tentang kebenaran dari suatu pernyataan yang ada.
Contoh soal :
Sebuah tempat makanan berbentuk prisma dengan alasnya belah ketupat dengan panjang diagonal-diagonalnya adalah 7 cm dan 14 cm. Tingginya 15 cm. Benarkah volume tempat makanan tersebut 735 cm3?
Penyelesaian :
Diketahui : Tempat makanan (berbentuk prisma) Alas berbentuk belah ketupat
panjang diagonal = 7 cm dan 14 cm t = 15 cm
Ditanya : Benarkah volume tempat makanan tersebut 735 cm3 Jawab : V.prisma L.alas xt
t x ) d x d 2x
(1 1 2
15 x 14) x 7 2x (1
cm3
735
Jadi, benar volume tempat makanan tersebut 735 cm3.
6. Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi
Kemampuan menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi merupakan kemampuan siswa dalam menemukan pola atau cara dari suatu pernyataan yang ada sehingga dapat mengembangkannya ke dalam kalimat matematika.
Contoh soal :
Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang alas segitiga 9 cm dan tinggi segitiga 12 cm. Hitunglah volume prisma tersebut jika tinggi prisma 20 cm!
Penyelesaian :
Diketahui : Prisma dengan alas berbentuk segitiga siku-siku a segitiga = 9 cm
t segitiga = 12 cm t prisma = 20 m Ditanya : Volume prisma Jawab : V.prisma L.alas xt
t x t) x a 2 x (1
20 x 12) x 9 2 x (1
cm3
1080
Jadi, volume prisma tersebut adalah 1080 cm3.
(Wardhani, 2008 : 14)
Penalaran merupakan salah satu tujuan dari mata pelajaran matematika. Untuk meningkatkan kemampuan tersebut, tentunya tidak terlepas dari upaya pembelajaran di sekolah. Walaupun pembelajaran di sekolah selama ini memiliki peran tinggi pada keaktifan siswa, misalnya melalui pembentukan kelompok belajar, namun ternyata dampaknya terhadap kemampuan penalaran siswa belum terlihat.
Berdasarkan permasalahan tersebut, maka perlu dilakukan perbaikan proses pembelajaran yaitu melalui penerapan strategi metakognitif. Menurut Sudiarta strategi metakognitif dapat mendorong siswa untuk belajar mencari alasan terhadap solusi yang benar dan lebih mendorong siswa untuk membangun, mengkonstruksi, dan mempertahankan solusi-solusi yang argumentatif dan benar. Memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran solusi merupakan salah satu indikator kemampuan penalaran. Oleh karena itu cara untuk meningkatkan kemampuan penalaran yaitu dengan perbaikan proses pembelajaran melalui penerapan strategi metakognitif.
Adapun kendala dalam penalaran matematika antara lain : 1. Siswa kurang atau tidak dibiasakan mengemukakan gagasan.
Contoh : Guru harus dapat melatih siswa untuk mengemukakan gagasan dari suatu masalah baik lisan maupun tulisan. Dengan melatih siswa untuk mengemukakan gagasan maka siswa akan menjadi terbiasa memecahkan suatu masalah dengan baik.
2. Guru kesulitan dalam membimbing siswa merumuskan suatu konjektur (dugaan) dari data yang ada.
Contoh : Setiap siswa mempunyai kemampuan yang berbeda-beda oleh karena itu pada saat guru membimbing siswa untuk merumuskan suatu konjektur dari data yang ada mengalami kesulitan, siswa ada yang cepat tanggap dan ada pula yang lambat.
(Shadiq, 2006)
B. Strategi Belajar Mengajar
Menurut Djamarah (2006 : 5) secara umum strategi mempunyai pengertian suatu garis-garis besar haluan untuk bertindak dalam usaha mencapai sasaran yang telah ditentukan. Dihubungkan dengan belajar mengajar, strategi diartikan sebagai pola-pola umum kegiatan guru anak didik dalam perwujudan kegiatan belajar mengajar untuk mencapai tujuan yang telah digariskan.
Ada empat strategi dasar dalam belajar mengajar yang meliputi hal-hal berikut :
1. Mengidentifikasikan serta menetapkan spesifikasi dan kualifikasi perubahan tingkah laku dan kepribadian anak didik sebagaimana yang diharapkan.
2. Memilih sistem pendekatan belajar mengajar berdasarkan aspirasi dan pandangan hidup masyarakat.
3. Memilih dan menetapkan prosedur, metode, dan teknik belajar mengajar yang dianggap paling tepat dan efektif sehingga dapat dijadikan pegangan oleh guru dalam menunaikan kegiatan mengajarnya.
4. Menetapkan norma-norma dan batas minimal keberhasilan atau kriteria serta standar keberhasilan sehingga dapat dijadikan pedoman oleh guru dalam melakukan evaluasi hasil kegiatan belajar mengajar yang selanjutnya akan dijadikan umpan balik buat penyempurnaan sistem instruksional yang bersangkutan secara keseluruhan.
C. Strategi Metakognitif
Menurut Flavell (dalam Mahmud, 1989 : 140) metakognisi ialah pengetahuan seseorang mengenai proses-proses dan produk-produk kognitifnya sendiri atau sesuatu yang bertalian dengan dengannya, misalnya data-data yang ada kaitannya dengan belajar. Sebagai contoh, siswa diberi tugas membaca suatu bab tentang bangun ruang sisi datar.
Menurut Wuryani (2008 : 168) metacognitive adalah pengetahuan yang berasal dari proses kognitif kita sendiri beserta hasil-hasilnya. Ketika anak-anak berkembang, mereka menjadi lebih cermat dalam pengertian bagaimana mengontrol dan memonitor belajar mereka sendiri, bagaimana menggunakan bahasa, dan sebagainya.
Berdasarkan definisi-definisi di atas dapat disimpulkan bahwa metakognitif merupakan pengetahuan seseorang tentang bagaimana proses untuk mengontrol dan memonitor diri mereka sendiri.
Menurut Mahmud (1989 : 141) metakognisi memiliki dua komponen, yaitu :
1. Kesadaran akan adanya ketrampilan, strategi dan sumber-sumber yang diperlukan untuk melakukan tugas secara efektif, dengan perkataan lain mengetahui apa yang harus diperbuat.
Yang termasuk dalam komponen ini adalah :
Mengidentifikasi gagasan pokok
Mengulang-ulang informasi
Membentuk asosiasi-asosiasi dan gambaran batin
Mengorganisir atau menyusun bahan yang baru agar lebih mudah diingat
Menerapkan teknik-teknik menempuh ujian
Membuat garis besar dan mencatat.
2. Kemampuan menggunakan mekanisme pengaturan diri (self regulatory mechanism) untuk menjamin penyelesaian tugas secara berhasil, dengan
perkataan lain mengetahui kapan dan bagaimana melakukan sesuatu atau apa itu.
Yang termasuk dalam komponen ini adalah :
Mengecek apakah kita mengerti
Memperkirakan hasil
Mengevaluasi efektivitas pelaksanaan tugas
Merencanakan langkah berikutnya
Menguji strategi
Menentukan cara membagi waktu dan kegiatan
Merevisi atau berganti dengan strategi-strategi lain untuk mengatasi kesulitan-kesulitan yang dihadapi.
Menurut Weinstern dan Mayer (dalam Mahmud, 1989 : 142) ada lima unsur yang mendasari strategi metakognitif, yaitu :
a. Rehearsal strategy
Dengan strategi ini, seseorang secara aktif mengulang-ulang bahan yang dipelajari, baik secara lisan maupun secara tertulis, ataupun memusatkan perhatian pada bagian-bagian yang penting. Untuk bahan- bahan hafalan, strategi ini berupa mengulang-ulang bahan dengan suara keras agar mudah diingat. Untuk hal-hal yang lebih rumit, strategi ini berupa mengulang istilah-istilah kunci dengan suara keras atau dalam hati, atau menggaris bawahi bagian-bagian yang penting.
Contoh : Guru meminta siswa untuk mengulangi kembali bagaimana cara menemukan rumus luas permukaan prisma dan limas.
b. Elaboration strategy
Strategi ini berupa membuat hubungan antara bahan yang baru dengan bahan yang sudah lebih dulu dimiliki. Strategi ini berwujud dengan membuat kalimat-kalimat yang menghubungkan bahan-bahan yang harus dipelajari.
Contoh : Guru membuat hubungan antara materi luas pada bangun datar dengan materi luas permukaan pada prisma dan limas.
c. Organizational strategy
Dengan strategi ini orang menyusun bahan dengan jalan mengelompok-kelompokkan menjadi bagian-bagian dan melihat hubungan-hubungannya satu dengan yang lain. Untuk bahan-bahan belajar yang sederhana, strategi ini berupa menyusun bahan menjadi kelompok- kelompok yang lebih kecil. Sedangkan untuk bahan-bahan yang lebih rumit berupa membuat garis besar bahan-bahan belajar.
Contoh : Guru meminta siswa untuk menyimpulkan materi mengenai unsur-unsur prisma dan limas.
d. Comprehension monitoring strategy
Dengan strategi ini orang tetap sadar dan tetap pendirian pada tugas-tugas belajar yang harus diselesaikannya, kalau perlu tetap menggunakan strategi yang telah dipilihnya dan tetap waspada terhadap keberhasilan yang telah dicapainya serta menyesuaikan perilakunya sesuai dengan strategi tersebut. Untuk strategi ini, guru meminta siswa untuk melakukan suatu tindakan atau bertanya apabila ada bahan atau materi pelajaran yang belum dipahami, serta guru menyiapkan pertanyaan- pertanyaan yang akan diajukan kepada siswa.
Contoh : Guru memberi pertanyaan kepada siswa seputar materi prisma dan limas.
e. Affective strategy
Pada pokoknya, strategi ini berupa menghilangkan perasaan- perasaan yang mengganggu belajar. Dalam strategi ini, guru meminta siswa untuk tetap berkonsentrasi dalam proses pembelajaran serta mengatur waktu sebaik-baiknya.
Contoh : Guru meminta siswa untuk memperhatikan apa yang disampaikan oleh guru.
Menurut Elawar (dalam Maulana, 2008 : 8) strategi metakognitif diupayakan melalui tiga tahap, antara lain adalah :
a. Diskusi awal
Pertama-tama guru menjelaskan tujuan tentang topik yang sedang dipelajari. Siswa diberi materi, dan penanaman konsep berlangsung dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan dalam pemberian materi tersebut. Kesalahan siswa diminimalkan dengan pemantauan.Siswa dibimbing untuk menanamkan kesadaran dengan bertanya kepada diri sendiri saat menjawab pertanyaan-pertanyaan.
Pada akhir pemahaman konsep, diharapkan siswa memahami semua uraian materi dan sadar apa yang dilakukannya, bagaimana melakukannya, bagian mana yang belum dipahami, pertanyaan apa yang timbul, dan bagaimana upaya untuk mencari solusinya.
b. Kemandirian
Siswa diberikan persoalan dengan topik yang sama dan mengerjakannya secara individual. Guru berkeliling kelas dan memberikan feedback secara individual. Feedback metakognitif akan menuntun siswa
untuk memusatkan perhatian pada kesalahannya dan memberikan petunjuk agar siswa dapat mengoreksinya sendiri. Guru membantu siswa mengawasi cara berpikirnya, tidak hanya memberikan jawaban benar ketika siswa membuat kesalahan.
c. Penyimpulan
Penyimpulan yang dilakukan siswa merupakan rekapitulasi dari apa yang dilakukan di kelas. Pada tahap ini siswa menyimpulkan sendiri, dan guru membimbing dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan.
Adapun kelebihan dan kelemahan strategi metakognitif adalah sebagai berikut :
Kelebihan
- Kerjasama dan bantuan dari guru yang bertindak sebagai observer dan teman diskusi dalam menyelesaikan setiap kendala yang dihadapi dalam proses pembelajaran.
- Keterlibatan siswa secara aktif untuk dapat mengikuti pembelajaran dengan baik.
Kelemahan
- Waktu yang tersedia relatif sedikit untuk melakukan pengembangan- pengembangan dalam pembelajaran.
- Kesulitan dalam membuat kelompok diskusi dengan anggota kelompok yang beragam tingkat kemampuan matematikanya, sehingga diharapkan dalam masing-masing kelompok terjadi kegiatan diskusi kelompok yang produktif.
(Maulana, 2008: 11)
D. Materi Pelajaran Matematika Pada Pokok Bahasan Prisma dan Limas 1. Mengidentifikasi sifat-sifat prisma dan limas serta bagian-bagiannya.
Menyebutkan unsur-unsur prisma dan limas : rusuk, bidang sisi, diagonal bidang, diagonal ruang, bidang diagonal.
2. Membuat jaring-jaring prisma dan limas.
Membuat jaring-jaring prisma tegak dan limas.
3. Menghitung luas permukaan dan volume prisma dan limas.
Menemukan rumus luas permukaan prisma dan limas.
Menghitung luas permukaan prisma dan limas.
Menemukan rumus volume prisma dan limas.
Menghitung volume prisma dan limas.
E. Kerangka Pikir
Indikator kemampuan penalaran matematika 1. Mengajukan dugaan
2. Melakukan manipulasi matematika
3. Menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran solusi
4. Menarik kesimpulan dari pernyataan 5. Memeriksa kesahihan suatu argumen
6. Menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi
Berdasarkan hasil observasi bahwa indikator-indikator di atas dinyatakan masih rendah.
Tahap-tahap strategi metakognitif yaitu : 1. Diskusi awal
2. Kemandirian 3. Penyimpulan
Dengan adanya perlakuan strategi metakognitif diharapkan indikator- indikator kemampuan penalaran matematika yang telah disebutkan di atas dapat meningkat.
Pembelajaran dengan strategi metakognitif dilaksanakan melalui tiga tahap, dimana di dalamnya terdapat unsur-unsur strategi metakognitif. Unsur- unsur strategi metakognitif ini yang akan digunakan untuk meningkatkan indikator-indikator kemampuan penalaran matematika.
Indikator mengajukan dugaan akan muncul pada tahap diskusi awal (affective strategy dan elaboration strategy), siswa dapat memanfaatkan sumber belajar atau lingkungan belajar yang ada di sekitarnya secara optimal dan merespon stimulus belajar yang diberikan oleh guru. Hal ini terjadi pada saat siswa diminta berkonsentrasi selama pelajaran, memperhatikan penjelasan
hubungan materi yang lalu dengan materi yang akan diajarkan, dan penjelasan materi secara rinci.
Indikator melakukan manipulasi matematika akan muncul pada tahap diskusi awal (elaboration strategy dan rehearsal strategy), siswa banyak mengajukan pertanyaan baik kepada guru maupun kepada siswa lainnya. Hal ini terjadi pada saat siswa mengajukan pertanyaan tentang materi yang belum dipahami.
Indikator menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran solusi, dan memeriksa kesahihan suatu argument akan muncul pada tahap kemandirian (comprehension monitoring strategy), siswa lebih banyak mengajukan pendapat terhadap informasi yang
disampaikan oleh guru atau siswa lain. Hal ini terjadi pada saat siswa menjawab pertanyaan-pertanyaan yang diberikan oleh guru maupun siswa lain. Siswa juga memberi respon nyata terhadap stimulus belajar yang diberikan oleh guru, hal ini terjadi pada saat siswa mengerjakan soal-soal yang diberikan oleh guru. Siswa berkesempatan melakukan penelitian sendiri terhadap hasil pekerjaannya, sekaligus memperbaiki dan menyempurnakan pekerjaan yang dianggapnya masih belum sempurna. Hal ini terjadi pada saat siswa menuliskan hasil pekerjaannya di papan tulis.
Indikator menarik kesimpulan dari pernyataan dan menemukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi akan muncul pada tahap penyimpulan (organizational strategy), siswa membuat sendiri
kesimpulan materi dengan bahasa dan cara masing-masing. Hal ini terjadi pada saat siswa menyimpulkan materi dan membuat rangkuman.
F. Hipotesis Tindakan
Berdasarkan kerangka pikir di atas, maka hipotesis tindakan yang diajukan dalam penelitian ini adalah melalui strategi metakognitif kemampuan penalaran matematika siswa kelas VIII B SMP Negeri 5 Purwokerto meningkat.
