INSTRUMEN PEMECAHAN MASALAH dan rasa

(1)

NAMA : SAMSUL PAHMI

NPM : 14102012

KELAS : A

INSTRUMEN : KEMAMPUAN PENALARAN

NO INDIKATOR SOAL PEMBAHASAN SKOR TINGKAT

KESUKARAN

Diberikan sebuah garis dengan panjang “s” kemudian dilakukan percobaan sebagai berikut : percobaan ke-1, ke-2 dan ke-3 ?

b. Tentukanlah rumus umum yang didapat dari pola ke-1, ke-2 dan ke-3

c. Andai percobaan dilakukan sampai ke-50, berapakah jumlah luas daerah lingkaran pada percobaan ke-50

Diketahui panjang garis yang diberikan adalah s =14 cm Jawab :

a. jumlah luas daerah lingkaran ke-1, ke-2 dan ke-3 untuk s = 14 cm  Pola ke-1

(2)

KESUKARAN

tersebut ? = 77cm2

 Pola ke-3

Luas semua daerah lingkaran

b. Rumus umum yang bisa ditarik dari poin a adalah : Luas semua daerah

lingkaran

c. Jumlah luas daerah lingkaran pada percobaan ke-50 Luas semua daerah

lingkaran

(3)

KESUKARAN (Perbandinga

n) Jika diketahui

panjang garis AQ=10 cm, DQ=12 cm dan PQ=4 cm. tentukanlah panjang garis AB !

Karena DQ = 12 cm dan PQ = 4 cm maka DP = DQ-PQ

= 12-4 = 8 cm

Untuk mempermudah perhitungan maka dibuat garis bantu BR sejajar QD seperti pada gambar dibawah ini.

Sehingga didapat :

∆ AQP dan ∆ CRS kongruen Mengakibatkan :

Panjang RS = PQ Panjang PD = BS

∆ AQP dan ∆ ABS sebangun

Sehingga PQ AQ =

BS

AB (Perbandingan pada segitiga sebangun)

4 10 =

8 AB

AB = 80₄

= 20

Dengan demikian didapat panjang AB = 20 cm. 3 Generalisasi Perhatikan gambar dibawah !

Pola tersusun dari persegi dan lingkaran _ _DiketahuiPembahasan

 pola tersebut berbentuk persegi luar lingkaran Jawab

a. Luas daerah pada pola ke-3 dan ke-4  Luas daerah pola ke-3

L. Pola 3 = Luas persegi – Luas lingkaran =

(

s2

)

−(π r2) →r=s/2=2 = (42_{) – (} _π _{x 2}2₎

= 16 – 12.6

(4)

KESUKARAN Tentukan !

a. Luas daerah yang diarsir pada pola ke-3 dan ke-4

b. Andai proses diteruskan sampai ke-n, buatlah rumus luas daerah yang di arsir pada pola ke-n

= 3.4 cm2

 Luas daerah pola ke-4 S = 5 cm

L. Pola 4 = Luas persegi – Luas lingkaran =

(

s2

)

−(π r2) →r=s/2=2 = (52_{) – (} _π _{x 2.5}2₎

= 25 – 19.6 = 5.4 cm2

b. Rumus daerah yang di arsir untuk pola ke-n Dari pola diatas diketahui s = n+1

r = (n+1) 2

Sehingga Luas daerah yang diarsir pada pola ke-n adalah L.Pola ke-n =

(

s2

)

−(π r2)

= (n+1)2_{– (} _π

(

(n+1)

2

)

2

)

 Jadi rumus luas daerah yang di arsir adalah L.Pola ke-n = (n+1)2_{– (} _π

(

(n+1) panjang dari jari-jari lingkaran B yaitu 12 cm. Andai jari-jari lingkaran B bertambah 20% dari jari-jari lingkaran A, maka berapa persen perbandingan luas lingkaran B dengan lingkaran A ?

Diketahui jari-jari lingkaran A 20% lebih panjang dari jari-jari lingkaran B = 12 cm maka jari-jari lingkaran B adakah 10 cm. Jawab

Luas lingkaran A = π122

= 456.16 cm2

20% dari jari-jari A = 2.4 cm

Maka panjang jari-jari B menjadi 12.4 cm Luas lingkaran B menjadi = π12.42

= 482.81 cm2

Persentase perbandingan Luas lingkaran A dengan B adalah:

(5)

KESUKARAN Lingkaran A = 456.16

938.97x100 = 48.58 %

Lingkaran B = 482.81

938.97x100 = 51.42%

Jadi perbandingan luas lingkaran A dengan lingkaran B adalah 48.58 % : 51.42%

5

Pembuktian secara langsung

Perhatikan gambar dibawah !

Buktikan bahwa besar setiap sudut dalam segi-5 beraturan adalah 108°. Sebagai contoh,

∠A=108o

 Karena segi-5 ABCDE adalah segi-5 beraturan maka besar

∠AOB = 1/5 × 360° = 72°

 Dengan mengingat bahwa AB = BC = CD = DE = EA dan OA = OB = OC = OD = OE.

 Karena ΔABO sama kaki (OA = OB) maka ∠OAB = ∠

OBA = ½ × (180 – 72)° = 54°.

 Jadi, besar setiap sudut dalam segi-5 beraturan adalah

∠BAE = 2 × 54° = 108°

Perhatikan segiempat disamping !

Jika diketahui panjang AB, BC, CD dan AD berturut-turut adalah 3cm, 7cm, 6cm dan 4cm.

Tentukan luas segi empat ABCD !

Perhatikan ∆ ABD siku-siku di B. Luas segiempat ABCD = Luas ∆ABD + ∆BCD

Luas ∆ABD = ½ x a x t = ½ x 3 x 4 = 6 cm2

Untuk mencari luas ∆BCD harus dicari dulu panjang sisi BD

Menggunakan teorema phytagoras maka : BD =

_√

32

+42

(6)

KESUKARAN =

√

25

= 5

Luas ∆BCD =

√

s(s−BC)(s−CD)(s−BD) Dimana s = ½ (BC+CD+BD)

= ½ (7+6+5) = 9

Sehingga

Luas ∆BCD =

√

9(9−7)(9−6)(9−5) =

√

9(2)(3)(4)

=

_√

216 = 14.7 cm2

Dengan demikian

luas segiempat ABCD = Luas ∆ABD+ Luas ∆BCD = 6 + 14.7

= 20.7 cm2

(7)

INSTRUMEN : PEMECAHAN MASALAH

KESUKARAN 1 Menjelaskan/

menginterpre tasikan Hasil

Gambar dibawah ini adalah segi delapan beraturan, perbandingan luas antara daerah yang diarsir dan luas segi delapan beraturan adalah 1:4.

Susunlah penjelasan dan selidiki kebenaran dari pernyataan diatas !

Pembahasan

a. Segi delapan beraturan adalah segi delapan yang panjang sisi-sisinya sama, dibentuk dari sebuah lingkaran dengan membagi besar sudut pusat menjadi 8 bagian yang sama yaitu sebesar 360 : 8 = 450_.

Buatlah garis-garis seperti pada gambar berikut: Diketahui:

panjang AB = BC = CD = DE = EF = FB = GH = AH.

panjang AO = OB = OC = OD = OE = r (jari-jari lingkaran O) dan panjang AC = DF. Perhatikan segiempat ABCD kongruen dengan segiempat AHGF.

Perhatikan segiempat ABCO adalah layang-layang (karena panjang AB=BC dan AO=OC=r).

Perhatikan segiempat ADEF adalah layang-layang (karena panjang DE=EF dan AF=AD). Sehingga

(8)

KESUKARAN 2 x luas segiempat ABCD + luas layang-layang

ADEF = luas segi-8 beraturan.

2 x luas segiempat ABCD + luas layang-layang ADEF = 4 x luas layang-layang ABCO.

2 x luas segiempat ABCD + 1/2 x AE x DF = 4x 1/2 x OB x AC

2 x luas segiempat ABCD + 1/2 x 2r x AC = 2r x AC (karena panjang DF = AC).

2 x luas segiempat ABCD + r x AC = 2r x AC 2 x luas segiempat ABCD = r x AC ,

Maka ¿r x AC

2

Sedangkan luas segi-8 beraturan = 2r x AC ,

maka Luas segiempat ABC Luas segi8beraturan=

r x AC 2 2r x AC

¿ r x AC

4r x AC= 1 4

(9)

KESUKARAN

Perhatikan segitiga sama sisi disamping,,, tentukanlah !

a. Panjang garis CS !

b. Tentukan luas segitiga sama sisi tersebut ! c. Apa yang bisa kalian simpulkan ?

(Menemukan konsep luas segitiga sama sisi)

Diketahui

∆ABC adalah sama sisi Panjang sisinya adalah “s” a. Panjang CS

Dengan bantuan rumus Pythagoras, kita dapat menemukan tinggi (CS) segitiga tersebut.

jika s adalah sisi miringnya, maka s/2 adalah sisi siku yang diketahui. Untuk mencari tingginya sama dengan

Tinggi segitiga sudah ditemukan. Maka luas segitiga sama sisi adalah sebarang segitiga sama sisi dengan panjang sisinya a, maka luasnya adalah

Pada sebuah taman yang kelilingkngnya 66 m terdapat 6 pohon yang berjarak sama. Di tengah-tengah taman

Diketahui

(10)

KESUKARAN Matematika/

masalah nyata

tersebut terdapat sebuah kolam berbentuk lingkaran dengan jari-jari 1/5 dari jari-jari taman. Akan dipasang pagar yang menghubungkan setiap pohon secara berurutan dan mengelilingi kolam. Berapakah panjang pagar yang dibutuhkan untuk memagari kolam dan taman tersebut ?

a. Gambarlah sketsa dari situasi diatas !

b. Susunlah model matematika dari masalah diatas dan selesaikan !

lingkaran

 Jari-kolam kecil ¼ dari jari-jari taman

 Berapakah panjang pagar yang dibutuhkan untuk mengelilingi kolam dan taman ?

a. Sketsa

b. Menyusun model matematika dan menyelesaikan masalah.

 Jari-jari taman 66 = 2 x22

7 x r = 10.5 m  Jari-jari kolam = 10.5 x

1/5 = 2.1m

Sehingga keliling lingkaran adalah 2 x π x 2.1= 13.2 m

Gambar diatas merupakan lingkaran yang berpusat di titik O dan memuat segi enam beraturan ABCDEF. Dari segienam beraturan dibuat 6 segitiga yang kongruen, sehingga ∠AOB = ∠BOC = ∠COD =

∠DOE = ∠EOF = ∠FOA = 60°

(11)

KESUKARAN

∠OAB = ∠OBA

∠OAB + ∠OBA = 180° – 60° = 120° Karena ∠OAB = ∠OBA, maka

∠OAB = ∠OBA = 60°

Jadi, ∠OAB = ∠OBA = ∠AOB = 60° sehingga ΔOAB merupakan segitiga sama sisi dan AB = OA = OB = r

Dengan demikian keliling segi enam berikut adalah 6r = 6 x 10.5 = 63 m

» Sehingga panjang pagar yang dibutuhkan adalah keliling kolam + keliling segi enam = 13.2 + 63 = 76.2 m

4 Membuat model matematika

Sebuah plat baja berbentuk persegi panjang dipanaskan sehingga mengalami pemuaian. Pertambahan muai panjang dan lebarnya masing-masing 5% dari ukuran semula. Tentukan persentase pertambahan luas plat baja tersebut terhadap luas mula-mula !

a. tentukan unsur yang diketahui dan ditanyakan ! b. Susunlah model matematika dari masalah diatas dan selesaikan!

a. Diketahui

tambahan panjang masing-masing 5%

ditanyakan presentase pertambahan luas plat baja

b.Model

 Misal panjang pesegi panjang mula-mula p (satuan panjang) dan lebar t (satuan panjang). Panjang persegi panjang setelah dipanaskan = p + 2 x 0,05 p = 1,1 p

 Sedangkan lebar persegi Panjang setelah dipanaskan =t + 2 x 0,05 t = 1,1 t.

(model aljabar)

 Luas plat baja mula-mula = p x t = pt (satuan luas).

 Luas plat baja setelah dipanaskan = 1,1 p x 1,1 t = 1,21 pt (satuan luas).

Pertambahan luas = 1,21 pt – pt =

(12)

KESUKARAN 0,21 pt (satuan luas).

 Jadi persentase pertambahan luas plat baja = 0,21 pt/pt x 100% = 21 %

Pak Andre memiliki tanah di tempat A dan B. Harga tanah di A dan B Rp.98.000/m2 _{dan luas tanah B adalah}

2 kali bagian Andi. Pak Andre membagikan kepada 3 orang anaknya dengan bagian masing-masing yaitu Andi mendapat bagian di B 3/2 dari tanah Bayu, Bayu di A ¾ dari bagian Candra, sedangkan Candra sendiri mendapat bagian di A dan menjual bagiannya tersebut dengan harga Rp. 19.000.000. Sisa tanah pak Andre di A menjadi ¼ dari total luas bagian Bayu dan Candra. Berapakah luas tanah pak Andre sebelum dibagikan ? a. Tentukanlah unsur yang diketahui dan ditanyakan dari masalah diatas !

b. Susunlah strategi dan selesaikan masalah diatas !

a. Diketahui

 Harga tanah A dan B Rp. 98.000/m2

 luas B adalah 2 kali bagian Andi

 Berapa luas tanah Pak andre sebelum dibagikan ?

b. Strategi yang digunakan adalah bekerja mundur yaitu :

 luas bagian Andi 3/2 x 145.43 = 218.15 (jadi luas 218.15 m2₎ ditanami 12 jenis bunga. Sedangkan halaman rumah Bayu memiliki luas 3 kali luas halaman rumah Andi. Jika dirumah bayu juga ditanami bunga, berapakah jenis bunga yang ditanam tersebut ?

a. Identifikasi unsur yang diketahui dan ditanyakan

a. Diketahui

 Halaman andi berbentuk trapezium dan ditanami 12 jenis bunga

 Halaman Bayu 3 kali luas halaman Andi

 Ditanyakan berapa jenis bunga yang ditananm dirumah Bayu ?

(13)

KESUKARAN dari masalah diatas !

b. Selesaikan masalah diatas !

b. Penyelesaian

 Berdasarkan unsur yang diketahui, maka dinyatakan unsurnya tidak cukup untuk menjawab/ mengetahui jumlah jenis bunga dirumah Bayu

 Berdasarkan unsur yang ditanyakan, disebut diatas bukan sebuah prediksi melainkan jumlah yang sebenarnya

 Dengan demikian berdasarkan analisis diatas maka soal tersebut tidak dapat diselesaikan karena unsurnya tidak mencukupi.