Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng

(1)

PERMUTASI

dan

KOMBINASI

PERMUTASI

dan

(2)

Ilustrasi

2 Misal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah _{(m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah}

kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.

Kelereng

m _h Kaleng

1 2 3

Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3

sama

(3)

Ilustrasi (Cont.)

3

Jumlah cara

memasukkan

kelereng ke dalam

kaleng



  

₃

2 2 3

! 2

! 1

! 3

! 2

2 , 3 2

2 , 3

 

  P

(4)

Defnisi



Kombinasi

r

elemen dari

n

elemen

adalah :



jumlah pemilihan yang tidak

terurut

r

elemen yang diambil

dari

n

buah elemen



Kombinasi merupakan bentuk

khusus dari permutasi



Perbedaan permutasi dengan

kombinasi :



Permutasi : urutan kemunculan

diperhitungkan



Kombinasi : urutan kemunculan

diabaikan

(5)

Defnisi

5



Jumlah pemilihan yang tidak terurut

dari

r

elemen yang diambil dari

n

elemen disebut dengan

kombinasi-r

:



C(n,r) dibaca “n diambil r”



r objek

diambil dari n buah objek

 ! !

! )

, (

r n r

n C

r n C r

n

C n

r

 

(6)

Interpretasi Kombinasi

1. Persoalan kombinasi sama dengan menghitung

banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r

elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih

elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbeda

Contoh :

Misal A = {1,2,3}

Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A :

{1,2} = {2,1}

{1,3} = {3,1} 3 buah

{2,3} = {3,2} ₂ ₂_!



₃3! ₂



_!

  

3₂_!₁2_! 3

3 )

2 , 3

( ₂3  

 

        

C C

C

(7)

Interpretasi Kombinasi

(Cont.)

2. Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai

cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting Contoh :Misal sebuah kelompok memiliki 20

orang anggota, kemudian dipilih 5 orang

sebagai delegasi, dimana delegasi merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap

anggota di dalam delegasi kedudukannya sama).

Sehingga banyaknya cara memilih anggota

(8)

Contoh 1

8



Ada berapa cara dapat

memilih 3 dari 4 elemen

himpunan A = {a,b,c,d} ?



Ada berapa cara dapat

(9)

Solusi

 Merupakan persoalan kombinasi karena

urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d} Sehingga :



cara

C

4

!

3

4

!

3

!

4

3

4

)

3

,

4

(

₃4



(10)

Contoh 2

10



Berapa cara

menyusun menu nasi

goreng 3 kali

seminggu untuk

sarapan pagi ?



Berapa cara

menyusun menu nasi

goreng 3 kali

(11)

Solusi



Diketahui:



Nasi goreng = r = 3 kali



Hari dalam 1 minggu = n = 7

hari

Maka :



cara

C

35

!

3

7

!

3

!

7

3

7

)

3

,

7

(

₃7



(12)

Contoh 3

12



Sebuah karakter dalam sistem

ASCII berukuran 1 byte atau 8

bit (1 atau 0)

a)

Berapa banyak pola bit yang

terbentuk ?

b)

mempunyai 3 bit 1 ?

c)

(13)

Solusi

 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7)  1 bit terdiri dari “1” atau “0”  Maka :

a) Posisi bit dalam 1 byte :

7 6 5 4 3 2 1 0

Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0) Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

:

Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :

(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28

b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :

  cara

(14)

14

c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)

Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)

Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap :

(15)

Contoh 4

15



Sebuah kelompok belajar

beranggotakan 7 pria dan 5

wanita. Berapa banyak cara

memilih delegasi yang terdiri

dari 4 orang dengan jumlah

pria lebih banyak daripada



Sebuah kelompok belajar

(16)

Solusi

16

 Pria = 7 orang

 Wanita = 5 orang

 delegasi = 4 orang, jumlah pria lebih banyak

daripada jumlah wanita

 Maka :

 delegasi terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita

 C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35

 delegasi terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita

 C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175

 Sehingga jumlah cara pembentukan delegasi

seluruhnya :

(17)

Contoh 5

17



Sebuah rumah rawat inap

pasien ada 3 buah kamar A, B

dan C. Tiap kamar dapat

menampung 3 atau 4 orang.

Berapa jumlah cara pengisian

kamar untuk 10 orang ?



Sebuah rumah rawat inap

pasien ada 3 buah kamar A, B

dan C. Tiap kamar dapat

(18)

18

 Diketahui :

 Kamar = r = 3 buah (A, B dan C)  Penghuni = n = 10 orang

 Misalkan :

i. Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3

orang.

Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3)

ii. Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3

orang.

iii. Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4

orang.

 Sehingga total jumlah cara pengisian

kamar :

C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =

210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600

atau

C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =

(19)

Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum

19

 Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda

warna (beberapa bola yang warnanya sama) n₁ bola diantaranya berwarna 1

n₂ bola diantaranya berwarna 2 …

n_k bola diantaranya berwarna k

Sehingga n₁ + n₂ + … + n_k = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah

kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola.

(20)

 Jika n buah bola dianggap berbeda

semua, maka jumlah cara pengaturan n

buah bola ke dalam n buah kotak adalah :

P(n,n) = n !

 Karena tidak seluruh bola berbeda maka

pengaturan n buah bola :

n1! cara memasukkan bola berwarna 1

n2! cara memasukkan bola berwarna 2

…

nk! cara memasukkan bola berwarna k

 Sehingga permutasi n buah bola dikenal

dengan permutasi bentuk umum



:

!

!...

!

!...

!

,

)

,...,

,

;

(

2 1 2 1 2 1 k k k

n

P

n

P



(21)

 Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1

ke dalam n buah kotak

 ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1

 Bola berkurang n₁ sehingga sisa n - n₁ kotak

 ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2

 Bola berkurang (n₁+ n₂)sehingga sisa n - n₁- n₂

kotak

 ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3

 Dan seterusnya sampai bola berwarna k

ditempatkan dalam kotak

 Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola

ke dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah :     

(22)

 Jika S adalah himpunan ganda dengan n

buah objek yang di dalamnya terdiri dari

k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n₁, n₂, … ,n_k

(jumlah objek seluruhnya n₁ + n₂ + … + n_k = n) maka jumlah cara menyusun

seluruh objek adalah :

!

!...

!

)

,...,

,

;

(

)

,...,

,

;

(

2 1 2 1 2 1 k k k

n

C

n

P



(23)

Contoh 6

23



Berapa banyak string

yang dapat dibentuk

dengan menggunakan

huruf-huruf dari kata

MISSISSIPPI ?



Berapa banyak string

yang dapat dibentuk

dengan menggunakan

huruf-huruf dari kata

(24)

Solusi

24

 S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}

Huruf M = 1 buah Huruf I = 4 buah Huruf S = 4 buah Huruf P = 2 buah

Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah 

jumlah elemen himpunan S

 Ada 2 cara :

i. Permutasi :

Jumlah string = P(n; n₁,n₂,n₃,n₄) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah

ii. Kombinasi :

(25)

Contoh 7

25



Ada 12 lembar karton akan

diwarnai sehingga ada 3

diantaranya berwarna

merah, 2 berwarna jingga,

2 berwarna ungu dan

sisanya berwarna coklat.

Berapa jumlah cara



Ada 12 lembar karton akan

diwarnai sehingga ada 3

diantaranya berwarna

merah, 2 berwarna jingga,

2 berwarna ungu dan

(26)

Solusi

 Diketahui :

n1 = 3

n2 = 2

n3 = 2

n4 = 5

 Jumlah cara pewarnaan :

  _cara

P P n n n n n P 166320 ! 5 ! 2 ! 2 ! 3 ! 12 ! 5 ! 2 ! 2 ! 3 12 , 12 ) 5 , 2 , 2 , 3 ; 12 ( ) , , , ;

( ₁ ₂ ₃ ₄ _ _ _ _

26

(27)

Kombinasi

Pengulangan

27

 Misalkan terdapat r buah bola yang semua

warnanya sama dan n buah kotak

 Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi

1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n,r)

 Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1

buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n+r-1, r)

 C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya

pengulangan elemen  n buah objek akan

 Misalkan terdapat r buah bola yang semua

warnanya sama dan n buah kotak

 Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi

1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n,r)

 Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1

buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n+r-1, r)

 C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya

(28)

Contoh 8

28

 Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk

dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1

buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali.

Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?

 Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk

dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1

buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali.

(29)

Solusi

29  Diketahui :

n = 5 orang anak

r₁ = 20 buah  apel r₁ = 15 buah  jeruk

 20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak

 C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)

 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak

 C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)

 Jika setiap anak boleh mendapat apel dan

(30)

Contoh 9

30



Toko roti “Lezat” menjual 8

macam roti.

Berapa jumlah cara

mengambil 1 lusin roti ? (1

lusin = 12 buah)



Toko roti “Lezat” menjual 8

macam roti.

Berapa jumlah cara

(31)

Solusi

31  Diketahui :

n = 8 macam roti

r = 1 lusin = 12 buah roti

 Misalkan macam-macam roti

dianalogikan sebagai kotak. Setiap

kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti.

 Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin

roti (sama dengan jumlah cara

(32)

Contoh 10

32



Ada 3 buah dadu

dilempar secara

bersama-sama.

Berapa banyaknya hasil

berbeda yang mungkin

terjadi ?



Ada 3 buah dadu

dilempar secara

bersama-sama.

(33)

Solusi

33

 Diketahui :

n = 6  6 buah mata dadu r = 3  3 dadu dilemparkan bersamaan

 Sehingga banyaknya hasil berbeda

yang mungkin terjadi adalah : C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3)

(34)

Latihan

34

1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik

Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara

membentuk delegasi yang terdiri dari 4 orang jika :

a. Tidak ada batasan jurusan

b. Semua anggota delegasi harus dari jurusan

Teknik Informatika

c. Semua anggota delegasi harus dari jurusan

Teknik Elektro

d. Semua anggota panita harus dari jurusan

yang sama

e. 2 orang mahasiswa per jurusan harus

mewakili

1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik

Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara

membentuk delegasi yang terdiri dari 4 orang jika :

a. Tidak ada batasan jurusan

b. Semua anggota delegasi harus dari jurusan

Teknik Informatika

c. Semua anggota delegasi harus dari jurusan

Teknik Elektro

d. Semua anggota panita harus dari jurusan

yang sama

e. 2 orang mahasiswa per jurusan harus

(35)

LATIHAN

35

1.

Berapa banyak cara membagikan 7

buah kartu remi yang diambil dari

tumpukan kartu ke masing-masing

dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52

buah)

2.

Di ruang baca Teknik Informatika

terdapat 4 buah jenis buku yaitu

buku Basis Data, buku Matematika

Diskrit dan buku Pemograman

dengan Visual Basic. Ruang baca

(36)

Latihan (cont.)

36

3. Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke

himpunan B dengan 2 elemen ?

4. Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.

3. Berapa banyak cara dapat dibentuk

sebuah delegasi 10 orang ?

4. Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria

harus sama dengan banyaknya wanita

5. Ulangi pertanyaan (a) jika delegasi harus

terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita

5. Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6?

3. Carilah jumlah himpunan bagian dari A

= {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ?

4. Di dalam sebuah kelas terdapat 100

mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.

3. Berapa banyak cara dapat dibentuk

sebuah delegasi 10 orang ?

4. Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria

harus sama dengan banyaknya wanita

5. Ulangi pertanyaan (a) jika delegasi harus

terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita

5. Berapakah jumlah himpunan bagian

(37)

Latihan (Cont.)

37

6.

Sebuah klub mobil antik

branggotakan 6 orang pria dan 5

orang wanita. Mereka akan

membentuk delegasi yang terdiri

dari 5 orang. Berapa banyak

jumlah delegasi yang dapat

dibentuk jika delegasinya terdiri

dari paling sedikit 1 pria dan 1

wanita ?

7.

Sebuah kelompok terdiri dari 7

orang waita dan 4 orang pria.

Berapa banyak delegasi 4 orang

yang dapat dibentuk dari

kelompok itu jika paling sedikit

harus ada 2 orang wanita di

6.

Sebuah klub mobil antik

branggotakan 6 orang pria dan 5

orang wanita. Mereka akan

membentuk delegasi yang terdiri

dari 5 orang. Berapa banyak

jumlah delegasi yang dapat

dibentuk jika delegasinya terdiri

dari paling sedikit 1 pria dan 1

wanita ?

7.

Sebuah kelompok terdiri dari 7

orang waita dan 4 orang pria.

Berapa banyak delegasi 4 orang

yang dapat dibentuk dari

(38)

Latihan (Cont.)

38

8. Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f.

berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika :

a) Tidak ada huruf pengulangan b) Boleh ada huruf pengulangan c) Tidak boleh ada huruf yang

diulang tetapi huruf d harus ada

d) Boleh ada huruf yang berulang,

huruf d harus ada

9. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata

“WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak

berdampingan ?

8. Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f.

berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika :

a) Tidak ada huruf pengulangan b) Boleh ada huruf pengulangan c) Tidak boleh ada huruf yang

diulang tetapi huruf d harus ada

d) Boleh ada huruf yang berulang,

huruf d harus ada

9. Berapa banyak string yang dapat

dibentuk dari huruf-huruf kata

“WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak