ANALISIS TAHAN HIDUP DATA BATERAI
ABC BERDISTRIBUSI WEIBULL DENGAN
ESTIMASI PARAMETER METODE
KUADRAT TERKECIL LINIER
Erlan Saputra
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sriwijaya
e-mail: [email protected]
Abstract: The use of batteries are widely used in electronic goods, so that consumers do not know how long the life span of a battery and the mass difference if the battery life of both types of the same manufacturer with different battery types. One objective of the analysis was to determine the survival probability of a component will operate well within a certain period of time that generates the data life time. Looking for life time data parameter values using the Weibull distribution parameters estimation of linear least squares method after the transformation of the logarithm. The parameter values will be used to search for survival functions , a function of hazard, mean and variance of the Weibull distribution. The data used is the battery life of the brand ABC type Super-Power and Dry-Cell each totaling 20 batteries, where the data is not censored. On the results and discussion for the time t = 0, 300, 500 and 700 minutes, the value of the parameter α = 362.4 and β = 11.25 type batteries Super-Power and α = 334.5 and β = 12.85 for Dry-Cell battery types. ABC brand battery types Super-Power has a value of S (t), h (t), and mean better than batteries Dry-Cell, while the variance of types of Dry-Cell is better for battery lifetimes are relatively similar.
Keywords: Linear Least Squares Method, Transformation Logarithms, Weibull distribution
1. PENDAHULUAN
Penggunaan baterai banyak digunakan dalam barang-barang elektronik, banyak pabrikan (produksi baterai) menjamin kualitas sebuah produk baterainya tanpa konsumen mengetahui bagaimana kehandalan suatu produk tersebut. Sehingga
konsumen tidak mengetahui berapa lama masa hidup suatu baterai dan perbedaan massa hidup kedua jenis baterai jika dari pabrikan yang sama dengan tipe baterai yang berbeda (Kusumah [5]).
status dari semua komponen pengamatan adalah gagal, sehingga waktu bertahan yang sebenarnya diketahui (Adel [4]). Hal ini berlaku pada data masa hidup baterai merk
ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell.
Untuk mencari reliabilitas dapat menggunakan salah satu dari berbagai distribusi. Menurut Adel [4] distribusi Weibull sering digunakan dalam model distribusi tahan hidup, karena dapat memodelkan laju kegagalan dalam berbagai keadaan dan dapat menghasilkan sebuah pendekatan yang baik untuk hukum peluang dari beberapa peubah acak.
Model distribusi weibull dalam analisis hidup melibatkan fungsi distribusi kumulatif, fungsi survival (keandalan), fungsi hazard (laju kerusakan), rata-rata waktu hidup (Mean) dan tingkat keragaman (variansi) yang merupakan fungsi parameter. Oleh karena itu, estimasi parameter merupakan hal yang berguna dalam mengkaji suatu distribusi. Dalam regresi linier sederhana, metode kuadrat terkecil linier adalah metode yang biasa digunakan dalam mengestimasi parameter, dimana mencari nilai parameter dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat dari residualnya (A. Musdalifa et al. [6]). Metode ini dapat dipakai untuk mengestimasi parameter distribusi Weibull. Adapun tujuan penulisan tugas akhir ini adalah (1) Mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan metode kuadrat terkecil linier, (2) Membandingkan masa hidup baterai merk ABC dengan jenis berbeda (Super-Power dan Dry-Cell), (3) Menguji masa hidup dan menganalisi realibilitas baterai merk ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell.
2. TINJAUAN PUSTAKA
Analisis Ketahanan Hidup
Tujuan dari analisis ketahanan hidup adalah untuk dapat memodelkan distribusi, dimana mengetahui peluang suatu komponen akan beroperasi dengan baik dalam jangka waktu yang tertentu (reliabilitas).Waktu analisis tahan hidup memiliki tipe data waktu dari kejadian pertama sampai terjadinya kejadian muncul gagal. Misalkan T adalah variabel acak tunggal nonnegatif kontinu pada interval [0,∞ , untuk f(t) adalah fungsi
kepadatan peluang yang didefinisikan sebagai limit peluang waktu tahan hidup dan waktu pengamatan t dari T dalam interval periodik t sampai t + ∆t yang dituliskan sebagai
= �∆�→ �� �< <�+∆�∆� (1) Fungsi distribusi kumulatif dituliskan sebagai
karena untuk t > 0 sehingga dapat dibentuk sebagai
= ∫� (2)
Fungsi survival (keandalan) dapat didefinisikan sebagai peluang suatu komponen akan tetap bertahan hidup sampai waktu t > 0 yang dituliskan sebagai
S t = Pr T > t = ∫ f ut∞ du (3)
Dari fungsi distribusi kumulatif dapat diperoleh hubungan dengan fungsi survival
dapat dibentuk sebagai
S(t) = 1 – F(t) (4)
Fungsi hazard (laju kerusakan), didefinisikan sebagai limit dari tingkat kerusakan dimana � mendekati 0 dituliskan sebagai
ℎ = ��� → � �+ �� −� ��� . � = �′�� =� �� (5)
Rata-rata waktu hidup (Mean) suatu komponen dapat berfungsi dengan baik tanpa ada kerusakan, dapat dirumuskan sebagai
[ ] = ∫ ∞ = ∫∞ (6)
Selanjutnya, fungsi penting lainnya dalam analisis ketahanan hidup adalah melihat tingkat keragaman (variansi) , dapat dirumuskan sebagai
���[ ] = [ ] − { [ ] } (7)
(Effendie [1])
Fungsi Analisis Tahan Hidup Berdistribusi Weibull
Distribusi Weibull merupakan distribusi yang memiliki laju kerusakan yang meningkat maupun laju kerusakan yang menurun (F. Laua dan Handamari[3]).
Fungsi kepadatan peluang dari distribusi Weibull dengan parameter dan dapat dituliskan sebagai
= {
� − − �
, t >
, �� ��
(8)
Menggunakan persamaan (2) maka dapat diperoleh fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull yang dituliskan sebagai
= { − −
�
, t
, <
(9)
Menggunakan persamaan (4) maka dapat diperoleh fungsi survival (keandalan) dari distribusi Weibull, dapat dituliskan sebagai
= − � ,t (10)
sehingga fungsi hazard (laju kerusakan) dari distribusi Weibull, dapat dituliskan sebagai
ℎ = � − ,t (11)
Dengan persamaan (6) maka dapat diperoleh rata-rata waktu hidup (Mean) dari distribusi Weibull, dapat dituliskan sebagai
E(t) = Γ + (12)
Dari rata-rata waktu hidup distribusi Weibull pesamaan (12) dapat diperoleh tingkat keragaman (variansi) dari distribusi Weibull dengan persamaan (7), dapat dituliskan sebagai
� = {Γ + − [Γ + ] } (13)
Tranformasi Model Regresi Distribusi Weibull
Transformasi yang digunakan pada distribusi Weibull adalah transformasi logaritma. Pada fungsi distribusi kumulatif Weibull merupakan fungsi non-linier ditranformasikan ke fungsi linier menggunakan transformasi logaritma kemudian dibentuk model regresi linier, diperoleh dalam bentuk
−� � =
� ≈
−� � = ln − ln (15)
sehingga pada persamaan (15) dapat di bentuk dalam model regresi sederhana, dapat dituliskan sebagai
�� = − ln + ln �+ � (16)
(Musdalifa et al. [6])
Penaksir Parameter Metode Kuadrat Terkecil Linier
Metode kuadrat terkecil digunakan untuk mendapatkan estimasi dari parameter dari regresi linier sederhana, dimana regresi sederhana dapat dituliskan sebagai sebagai
�� = + � + � (17)
sehingga diperoleh model dalam bentuk penduga regresi sederhana,
�̂� = ̂ + ̂ � + � (18)
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil linier dengan cara mencari deviasi (S) pada persamaan (19) kemudian menentukan jumlah kuadrat deviasi (JKS) pada persamaan (20).
∑� �
�= =∑��= �� −�̂� )2 (20)
Dimana nilai ̂ dan ̂ dapat ditentukan dengan mendiferensialkan persamaan
(19) dan (20) terhadap β danβ menggunakan aturan Cramer, diperoleh sebagai
berikut
̂ =∑��= �� ∑��= ��−∑��= ��∑��= ����
� ∑��= �� −(∑��= �� ) (21)
̂ =� ∑��= ���� − ∑��= ��∑��= ��
� ∑��= �� −(∑��= �� ) (22)
(Roflin & Cahyawati [7])
2. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder mengenai data masa hidup baterai merk ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell masing-masing berjumlah 20 baterai, dimana merupakan data tidak tersensor.
Pengujian data yang berdistribusi Weibull diperoleh dengan metode simulasi pembangkitan data dengan software Minitab-14 dengan uji Anderson darling dimana dibangkitkan 2 data yang masing-masing berjumlah 20. Kemudian mencari nilai estimasi parameter yang berdistribusi Weibull menggunakan metode kuadrat terkecil linier setelah dilakukan transformasi logaritma dari fungsi distribusi kumulatif distribusi Weibull. Setelah diketahui nilai dugaan parameternya, langkah berikutnya menghitung nilai fungsi survival (keandalan), fungsi hazard (laju kerusakan), rata-rata waktu hidup (Mean) dan tingkat keragaman (variansi) dari distribusi Weibull. Data diolah dan
dianalisis menggunakan software Excel 2007.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Deskripsi Data
Tabel 1. Hasil pengujian masa hidup baterai merk ABC
Waktu Hidup (Menit) Baterai ABC jenis Super-Power
Waktu Hidup (Menit) Baterai ABC jenis Dry-Cell
339,85 354,03 311,4 345,8 354,35 343,72 328,2 311,98
349,93 355,18 368,8 256,9 342,87 330,25 311,4 363,77
400,27 363,02 324,1 345 279,75 344,7 312,2 330,02
372,72 345,73 412,8 311 299,7 326,85 216,2 349,27
344,03 395,38 305,7 340,2 325,32 360,77 243,7 330,25
Uji Anderson darling
Uji anderson darling digunakan untuk menguji apakah data mengikuti suatu
distribusi tertentu (distribusi Weibull) dengan hipotesis alternatif dan hipotesis awal, dapat dituliskan sebagai
Hipotesis � : data mengikuti distribusi Weibull.
� : data tidak mengikuti distribusi Weibull.
Dari hasil uji Anderson darling pada waktu hidup baterai dapat diambil keputusan dengan membandingkan nilai signifikan (p-value) berdasarkan anderson darling test dengan taraf signifikan 5% atau 10%. Jika nilai p-value lebih besar dari pada taraf signifikansi maka � diterima, artinya data tersebut mengikuti distribusi
Weibull.
Statistik uji dari anderson darling, dapat dituliskan sebagai
A = −n − S (23)
dimana
= ∑��= �−� [ln �� + ( − ��+ −� )] (24)
untuk n adalah banyak data, i =1,2,..,n dan �� adalah fungsi distribusi kumulatif dari
�� (Faruk [3]). Perhitungan tersebut dilakukan dengan memanfaatkan software
Gambar 1. Pengujian distribusi Weibull untuk data baterai jenis Super-Power
Gambar 2. Pengujian distribusi Weibull untuk data baterai jenis Dry-Cell Berdasarkan gambar 1 dan 2 untuk baterai merk ABC jenis Super-Power nilai p-value yaitu 0,213 > 0,05 dan jenis Dry-Cell nilai p-value yaitu 0,214> 0,05. Dapat diambil keputusuan untuk kedua jenis baterai merk ABC terima � , artinya data baterai
merk ABC jenis Super-Power dan Dry-Cell mengikuti distribusi Weibull.
Estimasi Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
Mengestimasi parameter distribusi Weibull menggunakan metode kuadrat terkecil linier dengan menggunakan persamaan (21) dan (22). Didapatkan estimasi
dalam bentuk distribusi Weibull yang dituliskan sebagai
̂ =∑��= ln �� ∑��= ��(�� −�(��)) −∑��= ln ��∑��= �� �� ��(�� −�(��))
� ∑��= ln �� − ∑��= ln �� (25)
Untuk estimasi dalam bentuk distribusi Weibull yang dituliskan sebagai
Dengan menggunakan persamaan (25) dan (26) maka nilai estimasi parameter
untuk data baterai merek ABC jenis Super-Power yaitu ̂ = − , dan ̂ = ,
dan jenis Dry-Cell yaitu ̂ = − , dan ̂ = , . Pada persamaan (14) dapat
dituliskan = − ln dan = maka menghasilkan estimasi parameter (tabel 2). Tabel 2. Hasil Estimasi Parameter dan model persamaan regresi
Baterai merek ABC , Model persamaan regresi
Jenis Dry-Cell (334,5; 12,85) �̂� = − , + , � Jenis Super-Power (362,4; 11,25) �̂� = − , + , � Dengan menggunakan persamaan (10), (11), (12) dan (13) diperoleh data
reliabilitas baterai merk ABC dengan 2 jenis yaitu Super-Power dan Dry-Cell (tabel 3) Tabel 3.Estimasi Fungsi Survival, Fungsi Hazard, Mean dan Variansi distribusi Weibull
Baterai merek kehandalan baterai merek ABC jenis Super-Power lebih baik dibandingkan jenis
Dry-Cell. Jadi, semakin besar atau semakin lama waktu uji hidup baterai merek ABC maka peluang hidup pakai baterai merek ABC semakin kecil (mendekati nol).
Berdasarkan dari tingkat kerusakan (h(t)) dari baterai merek ABC pada t = 0, 300, 500, dan 700 menit untuk jenis Super-Power lebih kecil dibandingkan jenis Dry-Cell, artinya tingkat kerusakan baterai merek ABC jenis Super-Power lebih baik pada saat t = 0, 300, 500, dan 700 menit. Pada laju kerusakan h(t) semakin besar baterai merek ABC maka laju kerusakannya semakin besar. Jadi, dapat dikatakan untuk nilai t yang semakin besar maka nilai S(t) semakin kecil (mendekati nol/menurun monoton) dan h(t) semakin besar (meningkat monoton). Hal ini sesuai dengan ciri dari distribusi Weibull.
Super-Power dapat hidup dengan rata-rata 346,43 menit dan baterai merek ABC jenis Dry-Cell dapat hidup dengan rata-rata 321,35 menit. Jadi, waktu hidup baterai jenis Super-Power lebih baik dibandingkan baterai merek ABC jenis Dry-Cell.
Pada nilai variansi (banyak jumlah data yang berbeda) dapat dilihat nilai variansi baterai merek ABC jenis Super-Power yaitu 1389,9 dan jenis Dry-Cell 928,57. Artinya baterai merek ABC jenis Super-Power lebih bervariasi masa hidupnya dibandingkan jenis Dry-Cell. Jadi, variansi baterai merek ABC jenis Dry-Cell lebih baik karena memilki 20 jenis baterai masa hidupnya relatif hampir sama dibandingkan dengan jenis Super-Power.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, data masa hidup baterai merek ABC dengan jenis Super-Power dan Dry-Cell menyebar sesuai dengan distribusi Weibull, menghasilkan nilai parameter dugaan , yaitu untuk jenis Super-Power (362,4;
11,25) dan jenis Dry-Cell (334,5; 12,85).
Pada hasil perhitungan data waktu hidup baterai merek ABC jenis Super-Power dan jenis Dry-Cell, dipilih baterai merek ABC jenis Super-Power karena memiliki S(t) dan h(t) lebih baik dibanding baterai merek ABC jenis Dry-Cell. Selain itu, mean baterai merek ABC jenis Super-Power lebih besar dibanding baterai merek ABC jenis
Dry-Cell.
Hasil estimasi dengan menggunakan kuadrat terkecil linier untuk baterai merek
ABC dengan jenis Super-Power adalah �̂� = − , + , � dan untuk baterai merek ABC dengan jenis Dry-Cell adalah �̂� = − , + , �.
6. SARAN
Penelitian ini menggunakan estimasi parameter distribusi Weibull menggunakan metode kuadrat terkecil linier. Untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan estimator lainnya serta menggunakan data berdistribusi selain Weibull.
7. UCAPAN TERIMA KASIH
DAFTAR PUSTAKA
[1] Effendie, A. R. (2016). Teori Resiko Aktuaria dengan Software R. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
[2] Faruk, A. (2015). Analisis Survival Parametrik Pada Data Tracer Study Universitas Sriwijaya. Jurnal Matematika, Vol. 5(No.2), hal. 68-78.
[3] F.Laua, D. P. L., & Handamari, E. W. (2012). Metode Least Square Estimation untuk Mencari Parameter Fungsi Reliabilitas dalam Menentukan Persediaan Suku Cadang Hammer Unigator (Studi Kasus Pabrik Gula Krebet-Baru II, Bululawang). Jurnal Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya, hal.268-271. [4] Adel, A. M. (2014). Inferensi Data Uji Hidup Tersensor Tipe II Berdistribusi
Rayleigh. LEMMA, 1.
[5] Kusumah, H. (2013). Perancangan Alat Uji Masa Hidup dan Analisa Reliabilitas Baterai. Teknik Komputer, hal 30-46.
[6] Musdalifa, A., Raupong, & Islamiyati, A. (2013). Estimasi Parameter Distribusi Weibull dengan Tranformasi Model Regresi Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil Linier. Matematika, Statistika & Komputasi, hal. 1-10.
