Pelabelan Harmonis Ganjil pada Kelas Graf Baru Hasil Operasi
Gabungan
Fery Firmansah
1, Muhammad Ridlo Yuwono
2Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Widya Dharma Klaten1, 2 email korespondensi : feryfirmansah@unwidha.ac.id
Abstrak—Graf yang memenuhi sifat pelabelan harmonis ganjil disebut sebagai graf harmonis ganjil. Pada makalah ini akan diberikan kontruksi gabungan graf ular berlipat yang memenuhi sifat pelabelan harmonis ganjil. Sedemikian sehingga gabungan graf ular berlipat adalah keluarga baru dari graf harmonis.
Kata kunci:Gabungan graf, graf ular berlipat, graf harmonis ganjil I. PENDAHULUAN
Kajian tentang pelabelan graf telah dimulai sejak tahun 1964 oleh Sedlacek, dan sampai tahun 2016. Pada [1] telah mengumpulkan banyak hasil penelitian tentang pelabelan graf baik secara teori maupun aplikasi. Dalam jurnal yang sama [1] telah mengelompokkan pelabelan graf yang mempunyai sifat pelabelan yang sama, diantaranya pelabelan graceful, pelabelan ajaib, pelabelan anti ajaib, pelabelan harmonis dan variasinya. Aplikasi pelabelan graf diantaranya pada bidang kriptografi, teori koding, dan secret sharing message.
Pada dasarnya pelabelan graf adalah pemetaan dari setiap elemen graf baik simpul, busur ataupun kombinasinya ke bilangan bulat positif (label). Lebih lanjut disebut pelabelan simpul jika daerah asal dari pemetaan adalah himpunan simpul, dan pelabelan busur jika daerah asal dari pemetaan adalah himpunan busur. Sedangkan jika daerah asal dari pemetaan adalah kombinasi antata himpunan simpul dan himpunan busur maka disebut pelabelan total. Makalah ini dibatasi untuk graf sederhana, tidak berarah (undirected) dan berhingga [2].
Salah satu variasi dari pelabelan harmonis adalah pelabelan harmonis ganjil yang diperkanalkan oleh Liang dan Bai pada tahun 2009. Graf disebut sebagai jika memenuhi simpul dan busur. Graf adalah graf harmonis ganjil (odd harmonious graph) jika terdapat fungsi injektif yang menginduksi fungsi bijektif
, yang didefinisikan oleh dengan f adalah fungsi harmonis ganjil dari [3]. Dari tahun 2009 sampai tahun 2016 telah ditemukan beberapa kelas graf baru yang merupakan keluarga dari graf harmonis ganjil. Hasil penelitian yang relevan tersebut dapat dilihat [4], [5], [6], [7], [8], [9], dan [10].
Hasil dari penelitian pada makalah ini merupakan pengembangan dari penelitian sebelumnya yaitu Firmansah pada tahun 2016. Pada [11] telah membuktikan bahwa gabungan graf ular , dan graf ular berlipat , , adalah graf harmonis ganjil. Terinspirasi dari penelitian tersebut, maka peneliti tertartik untuk menunjukkan bahwa gabungan graf ular berlipat ,
, memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil, sedemikian sehingga diperoleh keluarga baru dari graf harmonis ganjil.
II. DASAR TEORI
Berikut diberikan dasar teori yang digunakan pada makalah ini. Graf disebut sebagai
jika memenuhi simpul dan busur. Graf adalah graf harmonis ganjil (odd harmonious graph) jika terdapat fungsi injektif yang menginduksi fungsi bijektif , yang didefinisikan oleh
harmonis ganjil diantaranya, jika graf adalah graf harmonis ganjil maka adalah graf bipartit dan jika graf adalah graf harmonis ganjil maka memenuhi . Operasi gabungan (union) dari graf dan yang dinotasikan dengan adalah graf dengan himpunan simpul
dan himpunan busur . III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian awal akan diberikan definisi, kontruksi, notasi simpul dan notasi busur dari gabungan graf ular berlipat. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa gabungan graf ular berlipat memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil. Dibagian akhir akan diberikan contoh gabungan graf ular berlipat berserta pelabelannya untuk mempermudah pemahaman.
A. Kontruksi dan Definisi dari Gabungan Graf Ular Berlipat
Sebelumya akan diberikan definisi dan kontruksi dari graf lingkaran berlipat dan graf ular berlipat sebagai berikut:
Definisi 1. [5] Graf lingkaran dengan himpunan simpul yang selanjutnya ditambahkan
simpul baru yang terhubung dengan simpul dan simpul disebut sebagai graf lingkaran berlipat .
Definisi 2. [5] Graf ular berlipat adalah graf terhubung dengan blok dimana setiap blok
tersebut isomorfik dengan graf lingkaran berlipat dan titik potong blok-nya merupakan graf lintasan.
Bedasarkan Definisi 1 dan Definisi 2 tersebut diperoleh definisi, kontruksi, notasi simpul, dan notasi busur dari gabungan graf ular berlipat.
Definisi 3. Graf dengan , adalah gabungan dari dua graf ular berlipat
. 0
u
1 1v
2 1v
1 2v
2 2v
1 kv
2 kv
1u
u
2u
k 1 , 1 1w
1 , 1 rw
1 , 2 1w
,1 1 kw
1 , 2 rw
k,1 rw
2 , 1 1w
2 , 1 rw
2 , 2 1w
2 , 2 rw
2 , 1 kw
2 , k rw
0x
1 1y
2 1y
1 2y
2 2y
1 ky
2 ky
1x
x
2x
k 1 , 1 1z
1 , 1 rz
1 , 2 1z
z
1k,1 1 , 2 rz
z
rk,1 2 , 1 1z
2 , 1 rz
2 , 2 1z
2 , 2 rz
2 , 1 kz
2 , k rz
)
(
)
(
4 4r
kC
r
kC
GAMBAR1.KONTRUKSI DARI GABUNGAN GRAF ULAR BERLIPAT
B. Kontruksi Pelabelan Harmonis Ganjil pada Gabungan Graf Ular Berlipat
Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa gabungan graf ular berlipat memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil yang dinyatakan dalam Teorema 4, sedemikian sehingga gabungan graf ular berlipat adalah keluarga baru dari graf harmonis ganjil. Dibagian akhir akan diberikan beberapa contoh gabungan graf ular berlipat beserta pelabelan harmonis ganjilnya untuk mempermudah pemahaman.
Teorema 4. Gabungan graf ular berlipat dengan adalah graf harmonis ganjil.
Bukti.
Misalkan dengan , adalah gabungan graf ular berlipat, dengan himpunan simpul dan himpunan busur didefinisikan oleh
dan maka dan . Berikut didefinisikan fungsi pelabelan simpul
(1) (2) (3) (4) (5) (6) Berdasarkan fungsi pelabelan simpul pada (1), (2), (3), (4), (5) dan (6) diperoleh himpunan simpul setelah dilabel sebagai berikut:
Terlihat bahwa fungsi pelabelan simpul memberikan label yang berbeda pada setiap simpul dan
sedemikian sehingga fungsi pelabelan simpul memenuhi pemetaan injektif.
Selanjutnya akan ditunjukan bahwa fungsi pelabelan busur
yang didefinisikan oleh
bersifat bijektif. Sedemikian sehingga didapatkan fungsi pelabelan busur sebagai berikut:
(7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) Berdasarkan fungsi pelabelan busur pada (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13), dan (14) diperoleh himpunan busur setelah dilabel sebagai berikut:
Terlihat bahwa fungsi pelabelan busur memberikan label yang berbeda pada setiap busur dan
sehingga fungsi pelabelan busur memenuhi sifat pemetaan bijektif. Akibatnya gabungan graf ular berlipat dengan , adalah graf harmonis ganjil
Contoh 5. Berikut diberikan contoh pada Gambar 2 yaitu pelabelan harmonis ganjil pada
. 0 1 3 5 7 9 11 13 15 4 8 12 16 97 99 101 103 105 107 109 111 193 195 197 199 201 203 205 207 17 19 20 113 115 209 211 21 23 24 117 119 213 215 2 47 49 51 53 55 57 59 61 6 10 14 18 143 145 147 149 151 153 155 157 239 241 243 245 247 249 251 253 63 65 22 159 161 255 257 67 69 26 163 165 259 261
2
6
2
6
C
4
C
4GAMBAR2.PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA
Contoh 6. Berikut diberikan contoh pada Gambar 3 yaitu pelabelan harmonis ganjil pada
3
5
3
5
C
4
C
4 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 4 8 12 16 20 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 161 163 165 167 169 171 173 175 177 179 241 245 249 253 257 243 247 251 255 259 2 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 6 10 14 18 22 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 199 201 203 205 207 209 211 213 215 217 279 283 287 271 275 281 285 289 273 277GAMBAR3.PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA
IV. SIMPULAN DAN SARAN
Pada makalah ini telah dibuktikan bahwa gabungan graf ular berlipat memenuhi sifat-sifat pelabelan harmonis ganjil sehingga didapatkan bahwa gabungan graf ular berlipat adalah keluarga baru dari graf harmonis ganjil. Masih banyak kelas graf yang belum ditemukan sifat pelabelannya, sehingga tidak menutup kemungkinan penelitian ini dilanjutkan untuk kelas graf yang baru.
UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terimakasih kepada RISTEK DIKTI atas dukungan pendanaan terhadap penelitian ini pada program Peneltian Dosen Pemula (PDP) tahun 2017.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Gallian, J. A. 2016. A Dynamic Survey of Graph Labeling. The Electronic Journal of Combinatorics, 18. #DS6.
[2] Baca, M dan Miller, M. 2008. Super Edge-Antimagics Graphs : A Wealth of Problems anda Some Solution. Florida : Brown Walker Press.
[3] Liang, Z., dan Bai, Z. 2009. On The Odd Harmonious Graphs with Applications, J. Appl. Math. Comput., 29, 105-116. doi:10.1007/s12190-008-0101-0
[4] Abdel-Aal, M. E. 2014. New Families of Odd Harmonious Graphs. International Journal of Soft Computing, Mathematics and Control, 3(1), 1-13.
[5] Alyani, F., Firmansah, F., Giyarti, W., dan Sugeng, K. A. 2013. The Odd Harmonious Labeling of kCn-Snake Graphs for Spesific Values of n, that is, for n = 4 and n = 8. IndoMS International Conference on Mathemathics and Its Applications, Diselenggarakan oleh Program Studi Matematika, UGM dan IndoMS, 6-7 November 2013 (hal. 225-230). Yogyakarta: Indonesian Mathematical Society.
[6] Firmansah, F., dan Sugeng, K. A. 2015. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin Belanda dan Gabungan Graf Kincir Angin Belanda. Magistra, No 94 Th. XXVII, ISSN 0215-9511, 56-92.
[7] Firmansah, F. dan Syaifuddin, M. W. 2016. Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin Double Quadrilateral.
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Diselenggarakan oleh Prodi Pendidikan Matematika FKIP UNY, 5 November 2017 (hal. MA 53-58). Yogyakarta. ISBN 978-602-73403-1-2.
[8] Firmansah, F. 2017. Odd Harmonius Labeling on Pleated of the Dutch Windmill Graphs. Cauchy – Jurnal Matematika Murni dan Aplikasi, 4(4). 161-166. p-ISSN: 2086-0382, e-ISSN: 2477-3344. doi: http://dx.doi.org/10.18860/ca.v4i4.4043
[9] Saputri, G. A., Sugeng, K. A., dan Froncek, D. 2013. The Odd Harmonious Labeling of Dumbbell and Generalized Prims Graphs, AKCE Int, J. Graphs Comb., 10(2), 221-228.
[10] Vaidya, S. K., dan Shah, N. H. 2011. Some New Odd Harmonious Graphs. International Journal of Mathematics and Soft Computing, 1(1), 9-16.
