STRUKTUR SEMILATTICE PADA PRA Aï¿½-ALJABAR.

(1)

PRA

A

-ALJABAR

SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA

OLEH : ROZA ARDILLA

BP. 0910433070

JURUSAN MATEMATIKA

(2)

ABSTRAK

Dalam tulisan ini dipelajari tentang struktur semilattice pada Pra A∗

-Aljabar (A,∧,∨,(·)∼_{) yang dituliskan sebagai ¯}_A_{. Didefinisikan sebuah operasi}

biner ∗ _{pada Pra} _A∗_{-Aljabar dan ditunjukkan bahwa ( ¯}_A,∗_{) adalah sebuah}

semi-lattice. Selanjutnya dibuktikan beberapa sifat pada suatu relasi terurut parsial≤_∗

yang diinduksi dari struktur semilattice ( ¯A,∗_{). Di samping itu juga dikaji tentang}

supremum dan infimum dari beberapa sub himpunan pada semilattice ( ¯A,∗_).

Kata kunci : Pra A∗_{-Aljabar, poset, semilattice.}

(3)

1.1 Latar Belakang Masalah

Koteswara Rao pada tahun 1994 pertama kali memperkenalkan konsepA∗

-Aljabar (A,∧,∨,(·)∼_,(·)

π,0,1,2) pada suatu himpunan tak kosong A, dengan

operasi-operasi biner ∧ (meet) dan ∨ (join), operasi tunggal (·)∼ ₍_tilda_),

un-sur identitas 0 dan 1 terhadap operasi ∨ dan ∧ berturut-turut, dan unsur 2

yang memenuhi 2 ∧ x = 2 ∀x ∈ A. Pada tahun 2003, Koteswara Rao dan Venkateswara Rao mempelajari aljabar Boolean dan A∗_{-Aljabar, serta metode}

penurunan A∗_{-Aljabar dari aljabar Boolean dan sebaliknya. Kemudian pada}

tahun 2004, Koteswara Rao dan Venkateswara Rao memperkenalkan konsepPrime Ideals dan kekongruenan dalam A∗_{-Aljabar, dan juga memperkenalkan teorema}

Cayley untuk A∗_{-Aljabar pada tahun 2005.}

Gagasan PraA∗_{-Aljabar diperkenalkan pada tahun 2000 oleh Venkateswara}

Rao. Pra A∗_{-Aljabar adalah suatu sistem matematika (A,}_∧_,_∨_,₍_·₎∼_{) dimana} _A

merupakan himpunan tak kosong dengan ∧ (meet) dan ∨ (join) adalah operasi

(4)

3. x∧y =y∧x,

4. (x∧y)∼ ₌ _x∼_∨_y∼_,

5. x∧(y∧z) = (x∧y)∧z,

6. x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z),

7. x∧y =x∧(x∼_∨_y).

Suatu himpunan tak kosong A dengan sebuah operasi biner ” ∗ _{” pada} _A

dinamakan sebuahsemilattice jika elemen-elemennya memenuhi sifat-sifat sebagai

berikut :

(i) x∗_x₌_x,_∀_x_∈_A _{(disebut sifat idempoten),}

(ii) x∗_y₌_y∗_x,_∀_{x, y} _∈_A _{(disebut sifat komutatif),}

(iii) x∗₍_y∗_z_{) = (}_x∗_y₎∗_z,_∀_{x, y, z} _∈_A _{(disebut sifat asosiatif).}

Pada tulisan ini akan didefinisikan suatu operasi biner ” ∗ _{” pada Pra} _A∗

-Aljabar. Untuk menyederhanakan penulisan, selanjutnya suatu Pra A∗_-Aljabar

dinotasikan sebagai ¯A. Kemudian akan ditunjukkan bahwa ( ¯A,∗_{) adalah sebuah}

semilattice. Selanjutnya akan dibuktikan beberapa sifat pada suatu relasi terurut parsial ” ≤_∗ ” yang diinduksi dari struktur semilattice ( ¯A,∗_{). Di samping itu}

juga akan dikaji tentang nilai supremum dan nilai infimum dari beberapa sub himpunan pada semilattice ( ¯A,∗_).

(5)

Berdasarkan uraian latar belakang di atas, jika diberikan suatu Pra A∗

-Aljabar ¯A maka yang menjadi permasalahan dalam penulisan ini adalah :

1. Bagaimana membuktikan bahwa ( ¯A,∗_{) adalah sebuah semillatice ?}

2. Bagaimana membuktikan sifat-sifat pada suatu relasi terurut parsial ”≤_∗ ” yang diinduksi dari struktur semilattice ( ¯A,∗_{) ?}

3. Apa supremum dari{x, x∼_} _{dan infimum dari} _{_{x, y}_}_,_∀_{x, y} _∈_A _pada

semi-lattice ( ¯A,∗_{) ?}

1.3 Tujuan

Tujuan dari penulisan ini adalah mendefinisikan sebuah operasi biner ”∗ _”

pada PraA∗_{-Aljabar ¯}_A_{dan menunjukkan bahwa ( ¯}_A,∗_{) adalah sebuah semilattice.}

Kemudian akan dikaji sifat-sifat pada suatu relasi terurut parsial ” ≤_∗ ” yang diinduksi dari struktur semilattice ( ¯A,∗_{). Selanjutnya juga akan ditentukan nilai}

supremum dari {x, x∼_}_{dan nilai infimum dari} _{_{x, y}_}_,_∀_{x, y} _∈_A _{pada semilattice}

( ¯A,∗_).

1.4 Sistematika Penulisan

(6)

akan digunakan dalam menyelesaikan masalah pada skripsi ini. Bab III meru-pakan pembahasan tentang struktur semilattice pada PraA∗_{-Aljabar ¯}_{A. Terakhir}

pada bab IV disajikan kesimpulan dari pembahasan.