Bab 3
Pemodelan Matematika dan Metode
Numerik
3.1 Model Keadaan Tunak
Model keadaan tunak hanya tergantung pada jarak saja. Oleh karena itu, distribusi temperatur gas sepanjang pipa sebagai fungsi dari jarak dapat dihitung dengan menggunakan hukum kekekalan energi yang menyatakan laju perubahan energi suatu sistem sama dengan jumlah panas dikurangi jumlah kerja pada sistem tersebut, dengan mengasumsikan proses perpindahan panas yang terjadi bersifat tu-nak dan tidak ada kerja yang dilakukan oleh sistem, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :
q= dE
dt . (3.1)
Perhitungan laju perubahan energi dalam kasus ini dijelaskan dengan menggu-nakan konsep fluks. Akan diperhatikan proses aliran energi dalam suatu segmen x sampai dengan x+ ∆xpada kontrol volum (Gambar 3.1), untuk mendapatkan laju
perubahan energi dengan konsep fluks. Misalkan energi yang masuk melalui titik xadalah f(x) sedangkan energi yang masuk melalui titik x+ ∆xadalah f(x+ ∆x). Jika f bernilai positif, maka energi mengalir masuk ke dalam segmen melalui sebe-lah kiri titik ujungx, sedangkan penulisan tanda minus untuk f(x+ ∆x) dibutuhkan karena f(x+ ∆x)>0 menunjukkan energi mengalir ke sebelah kanan titik ujung x+ ∆x. Sehingga laju perubahan energi adalah :
f(x)−f(x+ ∆x). (3.2)
Berdasarkan aproksimasiTaylor, Persamaan (3.2) merupakan turunan pertama f(x), yaitu :
−∂f
∂x∆x. (3.3)
Dengan mengabaikan energi potensial dan kinetik, dan mengasumsikan tidak ada efek nuklir, listrik, dan magnetik, maka dengan menguraikan energi yang terjadi pada sistem yaitu hanya energi panas (MCvT) dan energi yang menyebabkan ke-hilangan tekanan (Mρp) , dengan M sebagai mass flow, yaitu aliran massa yang melewati luas penampangA, M=ρvA, maka f adalah :
M(CvT+ p
ρ). (3.4)
Dengan mensubstitusikan f yang berbentuk Persamaan (3.4) ke dalam Persamaan (3.3) dan menotasikanV sebagai volume sehinggaV =1/ρ, maka laju perubahan energi menjadi,
−Md(CvT+pV)
dx dx. (3.5)
Dengan mengasumsikan gas yang dialirkan bersifat ideal, sehingga pV=RT danCp=Cv+R, maka Persamaan (3.5) menjadi,
−MCpdT . (3.6)
Dengan mensubstitusikan Persamaan (3.6) ke dalam Persamaan (3.1), maka dipero-leh,
q=−MCpdT . (3.7)
Mengenai panas (q) yang terjadi di sistem, dengan sistem pada kasus ini adalah sebuah pipa (Gambar 3.2), akan dibahas sebagai berikut. Terjadi aliran gas sepan-jang pipa dari ujung pipa di kirixsampai dengan ujung pipa di kananx+∆x, dengan temperatur gas (T) yang lebih besar dibandingkan dengan temperatur lingkungan (Tamb). Hal ini yang mengakibatkan terjadinya perpindahan panas sepanjang dx dari gas ke lingkungan sekitarnya secara konveksi, sehingga temperatur gas terus berkurang sampai mendekati temperatur sekitarnya. Konveksi adalah perpindahan panas yang terjadi antara permukaan dan media bergerak (fluida) yang mempu-nyai temperatur berbeda melalui proses difusi ataupun dengan cara mengalirnya fluida tersebut dari molekul dengan temperatur yang lebih tinggi ke molekul de-ngan temperatur yang lebih rendah. Dede-ngan demikian, panas yang terjadi akibat proses konveksi menurutNewton’s law of cooling, dapat dituliskan ke dalam ben-tuk persamaan seperti,
dengan kL adalah koefisien perpindahan panas secara konveksi yang bergantung pada kondisi batas yang dipengaruhi oleh geometri permukaannya dan gerakan fluida.
Gambar 3.2: Perpindahan Panas secara Konveksi di dalam Pipa.
Dengan mensubstitusikan Persamaan (3.8) ke dalam Persamaan (3.7), maka diperoleh persamaan,
MCpdT =−kL(T−Tamb)dx. (3.9)
Dengan membentuk Persamaan (3.9) seperti berikut, dT
(T−Tamb) = −kL MCpdx.
akan diperoleh persamaan untuk menghitung distribusi temperatur gas sepanjang pipa sebagai fungsi dari jarak, yaitu dengan cara mengintegralkan kedua suku
per-samaan tersebut. Langkah - langkahnya adalah sebagai berikut : T(x) Z T(0) dT (T−Tamb) = −kL MCp x Z 0 dx.
Hasil pengintegralannya adalah sebagai berikut, ln(T−Tamb)|TT((0)x)= MC−kL
px|
x
0.
Dengan mensubstitusi batas integralnya akan menghasilkan persamaan, ln (T(x)−Tamb)
(T(0)−Tamb)
!
= −kL
MCpx.
Dengan memberikan eksponen di kedua ruas persamaan di atas, maka akan dipero-leh persamaan untuk menghitung distribusi temperatur gas sepanjang pipa sebagai fungsi dari jarak, yaitu:
T(x)=Tamb+(T(0)−Tamb) exp−αx, (3.10)
denganα=kL/MCp
Sedangkan untuk mendapatkan persamaan yang dapat menghitung distri-busi tekanan sepanjang pipa sebagai fungsi dari jarak, dapat diperoleh dengan cara berikut :
• Dari persamaan untuk mendapatkanmass flow, bisa diperolehv=M/ρA, per-samaan ini akan di substitusikan ke dalam perper-samaan penurunan tekanan
aki-bat gaya gesek, Persamaan (2.37) (dpdx = −2fg0ρv2
D ), sehingga akan diperoleh, dp
dx =
−2fg0M2
ρA2D . (3.11)
• Persamaan mencari rapat massa, Persamaan (2.15) (ρg= pMg
ZRT), akan disubs-titusikan ke dalam Persamaan (3.11), sehingga diperoleh,
dp dx =
−2fg0M2ZRT
pMgA2D . (3.12)
• Dengan menggunakan turunan parsial, dpdx2 yang dapat dituliskan menjadi bentuk 2pdpdx, sehingga dengan mensubstitusi Persamaan (3.12) ke dalam ben-tuk turunan parsial tersebut, akan diperoleh,
dp2 dx =
−4f0
gM2ZRT
MgA2D . (3.13)
• Dengan mensubstitusi persamaan untuk menghitung distribusi temperatur gas sepanjang pipa sebagai fungsi dari jarak, Persamaan(3.10) ke dalam Per-samaan (3.13), maka akan diperoleh,
dp2= −4f
0
gM2ZR(Tambdx+(T(0)−Tamb) exp−αxdx)
MgA2D . (3.14)
• Dengan mengintegralkan Persamaan (3.14), suku kiri terhadap p2 dengan batas pdari p(0) sampai dengan p(x) dan suku kiri terhadap xdengan batas xdari 0 sampai denganx, maka akan diperoleh,
p2|pp((0)x)= −ZR A2M g " 4f0 D Tambx| x 0−( T(0)−Tamb α ) h (exp−αx)ix 0 ! M2 # . (3.15)
• Dengan memasukkan nilai batas integralnya, maka akan diperoleh persamaan akhir untuk menghitung distribusi tekanan yang hanya bergantung pada jarak saja, yaitu : p(x)= q p(0)2−KM2, (3.16) dengan K= ZR A2M g " 4f0 D Tambx+( T(0)−Tamb α )(1−exp −αx) !# .
3.2
Model Keadaan Transien
Berbeda dengan keadaan tunak, keadaan transien merupakan keadaan yang bergantung pada jarak dan waktu. Pada Persamaan energi (2.48), akan dijabarkan panas per unit massa per unit satuan luas (qρA) yang terjadi pada sistem dengan kondisi transien. Dengan mengasumsikan perpindahan panas yang terjadi hanya proses konduksi yang melewati dinding pipa dan konveksi yang terjadi antara par-tikel fluida di dalam pipa, yang dapat mengakibatkan perpindahan panas dari gas ke lingkungan sekitar (Gambar 3.3).
Dengan menggunakan konsep fluks pada proses konduksi dan asumsi seperti yang telah disebutkan di atas, maka didapatkan persamaan,
qρAdx=qkonduksi|x−qkonduksi|x+dx−qkonveksi . (3.17)
Konduksi adalah perpindahan panas melalui media diam yang diakibatkan oleh aktivitas partikel dan energi yang berpindah dari partikel dengan temperatur yang lebih tinggi ke partikel dengan temperatur yang lebih rendah. Dengan demikian, panas yang terjadi akibat proses konduksi menurutFourier’s law of cooling, dapat
Gambar 3.3: Perpindahan Panas Konveksi dan Konduksi di dalam Pipa. dituliskan ke dalam bentuk persamaan,
q=−λ∂T
∂x , (3.18)
dengan λadalah konduktivitas bahan yang dilalui panas. Lalu, Persamaan (3.18) dan (3.8) akan disubstitusikan ke dalam Persaman (3.17), sehingga menjadi,
qρAdx=−λ∂T ∂x + λ ∂T ∂x + ∂ ∂x(λ ∂T ∂x) ! −kL(T−Tamb)dx,
dengan ∂x∂(λ∂T∂x) sebagai perubahan panas akibat konduksi sepanjangdx. Dengan menyederhanakan persamaan tersebut, akan diperoleh persamaan akhir yaitu :
qρAdx= ∂
∂x(λ ∂T
∂x)−kL(T−Tamb)dx. (3.19) Dengan mengkombinasikan antara Persamaan (2.48) dan (3.19), akan diperoleh
persamaan, ∂ ∂x(ρvACvT dx) | {z } 1 + ∂ ∂x( ρvAp ρ dx) | {z } 2 − ∂ ∂x λA ∂T ∂x dx ! | {z } 3 + kL| (T−{zTamb )dx} 4 + ∂ ∂t(ρACvT dx) | {z } 5 = 0. (3.20)
Akan diintegralkan tiap suku Persamaan (3.20) terhadap x, dengan x dari x =0 sampai x= L. Lalu dengan memasukkan data yang dibutuhkan pada hasil pengin-tegralan, akan dilakukan analisis dimensi untuk mendapatkan model yang lebih sederhana. Data masukan yang dibutuhkan adalah,
Besaran Keterangan Nilai Satuan
γg Specific Gravity gas 0,6538 −
P0 Tekanan di inlet 1146,17 psia
T0 Temperatur di inlet 306,48 0K
TL Temperatur di outlet 285,7 0K
Tamb Temperatur lingkungan 284,7 0K
R Konstanta gas universal 518,8 J/kg0K
Cv Specific Heat 1,759x103 J/kg0K
Cp Specific Heat 2,278x103 J/kg0K
kL Koef. perpindahan panas konveksi 25 W/m0K
L Panjang pipa 369000 m
D Diameter pipa 0,67945 m
Koef. kekasaran pipa 0,00001968 −
λ Konduktivitas bahan 3,4x10−2 W/m0K
Q Laju alir 8508791,67 m3/h
Tabel 3.1: Data Masukan.
Dari data masukan di atas, dapat dicari rapat massa, faktor deviasi, kecepatan suara, dan faktor gesekan dengan korelasi pada bab 2, yaitu :
Besaran Keterangan Nilai Satuan
ρ Rapat massa 69,51853 kg/m3
Z Faktor deviasi 0,8445 −
c Kecepatan suara 337,188 m/s
fg Faktor gesekan 0,008 −
Tabel 3.2: Hasil Perhitunganρ,Z,cdan fg.
Proses pengintegralan Persamaan (3.20) dan proses memberikan data yang ada di Tabel 3.1 dan 3.2 pada hasil pengintegralan adalah sebagai berikut :
1. L Z 0 ∂ ∂x(ρvACvT)dx ≈ ρQCv(T|x=L−T|x=0) ≈ 69,5×8508791,67 3600 ×1,759x10 3× −20,78 ≈ −6x109. 2. L Z 0 ∂ ∂x ρvAp ρ ! dx ≈ ρQZR(T|x=L−T|x=0) ≈ 69,5×8508791,67 3600 ×0,8445×518,8× −20,78 ≈ −1,5x109.
3. L Z 0 ∂ ∂x −λA ∂T ∂x ! dx ≈ −λA(∆T|x=L−∆T|x=0 ∆x ) ≈ −3,4x10−2×π 40,67945 2×(0,56−23,93) ≈ 4,36x10−5,
Dengan∆T|x=0dan∆T|x=Ldiperoleh dari selisih nilai temperatur pada keadaan tunak di titikx=0 danx=L.
4. L Z 0 kL(T−Tamb)dx ≈ kLL(T−Tamb) ≈ 25×369000×(306,48−284,7) ≈ 2x108. 5. L Z 0 ∂ ∂t(ρACvT)dx ≈ ρACvL ∆T ∆t ≈ 69,5×π 40,67945 2×1759×369000× 5 3600 ≈ 2,2x107,
Dengan memisalkan penambahan temperatur yang terjadi adalah 50K dalam waktu 1 jam.
Dengan melihat hasil pengintegralan di atas, akan dilakukan analisis di-mensi, yaitu dengan mengabaikan suku yang nilainya sangat kecil dibandingkan
dengan nilai yang lainnya, dalam arti nilai tersebut sangat kecil pengaruhnya. De-ngan demikian, suku ke empat akan diabaikan, karena nilainya terlalu kecil diban-dingkan dengan nilai suku lainnya, sehingga akan didapatkan penyederhanaan dari Persamaan energi (3.20) menjadi,
∂ ∂t ρAdx(CvT)+ ∂ ∂x " ρvAdx CvT+ p ρ !# =−kL(T−Tamb)dx. (3.21)
Dengan mensubstitusikan p=c2ρ dan m(x,t)=ρ(x,t)v(x,t) ke dalam Persamaan (3.21), maka model aliran transien dengan pipa horizontal dapat direpresentasikan oleh persamaaan berikut :
∂ρ ∂t +∂∂x(m) =0, ∂m ∂t + ∂ m2 ρ +c2ρ ∂x = −fgm|m| 2Dρ , ∂ ∂t ρACvT+∂x∂ h mACvT+c2 i =−kL(T−Tamb) . (3.22)
3.3 Metode Numerik
Pada subbab ini akan dibahas skema numerik yang akan digunakan pada Persamaan (3.22) untuk mengetahui distribusi aliran yang bersifat transien sepan-jang pipa. Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu mengenai analisis dimensi, syarat awal dan syarat batas.
3.3.1 Analisis Dimensi
Analisis dimensi yang dilakukan disini adalah mengubah besaran menjadi besaran tidak berdimensi dengan tujuan menyederhanakan model yang akan dise-lesaikan secara numerik. Akan dilakukan analisis dimensi pada Persamaan (3.22),
dengan memilih beberapa besaran sebagai acuan. Untuk besaran panjang, dipilih panjang pipa (L) sebagai acuan, lalu untuk rapat massa dipilih rapat massa di in-let (ρ0) sebagai acuan, sedangkan untuk temperatur dipilih temperatur lingkungan
(Tamb) sebagai acuan dan untuk kecepatan dipilih kecepatan suara (c) sebagai acuan. Selain itu, ada besaran yang dibuat tak berdimensi terhadap besaran acuan yang telah ditentukan di atas, seperti fluks massa, besaran ini akan dibuat tak berdimensi terhadap fluks massa di inlet (m0) dengan m0 = ρ0c. Selain itu, besaran waktu,
besaran ini akan dibuat tak berdimensi terhadap t0 dengan t0=L/c. Apabila ruas
kanant0=L/cdikalikan dengan ρρ00, makat0= Lρm00. Secara umum, analisis dimensi
dapat diringkas sebagai berikut :
ex= x L, eρ= ρ ρ0, e T = T Tamb, em= m m0, et= t t0 .
Dengan mensubstitusi besaran yang telah dibuat tak berdimensi pada Persamaan (3.22) yang pertama, diperoleh
∂eρ ∂et +
∂em
∂ex =0. (3.23) Sedangkan dengan mensubstitusikan besaran yang telah dibuat tak berdimensi un-tuk Persamaan (3.22) yang kedua, diperoleh
∂me ∂et + ∂meeρ2+eρ ∂ex = −L fgem|m|e 2Deρ . (3.24) Dan yang terakhir, akan disubstitusikan besaran yang telah dibuat tak berdimensi untuk Persamaan (3.22) yang ketiga, dengan sebelumnya membuat persamaan terse-but menjadi lebih sederhana, yaitu dengan membagi persamaan terseterse-but dengan
ACv, sehingga menjadi, ∂ ∂t ρT+ ∂ ∂x " m T+ c2 Cv !# = −kL ACv(T−Tamb) .
Akan dibuat pemisalan, yaitu λ1= c
2
Cv danλ2=
kL
ACv. Dengan mensubstitusikanλ1, λ2, dan besaran yang telah dibuat tak berdimensi, maka akan diperoleh
∂eρTe ∂et + ∂meTe+ λ1 Tamb ∂ex =− λ2t0 ρ0 e T−1 . (3.25)
Persamaan (3.23), (3.24) dan (3.25) memuat semua variabel yang sudah tidak berdi-mensi lagi. Ketiga persamaan tersebut yang akan digunakan dalam skema numerik. Namun, untuk kemudahan notasi, tandae.akan dihilangkan, sehingga penulisannya menjadi, ∂ρ ∂t +∂m∂x =0, ∂m ∂t + ∂ m2 ρ +ρ ∂x = −L fgm|m| 2Dρ , ∂ρT ∂t + ∂m T+ λ1 Tamb ∂x =− λ2t0 ρ0 (T−1) . (3.26)
3.3.2 Syarat Awal
Dalam melakukan proses numerik, dibutuhkan syarat awal. Pada kasus ini, proses aliran bersifat tunak pada kondisi awalnya. Oleh karena itu, keadaan tunak digunakan sebagai syarat awal. Proses aliran bersifat tunak dalam arti sifat flui-danya tidak mengalami perubahan terhadap waktu. Apabila direpresentasikan ke dalam bentuk persamaan, maka menjadi
∂ρ ∂t =0, ∂m ∂t =0, ∂(ρT) ∂t =0. (3.27)
Akan disubstitusikan Persamaan (3.27) ke dalam Persamaan (3.26), yaitu menjadi ∂m ∂x =0, ∂ m2 ρ +ρ ∂x = −L fgm|m| 2Dρ , ∂m T+ λ1 Tamb ∂x =−λρ20t0(T−1) . (3.28)
Dari Persamaan (3.28) yang pertama, ∂m∂x = 0 memberi arti bahwa fluks massa bernilai konstan sepanjang pipa, karena yang diketahui adalah nilai fluks massa di inlet yaitum0, maka untuk keadaan tunak nilai fluks massa sepanjang pipa
konstan sebesar nilai fluks massa di inlet yaitu m0. Dengan hubungan antara fluks
massa dan laju alir, akan diperoleh distribusi laju alir sepanjang pipa untuk keadaan tunak. Distribusi laju alir untuk keadaan tunak bersifat konstan sepanjang pipa, sama seperti nilai fluks massa untuk keadaan tunak.
Sedangkan untuk Persamaan (3.28) kedua, ∂ m2 ρ +ρ ∂x = −L fgm|m| 2Dρ dengan meng-gantimdenganm0diperoleh
−m02lnρ+1
2ρ
2= −L fgm02x
2D +C . (3.29) Dengan mensubstitusi ρ0=1, maka akan diperolehC=1/2, sehingga apabila
di-substitusikan ke dalam Persamaan(3.29) diperoleh persamaan akhir, yaitu : f(ρ)= 2Dlnρ L fg − D L fgm02 ρ2−1−x=0. (3.30)
Masalah di atas sama dengan mencari akar fungsi terhadapρ. Dalam tugas akhir ini, digunakan metodeNewton Raphsonuntuk mencari akar fungsi terhadapρ, de-nganxyang merupakan panjang pipa akan dibagi menjadi beberapa segmen,
misal-kan J segmen, dengan tiap segmen mempunyai panjang∆x. Dengan proses terse-but dan hubungan antara rapat massa dan tekanan yang direpresentasikan melalui persamaan keadaan, maka akan diperoleh distribusi tekanan sepanjang pipa un-tuk keadaan tunak (Gambar 3.4). Distribusi tekanan unun-tuk keadaan tunak bersifat menurun sepanjang pipa.
Gambar 3.4: Tekanan pada Keadaan Tunak.
Dan terakhir untuk persamaan (3.28) ketiga, ∂m
T+ λ1
Tamb
∂x =−λρ20t0(T−1)
de-ngan menggantimdenganm0, diperoleh
m0ln(T−1)=−λρ2t0
0 x+C. (3.31)
Dengan mensubstitusikan temperatur di inlet yang telah dibuat tak berdimensi yaitu T = T0
Tamb, maka diperolehC=m0ln
T
0
Tamb−1
, sehingga apabila disubstitusikan ke dalam Persamaan (3.31) dan membentuk kedalam fungsi temperaturT terhadap x,
diperoleh persamaan akhir, yaitu :
T(x)=1+exp−ρλ02mt00x T0 Tamb −1
!
. (3.32)
Dengan Persamaan (3.32) akan diperoleh distribusi temperatur sepanjang pipa pada keadaan tunak (Gambar 3.5). Distribusi temperatur bersifat menurun menuju temperatur lingkungan, setelah mencapai temperatur lingkungan, nilai temperatur tidak dapat turun lagi.
Gambar 3.5: Temperatur pada Keadaan Tunak.
3.3.3 Syarat Batas
Pada dasarnya syarat batas diperoleh dari masalah di lapangan. Dalam tu-gas akhir ini, syarat batas yang diketahui adalah nilai laju alir di inlet dan di outlet (Gambar 3.6) dan (Gambar 3.7) , yang akan dikonversikan ke dalam fluks massa.
Gambar 3.6: Laju Alir di Inlet Waktu Simulasi 7 jam.
Data diberikan pada Tabel 3.3. Selain itu, diketahui juga syarat batas untuk tempe-ratur di inlet yaitu bernilai konstan.
Waktu Laju Alir di Inlet Laju ALir di Outlet Satuan
0−1 jam 204.211 191.42 MMS CF/D
1−2 jam 204.780 175.192 MMS CF/D
2−3 jam Turun secara linear 166.53 MMS CF/D
3−4 jam 0 176.556 MMS CF/D
4−5 jam 0 163.224 MMS CF/D
5−6 jam Naik secara linear 166.564 MMS CF/D
6−7 jam 285.620 160.842 MMS CF/D
Tabel 3.3: Syarat Batas.
Untuk nilai yang tidak diketahui pada batasnya, dalam kasus ini adalah ra-pat massa (ρ) dan (ρT) di outlet, dapat diperoleh dengan cara diskritisasi Persamaan (3.26) untuk persamaan yang pertama dan ketiga. Sebelumnya Lyang merupakan panjang pipa akan dibagi menjadi beberapa segmen, misalkan J segmen, dengan
tiap segmen mempunyai panjang∆xdantyang merupakan waktu proses terjadinya transien akan dibagi menjadi beberapa segmen, misalkan N segmen, dengan tiap segmen mempunyai panjang∆t. Maka notasiρn0danρnJyang berturut - turut adalah rapat massa gas di inlet dan outlet pada waktu ke-n. Proses diskritisasi persamaan (3.26) untuk persamaan yang pertama dan ketiga, yaitu :
1. Diskritisasi untuk rapat massa (ρ) di inlet :
ρn0+1=ρn0+ ∆t ∆x
mn0−mn1 . (3.33)
2. Diskritisasi untuk rapat massa (ρ) di outlet :
ρnJ+1=ρnJ+ ∆t ∆x
mnJ−1−mnJ . (3.34)
3. Diskritisasi untuk (ρT) di outlet : ρn+1 J TJn+1 = ρnJ TJn − ∆∆tx h mn J Tn J + Tλamb1 − mn J−1 Tn J−1 + λ1 Tamb i − λ2t0 ρ0 TnJ − 1 ∆t. (3.35)
3.3.4 Skema
Lax-Wendro
ff
Pada sub bab ini, akan dijelaskan mengenai skema numerik yang digunakan dalam penyelesaian. Sebelumnya perhatikan Persamaan (3.26). Persamaan tersebut dapat ditulis ke dalam bentuk vektor seperti,
∂ ~U ∂t +
∂ ~F(U~)
Gambar 3.7: Laju Alir di Outlet Waktu Simulasi 7 jam. dengan ~ U= ρ m ρT , ~F(U~)= m m2 ρ + ρ mT + λ1 Tamb , ~r(U~)= 0 −L fgm|m| 2ρD −λ2t0 ρ0 (T − 1) .
Skema numerik yang akan digunakan merupakan skemaLax-Wendroffdua langkah, dengan stencil (Gambar 3.8). Adapun skemaLax-Wendroff dua langkah yaitu :
~ Un+1 j+12 = 1 2 ~ Unj+1+U~nj− ∆t 2∆x ~ FU~nj+1−F~U~nj+~r(U~nj)∆t, (3.37) ~ Unj+1=U~nj− ∆t ∆x ~ FU~n+1 j+1 2 −F~U~n+1 j−1 2 +~r(U~nj)∆t, (3.38)
dengan j=1,2, ...,J−1, dan ~ Un j = ρnj mnj ρnj Tnj , ~F n j(U~nj)= mnj mn j2 ρn j + ρ n j mnjTnj + λ1 Tamb , ~r(U~)= 0 −L fgmnjmnj 2ρn jD −λ2t0 ρ0 Tn j − 1 .
Gambar 3.8: Stencil SkemaLax-Wendroff Dua Langkah.
NotasiUnj menyatakan rapat massa (ρ), fluks massa (m) dan (ρT) di segmen ke-jpada step waktu ke-n.
