Matriks Sistem Persamaan Linier Bilangan Kompleks Permutasi dan Kombinasi Aritmatika Interval

Sudaryatno Sudirham

Kapita Selekta Matematika

Matriks Sistem Persamaan Linier

Bilangan Kompleks Permutasi dan Kombinasi

Aritmatika Interval

Matriks

2

Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.

Contoh:

  

 

  

 

1 2 3

4 2 1

3 0 2 baris

kolom Nama matriks: huruf besar cetak tebal,

  

 

  

  =

1 2 3

4 2 1

3 0 2

A 

     =

2 0 3

1 4 2 B Contoh:

Notasi:

Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks.

Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata.

3

Elemen Matriks

Isi suatu matriks disebut elemen matriks Contoh:

      =

2 0 3

1 4 2

B 2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenenmatriks yang membentuk baris

2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom

Ukuran Matriks

Secara umum suatu matrik terdiri dari bbaris dan kkolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×kelemen-elemen

Ukuran matriks dinyatakan sebagaib×k

Contoh:

      =

2 0 3

1 4 2

B adalah matriks berukuran 2×3

4

  

 

  

  =

1 2 3

4 2 1

3 0 2

A

b = k = 3 matriks bujur sangkar 3×3 Nama Khusus

Matriks denganb= kdisebut matriks bujur sangkar. Matriks dengank= 1 disebut matriks kolomatau vektor kolom. Matriks denganb = 1disebut matriks barisatau vektor baris. Matriks denganb ≠k disebutmatrik segi panjang

Contoh:

      =

2 0 3

1 4 2

B

b = 2,k = 3 matriks segi panjang 2×3

      =

4 2

p k = 1

vektor kolom q=

[

3 2 4

]

b = 1 vektor baris Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal

5

Secara umum, matriks Adapat kita tuliskan sebagai

[ ]

bk

mn m m

n n

a

a a a

a a a

a a a

=    

 

   

 

=

L L L L L

L L

2 1

2 22 21

1 12 11 A

elemen-elemen a11…amndisebut diagonal utama Diagonal Utama

Matriks Segitiga

Contoh:

Matriks segitiga bawah :

  

 

  

  − =

3 4 3

0 1 1

0 0 2 1 T

Matriks segitiga atas :

  

 

  

  − =

3 0 0

3 1 0

1 2 2 2 T Ada dua macammatriks segitiga yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas

diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

7

Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh:

  

 

  

  =

0 0 0

0 1 0

0 0 2 D

8

Matriks Satuan

Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.

Contoh:

I

A =

  

 

  

  =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Matriks Nol

Matriks nol, 0,yang berukuran m×nadalah matriks yang berukuran m×ndengan semua elemennya bernilai nol.

9

Anak matriksatausub-matriks

      =

2 0 3

1 4 2 B

[

2 4 1

]

[

3 0 2

]

- Dua anak matriks 1×3, yaitu:

      3 2

      0 4

      2 1 - Tiga anak matriks 2×1, yaitu:

- Enam anak matriks 1×1yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];

- Enam anak matriks 1×2yaitu:

[

2 4

]

[ ]

2 1

[ ]

4 1

[ ]

3 0

[ ]

3 2

[

0 2

]

     

0 3

4 2

     

2 3

1 2

     

2 0

1 4 - Tiga anak matriks 2×2yaitu:

Contoh:

MatriksBmemiliki:

10

Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor

  

 

  

  =

1 2 3

4 2 1

3 0 2 A

  

 

  

  =

3 2 1

a a a A dapat kita pandang sebagai matriks

dengan anak-anak matriks berupa vektor baris

[

2 0 3

]

1=

a a2=

[

1 2 4

]

a3=

[

3 2 1

]

dapat kita pandang sebagai matriks A=

[

a₁ a₂ a₃

]

  

 

  

  =

3 1 2 1 a

  

 

  

  =

2 2 0 2 a

  

 

  

  =

1 4 3 3 a

dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom Contoh:

Contoh yang lain:

  

 

  

  =

1 2 3

4 2 1

3 0 2 A

Kesamaan Matriks

Dua matriks A danB dikatakansamajika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.

A = B

      =

0 3

4 2 A Jika

      =

0 3

4 2 B

maka haruslah .

Matriks Negatif

Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×nyang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). .

Contoh:

      =

0 3

4 2

A 

     −

− − = −

0 3

4 2 A

13

Penjumlahan

Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama

Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m×nadalah sebuah matriks Cberukuran m×n yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan

B yang posisinya sama

A B B

A+ = +

(

A+B

)

+C=A+

(

B+C

)



     =

0 3

4 2 A

      =

2 2

3 1 B Jika

      = +

2 5

7 3 B A maka

Sifat-sifat penjumlahan matriks: Contoh:

14

Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif

A 0 A+ =

0 A A A

A− = +(− )= 

     =

0 3

4 2

A 

     =

2 2

3 1 B

     

− =      

− −

− − +       = −

2 1

1 1 2 2

3 1 0 3

4 2 B A Contoh:

15

Perkalian Matriks

           

=

mn m m

n n

a a a

a a a

a a a

L L L L L

L L

2 1

2 22 21

1 12 11 A

BA AB≠

16     

 

    

 

=

pq m p

q q

a a a

a a a

a a a

L L L L L

L L

2 1

2 22 21

1 12 11

B

Jadi jika matriks A berukuran m×ndanB berukuran p×q

maka perkalian ABhanya dapat dilakukan jika n= p. Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×qdengan nilai elemen pada baris ke b kolom kekmerupakan hasil kali internal (dot product) vektor

bariske bdari matriks Adan vektor kolomke kdari matriks B Perkalian antara dua matriks Adan B yaitu C=AB hanya terdefinisikan jika

banyak kolom matriks Asama dengan banyak baris matriks B. Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.

Perkalian matriks tidak komutatif.

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m××××n adalah matriks berukuran m××××nyang seluruh elemennya bernilai a kali.

aA = Aa

  

 

  

  = ×   

 

  

  =   

 

  

  ×

6 4 6

4 6 2

2 4 4 2 3 2 3

2 3 1

1 2 2

3 2 3

2 3 1

1 2 2 2

Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

(

A B

)

aA aB

a + = +

(

a+b

)

A=aA+bA

[ ]

bA

( )

abA

a =

Contoh:

17

Perkalian Internal Vektor(dot product)

[ ]

2 3 =

a _

     =

3 4 b vektor baris: vektor kolom:

. Contoh:

2 kolom

2 baris Perkalian internal antara dua vektoradan byaitu c =abhanya terdefinisikan jika banyak kolom vektorasama dengan banyak baris

vektorb.

Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan.

[

]

[

2 4 3 3

] [ ]

17 3

4 3

2 = × + × =

     = • =a b c

Jika urutan dibalik, b: 1 kolom, a: 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda

[ ]



     =      

× ×

× × =       = • =

9 6

12 8 3 3 2 3

3 4 2 4 3 2 3 4 a b d

perkalian internal dapat dilakukan

Perkalian matriks tidak komutatif.

Perkalian Matriks Dengan Vektor       = 4 3 1 2 A       = 3 2 b

Misalkan dan

dapat dikalikan 2 kolom 2 baris       =       × + × × + × =       • • =       = = 18 7 3 4 2 3 3 1 2 2 2 1 2 1 b a b a b a a Ab C

Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan Aterdiri dari dua baris. Contoh:

19

Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar

      = 4 3 1 2 A       = 3 5 2 4 B dan Contoh: dapat dikalikan kolom = 2

baris = 2

Matriks A kita pandang sebagai _      = 2 1 a a A

Matriks B kita pandang sebagai B=

[

b₁ b₂

]

[

]

      =       × + × × + × × + × × + × =       • • • • =       = = 18 32 7 13 3 4 2 3 5 4 4 3 3 1 2 2 5 1 4 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 b a b a b a b a b b a a AB C 20

Perkalian dua matriks persegi panjang

      = 2 3 1 3 4 2 A           = 3 2 3 4 2 1 B dan dapat dikalikan kolom = 3

baris = 3

      =       × + × + × × + × + × × + × + × × + × + × =                 = = 17 17 25 25 3 2 3 3 2 1 2 2 4 3 1 1 3 3 3 4 2 2 2 3 4 4 1 2 3 2 3 4 2 1 2 3 1 3 4 2 AB C Contoh: 21       = 2 1 a a

A B=

[

b1 b2

]

[

]

      • • • • =       = = 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 b a b a b a b a b b a a AB C

Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah

, sehingga

. Dalam operasi perkalian matriks:

matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris

matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom

Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom

22

( )

aAB=a

( )

AB =A

( )

aB

( ) ( )

BC ABC

A =

(

A+B

)

C=AC+BC

(

A B

)

CA CB

C + = +

Sifat-sifat perkalian matriks

b. Tidak komutatif. Jika perkalian ABmaupun BAterdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠BA

a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan

Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0. c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.

Putaran matriks atau transposisi dari matriks Aberukuran m×n adalah suatu matriks ATyang berukuran n×mdengan kolom-kolom matriks Asebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa

baris-baris matriks Amenjadi kolom-kolom matriks AT

[ ]

bk

mn m m n n a a a a a a a a a a =             = L L L L L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 A

Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom.

Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.

[

]

          = ⇒ = 3 4 2 3 4

2 aT

a

[

5 4 3

]

3 4 5 T₌ ⇒           = b b Contoh: 25

Putaran Jumlah Dua Vektor Baris

Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor

[

2 4 3

]

dan =

[

1 3 2

]

= b

a

[

3 7 5

]

= +b a

(

)

T T T

2 3 1 3 4 2 5 7 3 b a b

a = +

          +           =           = +

(

_a+b

)

T_=aT_+bT Jika

maka

Secara umum : Contoh:

26

Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran

masing-masing dengan urutan dibalik

[

]

          = = 2 3 1 dan 3 4 2 b a

[

2×1+4×3+3×2

]

=

ab Jika

maka Contoh:

[

] [

]

TT

T 3 4 2 2 3 1 2 3 3 4 1

2 ba

ab =           = × + × + × = 27 Contoh:

Jika dan

[

1 3 2

]

3 4 2 =           = b a maka           × × × × × × × × × = 2 3 3 3 1 3 2 4 3 4 1 4 2 2 3 2 1 2 ab

( )

T

[

_{2 4 3}

]

TT

2 3 1 2 3 2 4 2 2 3 3 3 4 3 2 1 3 1 4 1 2 a b ab =           =           × × × × × × × × × =

Secara umum :

( )

_abT_=bT_aT

28

Contoh:

Putaran Matriks Persegi Panjang

      = 2 3 1 3 4 2 A           = 2 3 3 4 1 2 T A

Jika _maka

          = m a a A L 1

[

T T

]

1 T

m

a a

A ₌ L

Jika matriks Adinyatakan sebagai susunan dari

vektor baris maka

[

a a am

]

A= _{1 2} L

Jika matriks A dinyatakan dengan

vektor kolom _

        = m a a A L 1 T maka 29

Putaran Jumlah Matriks

Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks.

Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.

(

_A+B

)

T_=AT_+BT

[

a am

]

A= ₁ L B=

[

b1 L bm

]

[

a b am bm

]

B

A+ = + L +

1 1 Jika Dengan demikian dan maka

(

)

(

)

(

)

T T T T 1 T T 1 T T T 1 T 1 T T 1 1

T _{A B}

b b a a b a b a b a b a B

A = +

Putaran Hasil Kali Matriks

Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat

pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.

( )

_ABT_=BT_AT

  

 

  

  =

m

a a

A L

1

[

b bn

]

B L

1 =

  

 

  

 

• •

• •

=

n m n m

n

b a b a

b a b a AB

L L L L

L 1 1 1

Jika dan

maka

[

]

T T

1 1 1 1 1

T _{a a B A}

b b

b a b a

b a b a

AB =

  

 

  

  =   

 

  

 

• •

• •

= m

n n m n m

n

L L L

L L L

L Dengan demikian maka

31

Matriks Simetris

Jika

dikatakan bahwa matriks Badalah simetris miring.

B BT=−

Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila

A AT=

Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah,

maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada

matriks nyata.

32

Sistem Persamaan Linier

33

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui.

Bentuk umum:

m n mn m

n n

n n

b x a x a

b x a x a

b x a x a

= + +

= + +

= + +

L L L

1 1

2 2 1 21

1 1 1 11

. . . . . . . . . . .

Sistem ini mengandung m persamaan dengan nunsur yang tak diketahui yaitu x1….xn.

Bilangan a11…..amndisebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya

merupakan bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1….bmjuga merupakan bilangan-bilangan yang

diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol

Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen

34

Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1…xnyang memenuhi sistem persamaan tersebut.

Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1= 0, …., xn= 0.

Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:

a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?

b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi? c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi,

bagaimanakah himpunan solusi tersebut?

d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?

Operasi Baris

m n mn m

n n

n n

b x a x a

b x a x a

b x a x a

= + +

= + +

= + +

L L L

1 1

2 2 1 21

1 1 1 11

. . . . . . . . . . .

Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut

operasi barissebagai berikut:

a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.

c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.

Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah

            =                         m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a L L L L L L L L L 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11

Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks

atau secara singkat

Ax

=

b

            =             =             = m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a L L L L L L L L L 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 ; ; x b A dengan 37

Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi

            = m mn m m n n b a a a b a a a b a a a | | | | ~ 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 L L L L L L L L A

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi barispada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut

a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.

b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.

c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.

38

Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.

Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir

inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks

gandengan yang lama.

Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan

asalnya.

Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.

39

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.

Suatu sistem persamaan linier:

Contoh: 0 2 3 4 8 2 5 3 0 2 4 8 = + − + − = − + − = − + − = − D C B A D C B A C B A B A x x x x x x x x x x x x x

Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:

            =                         − − − − − − − 0 8 0 8 2 3 4 1 2 5 3 1 0 2 4 1 0 0 1 1 D C B A x x x x 40 Matriks gandengnya adalah:             − − − − − − − 0 | 2 3 4 1 8 | 2 5 3 1 0 | 0 2 4 1 8 | 0 0 1 1

Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1(disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertamabaris-baris berikutnya menjadi bernilainol.

1) baris ( 1) baris ( baris1) ( pivot 8 | 2 3 3 0 0 | 2 5 2 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 + − +             − − − − −

Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

41

Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat 0 | 2 1 0 0 3 / 16 | 2 3 / 4 5 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1             − − − − − 0 | 2 1 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1             − − − − 43 0 | 2 1 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1             − − − −

Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:

3 baris 11 pivot 16 | 16 0 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 + ×             − − − 44

Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:

16 16 16 6 11 8 2 3 8 = = − = − = − D D C C B B A x x x x x x x

yang dengan substitusi mundur akan memberikan:

12 ; 4 ; 2 ;

1 = = =

= C B A

D x x x

x Hasil terakhir langkah ketiga adalah: 16 | 16 0 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1             − − −

Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:

            =                         − − − 16 16 8 8 16 0 0 0 6 11 0 0 0 2 3 0 0 0 1 1 D C B A x x x x 45

Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu

Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.

Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.

Jika unsur yang tak diketahui lebih banyakdari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.

Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.

46

Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi

8 2 3 0 2 4 8 − = + − = − + − = − C B C B A B A x x x x x x x Matriks gandeng:           − − − − − 8 | 2 3 0 0 | 2 4 1 8 | 0 1 1 Eliminasi Gauss:           − − − − 8 | 2 3 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1           − − 0 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 Contoh:

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :

0 0 8 2 3 8 = = − = − C B B A x x x x 3 / ) 2 8 ( C B x

x = + Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan

3 / ) 2 8 ( 8 C A x

x = + + yang kemudian memberikan

Karena xCtetap sembarang maka kita mendapatkan banyak

solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xAdan xBjika kita

Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi

10 2 3

0 2 4

8

− = + −

= − + −

= −

C B

C B A

B A

x x

x x x

x x

Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan

  

 

  

 

− −

− −

−

10 | 2 3 0

0 | 2 4 1

8 | 0 1 1

  

 

  

 

− −

− −

10 | 2 3 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

  

 

  

 

− − −

2 | 0 0 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

Contoh:

49

Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah

2 0

8 2 3

8

− =

= −

= −

C B

B A

x x

x x

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris

terakhir.

Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.

50

Bentuk Eselon

Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk

eselon.

  

 

  

 

− −

0 0 0

2 3 0

0 1 1

  

 

  

 

− − −

2 | 0 0 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

dan

Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah

        

 

        

 

′ ′ ′

+

m r

r rn rr

n n

b b b k k

b c c

b a a

a

| 0

| | 0

| | | 0

|

1 2 2 22

1 1 12

11

M L

M L L L

L L L

Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah

51

dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk

m r r n rn r rr

n n

n n

b b b x k x k

b x a x

c

b x a x

a x a

′ =

′ =

′ = + +

′ = + +

= + + +

+

0

0

1 2 2 2

22

1 1 2

12 1 11

M L

M L L L L

L L L L

dengan a11≠0, a22≠0, krr≠0 , dan r ≤n

a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.

n

r= b_r′+1,K,b_m′

n

r< br′+1,K,bm′

n

r= r<n br′+1,K,bm′

Perhatikan bentuk ini:

52

Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika sama dengan nol atau tidak ada.

m

r b

b′+1,K,′

Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan

solusi terjadi jika r=n.

Nilai ryang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linierdalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut

ini. n

r<

Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.

53

Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor

Misalkan a1 ,a2 ,L am

adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A=[abk].

Kita tinjau suatu persamaan vektor

0 2

2 1

1 +c + +cmm=

ca a L a

Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jikasemua koefisien (c1…cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah

bebas linier.

Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu

tidak bebas linier.

Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena

dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk dapat dipenuhi.

Vektor a1misalnya, dapat dinyatakan sebagai

0 1 2 1 2

1=− − − m m=

c c c c

a a

a L

karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi

linier dari vektor yang lain.

55

Contoh: Dua vektor baris a1=

[

2 3 1 2

]

dan a2=

[

4 2 6 2

]

Vektor a1dan a2adalah bebas linier karena

[

2 3 1 2

] [

24 2 6 2

]

0 1

2 2 1

1 +c =c +c = ca a

hanya akan terjadi jika c1=c2=0

Ambil vektor ketiga a3=

[

4 6 2 4

]

Vektor a3dan a1tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3

sebagai

[

2 3 1 2

] [

4 6 2 4

]

2

21

3= a = =

a

Vektor a1, a2dan a3juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan

a3sebagai

[

2 3 1 2

] [

04 2 6 2

] [

4 6 2 4

]

2

0

21 2

3= a+ a = + =

a

Akan tetapi jika kita hanya melihat a3dan a2saja, mereka adalah

bebas linier.

56

Rank Matriks

Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank

matriks.

Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A= [abk]

disebut rankmatriks A disingkat rankA.

Jika matrikB= 0 makarankBadalah nol.

Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks

baru sama dengan rank matriks asalnya.

Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rankmatriks. Jadi ranksuatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rankmatriks yang dihasilkan pada langkah terakhir

eliminasi Gauss.

Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.

Bagaimana menentukan rank suatu matriks?

57

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggaldalam contoh, adalah

   

 

   

 

− − −

16 0 0 0

6 11 0 0

0 2 3 0

0 0 1 1

   

 

   

 

− − −

16 | 16 0 0 0

16 | 6 11 0 0

8 | 0 2 3 0

8 | 0 0 1 1

dan

Dalam kasus ini rankmatriks koefisien sama dengan rankmatriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rankmatriks sama dengan

banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4

Contoh:

58

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah

Contoh:

  

 

  

 

− −

0 0 0

2 3 0

0 1 1

  

 

  

 

− −

0 | 0 0 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rankmatriks ini lebih

kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.

Contoh:

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah

  

 

  

 

− −

0 0 0

2 3 0

0 1 1

  

 

  

 

− − −

2 | 0 0 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rankmatriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rankdari kedua matriks ini menunjukkan tidak

Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.

c). jika rankmatriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.

a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rankmatriks gandengannya;

b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;

61

Sistem Persamaan Homogen

Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai bdi ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk

0 . . . . . . . . . . . 0 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 = + + + = + + + = + + + n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L

Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah

            = 0 | | 0 | 0 | ~ 2 1 2 22 21 1 12 11 mn m m n n a a a a a a a a a L L L L L L L L A 62

Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan

            ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ′ 0 | 0 0 0 | 0 | 0 0 |

~ 22 2

1 12 11 mn n n a a a a a a L L L L L L L A

Jika rankmatriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r= n, sistem persamaan akhirnya akan

berbentuk 0 0 0 2 2 22 1 2 12 1 11 = ′ = ′ + + ′ = ′ + + ′ + ′ n mn n n n n x a x a x a x a x a x a M L L

Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua xbernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r= n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .

0 = n x n r< 63

Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial

0 2 3 4 0 2 5 3 0 2 4 0 = + − + − = − + − = − + − = − D C B A D C B A C B A B A x x x x x x x x x x x x x

Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah

            − − − − − − − 0 | 2 3 4 1 0 | 2 5 3 1 0 | 0 2 4 1 0 | 0 0 1 1             − − − 0 | 16 0 0 0 0 | 6 11 0 0 0 | 0 2 3 0 0 | 0 0 1 1

Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi

0 16 0 6 11 0 2 3 0 = = − = − = − D D C C B B A x x x x x x x 0 = = =

= C B A

D x x x

x yang akhirnya memberikan

Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan r=n

Contoh:

64

Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial

0 6 13 4 0 2 5 3 0 2 4 0 = + − + − = − + − = − + − = − D C B A D C B A C B A B A x x x x x x x x x x x x x

Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah

Contoh:             − − − − − − − 0 | 6 13 4 1 0 | 2 5 3 1 0 | 0 2 4 1 0 | 0 0 1 1               − − − 0 | 0 0 0 0 0 | 6 11 0 0 0 | 0 2 3 0 0 | 0 0 1 1 eliminasi Gauss:

Sistem persamaan menjadi

0 0 0 6 11 0 2 3 0 = = − = − = − D C C B B A x x x x x x 65 1 = D x 33 12 ; 33 12 ; 11

6 _{= =}

= B A

C x x

x

Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh

.

Solusi ini membentuk vektor solusi

            = 1 11 / 6 33 / 12 33 12 1 / x

yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan

Jika kita menetapkan nilai xDyang lain, misalnya akan

diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu

33 = D x

1 2 33

33 18 12 12

x

x =

    

 

    

 

=

Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol

Vektor solusi x2ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan

bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk

1 x xc=c

dengan cadalah skalar sembarang

67

Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1dan x2.

1 1 1 2

1

3 33 34

33 18 12 12

1 11 / 6

33 / 12

33 / 12

x x x x

x

x = + =

   

 

   

 

+    

 

   

 

= + =

Jelas bahwa x3juga merupakan solusi karena jika

digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai

∑

= c

j x

x

68

Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n−r), yaitu selisih antara banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rankmatriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya

unsur yang tak diketahui adalah 3 sedangkan rankmatriks koefisien adalah 2.

Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.

Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar

dengan vektor x1.

69

Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2

0 4 10 7

0 2 5 4

0 2 5 4

0

= + − + −

= − + −

= + − + −

= −

D C B A

D C B A

D C B A

B A

x x x x

x x x x

x x x x

x x

Contoh:

Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah

   

 

   

 

− −

− −

− −

−

0 | 4 10 7 1

0 | 2 5 4 1

0 | 2 5 4 1

0 | 0 0 1 1

   

 

   

 

− −

0 | 0 0 0 0

0 | 0 0 0 0

0 | 2 5 3 0

0 | 0 0 1 1

Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi

0 0

0 0

0 2 5 3

0

= =

= + −

= −

D C B

B A

x x x

x x

70

0 dan

1 =

= D

C x

x

5/3 ; 3 /

5 =

= A

B x

x Jika kita memberi nilai

kita akan mendapatkan

.

    

 

    

 

=

0 1 3 / 5

3 / 5 1

x _{adalah salah satu vektor solusi}

Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor b=0

   

 

   

 

=    

 

   

 

+ − +

−

=    

 

   

 

   

 

   

 

− −

=

0 0 0 0

0 0

0 5 5 0

3 / 5 3 / 5

0 1 3 / 5

3 / 5

0 0 0 0

0 0 0 0

2 5 3 0

0 0 1 1 1

Ax

Jika Ax1= 0, maka perkalian dengan skalar kakan memberikan

0 x

Ak11= Ak2x1=0

,

dan Ak1x1+Ak2x1=A(k1+k2)x1=Ac1x1=0

Dengan kata lain, jika x1adalah vektor solusi, maka

) ( , ,

21 11 21 1

1x kx kx kx

k +

1 dan

0 =

= D

C x

x xB=−2/3

3 / 2 − = A x

Jika akan kita peroleh

dan yang membentuk vektor solusi

   

 

   

  − −

=

1 0 3 / 2

3 / 2 2

x

Dengan skalar lsembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti

) ( , ,

22 12 2 2 2

1x lx lx lx

l +

Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah

2 1 x x x=k +l

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.

73

Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen

dengan nunsur tak diketahui dan rankmatriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (n−r).

74

Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan

Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n×n.

Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks Aakan menghasilkan

matriks identitas. Kebalikan matriks Adituliskan sebagai A−1

sehingga definisi ini memberikan relasi

1

1 −

−_A=I=AA

A

Jika Aberukuran n ×nmaka A−1_{juga berukuran n ×n dan}

demikian pula matriks identitasnya.

75

Jika Aadalah matriks tak singular maka hanya ada

satukebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal.

Hal ini mudah dimengerti sebab jika Amempunyai dua kebalikan, misalnya Pdan Q, maka AP =I =PA

dan juga AQ =I =QA, dan hal ini hanya mungkin terjadi jika P= Q.

Q QI AP Q QAP P AQ IP

P= =( ) = = ( )= =

Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika

Amemiliki kebalikan maka Adisebut matriks tak singular

dan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.

76

Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi xdari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien

Aada, atau jika matriks Atak singular.

Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks Asingular atau tak singular dan bagaimana mencari

kebalikan matriks A jika ia tak singular. Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau

persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak homogen, yaitu

b Ax=

Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks Ake ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh

b A x Ix b A Ax

A−1 = −1 → = = −1

77

Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien Aadalah matriks bujur sangkar n×n, maka solusi tunggal

akan kita peroleh jika rankAsama dengan n. Hal ini berarti bahwa vektor xpada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A−1_sama

dengan n. Dengan perkataan lain

matriks Ayang berukuran n ×ntak singular jika rankA=n

dan akan singular jika rankA <n.

Mencari kebalikan matriks Adapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b.

I AX=

Jika X adalah kebalikan matriks A maka

[

A I

]

A~=

[

U H

]

[

U H

]

[

I X

]

Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan

A ~ Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada

matriks gandengan ini berubah menjadi

dengan Uberbentuk matriks segitiga atas.

yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U

sehingga Uberbentuk matriks identitas I. Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada

Langkah akhir ini akan menghasilkan

79

Contoh: Kita akan mencari kebalikan dari matriks

          − − = 1 4 2 2 2 3 2 2 1 A

Kita bentuk matriks gandengan

[

A I

]

[

]

          − − = 1 0 0 | 1 4 2 0 1 0 | 2 2 3 0 0 1 | 2 2 1 I A

Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini

1 baris 2 1 baris 3 pivot 1 0 2 | 5 8 0 0 1 3 | 4 8 0 0 0 1 | 2 2 1 × + × −           − − − 80 2 baris pivot 1 1 1 | 1 0 0 0 1 3 | 4 8 0 0 0 1 | 2 2 1 +           − − − −

Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan

) 8 / 1 ( 1 1 1 | 1 0 0 0 8 / 1 8 / 3 | 2 / 1 1 0 0 0 1 | 2 2 1 − ×           − − baris3 5 . 0 3 baris 2 1 1 1 | 1 0 0 2 / 1 8 / 5 8 / 7 | 0 1 0 2 2 3 | 0 2 1 × − × −           − − − − − 2 baris 2 1 1 1 | 1 0 0 2 / 1 8 / 5 8 / 7 | 0 1 0 1 8 / 6 8 / 10 | 0 0

1 − ×

          − − − − − 81

Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu

          − − − − − = − 1 1 1 2 / 1 8 / 5 8 / 7 1 8 / 6 8 / 10 1 A

Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya

          =                     − − 0 0 8 1 4 2 2 2 3 2 2 1 3 2 1 x x x

vektor solusinya adalah

          − =                     − − − − − =                     − − =           − 8 7 10 0 0 8 1 1 1 2 / 1 8 / 5 8 / 7 1 8 / 6 8 / 10 0 0 8 1 4 2 2 2 3 2 2 1 1 3 2 1 x x x 82

Kebalikan Matriks Diagonal

Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.

          =           − nn nn a a a a / 1 0 0 0 0 0 0 / 1 0 0 0 0 0

0 1 11

11

L L

Kebalikan Dari Kebalikan Matriks

Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.

( )

A−₁−1=A

Kebalikan Dari Perkalian Matriks

Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.

( )

_AB−1_=B−1_A−1

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut

( )( )

−1 =ABAB I

( )( )

( )

( )

( )

( )

Bilangan Kompleks

85

Definisi

Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks sebagai berikut

Bilangan komplekszialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyatax, y, yang kita tuliskan

)

,

(

x

y

z

=

y

z

x

z

=

Im

=

Re

Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata. kita tuliskan

bagian nyata (real part) dariz

bagian khayal (imaginary part) dariz

86

Bilangan Nyata

Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata

yang hanya dapat di angankan sepertiπ. Walaupun hanya dapat diangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan

angka desimal yang tak diketahui ujungnya.

Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebutsumbu nyata,

| | | | | | | |

-2 -1 0 1 2 3 4 5

m

87

Tinjaulah suatu fungsi y= x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y

x tidak ada nilai y yang nyata untuk xnegatif namun untukx yang negatif dapat didefinisikan suatu

bilangan imajiner(khayal)

j = −1

88

89 Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata,

misalnya

seterusnya dan 1 10 10

1 5 5

× =

× =

maka bilangan imajinerj = √−1 menjadi satuan dari bilangan imajiner, misalnya

seterusnya dan 9 9 imajiner

3 3 imajiner

2 2 imajiner

j j j

= = =

Pernyataan Bilangan Kompleks

Satu bilangan komplekszmerupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan

jb a z= +

bagian nyata bagian imajiner bilangan kompleks

Bilangan kompleks dapat digambarkan di bidang kompleks

yang dibatasi oleh sumbu nyata(diberi tanda Re) dan

sumbu imajiner(diberi tanda Im) yang saling tegaklurus satu sama lain

setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisibilangan-kompleks (x,,y)

denganxadalahkomponen nyatadanyadalahkomponen imajiner-nya

91 92

ρ

a Re

Im jb

θ

cosθ ρ = a

θ ρ = sin b

) sin

(cosθ+ θ

ρ

= j

z

disebut argumen disebut modulus

      = θ

= −

a b z tan1 arg

2 2 modulusz=ρ= a +b

) sin (cos 2

2_{+ θ+ θ}

= a b j

z

•

z=a+jb

Diagram Argand

CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

4 3 1 j z = +

Sudut dengan sumbu nyata adalah

o 1 1=tan (4/3)≈53,1

θ −

Pernyataanz1dapat kita tuliskan

(

)

(

o o

)

o o 2 2 1

1 , 53 sin 1 , 53 cos 5

1 , 53 sin 1 , 53 cos 4 3

j j z

+ =

+ +

=

93

CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

(

o o

)

2 10cos20 jsin20

z = +

Pernyataan ini dapat kita tuliskan

(

)

4 , 3 4 , 9 ) 34 , 0 94 , 0 ( 10

20 sin 20 cos

10 o o

2

j j

j z

+ = + ≈

+ =

94

Kesamaan Bilangan Kompleks

2 2 _b a + =

ρ merupakan nilai mutlak Modulus

Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilaiρyang sama akan tetapi dengan sudutθyang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilaiθsama akan tetapi memilikiρyang berbeda.

Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka mempunyai baikρmaupunθyang sama besar.

Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar..

Negatif dari Bilangan Kompleks

Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya

jb a

z= + −z=−a−jb Jika maka

jb a z= + •

Re

Im

a jb

jb a z=− − −

θ o 180 + θ

ρ ρ

CONTOH

o 1 1=tan (6/4)=56,3

θ −

o o o

2=56,3 +180 =236,3 θ

Sudut dengan sumbu nyata

z1dapat dinyatakan sebagai

(

)

(

o o

)

o o 2 2 1

3 , 56 sin 3 , 56 cos 2 , 7

3 , 56 sin 3 , 56 cos 6 4

j j z

+ =

+ +

=

(

)

(

0,55 0,83

)

3,96 6 2

, 7

) 180 3 , 56 sin( ) 180 3 , 56 cos( 2 ,

7 o o o o

1

j j

j z

− − = − − =

+ + + =

− 6 4 1 j z = +

Jika makaz₂=−z₁=−4−j6

97

Konjugat Bilangan Kompleks

Konjugat dari suatu bilangan komplekszadalah bilangan kompleksz*

yang memiliki komponen nyata sama denganztetapi komponen imajinernya adalah negatif dari komponen imajinerz.

jb a z jb a

z= + maka ∗= − Jika

jb a z= + •

Re Im

ρ

θ θ − jb

jb −

a

jb a z = − • ∗

98

CONTOH:

6

5 j

z= +

Jika makaz∗=5−j6

Sudut dengan sumbu nyata o 1_{(6/5) 50,2}

tan =

=

θ −

o 2 , 50 − = θ∗

zdapat dinyatakan sebagai

(

)

(

o o

)

o o 2 2

2 , 50 sin 2 , 50 cos 8 , 7

2 , 50 sin 2 , 50 cos 6 5

j j z

+ =

+ + =

(

_cos50,2o _sin50,2o

)

8 ,

7 j

z∗= −

6 5 * z = −j •

Re Im

6 5 z= +j •

99

CONTOH:

6 5 j z=−−

Jika makaz∗=−5+j6

• − − = 5 j6 z

Re Im • + − =

∗ _{5 j6}

z

6

5 j

z= −

Jika maka

z

∗

=

5

+

j

6

6 5 z= −j •

Re Im

6 5 z = +j • ∗

100

Operasi-Operasi Aljabar

101

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks

Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.

Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.

)

(

)

(

)

(

)

(

2 1 2 1

2 2 1 1 2 1

b

b

j

a

a

jb

a

jb

a

z

z

+

+

+

=

+

+

+

=

+

) ( ) (

) ( ) (

2 1 2 1

2 2 1 1 2 1

b b j a a

jb a jb a z z

− + − =

+ − + = −

CONTOH:

4 3 dan 3

2 2

1 j s j

s= + = +

7 5

) 4 3 ( ) 3 2 ( 2 1

j j j s s

+ =

+ + + = +

1 1

) 4 3 ( ) 3 2 ( 2 1

j j j s s

− − =

+ − + = −

Diketahui

103

Perkalian Bilangan Kompleks

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 1 1 2 1

2

) )( ( ) )( (

b b a jb a a

b b a jb a jb a a

jb a jb a z z

− + =

− + + =

+ + =

Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen

2 2

2 2

1 1

) )( (

b a

b jba jba a

jb a jb a z z

+ =

+ + − =

− + = × ∗ ∗

= 1 2 z z Jika

Perhatikan:

(

2 2

)

2 2 2

2 2 1 1 1

a b a b

jb a z z z

+ = + =

+ = = × ∗

104

CONTOH: z1=2+j3 dan z2=3+j4

17 6

12 9 8 6

) 4 3 )( 3 2 ( ) )( (1 2

j j j

j j z z

+ − =

− + + =

+ + =

CONTOH: z1=2+j3 dan z2=z1∗=2−j3

13 9 4

9 6 6 4

) 3 2 )( 3 2 ( ) )(

(1 1

= + =

+ + − =

− + = ∗

j j

j j z z

(

22 32

)

2 4 9 13

2 1 1

1z∗=z = + = + = z

105

Pembagian Bilangan Kompleks

Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1

1

2 2

2

2 ₌

− − jb a

jb a

CONTOH: z1=2+j3 dan z2=3+j4

25 1 25 18 4 3

) 9 8 ( ) 12 6 ( 4 3

4 3 4 3

3 2

2 2 2

1 j _j

j j j j z

z _{= +}

+ + − + + = − − × + + =

2 2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1

2 2

2 2 2 2

1 1 2 1

) ( ) (

b a

a b a b j b b a a

jb a

jb a jb a

jb a z z

+ − + + =

− − × + + =

106

Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar

Fungsi Eksponensial Kompleks

Jikax adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial

x

e y=

merupakan fungsi ekponensial nyata; ymemiliki nilai nyata

Jikazadalah bilangan kompleksz=σ+jθ fungsi eksponensial kompleks didefinisikan

riil` al eksponensi fungsi adalah dengan

; ) sin (cos ) (

σ σ θ +

σ _{= θ+ θ}

= e

j e e ez j

Melalui identitas Eulerejθ=cosθ+jsinθ

fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan

θ σ

= j

z

Bentuk Polar

Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah

θ

ρ = _ej

z

θ = ∠ = z z arg

Re Im

•

θ ρ

θ

ρ = _ej

z

CONTOH:Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5

Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya∠z= 0,5 rad

Bentuk sudut sikunya adalah:

8 , 4 8 , 8 ) 48 , 0 88 , 0 ( 10

) 5 , 0 sin 5 , 0 (cos 10

j j

j z

+ = + =

+ =

Re Im

5 , 0 5_ej z= •

rad

5 , 0 10

109

CONTOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4

5 4 3 |

|z =ρ= 2+ 2=

Modulus

Argumen 0,93 rad 3 4 tan 1 ₌ = θ =

∠_z −

Representasi polar z = 5e j0,93

Re Im

93 , 0 5 j

e z= •

rad 93 , 0 5

110

CONTOH:

Misalkan z=−2+j0

Modulus |z |=ρ= 4+0=2

Argumenθ=_tan−1

(

_0/−₂

)

=±π _{tidak bernilai tunggal}

Di sini kita harus memilih θ= πrad karena komponen imajiner 0 sedangkan komponen nyata−2

Re Im

π = _ej z 2

2 −

•

111

CONTOH

Misalkanz=0−j2

Modulus|z |=ρ= 0+4=2

Argumen_θ=tan−1

(

₋2/0

)

_=�