Learning Outcomes Ruang Contoh Kejadian Aksioma Peluang Latihan. Aksioma Peluang. Julio Adisantoso. 16 Pebruari 2014

(1)

Aksioma Peluang

Julio Adisantoso

(2)

Learning Outcome

Mahasiswa dapat memahami ruang contoh, kejadian, dan koleksi Mahasiswa dapat melakukan operasi himpunan kejadian

Mahasiswa dapat memahami aksioma peluang

Mahasiswa dapat menghitung nilai peluang dari suatu kejadian Mahasiswa dapat membuktikan teori peluang dengan menggunakan aksioma peluang

Outline

Ruang contoh, kejadian, dan koleksi Aksioma peluang

(3)

Ruang Contoh

Dalam suatu percobaan, kita tidak tahu dengan pasti apa hasil yang akan terjadi. Misalnya pada percobaan membeli lampu pijar, kita tidak tahu dengan pasti, apakah lampu tersebut baik (nyala) atau rusak (mati). Walaupun demikian, kita hanya bisa tahu semua kemungkinan yang akan terjadi. Himpunan dari semua kemungkinan yang akan terjadi pada suatu

percobaan disebutruang contohatausample space, dan sering

dilambangkan sebagaiS.

Definisi

Ruang contohSadalah himpunan dari semua peristiwa yang mungkin

(4)

Contoh

1 _{Jenis kelamin dari seorang bayi yang akan lahir dari seorang ibu,}

menghasilkan ruang contoh

S={L,P}

2 _{Tujuh kuda dalam arena balap, susunan atau urutan kuda memasuki}

garis finish menghasilkan ruang contoh

S={semua permutasi sebanyak 7! dari(1,2,3,4,5,6,7)}

3 Percobaan melempar dua koin mata uang, maka ruang contoh

percobaan tersebut adalah

(5)

Contoh

4 _{Percobaan melempar dua dadu berisi enam sisi, maka ruang contoh}

percobaan tersebut memiliki 36 unsur, yaitu

S={(i,j);i,j=1,2,3,4,5,6}

dimanaiadalah sisi yang muncul pada pelemparan pertama, danj

adalah sisi yang muncul pada pelemparan kedua.

5 _{Percobaan mengukur daya tahan (dalam jam) sebuah transistor, maka}

ruang contoh adalah semua nilai bilangan nyata non-negatif, yaitu

(6)

Kejadian

Subset atau himpunan bagian dari suatu ruang contoh disebutkejadian,

biasanya dinotasikan denganE.

Definisi

Suatu subset dari ruang contohS, termasukSdan∅, disebut kejadian (event).

Berikut beberapa contoh kejadian terkait dengan ruang contoh sebelumnya:

1 _Diketahui_S={L,P}_{. Jika}_E={L}_{, maka}_E_{adalah kejadian ibu}

melahirkan bayi laki-laki. Demikian pulaE={P}.

2 JikaE={semua urutan pemenangSdimana 3 adalah yang pertama}

makaEadalah kejadian urutan pemenang dimana kuda nomor 3

(7)

Kejadian

3 _Jika_E₌{(M,_M),_(M,B)}_{, maka}_E_{adalah kejadian dimana sisi}_M

muncul pada pelemparan pertama

4 JikaE={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, makaEadalah

kejadian bahwa jumlah sisi dadu yang dilempar dua kali adalah 7

5 _Jika_E={x;₀≤_x≤₅}_{, maka}_E_{adalah kejadian daya tahan transistor}

(8)

Operasi Himpunan

Untuk dua kejadianEdanFdari ruang contohS, kita dapat mendefinisikan

kejadian baru dengan menggunakan operasi himpunan, misalnya:

1 Operasi gabung.

Pada contoh 1, jikaE={L}danF={P}makaE∪F={L,P}.

Contoh lain, pada contoh 3, jikaE={(M,M),(M,B)}dan

F={(B,M)}, makaE∪F={(M,M),(M,B),(B,M)}

2 Operasi irisan.

Pada contoh 3, jikaE={(M,M),(M,B),(B,M)}dan

F={(M,B),(B,M),(B,B)}makaEirisanF, atau dinotasikan sebagai

EF(kadang ditulisE∩F), adalahEF=E∩F={(M,B),(B,M)}

3 Operasi komplemen_.

(9)

Operasi Himpunan terhadap Kejadian

Operasi suatu kejadian juga mengikuti kaidah dalam himpunan, yaitu:

Commutative. E∪F = F∪U EF = FE Associative. (E∪F)∪G = E∪(F∪G) (EF)G = E(FG)

(10)

Operasi Himpunan terhadap Kejadian

Distributive (E∪F)G = EG∪FG EF∪G = (E∪G)(F∪G) deMorgan n [ i=1 Ei !c = n \ i=1 Eic n \ i=1 Ei !c = n [ i=1 E_ic

(11)

Kejadian Terpisah dan Koleksi

Definisi

Dua kejadianAdanBdisebutterpisahataudisjointjikaA∩B=∅

Akibatnya, kejadian mustahil (∅) selalu terpisah dengan kejadian lain dan

kejadian mustahil itu sendirimutually disjoint. SedangkanStidak selalu

terpisah dengan kejadian lain

∅ ∩A = ∅ ∅ ∩ ∅ = ∅ S∩A 6= ∅

(12)

Aksioma Peluang

Definisi

Ambil ruang contohSdan koleksi kejadianEdalamS. Maka dibuat aksioma

(aturan main) tentang fungsi peluangPbahwa

1 Peluang suatu kejadian,P(E), bernilai 0≤P(E)≤1

2 _{Peluang ruang contoh,}P(S) =₁

3 _{Untuk semua kejadian yang}_{mutually exclusive E}₁_,_E₂_{, ... dimana}

Ei∩Ej=∅untuki6=j, maka P ∞ [ i=1 Ei ! = ∞ X i=1 P(Ei)

(13)

Aksioma Peluang

Contoh

Dalam percobaan melempar sekeping mata uang, diasumsikan bahwa

kemunculan sisi muka (M) sama dengan kemunculan sisi belakang (B). Oleh

karena itu,

P({M}) =P({B}) =1

2

Dengan kata lain, jika mata uang tidak seimbang dimana kemunculan sisi muka dua kali dari kemunculan sisi belakang, maka

P({M}) =2

3 danP({B}) = 1 3

(14)

Aksioma Peluang

Contoh

Jika sebuah dadu seimbang dilempar satu kali, maka kita memiliki

P({1}) =P({2}) =P({3}) =P({4}) =P({5}) =P({6}) = 1

6 Dari aksioma nomor 3, maka peluang munculnya sisi genap adalah

P({2,4,6}) =P({2}) +P({4}) +P({6}) = 3

6 =

1 2

(15)

Proposisi Aksioma Peluang

Beberapa proposisi sederhana akibat dari adanya aksioma peluang antara

lain adalah jikaPadalah fungsi peluang, dan kejadianA,B⊆Smaka:

1 P(∅) =0 2 P(A)≤₁

3 P(Ac) =1−P(A)

4 Jika_A⊆_B, makaP(A)≤P(B)

5 _P(B∩_Ac_{) =}_P(B)−_P(A∩_B) 6 P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)

(16)

Kemunculan Sama

Ambil suatu ruang contohSmemiliki banyaknya anggota sebanyakN, yaitu:

S={1,2, ...,N}danP({1}) =P({2}) = ... =P({N})

Dari aksioma peluang nomor 2 dan 3, maka

P({i}) = 1

N untuki=1,2, ...,N

Oleh karena itu, jika diasumsikan bahwa semua kemunculan dari suatu

percobaan adalah sama (equally likely outcomes), maka peluang suatu

kejadianEdapat dihitung dengan

P(E) = banyaknya unsurE

banyaknya unsurS =

n(E) n(S)

(17)

Latihan

Contoh

Jika dua dadu dilempar, berapa peluang bahwa jumlah sisi yang muncul adalah 7?

(18)

Latihan

Contoh

Jika 3 bola diambil ”secara acak” dari keranjang yang berisi 6 bola putih dan 5 bola hitam, berapa peluang diperoleh 1 bola putih dan 2 hitam?

(19)

Latihan

Contoh

Suatu tim beranggotakan 5 orang dipilih dari kelompok 6 laki-laki dan 9 perempuan. Jika pemilihan dilakukan secara acak, berapa peluang bahwa anggota panitia terdiri atas 3 laki-laki dan 2 perempuan?

(20)

Latihan

Contoh

Suatu keranjang berisinbola, satu diantaranya adalah berbeda. Jikakbola

(21)

Latihan

Contoh

Dalam permainanbridge, 52 kartu dibagi ke 4 pemain. Berapa peluang

bahwa

a) Seorang pemain mendapatkan 13spades.

(22)

Latihan

Contoh

Jika terdapatnorang di suatu ruangan, berapa peluang bahwa tidak ada dua

orang yang merayakan ulang tahun pada tanggal yang sama (asumsikan ada

365 hari dalam satu tahun)? Berapa nilainagar peluang tersebut bernilai

(23)

Latihan

Contoh

Suatu tim sepak bola terdiri atas 20 pemain penyerang dan 20 pemain bertahan menempati asrama, dimana satu kamar berisi 2 pemain. Jika dipilih secara acak, berapa peluang bahwa tidak ada pasangan pemain penyerang dan pemain bertahan berada di satu kamar?