Barisan dan Deret
Di susun Oleh :
Yuyun Somantri
http://bimbinganbelajar.net/
Di dukung oleh :
Portal edukasi Indonesia
Open Knowledge and Education
http://oke.or.id
Barisan dan Deret
1. Diketahui barisan 84,8012,77,...
Suku ke-n akan menjadi 0 bila n = …..
Jawab :
25 )
)( 1 ( 84 0
) 1 (
2
7 ⇔ =
− − + =
− + =
n n
b n a Un
2. Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 200 yang habis dibagi 5
Jawab :
7800 )
295 105 ( )
(
39 5
). 1 ( 105 295 )
1 (
295 ... 115 110 105
2 39 39 2
1 + ⇒ = + =
=
= ⇔ − + = ⇒ − + =
+ + + +
S U
a n S
n n
b n a U
n n
n
3. Jika k + 1, k – 1, k – 5 membentuk barisan geometri, maka tentukan harga k !
Jawab :
3 1
5 1
1
− = ⇔ − − = + −
k k
k k
k
4. Jika suku pertama deret geometri adalah 3 m denganm> 0, sedangkan suku ke-5 adalah 2
m , maka tentukan suku ke-21 !
Jawab :
( )
8 83 25 5
4 3 20 21
2 4 4 3 2 4 5 1
3 2 3
5 3 1
3 5
3 1
. .
.
m m m m
m r
m ar
U
m m m r r m m
ar U ar
Un n
= = = =
=
= = ⇔ =
⇔ = ⇒
= −
5. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, …. Disisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru. Tentukan jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk !
Jawab :
84 ) 3 . 6 3 . 2 ( )
) 1 ( 2 (
3 1 4
15 1 '
2 7 7
2 + − ⇒ = + =
=
= + = + =
S b n a S
k b b
n n
6. Tentukan batas-batas x agar deret 2log(x+ 1)+2log2(x+1)+2log3(x+ 1)+ ... merupakan deret konvergen
Deret konvergen (deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah)
mempunyai syarat − 1< r < 1
1 2
1
1 ) 1 log( 1 1 ) 1 log(
) 1 ( log 1
2 1 2
1
2 2
2 2
< < − ⇔ < + <
< + <
− ⇔ < +
+ <
−
x x
x x
x
7. Tentukan jumlah deret 1− tan230 + tan430 − tan630 + ...
Jawab :
4 3 1
1 ) 30 tan ( 1
1
1− = − − 2 = + 31 =
=
∞ r
a S
8. Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari tempat yang tingginya 1 meter. Pantulan bola setinggi 2/3 tinggi bola sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola sampai bola itu berhenti !
Jawab :
5 2 3
2 3 . 1 .
: 5 1
. 2 1 . 2 1
... 1
3 2 3 2 9
4 9 4 3 2 3 2
= − + = − + =
= − + = +
=
+ + + + +
∞
n m
n m a S
rumus n menggunaka Atau
S S
Dimana m dan n perbandingan rasio yaitu
m n
9. Diketahui 1+3+5+…….. Jika Sn = 225 maka tentukan Un !
Jawab :
29 2 . 14 1 )
1 (
15 )
2 ) 1 ( 1 . 2 ( 225
) ) 1 ( 2 (
15 2
2
= + = ⇒ − + =
= ⇔ − + =
− + =
U b n a U
n n
b n a S
n n n n
10.Jika jumlah n suku pertama suatu barisan adalah 4n2(n+ 1) maka tentukan
3
U !
Jawab :
96 ) 1 2 ( 2 . 4 ) 1 3 ( 3 .
4 2 2
2 3 3
1⇒ = − = + − + =
−
= S S − U S S
Un n n
11.Jumlah n suku pertama deret aritmetika di tentukan dengan rumus S 2n2 6n.
n = −
Tentukan bedanya !
Jawab :
4 2 . 2 6
2
2 2
2 2
= = ⇒ − =
= ⇒ − + = ⇒ + + =
b n n S
a b a b an U
c bn an S
n
12.Suku ke-n suatu deret aritmetika adalah Un = 3n− 5. Tentukan rumus jumlah n suku
pertama !
Jawab :
) 7 3 ( ) 5 3 2 ( ) (
2 5 1 . 3
2 2
2 1
− =
− + − = + =
− = − = =
n n
U a S
U a
n n
n n
n
13.Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh S = 2n(5n− 19)
n . Tentukan
bedanya !
Jawab :
5 . 2 25 2
19 2 2
5 − ⇒ = =
= n n b
Sn
14. Jika suku pertama suatu deret aritmetika adalah 5, suku terakhir adalah 23 dan selisih suku ke-8 dengan suku ke-3 adalah 10. Tentukan banyak suku !
Jawab :
10 2
) 1 ( 5 23
) 1 (
2 10
5 ) 2 ( 7
3 8
= ⇔ − + =
− + =
= ⇔ = = + − + = −
n n
b n a U
b b
b a b a U U
n
15.Dari deret aritmetika diketahui U6+ U9 + U12+ U15 = 20. Tentukan S20 !
Jawab :
100 10 . 10 ) 19 2 (
10 19 2 20 38 4
20 14 11
8 5
2 20
20 = + = =
= + ⇔ = +
= + + + + + + +
b a S
b a b
a
b a b a b a b a
16.Pada barisan aritmetika diketahui 8, 14 23
4
2 = U = danUn =
U . Tentukan banyak sukunya
Jawab :
7 23
3 ). 1 ( 5 23
3 5
14 3
8
= ⇔ = − + ⇒ =
= =
⇒ = +
= +
n n
U
b dan a
b a
b a
n
17. Tiga bilangan merupakan barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan itu 36 dan hasilkalinya 1536, maka tentukan bilangan terbesarnya !
Jawab :
Misal ketiga bilangan itu adalah x – b, x , x + b
4 128
144
1536 )
12 .( 12 ). 12 (
12 36
2 = ⇔ = ±
−
= + −
= ⇔ = + + + −
b b
b b
x b
x x b x
18. Jumlah 5 buah bilangan yang membentuk barisan aritmetika adalah 75. Jika hasil kali bilangan terkecil dan terbesar adalah 161, maka tentukan selisih bilangan terbesar dan terkecil !
Jawab :
4 161
4 225 161
) 2 15 )( 2 15 (
15 75
2 2
2 = ⇔ = ±
− ⇔ = + −
= ⇔ = + + + + + − + −
b b
b b
x b
x b x x b x b x
Jadi selisih bilangan terbesar – bilangan terkecil =(15+2.4)-(15-2.4)=16
19.Pada barisan aritmetika suku-suku positif diketahui 24 10
3 2 1 3
2
1+ U + U = danU = U −
U .
Tentukan U4
Jawab :
20 18 2 3
6 2 8 2
0 ) 2 )( 3 ( 10 ) 8 .( 2
10 2 8
10 2 10
8 24
2
4 2
2 2 3
2 1
= + = + =
= − = ⇒ =
= − + ⇔ − − + =
− + = −
=
− + = ⇒ − =
− = ⇔ = + + + +
b a U
b a
a a a
a a
b a a ke a b
Substitusi
b a a U
U
a b
b a b a a
20.Tentukan penyelesaian yang bulat dari persamaan
116 115 2
... 6 4 2
) 1 2 ( ... 5 3 1
= +
+ + +
− + + + +
n n
Jawab :
115 116
115 1 116
115 )
2 2 (
) 1 2 1 (
2
2 = ⇒ =
+ ⇔ =
+ − +
n n
n n
n
n n
21. Seorang petani mencatat hasil panennya selama 11 hari. Jika hasil panen hari pertama 15 kg dan mengalami kenaikan tetap sebesar 2 kg setiap hari, maka tentukan jumlah hasil panen yang dicatat !
Jawab :
275 ) 2 . 10 15 . 2 (
2 11
11= + =
S kg
22. Grafik hasil produksi suatu pabrik per tahun merupakan suatu garis lurus. Jika produksi pada tahun pertama 110 unit dan pada tahun ketiga 150 unit maka tentukan produksi pada tahun ke-15 !
Jawab :
unit U
b b
U
390 20 . 14 110
20 150
2 110 150
15 3
= +
=
23. Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan
aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka tentukan jumlah usia enam anak tersebut !
Jawab :
tahun S
b dan a
24. Jumlah 5 suku pertama suatu deret aritmetika adalah 20. Jika masing-masing suku
dikurangi dengan suku ke-3, maka hasil kali suku ke-1, suku ke-2 , suku ke-4 dan suku ke-5 adalah 324. Tentukan jumlah 8 suku pertamanya !
Jawab : 324
)
324 ))
25. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila keuntungan sampai bulan keempat 30 ribu rupiah dan sampai bulan kedelapan 172 ribu rupiah, maka tentukan keuntungan sampai bulan ke-18 !
Jawab :
000 . 017 . 1 ) 000 . 7 . 17 ) 000 . 3 .( 2 (
000 . 7 000
. 3 000
. 43 7 2
000 . 15 3 2
000 . 43 7 2 000 . 172 ) 7 2 (
000 . 15 3 2 000 . dan a
26. Sisi-sisi suatu segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40, maka tentukan sisi siku-siku yang terpendek !
Jawab :
terpendek yang
sisi b
mungkin tidak
b
b b b
b
27. Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp 100.000 kepada 4 orang anaknya. Makin muda usia anak makin kecil uang yang diterima. Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp 5.000 dan si sulung menerima uang paling banyak, maka tentukan jumlah uang yang diterima si bungsu !
Misal masing-masing menerima x, x – 5000, x – 10000, x – 15000 x + x – 5000 + x – 10000 + x – 15000 = 100000
x = 32500
Maka uang yang diterima si bungsu = x – 15000 = 32500 – 15000 = 17500
28. Tentukan jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi 7 !
Jawab :
252, 259, 266, ………., 994
994 = 252 + (n – 1).7 atau n = 107
661 . 66 ) 994 252 (
2 107
107 = + =
S
29. Jumlah n bilangan positif genap yang pertama adalah 306. Tentukan jumlah 5 bilangan terakhir !
Jawab :
156 ) 12 . 2 2 ( 17
18
0 ) 17 )( 18 ( ) 2 2 ( 306
306 2
... 6
4 2
2 12 12
2
= +
= =
− =
= − +
⇔ + =
= + +
+ +
S n
mungkin tidak
n
n n
n n
n
Jadi jumlah 5 bilangan terakhir = 306 – 156 = 150
30. Jika a + 2, a – 1, a – 7 membentuk barisan geometri, maka tentukan rasionya !
Jawab :
2 2 5
1 5 2 1
5 1
7 2
1
= + −
− − = +
− =
− = ⇒ − − = +
−
a a r
a a
a a
a
31.Jika tiga bilangan q, s dan t membentuk barisan geometri, maka tentukan
t s q
s q
+ −
−
2
Jawab :
t s
s t s t s
t s s t
s q
s q
t s q s t q s
t t st t s
t st t s
− = − −
− =
− − = + −
−
= ⇔ =
+ ( )( )
) ( 2 2 2
2
2 2
32.Jika jumlah n suku deret geometri yang rasionya r adalah
n
S maka tentukan
n n
S S
3 6
Jawab :
1 1
) 1 )( 1 ( ) 1 (
1 .
1 ) 1
( 3
3 3 3
3 6
3
6 = +
− + −
= − − −
−
= n
n n n
n n
n
n r
r r r
r a
r r
33.Dari deret geometri diketahui
p U U dan p U
U4 : 6 = 2. 8 = 1 maka tentukan
1
U
Jawab :
p p a p a
p p a r
a r a ar ar U U
p r p r ar ar U U
= ⇔ =
= =
= =
=
= ⇒ = = =
3 2
4 2 4 2 2 8 2 7 8
2
2 2
5 3
6 4
1 ) 1 ( )
( .
.
1 1
34. Jumlah 5 suku pertama sebuah deret geometri adalah –33. Jika nilai pembandingnya adalah –2 maka tentukan jumlah suku ke-3 dan ke-4 !
Jawab :
12 ) 2 )( 3 ( ) 2 )( 3 (
3 )
2 ( 1
) ) 2 ( 1 ( 33
3 2
3 2 4 3
5
= − − + − − = + = +
− = ⇔ −
− − − = −
ar ar U U
a a
35. Dari barisan 4 buah bilangan, jumlah tiga bilangan pertama = 0 dan kuadrat bilangan pertama = -2/3 kali bilangan ketiga. Jika setiap dua bilangan yang berdekatan sama selisihnya, maka tentukan bilangan yang keempat !
Jawab :
3 4 ) .( 3 3
0
0 ) 2 3 (
0 4 2 3 0 4 2 3 ) 2 (
0 ) 2 2 ( 0
3 2 3
2 4
3 2 3
2
2 2
3 2 2
2 3 3
− = − + = + =
− = ⇒ = =
= −
= − + ⇒ = + + ⇔ + − =
− = ⇔ = + ⇒
=
b a U
b a
mungkin tidak
a a a
a a a b
a a b
a a
a b b
a S
36. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika suku ketiga ditambah 2 dan suku kedua dikurangi 2 diperoleh barisan geometri. Jika suku ketiga barisan aritmetika ditambah 2, maka hasilnya menjadi 4 kali suku pertama. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut !
Jawab :
Misal p, q, r membentuk barisan aritmetika maka :
: 2
, 2 ,
) 1 ..( ... 2
maka geometri barisan
merupakan r
q p
r p q q r p q
+ −
(
)
(
)
(
)
8 6 14
14 2
22 6 22
2 6 . 4 6
0 ) 6 )( 2 3 ( 4
2 4 2 4
2 2 4 2
2
: )
2 ( ) 3 ( ) 1 (
) 3 ...( ... 2
4 4
2
) 2 ...( ... 2
2 2
2 2
2 2 2
2
= − = − =
= + = ⇒ = − = ⇒ =
= − − ⇔ =
+ − −
+ − =
+ −
− = ⇔ = +
+ = − ⇔ − + = −
p q b
q r
p
p p p
p p
p p r
p
sehingga ke
dan Substitusi
p r p r
r p q
q r p q
37. Pada saat awal diamati 8 virus jenis tertentu. Setiap 24 jam masing-masing virus
membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam seperempat dari seluruh virus dibunuh, maka tentukan banyaknya virus pada hari ke-6 !
Jawab :
96 jam = hari ke-4 dibunuh
4 1
jumlah virus. Berarti tersisa
4 3
jumlah virus.
192 2
. 48 .
48
48 2 . 8 .
2 2
6
3 4 3 4
= =
=
= =
r U
U
38.Diketahui p dan q akar-akar persamaan 2 2+ + = 0
a x
x . Jika p, q dan
2
pq
merupakan
barisan geometri, maka tentukan a !
Jawab :
1 2 1 ). 1 .( 2 2 2
2 1 2
) 1 ( 1
0 ) 1 (
2 . 2 1 2 2
1 2 2
2 2
2 2 2
2
2
− = − = = ⇔ =
= − = ⇒ − = ⇒ = +
− = + ⇒ − = + ⇒ − = +
= ⇔ =
⇔ =
pq a a pq
q p
p
p p q
p a b q p
p q q p q q q p
39.Diketahui membentuk barisan aritmetika dan x1, x2,4 membentuk barisan geometri, maka tentukan diskriminan persamaan kuadrat tersebut !
Jawab :
40.Diketahui deret geometri ...
3 162
3 162
: 3
. 2 162
3 log log
162 162
162
2
sehingga r
a ke r a Substitusi
r
41.Tentukan jumlah 10 suku pertama deret log1 log 1 log 1 ...
3
log 55 log
9 log 2 5 )) log .( 9 log . 2 (
log log
log 2 1 log 1 log
42.Agar deret
(
)
,... 11 , 1 , 1
− −
x x x x x
jumlahnya mempunyai limit, maka tentukan nilai x !
Jawab :
2 0
0 ) 1 (
) 2 ( 0 1 2
1 2 1
2 1
1 1 2 1 1
1 1 1
1 1 1
: 1
1 1 1
2 2
2
2
2 1
1
> <
⇒ > −
− ⇔ < + −
+ − − + −
< + − ⇒ < − ⇔ < − < −
< < −
− =
= −
x atau x
x x x x
x x x x
x
x x x
x
sehingga r
Syarat x r
x x
x
43.Suku-suku barisan geometri tak hingga positif, jumlah 45 20
4 3 2
1+ U = danU + U =
U .
Tentukan jumlah suku-suku barisan itu !
Jawab :
81 1
27 1
27 45
45 .
3 2 20
45
45 .
45
3 2
3 2
2 3
2 4 3
2 3
2 2
2 1
= − = − =
= ⇔ = + ⇒ = +
= ⇒ = =
+ = +
= + ⇒ =
+ = +
∞
r a S
a a
a r
a a
r r
ar ar U U
r ar
ar r
ar a U U
44. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 1, sedang jumlah suku-suku yang bernomor ganjil = 2, maka tentukan jumlah deret dengan rasio yang positif !
Jawab :
2 2 1
1
2 1 2
1 1 2
...
2 1
2 5
3 1
+ = − =
= ⇒ = − ⇒ = +
+ +
∞
S
r r
U U U
45.Jika
2
0< x< π maka sin + cos + sin3 + cos3 + sin5 + cos5 + ...= ...
x x
x x
x x
Jawab :
x x
x x
x x x
x x
x x
x
S 2 2
3 3
2 2
2 2
cos sin
cos sin
sin cos cos
sin cos
1 cos sin
1
sin +
= +
= −
+ −
=
