Perbandingan Perhitungan Jumlah Penduduk Tahunan
dengan Interpolasi Spline dan Simulasi Asumsi Gompertz
Des Alwine Zayanti
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sriwijaya E-mail: dalwinezayanti@yahoo.com
Abstrak.Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh tabel mortalita lengkap yang bersumber dari tabel mortalita ringkas, dengan cara melakukan perhitungan dengan interpolasi spline dan simulasi dengan asumsi Gompertz. Perhitungan interpolasi spline, harga – harga fungsi pada simpul terdalam harus sama. Kondisi ini dapat dinyatakan
sebagai:
a
i1x
i21
b
i1x
i1
c
i1 = f(xi-1) , untuk i = 2, 3, 4, … , n sehingga apabila xdisubsitusikan ke persamaan – persamaan tersebut sesuai dengan intervalnya maka diperoleh nilai lx tiap tahunnya. Simulasi berdasarkan asumsi Gompertz μx+y
= BCx+ydiperoleh nilai lx = l0 .
1x C m
e
. Data yang digunakan adalah US Decennial LifeTable. Selanjutnya akan dilakukan uji bahwa hasil perhitungan interpolasi spline dan
hasil simulasi tabel mortalita tahunan berdasarkan asumsi Gompertz tidak memiliki perbedaan yang signifikan.
PENDAHULUAN
Tabel mortalita adalah tabel hipotesis dari sekumpulan orang yang dilahirkan pada waktu yang sama (kohort) yang oleh karena proses kematian, jumlah orang tersebut semakin lama semakin berkurang dan akhirnya habis semua.Tabel mortalita dapat berbentuk lengkap maupun ringkas. Suatu tabel mortalita disebut lengkap (complete life table) bila seluruh fungsi dalam tabel mortalita dihitung menggunakan interval tahunan. Apabila interval usia yang digunakan lebih dari setahun, biasanya lima tahun atau sepuluh tahun, maka disebut tabel mortalita ringkas (abriged life table). Namun, pada beberapa kasus dibutuhkan tabel mortalita yang menggunakan interval tahunan. Karena itu, perlu dilakukan suatu simulasi untuk mengubah tabel mortalita lima tahunan menjadi tabel mortalita tahunan.Salah satu unsur tabel mortalita yang dapat mengubah tabel mortalita lima tahunan menjadi tabel mortalita tahunan adalah lx.
Ada beberapa cara untuk mensimulasikan dan menghitung
lxtahunan antara lain dengan asumsi
Gompertz dan interpolasi. Asumsi Gompertz memiliki bentuk fungsi yang lebih sederhana dan paling mendekati keadaan sesungguhnya, sedangkan interpolasi yang digunakan adalah interpolasi spline. Dari kedua cara tersebut, tentunya ada perbedaan dalam hasil yang diperoleh. Untuk itu perlunya dilakukan penelitian untuk melihat apakah ada perbedaan yang signifikan antara nilai lx tahunan hasil perhitungan interpolasi
spline dengan nilai lx tahunanhasil
simulasi asumsi Gompertz.
Selama ini untuk menghitung nilai lx tahunan, yang diperoleh dari abriged
life table hampir selalu menggunakan cara interpolasi. Sehingga dirasa perlu untuk mencari cara alternatif yang dianggap lebih efisien, yaitu dengan cara simulasi. Tujuan penelitian ini adalah untuk mensimulasikan nilai lx tahunan dan
memperlihatkan bahwa hasil simulasi tersebut tidak mempunyai perbedaan yang signifikan dengan hasil interpolasi.
METODE PENELITIAN
1. Menghitung nilai lx lima tahunan
menggunakan interpolasi spline.
2. Fitting data pada US Decennial Life Table dengan menggunakan asumsi
Gompertzlx=l0.
berasal dari data. Dilakukan dengan bantuan program komputer dengan bahasa pemograman Mathlab.3. Berdasarkan nilai m dan C yang
perhitungan interpolasi spline dengan nilai lx tahunan hasil simulasi asumsi
Gompertz.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada US Decennial Life Table, diperoleh 21 titik data dan n = 20, yang di sajikan seperti berikut:
Tabel 7. Us decennial life table
i x qx lx
0,00248 0,0015 0,00154 0,00463 0,00646 0,00652 0,00693 0,00921 0,01398 0,02215 0,03472 0,05232 0,07906 0,11489 0,16776 0,23978 0,35248 0,49378 0,6437 0,77196 1,00000
98744
PerhitunganInterpolasi Spline
Perhitunganmenggunakan persamaan
1
Selanjutnya, hasil dari perhitungan interpolasi spline disajikan dalam Tabel 1 berikut:
Tabel 8. Nilai lxhasil interpolasi spline
X lx x lx
PerhitunganBerdasarkan Asumsi Gompertz
Rumusan untuk force of mortality :
μ(x) = lns(x)
Sehingga diperoleh
seperti persamaan
ketetapan, hal ini setara dengan:μx+y = BCx+ysehingga akan diperoleh :
diperoleh :
tPx =
dan C Berdasarkan Asumsi Gompertz
%Simulating L(x)_Life_Tablelxus = [100000; 98744; 98500; 98353; 98203; 97751; 97126; 96502;95849; 94997; 93723; 91738; 88689; 84524;
77925;69506; 58732; 45960; 31475; 17536; 7283; 2053];
x = [0; 1; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100];
%Fitting US Life Table to the Gompertz Function
%(getting parameter estimates) b = ones(2,1);
%initial value of
bbhat =nlinfit(x,lxus,'gompertz',b) %nonlinier regression estimation %estimated parameter
m = bhat(1);c = bhat(2);
function yhat = gompertz(beta,x)
%GOMPERTZ gompertz function fitting %yhat = gompertz(beta,x)
m = beta(1);c = beta(2);
yhat = 100000*exp(-m*(c.^x-1));
Dengan menggunakan program di atas, maka nilai parameter m dan C yang diperoleh adalah:
m = 0,001842031; C = 1,0788156
Tabel 4.2. Hasil simulasi lxtahunan
berdasarkan asumsi Gompertz
x lx x lx
26
PerbandinganInterpolasi Spline Dan Simulasi Gompertz
Pasangan hipotesis nol dan hipotesis alternatif yang akan diuji adalah:
H0 : Ada perbedaan yang signifikan antara
nilai lx tahunanhasil perhitungan
interpolasi spline dengan nilai lx
tahunan hasil simulasi asumsi Gompertz.
H1 : tidak ada perbedaan yang signifikan
antara nilai lx tahunanhasil
perhitungan interpolasi spline dengan nilai lx tahunan hasil simulasi asumsi
Perhitungan Chi Square berikut:
χ2
Pengambilan keputusan :
i. Jika p-value < α, maka tolak H0
ii.Jika p-value > α, maka terima H0
Dengan menggunakan Tabel C sebagai acuan, diketahui bahwa kemungkinan yang berkaitan χ2 = 1118,5 untuk db = 2 adalah p-value < 0,001. Artinya dengan taraf nyata sebesar 5% dapat dinyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara nilai lx tahunan hasil perhitungan interpolasi spline dengan nilai lx tahunan hasil simulasi asumsi Gompertz.
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pengujian dengan Chi Square, dapat disimpulkanbahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara nilai lx tahunan hasil perhitungan
interpolasi spline dengan nilai lx
tahunanhasil simulasi asumsi Gompertz.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson, RN, (1999). “US Decennial Life Table for 1979 –1981”, vol 1 – 4, National Center for Health Statistics, Hyattsville, Maryland.
Bowers, (1997). Actuarial Mathematics, second edition, The Society of Actuaries, Schaumburg Illinois.
Canale, P & Chapra, (1991). Metode Numerik Untuk Teknik, S. Sardy (Penerjemah). Universitas Indonesia, Jakarta.
Hanselman, D & Littlefield, B, (2000). Matlab Bahasa Komputasi Teknik, Pearson Education Asia Pte, Ltd. dan penerbit Andi, Yogyakarta.
London,D, (1998). Survival Model and
Their Estimation, third edition, Actex Publication, Winstead.
