pendugaan dan selang kepercayaan 2009

(1)

PENDUGAAN

DAN SELANG KEPERCAYAAN

(2)



_{Pendugaan Parameter}



_{Pengujian Hipothesis}

Statistika Inferensia adalah cabang ilmu statistika

yang menggunakan contoh statistik untuk mengkaji

atau memberikan kesimpulan (inferensia) terhadap

parameter populasi

Statistika Inferensia

(3)

Pendugaan Titik

BATASAN:

• Suatu

pendugaan titik

adalah

suatu nilai dugaan tunggal

terhadap parameter populasi.

• Pendugaan titik terbaik untuk

rata-rata populasi



adalah

(4)

Teladan Pendugaan Titik



_{Sebuah contoh acak harga tiket pesawat (US$)}

untuk sekali berangkat dari Jakarta ke Bali adalah sebagai berikut:

99 102 105 105 104 95 100 114 108 103 94 105 101 109 103 98 96 98 104 87 101 106 103 90 107 98 101 107 105 94 111 104 87 117 101

Tentukan pendugaan titik rata-rata populasi



.

Rata-rata contoh:

Pendugaan titik tiket pesawat sekali berangkat

dari Jakarta ke Bali adalah

$101.77.

1

1 3562 101.77

35

n i i

x

n

_

(5)

Pendugaan Selang

Suatu

Pendugaan Selang

adalah suatu selang atau kisaran nilai

yang digunakan untuk menduga parameter populasi

•

101.77 Pendugaan Titik:

(

• )

101.77

(6)

95% dari seluruh rata-rata contoh akan memiliki nilai

baku antara z = -1.96 dan z = 1. 96

Sebaran Rata-rata Contoh

Sebaran Penarikan Contoh

_{untuk c = 0.95}

0 z

0.95

0.025

0.025 -1.96

1.96

x

Jika ukuran contoh sedikitnya 30, sebaran penarikan

contoh untuk mengikuti sebaran normal.

x

(7)

Galat (Error) Maksimum Pendugaan

BATASAN:

Untuk tingkat kepercayaan, c, galat maksimum

pendugaan E adalah jarak terjauh yang mungkin antara pendugaan

titik dan nilai parameter yang diduga

Untuk n



30, simpangan baku contoh, s dapat digunakan untuk



.

n

z

E



_c



_x



_c



_{Tentukan E, galat maksimum pendugaan harga tiket pesawat sekali berangkat}

dari Jakarta ke Bali untuk tingkat kepercayaan 95% dengan s = 6.69

Dengan z

_c

=1.96, s = 6.69 dan n = 35,

(8)

Z

_c



_Z

_c

_{= Nilai Z yang menyebabkan peluang di sebelah}

kanannya sama dengan



_{Atau, karena sifat simetri, nilai negatif Z yang}

menyebabkan peluang di sebelah kiri sama dengan

1 c

2 

1 c

2 

0 Z

_c

-Z

_c

Peluang c

c Z_c 0.90 1.65 0.95 1.96 0.99 2.58

(9)

 

2

= ragam populasi

 

= simpangan baku populasi



_s

2

= ragam contoh



_{s = simpangan baku contoh}



_{= galat baku rata-rata =}

Populasi, contoh, rata-rata

 

= rata-rata populasi (diduga oleh )



_{= rata-rata contoh}



_{= rata-rata dari sebaran rata-rata}

x



x

(diduga oleh

s

2

_{dan s)}

2

s

n



_n

x

s

(10)

Batasan:

Selang kepercayaan c untuk rata-rata populasi adalah:

Selang Kepercayaan untuk µ

_{Tentukan selang kepercayaan 95% harga tiket sekali jalan dari Jakarta ke Bali.}

Rata-rata contoh = 101.77 dan E = 2.22

•

101.77 (

)

Batas Kiri

101.77 2.22 99.55

x  E   

99.55 Batas Kanan

101.77 2.22 103.99 x  E   

103.99

Dengan kepercayaan 95%, kita dapat mengatakan bahwa rata-rata harga tiket sekali jualan dari Jakarta ke Bali adalah antara $99.55 dan $103.99

99.55 





103.99 x E

   



x E

(11)

Ukuran Contoh

Untuk tingkat kepercayaan c dan galat pendugaan maksimum,

E, ukuran contoh minimum n yang diperlukan untuk menduga



, rata-rata populasi adalah:

2



_{Kita ingin menduga rata-rata harga tiket sekali jalan dari Jakarta ke Bali.}

Berapa banyak tiket yang harus dilibatkan dalam contoh jika kita ingin yakin 95% bahwa rata-rata contoh hanya berjarak $2 dari rata-rata populasi?

2 2

(12)

0 t

n=13

db=12

c=90%

.90

Sebaran t

-1.782

1.782 Nilai kritis t adalah 1.782. Dengan demikian, 90% rata-rata contoh

dengan n = 13 akan terletak antara t = -1.782 dan t = 1.782

.05

Sebaran penarikan contoh dari

Jika sebaran sebuah peubah acak x adalah normal

dan n < 30, maka sebaran penarikan contoh dari

adalah sebaran t dengan derajat bebas n-1.

x

(13)

t

vs

normal



_{Jika ragam populasi (}

_

2

) diketahui maka

rata-rata akan mengikuti sebaran

normal



_{Jika ragam contoh (s}

2

) digunakan untuk

menduga



2

, maka rata-rata contoh akan

mengikuti sebaran

t

dengan derajat bebas n-1

(

t

_n-1

)



_{Untuk derajat bebas yang besar (> 30)}

_t

_akan

sangat dekat dengan sebaran

normal

(14)

Selang Kepercayaan-

contoh kecil

_{Dari suatu contoh acak berukuran 13 orang dewasa, rata-rata sampah yang}

dibuang per orang per hari adalah 4.3 kg dengan simpangan baku 0.3 kg.

Andaikan peubah tersebut menyebar normal, sajikan selang kepercayaan 90% untuk .

1. Pendugaan titik adalah kg

2. Galat pendugaan maksimum adalah

_1.782

0.3 _0.15

13 Galat Pendugaan Maksimum:

n

(15)

Selang Kepercayaan untuk Proporsi Populasi

p

q

ˆ



1 

ˆ

q

ˆ

adalah pendugaan titik kejadian tandingannya, sedemikian sehingga

Jika np  5 dan nq  5 , sebaran penarikan contoh untuk adalah

p

ˆ

normal.

Pendugaan titik untuk p, proporsi populasi suatu kejadian tertentu adalah proporsi kejadian yang sama pada contoh:

n

ˆ

x

p



Galat pendugaan maksimum E untuk selang kepercayaan c adalah

n

q

p

z

E



_c

ˆ

Selang kepercayaan c untuk proporsi populasi, p adalah:

ˆ

(16)

Selang Kepercayaan untuk p

_{Dalam suatu kajian terhadap 1907 kali serangan ikan hiu ternyata 449}

diantaranya terjadi saat melakukan kegiatan surfing. Sajikan selang kepercayaan 99% bagi proporsi serangan saat kegiatan surfing.

1. Pendugaan titik untuk p adalah

0 .

235 1907

449 n

ˆ



x



p

qˆ  1 0.235 0.765

2. 1907(.235) 5 dan 1907(.765) 5, sehingga sebaran penarikan contoh dapat didekati dengan sebaran normal.

3. 0.025

(17)

Jika dugaan awal untuk p dan q diketahui maka

ukuran contoh minimum yang harus diambil

untuk menduga p untuk mendapatkan tingkat

kepercayaan c dengan galat pendugaan

maksimum E adalah:

Ukuran Contoh Minimum

2 c

z

ˆ ˆ

n

pq

E





_



(18)

_{Jika kita ingin menduga proporsi serangan ikan hiu yang berkaitan dengan}

kegiatan surfing pada tingkat kepercayaan 99% dan galat pendugaan maksimum yang diperbolehkan hanya 2% dari proporsi populasi, maka ukuran contoh

minimum yang harus diambil adalah:

Dengan demikian, diperlukan sedikitnya 4415 kasus serangan.

Teladan: Ukuran Contoh minimum

2

Tanpa pengetahuan dugaan awal untuk p, digunakan 0.5

14

Dengan demikian, diperlukan sedikitnya 2981 kasus serangan.

2

(19)

0 10 20 30 40

Sebaran Khi Kuadrat

Pendugaan titik bagi 2_{adalah s}2 _{dan pendugaan titik bagi}__{adalah s.}

Jika ukuran contoh adalah n, gunakan sebaran khi kuadrat 2 _{dengan derajat bebas}

n-1 untuk membentuk selang kepercayaan c.



Tentukan



_R2

nilai kritis kanan dan

_

L2

nilai kritis kiri untuk c =

95% dan n = 17.

Daerah di kanan _R2_{adalah (1- 0.95)/2 = 0.025 dan area di sebelah kanan}_ L2

adalah (1+ 0.95)/2 = 0.975

_



_R2

=

28.845

L2

=

6.908

6.908 28.845

.95

(20)

2

Selang Kepercayaan untuk σ

2

dan σ

Selang kepercayaan c untuk

ragam populasi adalah:

Untuk menduga simpangan baku tentukan akar pada setiap batas.

2 2

2

(17 1)150

28.845 

6.908 

_



_

Hitung akar dari setiap batas:

2

12480.50 <



< 52113.49

$117.72 < < $228.28



_{Sebuah contoh acak memuat informasi harga 17 komputer ($). Simpangan baku}

contoh adalah $150. Sajikan selang kepercayaan 95% untuk 2 dan

Kita dapat menyatakan bahwa pada tingkat kepercayaan 95%,

akan terletak antara 12480.50 dan 52113.49, sedangkan akan

terletak antara $117.72 and $228.28.



2