PERMUTASI
dan
KOMBINASI
PERMUTASI
dan
Ilustrasi
2 Misal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah
kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.
Kelereng
m h Kaleng
1 2 3
Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3
sama
sama
sama
Ilustrasi (Cont.)
3
Jumlah cara
memasukkan
kelereng ke dalam
kaleng
32 2 3
! 2
! 1
! 3
! 2
2 , 3 2
2 , 3
P
Defnisi
Kombinasi
r
elemen dari
n
elemen
adalah :
jumlah pemilihan yang tidak
terurut
r
elemen yang diambil
dari
n
buah elemen
Kombinasi merupakan bentuk
khusus dari permutasi
Perbedaan permutasi dengan
kombinasi :
Permutasi : urutan kemunculan
diperhitungkan
Kombinasi : urutan kemunculan
diabaikan
Defnisi
5
Jumlah pemilihan yang tidak terurut
dari
r
elemen yang diambil dari
n
elemen disebut dengan
kombinasi-r
:
C(n,r) dibaca “n diambil r”
r objek
diambil dari n buah objek
! !
! )
, (
r n r
n C
r n C r
n
C n
r
Interpretasi Kombinasi
1. Persoalan kombinasi sama dengan menghitung
banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r
elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih
elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbeda
Contoh :
Misal A = {1,2,3}
Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A :
{1,2} = {2,1}
{1,3} = {3,1} 3 buah
{2,3} = {3,2} 2 2!
33! 2
!
32!12! 33 )
2 , 3
( 23
C C
C
Interpretasi Kombinasi
(Cont.)
2. Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai
cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting Contoh :Misal sebuah kelompok memiliki 20
orang anggota, kemudian dipilih 5 orang
sebagai delegasi, dimana delegasi merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap
anggota di dalam delegasi kedudukannya sama).
Sehingga banyaknya cara memilih anggota
Contoh 1
8
Ada berapa cara dapat
memilih 3 dari 4 elemen
himpunan A = {a,b,c,d} ?
Ada berapa cara dapat
Solusi
Merupakan persoalan kombinasi karena
urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting
{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d} Sehingga :
cara
C
C
C
4
!
3
4
!
3
!
4
3
4
)
3
,
4
(
34
Contoh 2
10
Berapa cara
menyusun menu nasi
goreng 3 kali
seminggu untuk
sarapan pagi ?
Berapa cara
menyusun menu nasi
goreng 3 kali
Solusi
Diketahui:
Nasi goreng = r = 3 kali
Hari dalam 1 minggu = n = 7
hari
Maka :
cara
C
C
C
35
!
3
7
!
3
!
7
3
7
)
3
,
7
(
37
Contoh 3
12
Sebuah karakter dalam sistem
ASCII berukuran 1 byte atau 8
bit (1 atau 0)
a)
Berapa banyak pola bit yang
terbentuk ?
b)
Berapa banyak pola bit yang
mempunyai 3 bit 1 ?
c)
Berapa banyak pola bit yang
Solusi
1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7) 1 bit terdiri dari “1” atau “0” Maka :
a) Posisi bit dalam 1 byte :
7 6 5 4 3 2 1 0
Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)
:
Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)
Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :
(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28
b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :
cara
14
c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)
Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)
Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)
Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)
Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8)
Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap :
Contoh 4
15
Sebuah kelompok belajar
beranggotakan 7 pria dan 5
wanita. Berapa banyak cara
memilih delegasi yang terdiri
dari 4 orang dengan jumlah
pria lebih banyak daripada
Sebuah kelompok belajar
Solusi
16
Pria = 7 orang
Wanita = 5 orang
delegasi = 4 orang, jumlah pria lebih banyak
daripada jumlah wanita
Maka :
delegasi terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita
C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35
delegasi terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita
C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175
Sehingga jumlah cara pembentukan delegasi
seluruhnya :
Contoh 5
17
Sebuah rumah rawat inap
pasien ada 3 buah kamar A, B
dan C. Tiap kamar dapat
menampung 3 atau 4 orang.
Berapa jumlah cara pengisian
kamar untuk 10 orang ?
Sebuah rumah rawat inap
pasien ada 3 buah kamar A, B
dan C. Tiap kamar dapat
18
Diketahui :
Kamar = r = 3 buah (A, B dan C) Penghuni = n = 10 orang
Misalkan :
i. Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3
orang.
Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3)
ii. Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3
orang.
Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4)
iii. Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4
orang.
Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3)
Sehingga total jumlah cara pengisian
kamar :
C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =
210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600
atau
C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =
Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum
Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum
19
Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda
warna (beberapa bola yang warnanya sama) n1 bola diantaranya berwarna 1
n2 bola diantaranya berwarna 2 …
nk bola diantaranya berwarna k
Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah
kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola.
Jika n buah bola dianggap berbeda
semua, maka jumlah cara pengaturan n
buah bola ke dalam n buah kotak adalah :
P(n,n) = n !
Karena tidak seluruh bola berbeda maka
pengaturan n buah bola :
n1! cara memasukkan bola berwarna 1
n2! cara memasukkan bola berwarna 2
…
nk! cara memasukkan bola berwarna k
Sehingga permutasi n buah bola dikenal
dengan permutasi bentuk umum
:!
!...
!
!
!
!...
!
,
)
,...,
,
;
(
2 1 2 1 2 1 k k kn
n
n
n
n
n
n
n
n
P
n
n
n
n
P
Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1
ke dalam n buah kotak
ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1
Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak
ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2
Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2
kotak
ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3
Dan seterusnya sampai bola berwarna k
ditempatkan dalam kotak
Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola
ke dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah :
Jika S adalah himpunan ganda dengan n
buah objek yang di dalamnya terdiri dari
k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n1, n2, … ,nk
(jumlah objek seluruhnya n1 + n2 + … + nk = n) maka jumlah cara menyusun
seluruh objek adalah :
!
!...
!
!
)
,...,
,
;
(
)
,...,
,
;
(
2 1 2 1 2 1 k k kn
n
n
n
n
n
n
n
C
n
n
n
n
P
Contoh 6
23
Berapa banyak string
yang dapat dibentuk
dengan menggunakan
huruf-huruf dari kata
MISSISSIPPI ?
Berapa banyak string
yang dapat dibentuk
dengan menggunakan
huruf-huruf dari kata
Solusi
24
S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}
Huruf M = 1 buah Huruf I = 4 buah Huruf S = 4 buah Huruf P = 2 buah
Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah
jumlah elemen himpunan S
Ada 2 cara :
i. Permutasi :
Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah
ii. Kombinasi :
Contoh 7
25
Ada 12 lembar karton akan
diwarnai sehingga ada 3
diantaranya berwarna
merah, 2 berwarna jingga,
2 berwarna ungu dan
sisanya berwarna coklat.
Berapa jumlah cara
Ada 12 lembar karton akan
diwarnai sehingga ada 3
diantaranya berwarna
merah, 2 berwarna jingga,
2 berwarna ungu dan
Solusi
Diketahui :
n1 = 3
n2 = 2
n3 = 2
n4 = 5
Jumlah cara pewarnaan :
cara
P P n n n n n P 166320 ! 5 ! 2 ! 2 ! 3 ! 12 ! 5 ! 2 ! 2 ! 3 12 , 12 ) 5 , 2 , 2 , 3 ; 12 ( ) , , , ;
( 1 2 3 4
26
Kombinasi
Pengulangan
27
Misalkan terdapat r buah bola yang semua
warnanya sama dan n buah kotak
Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi
1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :
C(n,r)
Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1
buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :
C(n+r-1, r)
C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya
pengulangan elemen n buah objek akan
Misalkan terdapat r buah bola yang semua
warnanya sama dan n buah kotak
Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi
1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :
C(n,r)
Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1
buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :
C(n+r-1, r)
C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya
Contoh 8
28
Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk
dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1
buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali.
Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?
Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk
dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1
buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali.
Solusi
29 Diketahui :
n = 5 orang anak
r1 = 20 buah apel r1 = 15 buah jeruk
20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak
C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)
15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak
C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)
Jika setiap anak boleh mendapat apel dan
Contoh 9
30
Toko roti “Lezat” menjual 8
macam roti.
Berapa jumlah cara
mengambil 1 lusin roti ? (1
lusin = 12 buah)
Toko roti “Lezat” menjual 8
macam roti.
Berapa jumlah cara
Solusi
31 Diketahui :
n = 8 macam roti
r = 1 lusin = 12 buah roti
Misalkan macam-macam roti
dianalogikan sebagai kotak. Setiap
kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti.
Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin
roti (sama dengan jumlah cara
Contoh 10
32
Ada 3 buah dadu
dilempar secara
bersama-sama.
Berapa banyaknya hasil
berbeda yang mungkin
terjadi ?
Ada 3 buah dadu
dilempar secara
bersama-sama.
Solusi
33
Diketahui :
n = 6 6 buah mata dadu r = 3 3 dadu dilemparkan bersamaan
Sehingga banyaknya hasil berbeda
yang mungkin terjadi adalah : C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3)
Latihan
34
1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik
Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara
membentuk delegasi yang terdiri dari 4 orang jika :
a. Tidak ada batasan jurusan
b. Semua anggota delegasi harus dari jurusan
Teknik Informatika
c. Semua anggota delegasi harus dari jurusan
Teknik Elektro
d. Semua anggota panita harus dari jurusan
yang sama
e. 2 orang mahasiswa per jurusan harus
mewakili
1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik
Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara
membentuk delegasi yang terdiri dari 4 orang jika :
a. Tidak ada batasan jurusan
b. Semua anggota delegasi harus dari jurusan
Teknik Informatika
c. Semua anggota delegasi harus dari jurusan
Teknik Elektro
d. Semua anggota panita harus dari jurusan
yang sama
e. 2 orang mahasiswa per jurusan harus
LATIHAN
35
1.
Berapa banyak cara membagikan 7
buah kartu remi yang diambil dari
tumpukan kartu ke masing-masing
dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52
buah)
2.
Di ruang baca Teknik Informatika
terdapat 4 buah jenis buku yaitu
buku Basis Data, buku Matematika
Diskrit dan buku Pemograman
dengan Visual Basic. Ruang baca
Latihan (cont.)
36
3. Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke
himpunan B dengan 2 elemen ?
4. Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.
3. Berapa banyak cara dapat dibentuk
sebuah delegasi 10 orang ?
4. Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria
harus sama dengan banyaknya wanita
5. Ulangi pertanyaan (a) jika delegasi harus
terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita
5. Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6?
3. Carilah jumlah himpunan bagian dari A
= {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ?
4. Di dalam sebuah kelas terdapat 100
mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.
3. Berapa banyak cara dapat dibentuk
sebuah delegasi 10 orang ?
4. Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria
harus sama dengan banyaknya wanita
5. Ulangi pertanyaan (a) jika delegasi harus
terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita
5. Berapakah jumlah himpunan bagian
Latihan (Cont.)
37
6.
Sebuah klub mobil antik
branggotakan 6 orang pria dan 5
orang wanita. Mereka akan
membentuk delegasi yang terdiri
dari 5 orang. Berapa banyak
jumlah delegasi yang dapat
dibentuk jika delegasinya terdiri
dari paling sedikit 1 pria dan 1
wanita ?
7.
Sebuah kelompok terdiri dari 7
orang waita dan 4 orang pria.
Berapa banyak delegasi 4 orang
yang dapat dibentuk dari
kelompok itu jika paling sedikit
harus ada 2 orang wanita di
6.
Sebuah klub mobil antik
branggotakan 6 orang pria dan 5
orang wanita. Mereka akan
membentuk delegasi yang terdiri
dari 5 orang. Berapa banyak
jumlah delegasi yang dapat
dibentuk jika delegasinya terdiri
dari paling sedikit 1 pria dan 1
wanita ?
7.
Sebuah kelompok terdiri dari 7
orang waita dan 4 orang pria.
Berapa banyak delegasi 4 orang
yang dapat dibentuk dari
Latihan (Cont.)
38
8. Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f.
berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika :
a) Tidak ada huruf pengulangan b) Boleh ada huruf pengulangan c) Tidak boleh ada huruf yang
diulang tetapi huruf d harus ada
d) Boleh ada huruf yang berulang,
huruf d harus ada
9. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata
“WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak
berdampingan ?
8. Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f.
berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika :
a) Tidak ada huruf pengulangan b) Boleh ada huruf pengulangan c) Tidak boleh ada huruf yang
diulang tetapi huruf d harus ada
d) Boleh ada huruf yang berulang,
huruf d harus ada
9. Berapa banyak string yang dapat
dibentuk dari huruf-huruf kata
“WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak