BAB 3. TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS Turunan Fungsi Kompleks

(1)

Turunan dari fungsi kompleks pada z0 dituliskan ( 0) dan didefinisikan sebagai :

( 0)= lim_→ 0

( )− ( 0) − 0

Atau dapat juga didefinisikan :

( ) = lim ∆ →

( + ∆ ) − ( ) ∆

Fungsi f(z) disebut differensial di ₀ bila limit diatas ada.

Adapun sifat-sifat turunan antara lain:

a. ( ) = → ( ) =

b. ( ) = → ( ) =

c. ( ) = + → ( 眆) = +

d. ( ) = − → ( ) = −

e. ( ) = → ( ) =

f. ( ) = . → ( ) = +

(2)

Contoh:

Tentukan turunan dari fungsi berikut:

1. f(z) = z2 Penyelesaian:

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( )

= lim ∆ →

( + ∆ ) − ∆

= lim ∆ →

+ 2 ∆ + ∆ −

∆

= lim ∆ →

2 ∆ + ∆ ∆ = lim

∆ → 2 + ∆ = 2 − 0 = 2

Dapat juga menggunakan rumus turunan yang pertama

( )= lim_→ 0

( )− ( 0) − 0

= lim → "

가 ₋

−

= lim → "

( − )( + ) −

= lim → " +

= +

(3)

Atau gunakan sifat-sifat turunan:

( ) = # $

( )= 2 2−1

= 2

2. f(z) = z2 + 3z Penyelesaian:

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

( + ∆ ) + 3( + ∆ ) − ( + 3 ) ∆

= lim ∆ →

+ 2 ∆ + ∆ + 3 + 3∆ − − 3 ∆

= lim ∆ →

2 ∆ + ∆ + 3∆ ∆

= lim ∆ →

(2 + ∆ + 3)∆ ∆

= lim

∆ → 2 + ∆ + 3 = 2 + 0 + 3 = 2 + 3

Atau dapat juga menggunakan rumus pertama

( )= lim_→ 0

( )− ( 0) − 0

= lim → "

( + 3 ) − ( + 3 ) −

= lim → "

− + 3 − 3

−

= lim → "

( − )( + ) + 3( − ) −

= lim

〱→ "

(4)

= lim

→ " + + 3

= + + 3

= 2 + 3

3. f (z) = z3 – 2z Penyelesaian:

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

( + ∆ )'_{− 2( + ∆ ) − (} '_{− 2 )} ∆

= lim ∆ →

' _{+ 3} _{∆ + 3 ∆} _{+ ∆} _{− 2 − 2∆ −} '_{+ 2}

∆

= lim ∆ →

3 ∆ + 3 ∆ + ∆ − 2∆ < ∆

= lim ∆ →

(3 + 3 ∆ + ∆ − 2)∆ ∆

= lim

∆ → 3 + 3 ∆ + ∆ − 2

= 3 + 3 . 0 + 0 − 2

= 3 − 2

SOAL LATIHAN

(5)

1. ( ) = )

2. ( ) = 3

3. ( ) = 4 + 2

4. ( ) = ) + 3

5. ( ) = 2 ) − ) +3

Penyelesaian:

1. ( ) = )

Penyelesaian:

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( )

= lim ∆ +→

(( + ∆ ) )) − ) ∆

= lim ∆ →

) + 2 ∆ ) + ∆ ) − ) ∆

= lim ∆ →

2 ∆ ) + ∆ ) ∆ = lim

∆ → 2 ) + ∆ ) = 2 ) + 0

= 2 )

2. ( ) = 3

,- .-/-0 ) :

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( )

= lim ∆ →

3( + ∆ ) − 3( ) ∆

= lim ∆ →

3 + 6 ∆ + ∆ − 3 ∆

= lim ∆ →

6 ∆ − ∆ ∆ = lim

(6)

= 6

3. ( ) = 4 + 2

Penyelesaian:

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

4( + ∆ ) + 2( + ∆ ) − (4 + 2 ) ∆

= lim ∆ →

4 + 8 ∆ + 4∆ + 2 + 2∆ − 4 − 2 ∆

= lim ∆ →

8 ∆ + 4∆ + 2∆ ∆

= lim ∆ →

(8 + 4∆ + 2)∆ ∆

= lim

∆ → 8 + 4∆ + 2 = 8 + 0 + 2

= 8 + 2

4. ( ) = ) + 3

Penyelesaian:

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

(( + ∆ ) ⌜) + 3( + ∆ ) − () + 3 ) ∆

= lim ∆ →

( ) + 2 ∆ ) + ∆ )) + 3 + 3∆ − ) − 3 ∆

= lim ∆ →

) + 2 ∆ ) + ∆ ) + 3 + 3∆ − ) − 3 ∆

= lim ∆ →

2 ∆ ) + ∆ ) + 3∆ ∆

= lim ∆ →

(2 ) + ∆ ) + 3)∆ ∆

= lim

(7)

= 2 ) + 3

5. ( ) = 2 ) − ) + 3

Penyelesaian:

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

2(( + ∆ ) )) − 5( + ∆ )) + 36 − (2 ) − ) + 3) ∆

= lim ∆ →

2 ) + 4 ∆ ) + 2∆ ) − ) − ∆ ) + 3 − 2 ) + ) − 3 ∆

= lim ∆ →

4 ∆ ) + 2∆ ) − ∆ ) ∆

= lim ∆ →

(4 ) + 2∆ ) − ))∆ ∆

= lim

∆ → 4 ) + 2∆ 2) − ) = 4 ) + 2.0. ) − ) = 4 ) − )

LAPORAN PERTANYAAN

(8)

1. Tri wahyuni(2011 121 086) : selain rumus kedua apakah bisa menggunakan rumus

turunan fungsi kompleks yang pertama?

Jawab: bisa, contohnya ada di contoh soal yang pertama.

Pertanyaan dari kelompok 4

2. Nendri (2011 121 080) : tentukan turunan fungsi dari ( ) = − 4 +

Jawab:

( ) = − 4 +

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

( + ∆ ) − 4( + ∆ ) + ( + ∆ ) − ( − 4 晢 _{+ )} ∆

= lim ∆ →

+ 2 ∆ + ∆ − 4 − 8 ∆ − 4∆ + + ∆ − + 4 −

∆

= lim ∆ →

2 ∆ + ∆ − 8 ∆ − 4∆ + ∆ ∆

= lim ∆ →

(2 + ∆ − 8 − 4∆ + 1)∆ ∆

= lim

∆ → 2 + ∆ − 8 − 4∆ + 1

=2z+0 − 8 − 4.0 + 1

= 2 − 8 + 1

(9)

Penyelesaian:

( ) = 9 + 4

Jawab:

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

(9( + ∆ ) + 4) − (9 + 4) ∆

= lim ∆ →

9 + 18 ∆ + 9∆ + 4 − 9 − 4 ∆

= lim ∆ →

18 ∆ + 9∆ ∆

= lim ∆ →

(18 + 9∆ )∆ ∆ = 18 + 9∆ = 18 + 9.0 = 18

4. Leni wahyuni(2011 121 057): apakah |z| memiliki turunan di titik (0,0)

Penyelesaian:

F(z) = |z| = |x + iy|, maka

( )= lim_→0 ( ) − (₋ 0) 0

= lim →

|; + ).| − |0,0| |; + ).|

= lim →

|; + ).| |; + ).|

Anggap x = 0 konstan maka

= lim =→

|).|

). = 1 7 lim=→ − |).|

). = −1

$ 8- /)#)> . >)7 $ 7 , | |>)7 $ #-#)/)$) > 8

(10)

5. Wahyuni(2011 121 079): buktikan ( ) = | | kontinu di seluruh bidang kompleks

tetapi hanya terdifferensial di z = 0

Jawab:

〱( ) = | | _{= ;} _{+ .} bearti u(x,y) = ;2+ .2 dan v(x,y) = 0

7 $? >) 7) @, # $ ( )$? >) 7) @

( )= lim_→0 ( ) − (₋ 0) 0

(0)= lim_→0 ( ) − (0)_{− 0}

= lim_→0| | 2

= lim →

A

= 0

B 7) ( )>-87) -8- 0) / 7) = 0

6. Maryadi (2011 121 070): bagaimana penyelesaian dari soal latihan no 5?

Jawab:

( ) = 2 ) − ) + 3

Penyelesaian:

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

2(( + ∆ ) )) − 5( + ∆ )) + 36 − (2 㰀− ) + 3) ∆

= lim ∆ →

2 ) + 4 ∆ ) + 2∆ ) − ) − ∆ ) + 3 − 2 ) + ) − 3 ∆

= lim ∆ →

4 ∆ ) + 2∆ ) − ∆ ) ∆ <

= lim ∆ →

(4 ) + 2∆ ) − ))∆ ∆

= lim

(11)

7. Tika Novita.S (2011 121 064): hitunglah turunan dari fungsi berikut ( ) = 4 + 2 '

Jawab:

( ) = 4 + 2 '

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

4( + ∆ ) + 2( + ∆ ) ( + ∆ ) − (4 + 2 '₎ ∆

= lim ∆ →

4 + 8 ∆ + 4∆ + (2 + 4 ∆ + 2∆ )( + ∆ ) − (4 + 2 '₎ ∆

= lim ∆ →

4 + 8 ∆ + 4∆ + 2 ' _{+ 2 2} _{∆ + 4} _{∆ + 4 ∆} _{+ 2∆} _{+ 2∆} '_{− 4} _{− 2} ' ∆

= lim ∆ →

8 ∆ + 4∆ + 6 < ∆ + 4 ∆ + 2∆ + 2∆ ' ∆

= lim ∆ →

(8 + 4∆ + 6 + 4 ∆ + 2 ∆ + 2∆ )∆ ∆

= lim

∆ → 8 + 4∆ + 6 + 4 ∆ + 2 ∆ + 2∆ = 8 + 4.0 + 6 + 4 . 0 + 2 . 0 + 2.0 = 8 + 6

8. Desi Susanti (2011 121 062): Carilah ( )= ( + 2)2 dengan menggunakan definisi

tersebut

Jawab:

( + 2)2= 2_{+ 4 + 4} ( ) = + 4 + 4

( )= lim ∆ 攰→0

( 2 + ∆ )− ( 0) ∆

= lim ∆ →

( + ∆ ) + (4( + ∆ ) + 4) − ( + 4 + 4) ∆

= lim ∆ →

(12)

= lim ∆ →

2 ∆ + ∆ + 4∆ ∆

= lim ∆ →

(2 + ∆ + 4)∆ ∆

= lim

∆ → 2 + ∆ + 4 = 2 + 0 + 4 = 2 + 4

9. Puput Nova Oktasari(2011 121 084): hitunglah turunan dari fungsi berikut:

( ) = 10 + 2) + 6

Jawab:

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

10( + ∆ ) + 2) + 6 − (10 + 2 〰_{+ 6)} ∆

= lim ∆ →

10 + 20 ∆ + 10∆ + 2) + 6 − 10 − 2) − 6) ∆

= lim ∆ →

20 ∆ + 10∆ ∆ <

= lim ∆ →

(20 + 10∆ )∆ ∆

= lim

∆ → 20 + 10∆ = 20 + 10.0 = 20

10.Anna Heriyanti(2011 121 332): bisa tidak kalau soalnya berakar, kalau bisa berikan

contoh?

Jawab:

Bisa, dengan menggunakan rumus pertama, contoh:

( ) = lim "

(13)

= lim "

C − D

− .

C + D C + D

= lim "

−

( − )(C + D )

= lim "

1 C + D

= 1

D + D

= 1

2D

11.Nira Yeni(2011 121 047): ( ) = + 6 − andai ada soal seperti diatas. Tentukan

fungsinya?

Penyelesaian:

( ) = + 6 −

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

( + ∆ 〱) + 6( + ∆ ) − ( + ∆ ) − ( + 6 − ) ∆

= lim ∆ →

+ 2 ∆ + ∆ + 6 + 6∆ − − ∆ − − 6 + )

∆

= lim ∆ →

2 ∆ + ∆ + 6∆ − ∆ ∆

= lim ∆ →

(2 + ∆ + 6 − 1)∆ ∆

= lim

∆ → 2 + ∆ + 6 − 1 = 2 + 6 − 1

(14)

12.Ayu Putri Widya(2011 121 090): carilah ( ) dengan menggunakan definisi ( ) =

2 − 5

Penyelesaian:

( ) = 2 − 5

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim_{∆ →0}2( + ∆ )− 5 − (2 − 5)_∆

= lim ∆ →

2 + 2∆ − 5 − 2 + 5 ∆

= 2

13.Enda Agwinata(2011 121 061): Tentukan ( ) dari ( ) = 4 )'+ 2

Penyelesaian:

( ) = 4 )'_{+ 2}

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim ∆ →

(4( + ∆ ))'_{) + 2 − (4 )}'_{+ 2)} ∆

= lim ∆ →

4 )'_{+ 4∆ )}'_{+ 2 − 4 )}'_{− 2} ∆

= lim ∆ →

4∆ )' ∆

= lim ∆ →

4∆ )' ∆ = 4)' = 4). )

= 4)(−1) = −4)

(15)

14.Budi Prabowo(2011 121 075): tentukan ( ) dari ( ) = 5 ) + 3

Penyelesaian:

( ) = 5 ) + 3

( )= lim_{∆ →0} ( + ∆_∆)− ( 0)

= lim_{∆ →0}(5( + ∆ )))+ 3 − (5 ) + 3)_∆

= lim ∆ →

5 ) + 5∆ ) + 3 − 5 ) − 3 ∆

= lim ∆ →

5∆ ) ∆ = 5)

15.Kristina(2011 121 051): carilah ′( ) dengan menggunakan definisi ( ) = 3 − )

Penyelesaian:

( ) = 3 − ) ′_{( )}_{= lim}

∆ →0

( + ∆ )− ( 0)

∆

= lim ∆ →

3( + ∆ ) − ) − (3 − )) ∆

= lim ∆ →

3 + 3∆ − ) − 3 + ) ∆

= lim ∆ →

3∆

∆ = 3

16.Nyayu Melia(2011 121 077): apakah pendekatan limit hanya menggunakan ((+)(-)) saja?

Penyelesaian:

Menurut kelompok kami tidak, karena tidak hanya itu bisa juga soal dengan

menggunakan pembagian, dan akar. Dan untuk soal pembagian kami belum bisa

menemukan penyelesaiannya.

(16)

17.Rio Valentine(2011 121 068): apakah limit harus mendekati nol untuk mencari turunan

dalam fungsi kompleks?

Penyelesaian:

Kalau menurut kelompok kami, itu sudah ditentukan oleh rumusnya sehingga limit yang

mendekati nol dapat mencari turunan dengan menggunakan rumus tersebut.

18.Indri Restiawati(2011 121 058): Carilah ′( ) dengan menggunakan definisi ( ) =

3 )'₊ _{) + 6}

Penyelesaian:

( ) = 3 )'₊ _{) + 6} ′_{( )}_{= lim}

∆ →0

( + ∆ )− ( 0)

∆

= lim ∆ →

(3( + ∆ ))'_{) + (( + ∆ )} _{)) + 6 − (3 )}'₊ _{) + 6)} ∆

= lim ∆ →

3 )'_{+ 3∆ )}'_{+ <} _{) + 2 ∆ ) + ∆} _{) + 6 − 3 )}'₋ _{) − 6} ∆

= lim ∆ →

3∆ )'_{+ 2 ∆ ) + ∆} ₎ ∆

= lim ∆ →

(3)'_{+ 2 ) + ∆ ))∆} ∆

= lim ∆ → 3)

'_{+ 2 ) + ∆ )}

= 3)(−1) + 2 ) = −3) + 2 )

19.Venita Yuriska(2011 121 053): Bagaimana cara menyelesaikan soal seperti ini ( ) =

+ + 3

Penyelesaian:

( ) = + + 3

′_{( )}_{= lim} ∆ →0

( + ∆ )− ( 0)

∆

= lim ∆ →

(17)

= lim ∆ →

+ 2 ∆ + ∆ + + ∆ + 3 − − − 3

∆

= lim ∆ →

2 ∆ + ∆ + ∆ ∆

= lim ∆ →

(2 + ∆ + 1)∆ ∆

= lim

∆ → 2 + ∆ + 1 = 2 + 1

20.Eka Susanti(2011 121 074): carilah penyelesaian dari ( ) = 2 '− 3

Penyelesaian:

( ) = 2 '_{− 3} ′_{( )}_{= lim}

∆ →0

( + ∆ )− ( 0)

∆

= lim ∆ →

(2( + ∆ ) ( + ∆ )) − 3( + ∆ ) − (2 '_{− 3 )} ∆

= lim ∆ →

((2 + 4 ∆ + 2∆ )( + ∆ )) − 3 − 3∆ − 2 '_{+ 3} ∆

= lim ∆ →

2 '_{+ 2} _{∆ + 4} _{∆ + 4 ∆} _{+ 2 ∆} _{+ 2∆} '_{− 3 − 3∆ − 2} '_{+ 3} ∆

= lim ∆ →

6 ∆ + 6 ∆ + 2∆ '_{− 3∆} ∆

= lim ∆ →

(6 + 6 ∆ + 2∆ − 3)∆ ∆

= lim

∆ → 6 + 6 ∆ + 2∆ − 3 = 6 − 3

(18)

Yuliants, Bab 5 Fungsi Kompleks-Pdf (online)

(http: yuliants.blog.ittelkom.ac.id/blog/flies/2012/02/Bab 5 fungsi-kompleks-pdf.pdf)