Hukum Gravitasi Newton dan Hukum Keppler

Hukum Gravitasi Newton dan Hukum Keppler dalam Model Randall – Sundrum

Azrul Azwar

Program Studi Fisika, FMIPA, Universitas Tanjungpura

Jalan Jendral Ahmad Yani Pontianak 78124

e-mail : azrul_azwar@yahoo.co.id

Abstrak

Telah dilakukan kajian terhadap model Randall – Sundrum yang difokuskan untuk mendapatkan perumusan hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler dalam model tersebut. Dari kajian ini diperoleh bahwa hukum gravitasi Newton mengalami modifikasi. Modifikasi ini menjadi signifikan pada jarak yang sangat dekat. Penerapannya pada hukum Keppler memberikan perubahan pada hubungan antara periode dan jarak planet.

Kata Kunci : Randall-Sundrum, Dimensi Ekstra, Brane, Gravitasi.

1. Pendahuluan

Saat ini telah banyak dikembangkan model alam semesta dengan dimensi tambahan (extra dimension) [1-3]. Salah satu model yang cukup populer adalah model Randall – Sundrum [2,3]. Model ini telah digunakan dalam fisika partikel untuk menjelaskan masalah hirarki massa berdasarkan kehadiran dimensi ekstra yang melengkung [2,3]. Selain itu penerapannya pada kosmologi mengahasilkan model yang konsisten dengan model kosmologi standar pada level energi rendah (kondisi alam semesta saat ini) dan hanya berbeda pada level energy tinggi (awal alam semesta) [4-6].

Salah satu permasalahan dalam model dengan dimensi tambahan adalah belum adanya bukti eksperimental keberadaan dimensi tambahan tersebut. Secara teoritis, kehadiran dimensi tambahan ini dapat dibuktikan dengan mengamati penyimpangan pada hukum gravitasi, karena gravitasi merupakan dinamika dari ruang-waktu itu sendiri. Dalam tulisan ini akan dibahas tentang

Randall – Sundrum. Adanya modifikasi ini diharapkan dapat diamati secara ekperimental melalui observasi periode gerak planet sehingga menjadi bukti keberadaan dimensi tambahan.

2.Model Randall – Sundrum

Model Randall – Sundrum merupakan salah satu model dunia brane dalam ruang – waktu berdimensi lima. Dalam model ini, alam semesta dianggap sebagai sebuah permukaan tiga dimensi (yang disebut “brane” atau lebih tepat “3-brane”, mengacu pada tiga dimensi ruang), yang tersimpan (embedded) dalam ruang-waktu berdimensi lima (yang disebut “Bulk”), dengan semua medan materi dan medan gauge selain medan gravitasi terkurung (hanya memiliki dinamika) pada brane, sedangkan gravitasi yang merupakan dinamika dari seluruh ruang-waktu dan dimediasi oleh graviton dapat bergerak dalam Bulk [2-5].

berbentuk ruang-waktu Anti-de Sitter berdimensi lima. Ruang-waktu ini merupakan ruang–waktu bersimetri maksimal dengan konstanta kosmologi bernilai negatif. Sedangkan brane memiliki tegangan (tension)

σ

_{, dan dianggap memiliki simetri refleksi}

Z

₂

(

Z

→−

Z

)

_{, serupa dengan model}

Horava-Witten [2-5].

Geometri model Randall – Sundrum dinyatakan oleh metrik [2,3]

d s

2

=

e

±2kz

η

_μν

d x

μ

d x

ν

−

d z

2 (1)

dengan

k

=

√

−

₆

Λ

, disini

Λ

adalah konstanta

kosmologi. Metrik (1) di atas menyatakan geometri ruang – waktu berdimensi lima dengan kelengkungan konstan sebesar

R

=

−

₃

10

Λ

(2)

Sedangkan faktor

e

±2kz _{disebut sebagai faktor} kelengkungan. Pada titik z = 0 faktor kelengkungan ini bernilai 1 dan metrik (1) di atas akan menjadi ruang-waktu Minkowski.

3. Gravitasi Newton dalam Model Randall – Sundrum

Untuk memperoleh gravitasi Newtonian dalam model Randall-Sundrum dapat dilakukan dengan memberikan perturbasi linear terhadap metrik. Tinjau fluktuasi kecil

gravitsi

δ g

AB pada metrik

g

AB , sehingga

ds

2

=

(

g

AB

+

δg

AB

)

dx

A

dx

B

(3)

Dalam kajian ini, akan membatasi pada fluktuasi kecil dalam “dunia” empat dimensi

yang diberikan oleh metrik

h

μν

(

x,Z

)

, sehingga

ds

2

=

(

e

−2k|Z|

η

_μν

+

h

_μν

)

dx

μ

dx

ν

−

dZ

2

(4)

Dengan mensubstitusikan metrik (9) pada tensor Einstein, dan dengan menggunakan kondisi Randall-Sundrum gauge ( transverse-traceless gauge) [2], maka akan diperoleh persamaan

[

2

1

(

U η

1

ρσ

∂

ρ

∂

σ

−∂

2Z

)

+

V

(

Z

)

]

h

μν

=

0

(5)

dengan:

V

(

Z

)

=

2

(

_U

1

∂

2

_U

∂

Z

2

)

+

6

kδ

(

Z

)

−

6

k

2

U

(

Z

)

=

exp

(−

2

k

|

Z

|)

Persamaan differensial (5) di atas dapat diselesaikan dengan metode separasi variabel, karena bagian non-trivial dari potensial hanya bergantung pada koordinat dimensi kelima, Z, yaitu dengan mensubstitusikan

h

μν

(

x

a

,Z

)

=

ψ

(

Z

)

Φ

(

x

a

)

₍₆₎

ke dalam persamaan (5) sehingga diperoleh

1

Φ η

ρσ

∂

ρ

∂

σ

Φ

(

x

ρ

)

=

_{ψ e}

1

−2k|Z|

(

∂

Z2

+

4

kδ

(

Z

)

−

4

k

2

)

ψ

(

Z

)

(7)

Persamaan (7) dapat diselesaikan apabila ruas kiri sama dengan ruas kanan, sama-sama bernilai konstan, dipilih

−

m

2

>

0

, sehingga akan diperoleh dua persamaan diferensial yang saling terkait, yaitu:

η

ρσ

∂

_ρ

∂

_σ

Φ

(

x

ρ

)

=−

m

2

Φ

(

x

a

)

[

−

2

m

e

2k|Z|

−

1

2

∂

2Z

−

2

kδ

(

Z

)

+

2

k

2

]

ψ

(

Z

)

=

0

(9)

Dalam kerangka statik dengan simetri rotasi pada 3-brane seperti alam semesta kita, persamaan (8) dalam sistem koordinat bola merupakan fungsi dari r saja.

Apabila dipilih

m

=

0

, yaitu untuk

yang memiliki solusi umum berbentuk

Φ

0

(

r

)

=−

A

_r

+

B

(12)

Untuk sumber titik yang terletak pada

r

=

0

_{, konstanta integrasi A dapat dipilih}

A

=

G

N

m

1

m

2 _dan

Persamaan (13) di atas menunjukkan bahwa model Randall – Sundrum dapat menghasilkan hukum gravitasi Newton. Dalam pandangan model ini, gravitasi

yang memiliki solusi berbentuk

ψ

(

Z

)

=

ψ

₀

exp

(

−

2

k

|

Z

|

)

₍₁₆₎

memberikan nilai konstanta normalisasi

sebesar



0



2

k

_{, sehingga solusi (16)}

akan menjadi

ψ

(

Z

)

=

√

2

k

exp

(

−

2

k

|

Z

|

₎

(18)

Persamaan (18) akan menuju nol secara cepat

ketika

|

Z

|

membesar, dan akan memiliki nilai maksimum ketika

|

Z

|=

0

. Ini berarti bahwa mode ke-nol yang menghasilkan gravitasi Newtonian akan terkonstrasi di

Solusi asimtotis persamaan (9) akan didomisasi oleh solusi gelombang datar karena potensial Kazula-Klein turun menuju

nol ketika

|

Z

|→∞

, sehingga keadaan Kazula-Klein continuum tanpa gap hadir untuk semua nilai

m

2

>

0

, sehingga harga eigen

m

2 bersifat kontinyu dan proper measure menjadi dm. Dengan menggunakan spektrum eigen ini, maka dapat dihitung koreksi terhadap potensial gravitasi Newton

Φ

(

r

)

_{antara dua partikel bermassa}

m

1

Konstanta integrasi A dapat dipilih berbentuk

A

=

G

₅

m

₁

m

_{2 dengan}

G

_{5 adalah}

konstanta gravitasi Newton dalam dimensi lima yang terkait dengan konstanta gravitasi Newton dalam dimensi empat melalui memberikan koreksi terhadap gravitasi Newtonian yang diberikan oleh persamaan

ΔΦ

(

r

)

≈

G

₅

m

₁

m

₂

∫

Koreksi ini akan signifikan untuk level energi tinggi sekitar

1

/

k

2

≈

10

8

GeV

. Pada level energi rendah model Randall-Sundrum secara konsisten identik dengan gravitasi Newton.

4. Modifikasi Hukum Keppler

Adanya modifikasi pada hukum Newton yang diberikan oleh persamaan (22) akan menyebabkan modifikasi pada hukum Keppler. Untuk mendapatkan hukum Keppler dari model Randall-Sundrum, tinjau kembali persamaan energi potensial gravitasi yang bermassa m1 dan m2 dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan menggambarkan hubungan antara periode dan jarak planet, yang diberikan oleh

diprediksi oleh hukum Newton dengan yang diprediksi oleh persamaan (24).

5. Kesimpulan

Dari analisis di atas dapat disimpulkan bahwa model Randall-Sundrum menghasilkan hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler yang termodifikasi. Modifikasi ini signifikan pada level energi yang sangat tinggi.

Daftar Pustaka

[1] N. Arkani-Hamed, S. Dimopulos dan G. Dvali. Phys. Lett. B 429, 263 (1998)

[2] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999)

[3] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999)

[4] D. Langlois, Prog. Theor. Phys. Suppl. 148, 181 (2003)