Estimator Minimax Dan Estimator Bayes
Estimator Minimax Dan Estimator Bayes
DEFINISI DEFINISI
Fungsi Kerugian Fungsi Kerugian
Jika T adalah sebuah estimator dari
Jika T adalah sebuah estimator dari ( ( ), maka sebuah fungsi kerugian adalah suatu), maka sebuah fungsi kerugian adalah suatu fungsi bernilai real, L(t;
fungsi bernilai real, L(t; ), sedemikian sehingga :), sedemikian sehingga : L(t;
L(t; ))
0, untuk setiap t, dan 0, untuk setiap t, dan L(t; L(t; ) = 0, untuk t =) = 0, untuk t = ( ( )) DEFINISI DEFINISI Fungsi Resiko Fungsi ResikoFungsi resiko didefinisikan menjadi kerugian yang diharapkan, Fungsi resiko didefinisikan menjadi kerugian yang diharapkan,
R R TT(( )= E [L(T;)= E [L(T; )])] DEFINISI DEFINISI Estimator Minimax Estimator Minimax Sebuah estimator T
Sebuah estimator T11 adalah estimator minimax jika : adalah estimator minimax jika : Max Max (( )) 1 1 T T R R
Max R Max R TT ( ( )) Untuk setiap estimator T.Untuk setiap estimator T.
Estimator minimax adalah estimator yang meminimumkan resiko maksimum. Estimator minimax adalah estimator yang meminimumkan resiko maksimum.
Soal : Soal : Diketahui : Diketahui :
Sebuah random sample berukuran n =
Sebuah random sample berukuran n = 2 dari sebuah distribusi normal N(2 dari sebuah distribusi normal N(θθ ,1) dengan,1) dengan { θ { θ 00θθ1}1} Didefinisikan : Didefinisikan : 11 = = 11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x
2 2 1 1 2 2 4 4 3 3 4 4 1 1 x x x x
1 1 3 3 3 3 2 2 x x
3 3 2 2 4 4
11dan fungsi loss L(t , θ) = (t dan fungsi loss L(t , θ) = (t --θ)θ)22
Ditanya : tentukan
Ditanya : tentukan estimator minimaxestimator minimax
Jawab : Jawab : R R 11
E E [[ L L((t t ,, )])] = E [ L ( = E [ L ( 11,θ) ],θ) ] = E [ ( = E [ ( 11 22)) ]]22 2 2 1 1 2 2 1 1
xx x x = E = E (( 11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x
))22 -- 2 2 θ θ E E (( 11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x
) + E (θ) + E (θ22 ) ) = = var var (( 11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x
) + ( E () + ( E ( 11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x
) )) ) 22 – – 2 θ E (2 θ E ( 11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x
) + θ) + θ22 = = 44 11 var ( x var ( x11) +) + 44 11 var ( x var ( x22 ) + ( ) + ( 22 11 E ( x E ( x11 ) + ) + 22 11 E ( xE ( x22 ) ) ) )22 – – θ E (xθ E (x11)-)- θ E(xθ E(x22)+ θ)+ θ22
= = 44 11 . 1 + . 1 + 44 11 . 1 + ( . 1 + ( 22 11 . θ + . θ + 22 11 .. ))22 - - θ . θθ . θ-- θ . θ + θθ . θ + θ22 = = 22 11 + + 22 - - 22 -- 22 ++ 22 = = 22 11 R R 22 = E [ L = E [ L ( t,( t, ) ] ) ] = E [ L ( = E [ L ( 22 ,, ) ]) ] = E [ ( = E [ ( )) 4 4 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 xx x x
- - ] ]22 = E ( = E ( )) 4 4 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 xx x x
22 – – 2 2 E ( E ( )) 4 4 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 xx x x
+ E (θ+ E (θ22 ) ) 3 3 2 2 4 4
11dan fungsi loss L(t , θ) = (t dan fungsi loss L(t , θ) = (t --θ)θ)22
Ditanya : tentukan
Ditanya : tentukan estimator minimaxestimator minimax
Jawab : Jawab : R R 11
E E [[ L L((t t ,, )])] = E [ L ( = E [ L ( 11,θ) ],θ) ] = E [ ( = E [ ( 11 22)) ]]22 2 2 1 1 2 2 1 1
xx x x = E = E (( 11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x
))22 -- 2 2 θ θ E E (( 11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x
) + E (θ) + E (θ22 ) ) = = var var (( 11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x
) + ( E () + ( E ( 11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x
) )) ) 22 – – 2 θ E (2 θ E ( 11 22 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x
) + θ) + θ22 = = 44 11 var ( x var ( x11) +) + 44 11 var ( x var ( x22 ) + ( ) + ( 22 11 E ( x E ( x11 ) + ) + 22 11 E ( xE ( x22 ) ) ) )22 – – θ E (xθ E (x11)-)- θ E(xθ E(x22)+ θ)+ θ22
= = 44 11 . 1 + . 1 + 44 11 . 1 + ( . 1 + ( 22 11 . θ + . θ + 22 11 .. ))22 - - θ . θθ . θ-- θ . θ + θθ . θ + θ22 = = 22 11 + + 22 - - 22 -- 22 ++ 22 = = 22 11 R R 22 = E [ L = E [ L ( t,( t, ) ] ) ] = E [ L ( = E [ L ( 22 ,, ) ]) ] = E [ ( = E [ ( )) 4 4 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 xx x x
- - ] ]22 = E ( = E ( )) 4 4 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 xx x x
22 – – 2 2 E ( E ( )) 4 4 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 xx x x
+ E (θ+ E (θ22 ) )= = var var (( )) 4 4 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 xx x x
+ ( E (+ ( E ( )) 4 4 3 3 4 4 1 1 2 2 1 1 xx x x
))22 - -22 11 E ( x E ( x11 ) - ) -22 33 E ( x E ( x22 ) + ) + 22 = = 16 16 11 var (x var (x11) +) + 16 16 99 var (x var (x22) + () + ( 44 11 E (x E (x11) +) + 44 33 E (x E (x22) )) )22 --22 11 .. --22 33 .. ++ 22 = = 16 16 11 . 1 + . 1 + 16 16 99 . 1 + ( . 1 + ( 44 11 + + 44 33 ) )22 --22 11 22 --22 33 22++ 22 = = 16 16 10 10 + + 22 - 2 - 2 22++ 22 = = 88 55 R R 33(( )) = E [ L ( t, = E [ L ( t, ) ] ) ] = E [ L ( = E [ L ( 33 ,, )])] = E [ ( = E [ ( 11 33 22 x x - - ) ]) ] 22 = E = E (( 11 33 22 x x ))22 – – 2 2 E (E ( 11 33 22 x x ) + E () + E ( 22 ) ) = var ( = var ( 11 33 22 x x )+ (E ()+ (E ( 1 1 3 3 2 2 x x ) )) )22 - -33 44 E (x E (x11) +) + 22 = = 99 44 var (x var (x11) + () + ( 33 22 E (x E (x11) )) )22 - -33 44 .. ++ 22 = = 99 44 . 1 + ( . 1 + ( 33 22 .. ))22 - -33 44 22 + + 22 = = 99 44 + + 99 44 22 --33 44 22++ 22 = = 99 44 + + 99 44 22 - -99 12 12 22 + + 22 = = 99 44 + + 99 11 22 R R
)) (( 4 4 E [ L ( t, E [ L ( t, ) ] ) ] = E [ L ( = E [ L ( 44,, ) ]) ]= E [ ( 1 )]2 3 2
= E [ ( 3 2 ( 1 2 2 1 2 1 x x
)) - ]2 = E [( 3 1 x1+ 3 1 x2 ) - ]2 = E ( 3 1 x1+ 3 1 x2 )2 – 2 E ( 3 1 x1+ 3 1 x2 ) + E ( 2 ) = var ( 3 1 x1+ 3 1 x2 ) + ( E ( 3 1 x1+ 3 1 x2 ))2 - 1 ( 2) 2 3 2 ) ( 3 2 E x
E x
= 9 1 var (x1) + 9 1 var (x2) + ( 3 1 E(x1) + 3 1 E(x2) )2 -3 2 2 -3 2 2+ 2 = 9 2 + ( 3 1 + 3 1 )2 -3 4 2 + 2 = 9 2 + 9 4 2 -3 4 2 + 2 = 9 2 + 9 4 2 -9 12 2 + 2 = 9 2 + 9 1 2 Tabel : 1 2 3 4 R T 2 1 8 5 9 4
2 9 2
2 Max 2 1 8 5 9 5 9 3Jadi, estimator minimax adalah 4 =
9 3
karena merupakan nilai yang paling kecil dari estimator yang lain.
Tabel : 1 2 3 4 R T 2 1 8 5 9 4
2 9 2
2 Max 2 1 8 5 9 4 9 2Jadi, estimator maximin adalah 2
=
8 5
karena merupakan nilai yang paling besar dari estimator yang lain.
Soal :
1. diketahui : XiEXP() dengan 0 2, didefinisikan :
2 1 1 4 3 4 1 ˆ
x
x 3 2 1 2 2 1 4 1 4 1 ˆ
x
x
x 3 2 1 3 8 5 4 1 8 1 ˆ
x
x
x 3 2 1 4 6 2 6 1 2 1 ˆ
x
x
x Dengan loss function L
t ;
t
2Ditanya : Tentukan estimator minimax dan estimator maximinnya! Jawab :
2 var
i i x x E ˆ ˆ, 1 1 E RT
2 1, ˆ E
2 2 1 4 3 4 1
E x x
2 2 1 2 2 1 4 3 4 1 2 4 3 4 1 x x x x E
2 2 1 2 2 1 4 3 4 1 2 4 3 4 1 E x x E x x E
2 2 1 2 2 1 2 1 4 3 4 1 2 4 3 4 1 4 3 4 1var x x E x x E x x
E
2 2 1 2 2 1 2 1 4 3 4 1 2 4 3 4 1 var 16 9 var 16 1 E x E x E x E x E x x
2 2 2 2 4 3 4 1 2 4 3 4 1 16 9 16 1
2 2 2 2 2 16 10
2 8 5
ˆ ˆ , 2 2 E RT
2 2, ˆ E
2 3 2 1 2 1 4 1 4 1
E x x x
2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 4 3 4 1 2 2 1 4 3 4 1 E x x x E x x x E
2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1 2 1 4 3 4 1 2 2 1 4 3 4 1 2 1 4 3 4 1var x x x E x x x E x x x
E
2 2 2 2 2 2 1 4 3 4 1 2 2 1 4 1 4 1 4 1 16 1 16 1
2 2 2 2 2 16 6
2 8 3
ˆ ˆ , 3 3 E RT
2 3, ˆ E
2 3 2 1 8 5 4 1 8 1
E x x x
2 3 2 1 2 3 2 1 8 5 4 1 8 1 2 8 5 4 1 8 1 E x x x E x x x E
2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1 8 5 4 1 8 1 2 8 5 4 1 8 1 8 5 4 1 8 1var x x x E x x x E x x x
E
2 2 2 2 2 8 5 4 1 8 1 2 8 5 4 1 8 1 64 25 16 1 16 1
2 2 2 2 2 64 30
2 64 30
2 32 15
ˆ ˆ , 4 4 E RT
2 4, ˆ E
2 3 2 1 6 2 6 1 2 1
E x x x
2 3 2 1 2 3 2 1 6 2 6 1 2 1 2 6 2 6 1 2 1 E x x x E x x x E
2 3 2 1 2 3 2 1 3 2 1 6 2 6 1 2 1 2 6 2 6 1 2 1 6 2 6 1 2 1var x x x E x x x E x x x
E
2 2 2 2 2 6 2 6 1 2 1 2 6 2 6 1 2 1 36 4 36 1 4 1
2 2 2 2 2 36 14
2 36 14
2 18 7
1 ˆ ˆ2 3 ˆ 4 ˆ
T R 2 8 5 2 8 3 2 32 15 2 18 7 max 8 20 8 12 32 60 18 28Jadi estimator minimaxnya adalah ˆ2
1 ˆ ˆ2 3 ˆ 4 ˆ
T R 2 8 5 2 8 3 2 32 15 2 18 7 max 0 0 0 0DEFINISI Resiko Bayes
Untuk sebuah sampel acak dari f(x; ), resiko bayes dari sebuah estimator T relatif ke fungsi R T( ) dan pdf p ( ) adalah resiko rata-rata yang berhubungan dengan p( ),
AT= E [R T( )] =
p d RTJika sebuah estimator memiliki resiko Bayes terkecil, maka itu ditunjuk sebagai estimator Bayes.
DEFINISI
Estimator Bayes
Untuk sebuah sampel acak dari f(x; ), estimator Bayes T* relatif pada fungsi resiko R T( ) dan pdf p( ) adalah estimator dengan resiko minimum yang diharapkan,
E [R T*( )] ≤ E [R T( )] Untuk setiap estimator T.
Dengan menggunakan contoh sebelumnya yaitu:
Sebuah random sample berukuran n = 2 dari sebuah distribusi normal N(θ ,1) dengan { θ 0θ1} Didefinisikan : 1 = 1 2 2 1 2 1 x x
2 1 2 4 3 4 1 x x
1 3 3 2 x
3 2 4
1dan fungsi loss L(t , θ) = (t-θ)2
dan diketahui Geo (0,4). Tentukan estimator Bayes !
Jawaban R 1 ( ) = 2 1 R 3 ( ) = 9 4
2 R 2 ( ) = 8 5 R 4 ( ) = 9 2
2 Geo (0,4) E( ) = 2,5 4 10 4 , 0 1 1
p Var ( ) = 3,75 ) 4 , 0 ( 4 , 0 1 1 2 2 2
p p p q A 1 ( ) = E (R 1 ( )) = E 2 1 2 1
A 2 ( ) = E (R 2 ( )) = E 8 5 8 5
A 3 ( ) = E (R 3 ( )) = E
9 4 2 = E
9 9 4 2 E
9 14 9 10 9 4 10 9 1 9 4 5 , 2 75 , 3 9 1 9 4 9 1 9 4 9 1 9 4 2 2 2
E VAR E A 4 ( ) = E (R 4 ( ))9 12 9 10 9 2 10 9 1 9 2 9 9 2 9 2 2 2
x E E E Jadi, estimator Bayesnya adalah
1 yaitu 1= 1 2 2 1 2 1 x x
. Soal : 1. Diket : Xi p ~ Unif (0,1)Estimator-estimatornya sebagai berikut : =
= +
=
Loss Function : L ( ; p) = E (
Ditanya : Estimator bayes
( ) =E( = E ( -= E
= Var ( ) + - 2pE ( + E
= = = = p(1-p) – = E(( = E ( = Var = = = = E( = E( = = – 2p =
A = = = = = A = = = A A
TEOREMA BAYES ( DISKRIT)
A. Peluang Bersyarat
Definisi : Peluang bersyarat B, bila A diketahui dilambangkan denga n
) ( P A didefinisikan sebagai : 0 ) ( ; ) ( ) ( ) (
P A
A P B A P A B PB. Teorema Peluang Total
“ Bila ke jadian-kejadian B1, B2,
0 untuk i = 1, 2, 3,…, k, maka untuk sembarangkejadian A yang merupakan himpunan bagian S berlaku :
) ( ). ( ... ) ( ). ( ) ( ). ( )
( A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P Bk P A Bk
P
Bukti :
k B B
B1, ,...,2 , saling asing. Kejadian A dipandang sebagai B1
A, B2
A,..., Bk
A yang saling terpisah satu sama lain. Dengan kata lain :) ( ... ) 2 ( ) 1 ( B A B A B A A
k
) ( ... ) ( ) ( )( A P B1 A P B2 A P B A
P
k
) ( ). ( ... ) ( ). ( ) ( ). ( )( A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P Bk P A Bk
P
C. Teorema Bayes
„Jika kejadian-kejadian B1, B ,...,2 Bk merupakan sekatan dari ruang contoh S dengan P ( B)
0 untuk i = 1, 2, 3,…, k, maka untuk sebagai kejadian A yang) ( ). ( ... ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( 2 2 1
1 P A B P B P A B P Bk P ABk
B P Br A P Br P A B P
APLIKASI TEOREMA BAYES
1. Sebuah perusahaan memiliki 3 mesin, masing-masing M1,M2,dan M3. hasil dari masing-masing mesin itu berturut-turut H1,H2,dan H3. M1 menghasilkan 60% dari seluruh produksi, mesin M2 menghasilkan 25% dari seluruh hasil produksi,dan M3 menghasilkan 15%dari seluruh hasil produksi. Selanjutnya, berdasarkan ha sil pemeriksaan, diketahui bahwa 5% dari H1,2% dari H2,dan 8% dari H3 cacat.
a) jika suatu hasil produksi diambil secara acak, berapakah probabilitas hasil itu cacat?
b) Jika diketahui produk yang diambil itu cacat, berapakah probabilitas produk itu berasal dari M2?
Penyelesaian
Diketahui :P(H1) = 0,6 P(H2)= 0,25 P(H3)= 0,15
Misal jika A adalah kejadian cacat, maka:
3
0,08 02 , 0 ) 2 ( 05 , 0 1
H A P H A P H A Pditanya :a) P(A) b) P
H 2 A
a) P
A
P A
H 1
P A
H 2
P A
H 3
H 1 P
A H 1
P
H 2 P
A H 2
P
H 3 P
AH 3
P
047 , 0 08 , 0 15 , 0 02 , 0 25 , 0 05 , 0 6 , 0
b) P
H 2 A
A P A H P
2
A P H A P H P 2 2
106 , 0 047 , 0 02 , 0 25 , 0
2) Tiga anggota sebuah organisasi telah dicalonkan sebagai ketua. Peluang Yudi terpilih adalah 0,3.peluang Hadi terpilih adalah 0,5 dan peluang Yunus terpilih adalah 0,2. seandainya yudi terpilih , peluang terjadi kenaikan iuran anggota adalah 0,8.
seandainya Hadi atau Yunus terpilih, peluang kenaikan iuran anggota masing-masing 0,1 dan 0,4. jika seseorang bermaksud menjadi anggota organisasi tetapi ia menunda keputusannya beberapa minggu. Ternyata iuran anggota telah dinaikkan. Berapa peluang yunus terpilih menjadi ketua bagi organisasi tersebut?
Penyelesaian: Misalkan :
H1 : kejadian terpilihnya Yudi; P(H1) = 0,3 H2: Kejadian terpilihnya Hadi,P(H2) = 0,5 H3: Kejadian terpilihnya Yunus; P(H1) = 0,2 Jika A adalah kejadian iuran anggota dinaikkan
3
0,4 1 , 0 ) 2 ( 8 , 0 1
H A P H A P H A P ditanya : P
H 3 A
jawaban :
A P H A P H P A P A H P A H P 3
3
3 3
A H 1
A H 2
A H 3
A
A P A H 1
P A H 2
P A H 3
P
37 , 0 08 , 0 05 , 0 24 , 0 ) 4 , 0 ( 2 , 0 ) 1 , 0 ( 5 , 0 ) 8 , 0 ( 3 , 0 3 ) 3 ( 2 ) 2 ( 1 1
P H P A H P H P A H P H P AH
37 8 37 , 0 ) 4 , 0 ( 2 , 0 3 3 ) 3 (
A P H A P H P A H P DISTRIBUSI POSTERIORJika θ adalah variable random yang menjalani harga-harga θ1,θ2,…,θk dengan
probabilitas p(θ1), p(θ2),….p(θk). P(θt= θ j) , j= 1,2,3,…,k disebut distribusi prior awal untuk θt.andaikan informasi sample ditunjukkan oleh statistic Y. Probabilitas
P( Y =y / θt = θ j) disebut fungsi likelihood. Distribusi posterior θtyang dinyatakan oleh P( θt= θ j/ Y=y )adalah : P( θt= θ j/Y =y ) =
k j j t P j t y Y P j t P j t y Y P 1 ) ( ) / ( ) ( ) / ( P( θ j / y ) =
k j j P j y P j P j y P 1 ) ( ) / ( ) ( ) / ( Contoh soal :1. Dalam suatu kota diketahui bahwa 2% penduduknya mempunyai penyakit kanker dan 1% mempunyai penyakit TBC. Seorang diambil secara random dari populasi
penduduk kota tersebut kemudian dilihat kesehatan paru-parunya dengan menggunakan sinar-X. Tentukan distridusi posteriornya jika,
Tersedia informasi
a. probabilitas seseorang berpenyakit kanker akan mendapat sinar-X positif adalah 0,9 b. probabilitas seseorang berpenyakit TBC akan mendapat sinar-X positif adalah 0,95
c. probabilitas seseorang tanpa kanker atau TBC akan mendapat sinar-X positif adalah 0,07
Penyelesaian :
Misalkan ( =2 ) menyatakan seseorang mendapat kanker, ( =1 ) menyatakan seseorang mendapat TBC, ( =0 ) menyatakan seseorang bebas dari kedua penyakit tersebut. Dari informasi diatas didapat distribusi prior (awal) dari sebagai berikut.
P ( =0 ) = 0,97 P ( =1 ) = 0,01 P ( =2 ) = 0,02
Misal Y=1 jika sinar-X positif, dan Y=0 jika sinar-X negat if. Maka P ( Y=1 / =0 ) = 0,07
P ( Y=1 / =1 ) = 0,95 P ( Y=1 / =2 ) = 0,9
) 1 / 0 ( Y P = ) P( j) = 1/ = (Y P ) 0 P( 0) 1/ Y P( 2 0 j j
= ) 02 , 0 )( 9 , 0 ( ) 01 , 0 )( 95 , 0 ( ) 97 , 0 )( 07 , 0 ( ) 97 , 0 )( 07 , 0 ( = 0,7117 ) 1 / 1 ( Y P = ) 02 , 0 )( 9 , 0 ( ) 01 , 0 )( 95 , 0 ( ) 97 , 0 )( 07 , 0 ( ) 01 , 0 )( 95 , 0 ( = 0,099 ) 1 / 0 ( Y P = ) 02 , 0 )( 9 , 0 ( ) 01 , 0 )( 95 , 0 ( ) 97 , 0 )( 07 , 0 ( ) 02 , 0 )( 9 , 0 ( =0 1887,Probabilitas-probabilitas diatas menyusun distribusi posterior , yaitu distribusi probabilitas sesudah mengetahui hasil sinar-X.
2. Diketahui Dist. Prior untuk proporsi pada hasil yang cacat oleh sebuah mesin adalah p 0,01 0,05 0,1 0,25
f (p) 0,6 0,3 0,08 0,02
Tentukan dist. posterior untuk proporsi hasil yang cacat oleh mesin ini, jika suatu sample berukuran 5 diambil secara acak d an diambil 1 cacat. Dalam pengambilan sampel diassumsikan : a. setiap pengambilan independent
b. Proporsi cacat p dari trial ke trial sama
Penyelesaian :
Missal x menyatakan jumlah cacat dalam pengambilan n trial maka untuk kasus diatas fungsi likelihoodnya berdistribusi binomial yaitu :
) / ( x p
= x n x p p k n ) 1 ( = 4 ) 1 ( 1 5 p p f( 1/ 0,01) = 5.(0,01).(0.99)4 = 0,0480 f( 1/ 0,05) = 5.(0,05).(0,95)4 = 0,2036 f( 1/ 0,1) = 5.(0,1).(0,9)4 = 0,3280 f( 1/ 0,25) = 5.(0,25).(0,75)4 = 0,3955
Probabilitas posteriornya adalah :
) ( ). / ( ) ( ). / ( ) / ( p f p x f p f p x f x p f 232 , 0 ) 02 , 0 )( 3955 , 0 ( ) 08 , 0 )( 2380 , 0 ( ) 3 , 0 )( 2036 , 0 ( ) 6 , 0 )( 0480 , 0 ( ) 6 , 0 )( 048 , 0 ( ) 1 / 01 , 0 ( f 492 , 0 ) 02 , 0 )( 3955 , 0 ( ) 08 , 0 )( 2380 , 0 ( ) 3 , 0 )( 2036 , 0 ( ) 6 , 0 )( 0480 , 0 ( ) 3 , 0 )( 2036 , 0 ( ) 1 / 05 , 0 ( f 212 , 0 ) 02 , 0 )( 3955 , 0 ( ) 08 , 0 )( 2380 , 0 ( ) 3 , 0 )( 2036 , 0 ( ) 6 , 0 )( 0480 , 0 ( ) 08 , 0 )( 3280 , 0 ( ) 1 / 1 , 0 ( f 064 , 0 ) 02 , 0 )( 3955 , 0 ( ) 08 , 0 )( 2380 , 0 ( ) 3 , 0 )( 2036 , 0 ( ) 6 , 0 )( 0480 , 0 ( ) 02 , 0 )( 3955 , 0 ( ) 1 / 25 , 0 ( fDistribusi posteriornya
p 0,01 0,05 0,1 0,25 f(p/x=1) 0,232 0,492 0,212 0,064
DISTRIBUSI POISSON
Suatu variabel random dikatakan mempunyai distribusi poisson dengan intensitas per unit waktu jika P(r = r :t, ) = ! ) ( r t e t r , r = 0, 1, 2, 3, …. Dimana e =2,71829 Contoh soal:
Pemilik dealer ingin mengetahui sukses seorang kar yawan di dalam memasarkan mobil.
Ia membagi karyawanya dalam tiga kategori “Bagus”, “baik”, dan “kurang”. Seorang karyawan di sebut “bagus” jika rata-rata ia bisa menjual satu mobil setiap 2 hari, sedang
karyawan di sebut “baik” jika rata-rata ia menjual satu mobil dalam 4 hari, dan karyawan
dikatakan “kurang” bila rata-rata ia hanya dapat menjual satu mobil dalm 8 hari.Pemilik dealer baru saja mengankat seorang karyawan. Berdasarkan pengalaman masa lalu dan
hasil wawancara ia menyimpulkan bahwa kemungkinan ia karyawan “bagus” = 0.2 ia karyawan “baik” = 0,5 dan ia karyawan “kurang” = 0.3. tentukan Distribusi posteriornya,
jika dalam waktu 24 hari sesudah ia bekerja karyawan baru tersebut telah berhasil menjual 10 mobil ?
Penyelesaian
pemilik dealer mempunyai distribusi prior
P ( = 2 1 ) = 0.2 P( = 4 1 ) = 0.5 P( = 8 1 ) = 0,3
Kita menentukan fungsi likelihoodnya dengan r =10, t=24, jadi di dapat:
P(r = 10 :t =24, = 2 1 ) = ! 10 ) 12 ( 10 12 e = 0,1048 P(r =10 :t= 24, = 4 1 ) = ! 10 ) 6 ( 10 6 e = 0,0413 P(r = 10 : t = 24, = 8 1 ) = ! 10 ) 3 ( 10 3 e = 0, 0008
Dalam bentuk tabel disrtibusi posterior dapat di tentukan sebagai berikut
Probabitas prior likelihood (prob.
Prior)x(likelihood) Probabilitas posterior 2 1 4 1 8 1 0,2 0,5 0,3 0,1048 0,0413 0,0008 0,02096 0,02065 0,00024 0,501 0,493 0,006
1,0 0,04185 1,0
Jadi, dari tabel di atas di dapar d istribusi posteriornya adalah: 0,501 : 0,493 : 0,006 yang jumlahnya adalah 1.
BAYES UNTUK PEUBAH KONTINU
Dalam kasus kontinu, teorema Bayes dapat dinyatakan sbb :
Contoh :
Diberikan distibusi Prior untuk adalah f
21
;0 < θ < 1. ˆ menunjukkankontribusi kekuatan pemasaran merk baru suatu produk. Merk baru cukup banyak perbedaannya dengan merk lama. Diambillah suatu sampel dengan 5 konsumen produk
tersebut. Seseorang membeli merk baru. Empat lainnya membeli merk lama. Tentukan distribusi Posterior yang menunjukkan bahwa dari 5 konsumen terdapat 1 konsumen yang membeli merk baru !
Jawab :
Selidiki dulu apakah ˆ kontinu .
pemasaran merk baru berhasilberarti ˆ dekat dengan 1
pemasaran merk baru tidak berhasilberarti ˆ dekat dengan 0
d y f f y f f y f likelihood prior kepada likelihood prior kepada posterior kepada
/ / / ) ( ) tan ( ) ( ) tan ( tan pemasaran merk baru mungkin cukup berhasilberarti 0 < ˆ < 1
Berarti ˆ itu kontinu .
Kita menganggap bahwa proses pembelian produk ini dapat dipandang sebagai proses BERNOULLI dengan probabilitas bahwa seorang pembeli yang dipilih
secara acak akan membeli merk baru adalah ˆ. Hal ini berarti ada satu “sukses”
dalam 5 percobaan .
Yang berarti : dapat disajikan dalam bentuk fungsi likelihood sebagai distribusi BINOMIAL .
1 1 5 1 5 1 4 1 5 ) ˆ ; 5 / 1 ˆ ( ) ( y P r n f Distribusi Posteriornya adalah :
d y f f y f f y f
/ / /
1 4 42 42 1 1 4 1 0 1 4 1 4 1 4 5 1 0 1 2 1 4 5 ) 1 ( 2 d dApabila f(θ) dan f(y/θ) bukan merupakan fungsi matematik yang sederhana, maka kita akan kesulitan menyelesaikan pengintegralan penyebutnya. ]
Oleh karena itu, ada 2 solusi, diantaranya :
1.menggunakan pendekatan diskrit untuk model probabilitas kontinu
2.membatasi diri pada distribusi Prior dalam keluarga (sekawan) distribusi tertentu yang tergantung pada bentuk fungsi likelihoodnya
Sifat-sifat yang disenangi bagi keluar ga distri busi sekawan adalah : 1.secara matematik dapat ditelusuri
2.keluasan
3.mudah diinterpretasikan
Ingat !!!!!
Distribusi Prior SEKAWAN adalah “SEKAWAN” hanya terhadap fungsi likelihood yang dipunyai .
DISTRIBUSI PRIOR SEKAWAN UNTUK PROSES BERNOULLI
Anggota keluarga distribusi yang sekawan dengan proses Bernoulli adalah keluarga distribusi BETA .
Contoh :
Diketahui sampel random r i ~ BIN (r,1,p) ; i = 1, 2, 3, ..., n .
Jika dipilih distribusi Prior untuk p ~ BETA (p,r,n), maka tentukan distribusi posteriornya !
Jawab :
Bernoulli sebanyak n kali menjadi BIN (r,n,p).
p
n r pr r n p r f
1 ) / ( Fungsi likelihood :
pr p n r r n p y F i i i 1 ) / (
p
n y p y r n p n r p r r n i i i i
1 1 Prior untuk p ~ BETA (p,r,n)
p r p n n r n r p f
1 1 1 ) (
p
n pr n r n r
1 1 1 )! 1 ( )! 1 ( )! 1 ( ;
r i = y Distribusi Posterior yang diminta adalah :
f y p f p
dp p f p y f y p f
) ( ) / ( ) ( ) / ( ) / (
p
n n y p y r r y r n n r y r n n p n n y p y r dp p n n y p y r r y r n n r y r n n p n n y p y r dp p n n y p y r p n n y p y r dp p n pr n r n r p n y p y ri n p n pr n r n r p n y p y ri n
1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )! 1 ( )! 1 ( )! 1 ( 1 1 1 1 )! 1 ( )! 1 ( )! 1 ( 1Jadi, distribusi Posterior di atas berdistribusi ~BIN (y+r-1,
n +n+r-2 , p).Atau dapat dinyatakan pula sebagai~ NB (
n +n+r-2 , y+r-1 , p ). ; y =DISTRIBUSI PRIOR SEKAWAN UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF
Anggota keluarga distribusi yang sekawan dengan distribusi Bnomial Negatif adalah
keluarga distribusi BETA.
Contoh :
Diketahui sampel random r i ~ NB (n,r,p) ; i = 1, 2, 3, ..., n .
Jika dipilih distribusi Prior untuk p ~ BETA (p,r,n), maka tentukan d istribusi posteriornya !
Jawab :
Distribusi Binomial Negatif
pr
p
n r r n r n p n r pr r n p r n f
1 )! ( )! 1 ( )! 1 ( 1 1 1 ) , , ( Fungsi Likelihood
p
n r p r r n p y f i i i
1 1 1 ) / (
p
n y p y r n i
1 1 1 Prior untuk p ~ BETA (p,r,n)
p r p n n r n r p f
1 1 1 ) (
p
n pr n r n r
1 1 1 )! 1 ( )! 1 ( )! 1 ( Distribusi Posterior yang diminta
p
y n n p y r r y r n n r y r n n p n n y p y r dp p n n y p y r r y r n n r y r n n p n n y p y r dp p n n y p y r p n n y p y r
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
pr
p
n dp n r n r p n y p y r n p n pr n r n r p n y p y r n y p f i i
1 1 1 )! 1 ( )! 1 ( )! 1 ( 1 1 1 1 1 1 )! 1 ( )! 1 ( )! 1 ( 1 1 1 ) / (Jadi, distribusi Posterior di atas berdistribusi ~NB (
n +n+r-2 , y+r-1 , p ) . ; y =DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Distribusi eksponensial, mempunyai banyak aplikasi dalam statistika khususnya dalam teori reliabilitas dan waktu tunggu atau masalah ant rian. Anggota keluarga distribusi sekawan dengan distribusi eksponensial adalah distribusi chi-kuadrat.
Contoh :
Diketahui sample random x1, x2,…, xn. berdistribusi eksponensial (xi ~Exp(x)). Jika
dipilih distribusi prior chi-kuadrat, dengan derajad kebebasan k, parameter , tentukan
distribusi posteriornya? Jawab:
d f f f f f y y y ) ( ) (e
x
i xi f
1 ) ( Fungsi likelihoodnya :
n i ie
xi x f 1 1 ) / ( =
e
xi n
1
) ( y f =
e
y n 1 , untuk y =
n i i x 1 Kepadatan priornya :e
k k k f 2 2 2 2 12
1 ) (
Maka distribusi posteriornya :
