PELENGKUNG DAN PORTAL 3 SENDI 2012

(1)

(2)

Biasanya dipergunakan pada konstruksi jembatan, dengan kondisi sungai dengan lebar yang cukup berarti

(3)

Tiang penyangga

Pelengkung

Gelagar jembatan

Konstruksi utama dibuat pelengkung sehingga tidak

memerlukan pilar. Gelagar memanjang, tempat

(4)

RAH A RAV

RBH B

RBV

RAH A RAV

RBH B

RBV

TUMPUAN A SENDI 2 REAKSI

TUMPUAN B SENDI 2 REAKSI 4 REAKSI

Terdapat 3 persamaan keseimbangan

∑

H

=

0

;

∑

V

=

0

;

∑

M

=

0

Perlu tambahan satu persamaan lagi agar struktur bisa diselesaikan secara statis tertentu. S adalah sendi yang terletak di busur / portal antara kedua perletakan. Sehingga total sendi = 3 buah.

Struktur Pelengkung atau Portal 3 Sendi

∑

Ms

=

0

(5)

(6)

!  

Pendekatan 1 :

R

_AV

dan R

_AH

atau R

_BV

dan R

_BH

dicari bersamaan

S A B a P1 S1 a1 b1 RAV RBV RAH RBH b L hA hB

R_AV dan R_AH dicari dengan persamaan

∑M_B = 0 dan ∑M_S = 0 (bagian kiri)

(1)

...

0

b

.

P

-)

h

-(h

.

R

-L

.

R

0

M

1 1 B A AH AV B

=

Σ

(2)

...

0

S

.

P

-h

.

R

-a

.

R

0

M

1 1 A AH AV S

=

Σ

...(4)

...

0

h

.

R

-L

.

R

0

M

(3)

...

0

a

.

P

-)

h

-(h

.

R

-L

.

R

0

M

B BH BV S 1 1 B A BH BV A

=

→

=

Σ

=

→

=

Σ

(7)

!   Pendekatan 2 : R_AV dan R_BV dicari dulu, baru R_AH dan R_BH kemudian S A B a P1 S1

a1 b1

RBV RAB RBA b L RAV f

R_AH dan R_BH ditiadakan kemudian diganti

menjadi R_AB dan R_BA , yang arahnya menuju

ke arah perletakan yang lainnya.

(8)

Posisi RBA dan RAB merupakan reaksi yang arahnya miring RBA (↙) dan RAB (↗).

Kedua reaksi ini harus diuraikan menjadi gaya-gaya yang vertikal dan horizontal.

RAB

RAB Sin α

RAB Cos α α

RBA

RBA Sin α α

RBA Cos α

Dari uraian di atas, dapat diketahui bahwa :

# R_AH = R_AB cos α (→)

#

R_BH = R_BA cos α (←)

# R_AV = R_AV + R_AB sin α (↑)

# R_BV = R_BV + R_BA sin α (↓)

( )

[

Pendekatan

1

]

[

Pendekatan

2

]

sin

R

AV

↑

=

AV

↑

+

AB

α

↑

( )

[

Pendekatan

1

]

[

Pendekatan

2

]

sin

R

(9)

(10)

1). Struktur pelengkung seperti tergambar.

Ditanyakan :

1.  Reaksi perletakan

2.  Besar M, D, dan N di titik T

T

A

B

q = 1 t/m’

10

2

(11)

Ø 

Mencari Reaksi Perletakan di titik B

(

)

(

)

(

)

(

2 1

)

ton 20 R 2 5 10 2 100 R 0 .10 2 1.10 2 5 10 R 0 .10 2 q.10 2 5 10 R 0 M B B B B A − = + = = − + = − + → =

∑

(

)

(

)

( )

(

)

(

−

)

( )

← = − = → = ↑ − = − = → = ton.... 2 2 10 R 2 2 1 . 1 2 20 R R R 45 Sin ton.... 2 2 10 R 2 2 1 . 1 2 20 R R R 45 Cos BH BH B BH 0 BV BV B BV 0 T A B q = 1 t/m’

10

2

5 5 2

(12)

(

)

( )

(

)

(

−

)

( )

↑ = − − = = + − → = → − = = − → =

∑

... ton 1 2 20 2 2 10 2 1.10 R 0 R 2 q.10 R 0 V ... ton 2 2 10 R 0 R R 0 H AV BV AV AH BH AH

(

)

(

)

(

12

2

17

)

tm

25

M

25

2

100

200

2

200

2

1

1.50.

.10

2

10

.10

1

2

20

2

.5

2

1

.

2

q.5

.10

R

.10

R

M

T AH AV T

−

=

−

+

−

=

−

=

−

=

Ø

Mencari Reaksi Perletakan di titik A

Ø

Mencari M di titik T ( sebelah kiri T)

T

A

B

q = 1 t/m’

10

2

5 5 2

(13)

(

)

(

)

(

2

)

ton

...(te

kan/-)

10

R

N

ton

4

2

3

5

D

20

2

5

1

2

5

.

1

2

20

2

q.5

R

D

BH AH

T T

AV T

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

Ø

Mencari D dan N di titik T

T

A

B

q = 1 t/m’

10

2

5 5 2

2 5

0

45

RB

RBV

RBH

RAV

(14)

2). Soal seperti tergambar. A, B dan C adalah sendi.

Ditanyakan : berapakah besarnya reaksi-reaksi perletakan dan M maximum….??

q = 1 t/m’

C

A B

x

6 m

y

K

(15)

Ø

Mencari Reaksi Perletakan

( )

↑

=

−

=

↑

=

−

=

∑

....

ton

3

24

6

.

12

.

1

R

0

q.12.6

24

.

R

0

M

....

ton

9

R

24

18

.

12

.

1

R

0

q.12.18

.24

R

0

M

BV BV A AV AV AV B RAH

q = 1 t/m’

C A B 6 y K x

6 m 6 m 6 m 6 m

(16)

Ø

Mencari Momen Maksimum (Mmax)

2

2 AH

AV

.1.x

2

1

6y

9x

q.x

2

1

.y

R

.x

R

Mx

−

=

−

=

y

dicari dengan menggunakan

persamaan parabola

(

)

(

)

(

)

2 2

x 24

1 x

24 x 24 24x y

l

x 24 4.6x l

x l 4fx y

−

=

−

=

−

=

−

=

RAH

q = 1 t/m’

C

A B

6

y

K

x

6 m 6 m 6 m 6 m

RAV

RBH

RBV

(17)

x

3

x

4

1

Mx

x

4

1

6

x

2

1

9x

24

1

6

1.x

2

1

.x

9

Mx

2

2 2

+

−

=

+

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

x

A)

kiri

(dari

m

6

x

0

x

2

1

3

0

dx

dMx

Mmax

=

−

=

⇒

tm

9

6

.

4

1

6

.

3

4

1

3

Mmax

2 2

=

−

=

−

(18)

# dari sebelah kanan bentang

…

..untuk potongan di sebelah kanan C dicari dari titik B.

y’ = x m dari B, dengan tinggi = y

x

.y

.x

x

y

' '

3

4

1

24

1

6

3

R

Mx

24

1

:

diket

2

2 BH BV

2

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

−

=

B)

(dari

m

6

0

3

2

1

0

dx

dMx

Mmax

=

−

=

⇒

x

tm

9

6

.

3

6

4

1

3

4

1

Mmax

2 2

−

=

−

=

−

(19)

# Gambar bidang M

Ternyata bentuk diagram M pada

bagian AC dan BC sama, tetapi M_AC

positif (+) dan M_BCnegatif (-).

q = 1 t/m’

C

A B

x

6

y

K

6 m

+

--9 tm

9 tm

6 m 6 m

6 m

(20)

# Reaksi di C

t

6

R

0

H

t

3

R

0

V

kanan

bagian

setimbang

0

Mc

BH CH

BV CV

=

→

=

→

=

→

=

∑

t

6

R

0

H

t

3

6

.

1

9

6

.

R

0

V

kiri

bagian

setimbang

0

Mc

AH CH

AV CV

=

→

=

−

=

−

=

→

=

→

=

∑

q

RAH

q = 1 t/m’

C

A B

6

y K

x

6 m 6 m 6 m 6 m

RAV

RBH

(21)

3). Diketahui pelengkung 3 sendi

Ditanyakan : berapakah besarnya reaksi-reaksi di A (R_AV, R_AH) dan B (R_BV, R_BH)

dan gaya-gaya dalam di C (Mc, Dc, dan Nc)…??

3 t/m’

S

A B

f = 3m yc

C

xc = 2.5 m

5 m 5 m

αc

(

)

2

4

y

l

x

l

fx

−

=

y = jarak pelengkung dari garis

horizontal dasar

x = aksis yang bergerak secara

horizontal dari A ke B

l = bentang pelengkung

f = tinggi pelengkung

(22)

Ø

Mencari Reaksi Perletakan

( )

(

)

( )

← =

= →

=

→ =

− =

= −

− =

↑ =

= = −

→ =

↑ =

= = −

→ =

∑

t

t t

t

5 , 12 R

R R

0 H

5 , 12 3

.3.5 15.5

R

0 .q.5 3

. R 5 . R

S kiri bagian 0

M

15 10

3.10.5 R

0 q.10.5 10

. R 0 M

15 10

3.10.5 R

0 q.10.5 .10

R 0 M

BH

AH BH

2 2 1 AH

2 2 1 AH AV

S

BV BV

A

AV AV

B

RAH

3 t/m’

S

A B

f = 3m yc

C

xc = 2.5 m

5 m RAV

RBH

RBV

5 m

αc

(23)

Ø

Mencari Mc, Dc, Nc

0

.3.2,5

25

,

2

.

5

,

12

5

,

2

.

15

q.x

.y

R

.x

R

M

2 2

1

2 C 2

1 C AH C

AV C

=

−

=

−

=

(

)

(

)

cm

25

,

2

0

1

2,5

10

4.3.2,5

l

x

l

4fx

y

_C

=

₂

−

=

₂

−

=

# Mencari Mc (dihitung dari kiri C)

# Mencari ordinat titik C

RAH

3 t/m’

S

A B

f = 3m yc

C

xc = 2.5 m

5 m RAV

RBH

RBV

5 m

(24)

Menentukan nilai

α

c

(

)

0 C

C

2 C

30,96

α

0,6

α

tg

arc

0,6

l0

5

l0

4.3

dx

dy

2,5m

x

untuk

=

→

=

−

=

→

=

( )

←

=

→

=

∑

H

0

R

12,5

t

ton

7,5

3.2,5

-15

q.x

-R

R

AH CH

AV CV

RAH

S

A B

f = 3m

C

x_c = 2.5 m RAV

RBH

RBV

α_c

RCH

RCV

(

)

(

)

c 2

c

2 C

tg

α

l

2x

l

4f

dx

dy

l

x

l

4fx

=

−

=

⇒

−

=

(25)

(

)

(

)

0

30,96

12,5.Sin

30,96

7,5.Cos

.Sin

α

R

-.Cos

α

R

D

0 0

C CH

C CV

C

=

−

=

(

)

(

)

t

14,5774

,96

12,5.Cos30

96

7,5.Sin30,

.Cos

α

R

.Sin

α

R

N

0 0

C CH

C CV

C

−

=

+

−

=

+

−

=

# Mencari gaya lintang dan gaya normal di C

RAH

A

C

RAV

a_c

RCV Sin ac

RCV

RCV Cos ac

RAH

A

C

RAV

a_c

RCH Cos ac

RCH

(26)

2 4

6 P=2t

q=2t/m’

A

B C

4

D E

(27)

Σ MA = 0

- 6 RBV + 2RBH - P.4 + q.L.2 = 0 - 6 RBV + 2RBH - 2.4 + 2.4.2 = 0

- 6 RBV +2RBH - 8 + 16 = 0 ... (1)

Σ

MC = 0 (dari kanan)

- RBV . 4+ RBH . 6 = 0

4RBV = 6RBH

2RBV = 3RBH ... (2)

)

ton(

7

8

R

8

7R

8

2R

)

(3R

3

-8

2R

)

(2R

3

-0

8

R

2

R

6

-(1)

pers

ke

(2)

pers

Substitusi

BH BH BH BH BH BV BH BV

←

=

+

=

+

=

+

2 4 6 P=2t q=2t/m’ A B C 4 D E RAH RAV RBH RBV ) ton( 7 12 R 7 72 6R 0 7 56 16 6R -0 8 7 8 2 6R -0 8 R 2 R 6 -(1) pers ke R Substitusi BV BV BV BV BH BV BV ↑ = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + +

R_BV dan R_BHdicari dengan persamaan ∑M_A =

(28)

Σ

MB = 0

- 2 R

AH

- 6 R

AV

+ q . L . 4 – P . 6 = 0

- 2 R

AH

- 6 R

AV

+ 2 . 4 . 4 – 2 . 6 = 0

- 2 R

AH

- 6 R

AV

+ 32 – 12 = 0

- 2 R

AH

- 6 R

AV

=- 20 ...(3)

Σ

Mc = 0 (dari kiri)

4 R

AH

- 2 R

AV

– q . L . 2 = 0

4 R

AH

- 2 R

AV

– 2 . 4 . 2 = 0

4 R

AH

- 2 R

AV

= 16

2 R

AH

- R

AV

= 8

R

AV

= 2R

AH

- 8 ...(4)

)

ton(

7

34

R

68

14R

20

48

12R

-2R

-20

8)

-6(2R

-R

2

-(3)

pers

ke

(4)

pers

Substitusi

AH AH AH AH

AH AH

←

=

+

=

)

ton(

7

12

8

-7

34

2

8

-R

2

R

AV AH

↓

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2 4

6 P=2t

q=2t/m’

A

B C

4

D E

RAH

RAV

RBH

RBV

R_AV dan R_AH dicari dengan persamaan

(29)

) ( ton 3 4 R 8 R 6 -0 2 . 4 . 2 2 . 4 -R 6 -0 2 . L . q 4 . P -R 6 -0 M BV1 BV1 BV1 BV1 A ↑ = = = + = + = Σ 3 2 4 3 2 4 x 4 y 3 2 6 4 x 6 2 2 x x Panjang x 4 y = + = + = = = → = → + =

)

(

ton

7

8

R

0

3

2

4

.

R

3

4

.

4

-0

y

.

R

4

-C)

kanan

sebelah

bentang

(untuk

0

M

BH BH BH BV1 C

←

=

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

+

=

Σ

q = 2 t/ m’ C P=2t Y X RAH1 RAH RAV2 RAV1 RBH

RBV2 RBH1

RBV1 A B D E C’ 4 2 4 6

R_AH dan R_BH ditiadakan kemudian diganti

(30)

) ( ton 3 10 R 20 -R 6 -0 32 12 -R 6 -0 4 . 4 . 2 6 . 2 -R 6 -0 4 . L . q 6 . P -R 6 -0 M AV1 AV1 AV1 AV1 AV1 B ↓ = = = + = + = + = Σ ) ( ton 7 34 R 3 10 2 16 R 3 14 16 R 2 -R 3 14 -0 2 . 4 . 2 -2 . R -3 14 . R -0 2 . L . q 2 . R -y . R -C) kiri sebelah bentang (untuk 0 M AH AH AV AH AV1 AH AV1 AH C ← = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Σ − q = 2 t/ m’ C P=2t Y X RAH1 RAH RAV2 RAV1 RBH

RBV2 RBH1

(31)

)

(

ton

21

34

2

4

2

7

34

tan

R

AV2 AH

↑

=

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

α

)

ton(

7

12

21

34

3

10

R

AV AV1 AV2

↓

=

−

=

+

=

R_AV2

R_AH

α

C’

ton

21

8

2

4

2

7

8

tan

R

BV2 BH

=

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

α

)

ton(

7

12

21

8

3

4

R

BV BV1 BV2

↑

=

+

=

+

=

RBV2

RBH

(32)

y -y 7 34 y . 2 . 2 1 -y 7 34 y . q . 2 1 -y R My 2 2 2 . AH = = = 7 17 14 34 y 2y 7 34 0 dy dMy Mmax = = → = = → 49 289 14 34 -14 34 7 34 Mmax 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

( )

tm

7 24 4 -4 7 34 ) 4 (y

MDA = = 2 =

tm 7 24 M

MDE = DA =

tm 7 48 6 . 7 8 L . R

MEB = BH = =

tm 7 48 M

MED = EB =

(33)

Bidang D

ton

7

34

R

D

AD

=

AH

=

ton

7

22

4

.

2

-7

34

L

.

q

-R

D

AH

DA

=

ton

7

12

R

D

DE

=

ED

=

AV

=

ton

7

8

R

D

BE

=

EB

=

BH

=

-+

7 11

7 17

7 34

7 22 7

12

7 8

6 6

2 4

6 P=2t

q=2t/m’

A

B C

4

D E

RAH RAV

(34)

ton

7

12

R

N

AD

=

AV

=

ton

7

22

2

7

8

P

R

N

DE

=

BH

+

=

+

=

ton

7

12

R

N

BE

=

BV

=

7 12

7 22

6 6

-+

7 12

-4

2 4

6 P=2t

q=2t/m’

A

B C

4

D E

RAH RAV

RBH RBV

(35)

2). Tentukan rekasi-reaksi perletakan dan gambarlah bidang M, D, dan N.

q=1t/m’

A B

C

4

D

E

S1 S2

4 2

(36)

PENYELESAIAN:

ton

2

R

8

R

4

-0

2

.

4

.

1

R

4

-0

2

.

L

.

q

R

4

-S2)

kanan

sebelah

(daerah

0

M

C C C C S2

=

+

=

+

=

Σ

ton

2

R

1

.

4

2

R

L

.

q

R

S2)

kanan

sebelah

(daerah

0

V

S2 S2 C S2

=

+

=

+

=

Σ

ton

4

13

R

26

R

8

0

4

2

32

-R

8

0

2

.

2

1

.

2

.

1

4

.

8

.

1

R

8

0

2

.

R

1

.

L

.

q

4

.

L

.

q

R

8

S2)

kiri

sebelah

(daerah

0

M

AV AV AV AV S2 AV B

=

+

=

+

=

+

=

Σ

− − q=1t/m’ A B C 4 D E S1 S2 4 2 4 4 RAH

RAV RBV

RBH

(37)

( )

→ = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = Σ − − ton 4 5 R 8 13 R 4 0 4 . R -2 . 4 . 1 4 13 4 0 4 . R 2 . L . q R 4 S1) kiri sebelah (daerah 0 M AH AH AH AH AV S1 ton 4 35 R 20 18 32 8R 0 .10 R q.2.9 q.8.4 R 8 -) S kiri sebelah (daerah 0 M BV BV S2 BV 2 A = + + = = + + + = Σ

( )

← = = + + + = + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + + + = Σ ton 4 5 R 0 12 10 8 R 4 0 6 . 2 5 . 2 . 1 2 . 4 . 1 4 35 4 R 4 0 6 . R 5 . L . q 2 . L . q R 4 -R 4 S1) kanan sebelah (daerah 0 M BH BH BH S2 BV BH S1 q=1t/m’ A B C 4 D E S1 S2 4 2 4 4 RAH

RAV RBV

(38)

tm

5

4

5

4

.

R

M

DA AH

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

x

.

2

1

4

5

-x

4

13

x

.

q

.

2

1

-4

R

-x

R

Mx

DE

bentang

pada

Momen

2 2 . AH . AV

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

( )

8

-

11

tm

2

1

-4

20

-8

4

13

)

8

(x

M

ED

⎟

2

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

3,25

x

0

x

-4

13

0

dx

dMx

Mmax

=

→

=

→

(

)

(

)

tm

32

9

25

,

3

2

1

-4

20

-25

,

3

4

13

Mmax

⎟

2

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

tm

5

-0)

(x

M

DE

=

q=1t/m’ A B C 4 D E S1 S2 4 2 4 4 RAH

RAV RBV

RBH

Rc

x

(39)

tm

5

4

5

4

.

R

M

EB BH

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

x

.

2

1

-2x

x

.

q

.

2

1

-x

R

Mx

C)

titik

dari

dilihat

(x

EC

bentang

pada

Momen

2 2 . C

=

2

x

0

x

-2

0

dx

dMx

Mmax

=

→

=

→

( )

2

tm

2

1

-4

20

-2

2

Mmax

⎟

2

=

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

tm

6

18

12

0.5.6

6

.

2

6)

(x

M

2 EC

−

=

−

=

−

=

q=1t/m’ A B C 4 D E S1 S2 4 2 4 4 RAH

RAV RBV

RBH

Rc

(40)

q=1t/m’

A B

C

4

D

E

S1 S2

4 2

4 4

RAH

RAV RBV

RBH

Rc

+ +

-4

8

3,25 4 2

6 4

2.5

5 5

32 9

11

6

(41)

ton

4,75

4

3

1

1.8

R

-L

.

q

D

AV

ED

=

−

=

ton

4

5

R

D

BE

=

BH

=

ton

4

5

R

D

AD

=

AH

=

ton

4

13

R

D

DE

=

AV

=

ton

4

75

.

4

8.75

4.75

R

D

B

EC

=

−

=

−

=

ton

2

R

D

CE

=

CE

=

q=1t/m’

A B

C

4

D

E

S1 S2

4 2

4 4

RAH

RAV RBV

RBH

(42)

q=1t/m’

A B

C

4

D

E

S1 S2

4 2

4 4

RAH

RAV RBV

RBH

Rc

4

3,25

1,25 1,25 4,75

4

2 8

3,25 4.75 4 2 6

-

₊

+

-+

(43)

ton

4

13

R

N

AD

=

DA

=

AV

=

ton

4

13

R

N

DE

=

ED

=

AH

=

ton

4

35

R

N

BE

=

EB

=

BV

=

q=1t/m’

A B

C

4

D

E

S1 S2

4 2

4 4

RAH

RAV RBV

RBH

(44)

q=2t/m’

A B

C

4

D

E

S1 S2

4 2

4 4

RAH

RAV RBV

RBH

Rc

8 6

4

-

-8,75

1,25