PENERAPAN DISTURBANCE COMPENSATING MODEL PREDICTIVE CONTROL
(DC-MPC) PADA KENDALI GERAK KAPAL
Nama
:
Sari Cahyaningtias
NRP
:
1211 201 208
Jurusan
:
Matematika
Dosen Pembimbing
:
Subchan, Ph.D
ABSTRAK Pada penelitian ini dibahas perma-salahan pengendalian manuver kapal dengan mempertim-bangkan empat derajat kebebasan, yaitu: yaw, roll, sway, dan surge dengan rudder sebagai kendali pada sistem. Mo-del dinamik manuver kapal membentuk sistem persamaan diferensial tak linier. Pengendalian sistem gerak kapal di-lakukan dengan metode Disturbance Compensating Model Predictive Control(DC-MPC). Metode DC-MPC diterapk-an dengditerapk-an membentuk kompensasi kendali dditerapk-an dilakuk-an optimasi dengdilakuk-an mempertimbdilakuk-angdilakuk-an gdilakuk-anggudilakuk-an ydilakuk-ang ada. Selanjutnya kompensasi kendali optimal digunakan sebagai faktor yang mempengaruhi batas atas pada kendala ke-k. Kompensasi kendali optimal digunakan juga sebagai faktor pengaruh hasil output dari kendali optimal pada proses opti-masi dengan metode Model Predictive Control (MPC). Ha-sil analisis penerapan DC-MPC menunjukkan bahwa gang-guan yang diberikan dapat diminimumkan pengaruhnya ter-hadap perilaku gerak kapal, sehingga pergerakan kapal re-latif stabil dan mengikuti referensi lintasan.
Kata Kunci:MPC, DC-MPC, kompensasi kendali, manu-ver kapal, gangguan laut
1. PENDAHULUAN
Indonesia merupakan negara kepulauan dengan dua pertiga wilayah berupa lautan. Sehingga diperlukan adanya pertah-an dpertah-an keampertah-anpertah-an ypertah-ang kokoh terutama pada wilayah lautpertah-an yang membentang luas dari sabang sampai Merauke. Da-lam hal ini, kapal merupakan salah satu pilihan tepat untuk transportasi industri (dalam bidang perdagangan) ataupun patroli rutin wilayah laut. Oleh karena itu diperlukan ada-nya tingkat keamanan serta akurasi yang tepat dalam perge-rakannya. Mengingat wilayah laut rentan terhadap berba-gai gangguan lingkungan untuk itu dibutuhkan pengendali-an terhadap gerak kapal agar dapat menjaga kestabilpengendali-an di lautan.
Ketika melakukan manuver di lautan, sebuah kapal mempunyai enam derajat kebebasan [4]. Pergerakan ini berpusat pada tiga sumbu utama, antara lain: sumbu longitudinal (dari buritan ke depan), sumbu transversal (samping), dan sumbu normal bumi (atas ke bawah). Pada masing-masing sumbu ini terdapat gerakan rotasi serta translasi. Gerakan pada sumbu longitudinal adalah surge sebagai translasi dan roll sebagai rotasi. Sedangkan pada
sumbu transversal adalah sway (translasi) dan pitch (rotasi). Dan heave dan pitch masing-masing sebagai translasi dan rotasi pada sumbu normal bumi. Umumnya, sistem gerak kapal yang digunakan adalah tiga derajat kebebasan yaitu surge, yaw, dan sway. Pada saat kecepatan surge, sway, dan yawtak terkendali, dapat menghasilkan gerakan lain seperti pitch, heave,dan roll yang dapat menyebabkan guncangan keras dan kerusakan kargo pada kapal [6].
Selain pengendalian gerak kapal, dalam praktek lapangan masalah lain yang membawa dampak besar dalam sistem kendali kapal adalah gangguan lingkungan. Terdapat tiga macam gangguan lingkungan di lautan, antara lain: gelombang, angin, dan arus laut. Umumnya ken-dala ini diabaikan karena kompleksitas struktur interaksi gelombang laut itu sendiri. Dalam penelitian ini, faktor lingkungan yang diperhitungkan adalah gelombang laut yang dibangkitkan oleh angin. Faktor ini dipilih karena secara fisik berhubungan langsung dengan gerak kapal dan menjadi faktor dominan diantara kedua faktor yang lain.
Metode pengendali yang banyak dikembangkan dibidang kendali sistem kapal adalah Model Predictive Control (MPC). Penerapan metode ini, dapat memenuhi permasalahan berdasarkan analisis hasil simulasi pada penelitian-penelitian terdahulu.
DC-MPC merupakan pengembangan dari MPC Model Predictive Control, berbasis pada kontrol umpan balik (feedback control). Metode ini merupakan salah satu alter-natif penyelesaian desain kendali lanjutan untuk mengatasi gangguan yang diberikan secara langsung. Pada metode ini, dilakukan pendefinisian gangguan yang diberikan pada sistem terlebih dahulu. Kemudian dilakukan optimasi pada sistem sehingga mendapatkan disturbance compensating, kompensasi gangguan. Proses inilah yang membedakan dari MPC pada umunya, kompensasi gangguan yang diperoleh selanjutnya dijadikan input pada algoritma MPC. Ide pengembangan metode DC-MPC diperkenalkan oleh Li dan Sun (2012) dalam penelitiannya mengenai ship heading control. Pada penelitian tersebut dilakukan perbandingan dengan metode-metode MPC yang telah ada sebelumnya. Hasilnya, DC-MPC dapat mengatasi masalah gangguan lingkungan sehingga gerakan kapal dapat dikendalikan sesuai kendala yang ditetapkan.
Sedangkan Model yang digunakan dalam penelitian ini adalah model tak linier dengan mempertimbangkan
empat derajat kebebasan, yaitu yaw, surge, sway, dan roll. Diasumsikan bahwa pitch dan heave tidak mempengaruhi manuver kapal.Model tak linier empat derajat kebebasan adalah model paling komprehensif yang dipaparkan dalam literatur-literatur terbuka, dan dapat mencakup fundamental karakteristik dari dinamik kapal dan menuju ketelitian yang lebih memuaskan [5].
Ruang lingkup penelitian ini, dikembangkan pada sistem kendali gerakan kapal dengan empat derajat kebebasan. Kapal yang bergerak dengan kecepatan tinggi di lautan maka, kecepatan Berdasarkan uraian diatas maka pada penelitian ini, akan dikaji mengenai pengendalian gerakan kapal di permukaan laut. Penelitian ini akan dikembangkan pada lintasan yang ditentukan dengan menerapkan metode DC-MPC. Selanjutnya dilakukan simulasi dan analisis untuk mendapatkan keakuratan metode yang diterapkan.
Permasalahan yang akan diambil dalam tesis ini adalah Bagaimana penerapan Disturbance Compensating Model Predictive Control (DC-MPC) untuk kendali kapal.Bagaimana hasil simulasi serta analisis penerapan Disturbance Compensating Model Predictive Control (DC-MPC)untuk kendali kapal.
Permasalahan pengendalian kapal telah banyak di-kaji diberbagai penelitian. Pada tahun 2013 Syaifuddin melakukan penelitian pengendalian haluan kapal dengan menerapkan metode MPC. Pada penelitian tersebut model matematika yang dipilih adalah Model penurunan Nomoto orde satu dengan mempertimbangan satu derajat kebebasan yaitu yaw. Simulasi dilakukan pada kapal perang convert sigma. Selanjutnya, pengembangan penelitian tentang pengendalian haluan kapal dilakukan oleh Fauziyah (2013). Pengendalian dilakukan dengan menerapkan metode ga-bungan MPC-KF sebagai pembanding metode sebelumnya. Permasalahan yang dikaji pada penelitian tersebut dibatasi pada tiga derajat kebebasan dengan kontrol input berupa sudut kemudi.
Manfaat dari Penelitian ini adalah Memberikan metode alternatif yang lebih baik dalam kendali kapal dengan memperhitungkan faktor gangguan dari lingkungan. Selain itu dapat digunakan sebagai dasar pada pengembangan penelitian terkait dibidang desain kendali kapal di lautan.
2. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini diberikan beberapa teori yang digunakan sebagai teori pendukung dalam tesis ini.
2.1. Model Matematika Manuver Kapal
Secara umum model matematika untuk sistem gerak kapal memiliki enam derajat kebebasan, yaitu sway, pitch, yaw, heave, roll, serta surge. Gerakan translasi antara lain: sway (gerakan kesamping), surge (gerakan longitudinal),heave (gerakan vertikal). Sedangkan gerakan rotasi (putarannya) adalah yaw (rotasi pada sumbu vertikal), roll (rotasi pada
sumbu/gerak longitudinal), dan pitch (rotasi pada sumbu transversal/ gerakan kesamping) [4]. Sebagaimana dapat terlihat pada 1 sebagai berikut:
Gambar 1: Definisi Gerak Kapal
Pada penelitian ini, model matematika untuk sistem ge-rak kapal dilautan adalah dengan mempertimbangkan em-pat derajat kebebasan. Model ini berbentuk sistem tak linier dan merupakan salah satu model kapal komprehensif yang di berikan pada literatur bebas. Model ini menggambark-an karakter dasar dari sistem dinamik kapal dmenggambark-an memiliki keakuratan yang lebih memuaskan.
Pada penelitian ini, model matematika untuk sistem persamaan gerak kapal dibentuk dengan mempertimbangk-an empat derajat kebebasmempertimbangk-an. Model matematika dalam pe-nelitian ini didefinisikan sebagai berikut [4]:
(m0+ m0x) ˙u0− (m0+ m0 y)v0r0= X0 (m0+ m0y) ˙v0+ (m0+ m0x)v0r0+ m0ya0y˙r0− m0 yly0p˙0= Y0 (Ix0 + Jx0) ˙p0− m0xIx0u0r0− W0GM0φ = K0 (Iz0 + Jz0) ˙r0− m0ya0y˙v0= N0− Y0x0G (1) ˙ ψ0 = r0cos φ0 ˙ φ0 = p0 (2)
dengan X0, Y0, N0, K0merupakan gaya dan momen hi-drodinamika kapal. Selanjutnya dari Persamaan (1) dida-patkan laju untuk perubahan keadaan kecepatan surge ( ˙u0), kecepatan sway ( ˙v), kecepatan sudut yaw ( ˙r0), dan kecepat-an sudut roll ( ˙p0). Sehingga didapatkan sistem persamaan manuver kapal yang terdiri dari enam variabel keadaan dan satu kendali input.
2.2. Gangguan Lingkungan pada Kapal
Sekitar sistem merupakan faktor terkuat yang mempenga-ruhi kestabilan sistem tersebut [8]. Ketika bermanuver, se-buah kapal akan berinteraksi dengan lingkungan. Sehingga
gangguan lingkungan merupakan faktor yang harus diperhi-tungkan khususnya pada kapal tanpa awak. Tipe dari gang-guan lingkungan di laut antara lain: gelombang, angin, dan arus laut [4]. Pada penelitian ini, gangguan yang diberik-an berasal dari gelombdiberik-ang laut. Gdiberik-anggudiberik-an ini, merupakdiberik-an akibat dari pergerakkan angin sehingga menimbulkan ge-lombang pada permukaan laut.
Dalam penelitian ini, gangguan pada kapal disebabkan oleh gelombang (ombak) dalam bentuk orde satu. Persa-maan gelombang yang memenuhi gerakan surge, sway,yaw dan roll adalah [4]
Xwave = ρgBLT cos (β)Ak sin (ωt)
Ywave = −ρgBLT sin (β)Ak sin (ωt)
Nwave =
1
24ρgBL L
2− B2 sin (2β)Ak sin (ωt)
(3)
Kwave0 = 0 (4)
dengan ω adalah frekuensi gelombang terhadap sistem di-namika kapal (ω = 0, 1), Ak nilai amplitudo gelombang setelah dikalikan faktor pengali RAO (Response Amplitude Operation(Ak = 0, 001), β merupakan sudut datang ge-lombang. Diasumsikan bahwa untuk gaya luar searah sumbu-x untuk gerak rotasi tidak dipengaruhi oleh gelom-bang laut, sehingga Kwave = 0. Dari Persamaan (3)
dida-patkan vektor gangguan untuk dinamika posisi kapal u0wave vwave0 r0wave p0wave φ0wave ψwave0 = −2.32 · 10−4+ 1.70 · 10−4sin(0.1t)+ −1.416 · 10−5sin(0.1t)+ −1.002 · 10−4sin(0.1t)+ 0+ 0+ 0 9.537 · 10−6(sin(0.1t))2 1.6 · 10−6(sin(0.1t))2 1.789 · 10−3(sin(0.1t))2 0 0 (5) 2.3. Konsep Linierisasi
Pelinieran adalah proses hampiran persamaan diferensial tak linier dengan bentuk linier. Keuntungan dari sistem per-samaan linier adalah secara analitik menarik sehingga ba-nyak sistem berbentuk linier atau didekati secara linier [8]. Pada penelitian ini, sistem dinamik kapal yang berbentuk taklinier sehingga perlu dilinierkan terlebih dahulu sebelum dianalisis lebih lanjut dengan melakukan proses pelinieran. Secara umum, bentuk persamaan linier dari suatu sis-tem adalah sebagai berikut:
˙
x = Ax + Bu y = Cx + Du
dengan x adalah variabel keadaan, ˙x menunjukkan perubah-an keadaperubah-an dperubah-an u adalah kontrol input dari sistem. Sedperubah-angk- Sedangk-an y adalah keluarSedangk-an (output) sistem dSedangk-an A, B, C, dSedangk-an D
adalah koefisien pembobot.
Pelinieran dilakukan dengan ekspansi deret Taylor di-sekitar titik kesetimbangan. Didefinisikan suatu sistem per-samaan diferensial tak linier sebagai berikut:
dx
dt = f (x, y) (6)
dy
dt = g(x, y) (7)
dengan f dan g adalah fungsi-fungsi tak linier. Jika (x0, y0)
adalah titik setimbang dari persamaan (6) dan (7), maka: f (x0, y0) = 0
g(x0, y0) = 0
Selanjutnya, akan dicari pendekatan sistem linier jika (x, y) di sekitar (x0, y0). Dengan melakukan ekspansi deret
Ta-ylordi sekitar titik (x0, y0) maka persamaan menjadi:
dx dt = f (x0, y0) + ∂f ∂x|(x0,y0)(x − x0) + ∂f ∂y|(x0,y0)(y − y0) + 1 2!( ∂2f ∂x2(x − x0) 2+ 2 ∂2f ∂x∂y(x − x0)(y − y0) + ∂2f ∂x2(y − y0) 2) + ... (8) dy dt = g(x0, y0) + ∂g ∂x|(x0,y0)(x − x0) + ∂g ∂y|(x0,y0)(y − y0) + 1 2!( ∂2f ∂x2(x − x0) 2+ 2 ∂2f ∂x∂y(x − x0)(y − y0) + ∂2f ∂x2(y − y0) 2) + ... (9) misalkan: x − x0= u dan y − y0= v dengan u dan v
ada-lah error yang cukup kecil, maka perkalian antara keduanya akan menghasil sesuatu yang sangat kecil (mendekati nol). Sehingga suku-suku dengan derajat lebih besar dari dua da-pat diabaikan.
dengan demikian persamaan diatas menjadi:
du dt = ∂f ∂x|x0,y0u + ∂f ∂y|x0,y0v dv dt = ∂g ∂x|x0,y0u + ∂g ∂y|x0,y0v ) (10) Persamaan (10) dapat ditulis kembali dalam bentuk matriks sebagai berikut: du dt dv dt = " ∂f ∂x ∂f ∂y ∂g ∂x ∂g ∂y # |(x0,y0) u v (11)
Persamaan (11) adalah bentuk umum persamaan liniear tan-pa kontrol input.
2.4. Model Predictive Control (MPC)
Dalam formulasi MPC terdapat beberapa asumsi yang di-buat yaitu model bersifat linear, fungsi objektif merupakan fungsi kuadratik, dan constraint berbentuk pertidaksamaan linear.
2.4.1. Model Predictive Control linear
Persamaan MPC untuk sistem linear diskrit memiliki ben-tuk umum sebagai berikut [10]
x(k + 1|k) = Ax(k|k) + Bu(k|k) (12)
dengan
x(k) : vektor state berdimensi-n pada saat ke-k u(k) : vektor kendali input berdimensi-r pada saat ke-k A : matriks ruang keadaan berdimensi n × n pada saat ke-k B : matriks input berdimensi n × r pada saat ke-k
x(k + 1|k): vektor keadaan pada saat ke (k + 1) yang dipe-ngaruhi oleh nilai state saat ke-k
Dalam tesis ini vektor state mengandung empat varia-bel (u, v, r, p, φ, ψ) dan vektor kendali input berupa sudut kemudi (δ).
Persamaan state space (12) merupakan kondisi yang ideal, karena sistem tersebut tidak terdapat gangguan (dis-turbance). Sebelum melangkah lebih jauh, hal pertama yang dilakukan adalah memprediksi nilai variabel keadaan dengan melakukan iterasi Persamaan (12). Perhitungan pre-diksi variabel state adalah sebagai berikut:
ˆ
x(k + 1|k) = Aˆx(k|k) + Bˆu(k|k) ˆ
x(k + 2|k) = Aˆx(k + 1|k) + Bˆu(k + 1|k) = A2ˆx(k|k) + ABˆu(k|k) + Bˆu(k|k) ˆ
x(k + N |k) = Aˆx(k + N − 1|k) + Bˆu(k + N − 1|k) = ANˆx(k|k) + AN −1Bˆu(k|k) + ...+
Bˆu(k + N − 1|k) (13)
untuk selanjutnya, penulisan ˆx(k|k) dapat ditulis ˆx(k). 2.4.2. Pembentukkan Fungsi Tujuan dan Kendala Dalam MPC didefinisikan fungsi objektif sebagai berikut [6] J(k) = n X i=1 ˆx(k + i)T Qˆx(k + i) + ˆu(k + i − 1)T Rˆu(k + i − 1)] (14)
Untuk membentuk fungsi objektif yang standar, didefinisik-an vektor ˆx(k + 1) dan ˆu(k)
ˆ x(k + 1) = ˆ x(k + 1) ˆ x(k + 2) .. . ˆ x(k + n) dan (15) ˆ u = ˆ u(k) ˆ u(k + 1) .. . ˆ u(k + n − 1) (16)
Sehingga dengan mensubstitusikan Persamaan (15) ke da-lam Persamaan (14), didapatkan kembali persamaan baru fungsi objektif sebagai berikut:
J(k) = ˆ u(k) ˆ x(k + 1) ˆ u(k + 1) ˆ x(k + 2) .. . ˆ u(k + n − 1) ˆ x(k + n) T R 0 0 0 · · · 0 0 0 Q 0 0 · · · 0 0 0 0 R 0 · · · 0 0 0 0 0 Q · · · 0 0 .. . ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 0 0 Q ˆ u(k) ˆ x(k + 1) ˆ u(k + 1) ˆ x(k + 2) .. . ˆ u(k + n − 1) ˆ x(k + n) (17)
dengan Q berukuran nxn, n adalah jumlah variabel keada-an dalam sistem. Sedkeada-angkkeada-an R berukurkeada-an mx1, m adalah jumlah kendali input dalam sistem. Dalam penelitian ini, terdapat enam variabel keadaan yaitu kecepatan surge (u), kecepatan sway (v), kecepatan sudut yaw (r), kecepatan su-dut roll (p), susu-dut roll (φ), dan susu-dut yaw (ψ). Keenam vari-abel keadaan ini dikendalikan oleh satu kendali yaitu sudut kemudi (δ).
Pada dasarnya sinyal dengan range yang tidak terba-tas sangat tidak realistis, karena dalam kondisi nyata semua proses memiliki batasan (constraints). Pada tesis ini, terda-pat dua constraint yaitu constraint pada state dan constraint pada pengendali sistem yang didefinisikan [10]
−f1≤ F1ˆx(k) ≤ f1 (18)
−f2≤ F2u(k) ≤ fˆ 2 (19)
dengan
F1merupakan matriks pertidaksamaan kendala untuk state
f1merupakan RHS pertidaksamaan kendala untuk state
F2merupakan matriks pertidaksamaan kendala untuk
ken-dali
f2RHS pertidaksamaan kendala untuk kendali
Sehingga optimasi pada MPC adalah meminimumkan per-samaan (14) dengan kendala Perper-samaan (18) dan (19). Se-lanjutnya penyelesaian optimasi ini dengan menggunakan quadratic programming [10]: meminimumkan fungsi ob-jektif
J = zTHz + gTz (20)
dengan kendala
Pz ≤ h (21)
dimana
z = [ˆu(k), ˆx(k + 1), ˆu(k + 1), ..., ˆu(k + n − 1), ˆx(k + n)]
H = R 0 0 0 · · · 0 0 0 Q 0 0 · · · 0 0 0 0 R 0 · · · 0 0 .. . ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 0 R 0 0 0 0 0 0 0 Q P = F2 0 0 0 · · · 0 0 0 F1 0 0 · · · 0 0 0 0 F2 0 · · · 0 0 .. . ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 0 F2 0 0 0 0 0 0 0 F1 Y = −B I 0 0 · · · 0 0 0 −A −B I · · · 0 0 0 0 0 −A · · · 0 0 .. . ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 0 −B I 0 0 0 0 0 0 −A g = 0 0 0 .. . 0 0 , h = f2 f1 f2 .. . f2 f1 , b = Aˆx(k) 0 0 0 .. . 0 0
2.4.3. Meminimumkan Fungsi Gangguan pada Kapal Perumusan kompensasi gangguan diadaptasi dari [6] seba-gai berikut:
Meminimumkan fungsi tujuan
k F1B∆u + F1w(k − 1) kˆ (23)
dengan kendala
F1B∆u ≤ −F1w(k − 1) − Eˆ (24)
F2∆u ≤ f2 (25)
E = max(C) dengan merupakan selisih antara gelom-bang laut ke-k dengan gelomgelom-bang laut estimasi ke-k − 1. Selanjutnya didapatkan keluaran berupa ∆u, kompensasi gangguan, nilai ini kemudian dijadikan faktor yang mem-pengaruhi batas atas dari kendala kontrol ke-k pada proses optimasi MPC.
Sehingga, optimasi pada MPC dari Persamaan (14) dengan
kendala pada Persamaan (19) dapat ditulis kembali seperti berikut: x (k | k) = x(k) (26) x (k + j + 1 | k) = Ax (k + j | k) + Bu (k + j | k)(27) F1x (k + j + 1 | k) ≤ D, j = 0, 1, ..., Np− 1 (28) F2u (k | k) ≤ f2− F2∆u∗ (29) F2u (k + j | k) ≤ f2 j = 1, ..., Np− 1 (30)
Persamaan (29) merupakan faktor yang dipengaruhi oleh kompensasi gangguan optimal sebelumnya. Sehingga ma-triks h pada persamaan sebelumnya menjadi:
h = f2− F2∆u∗ f1 f2 .. . f2 f1
Sehingga kendali optimal pada proses ini adalah u (k) = u∗(k | k) + ∆u∗.
3. METODE PENELITIAN 1. Studi Pendahuluan
Pada tahap ini, dilakukan studi literatur mengenai sistem gerak kapal, dan gangguan lingkungan baik melalui buku-buku, jurnal, laporan tugas akhir/ the-sis terdahulu ataupun artikel dari internet yang da-pat menunjang penelitian. Model yang didada-patkan adalah sistem gerak dengan empat derajat kebebas-an, yakni surge, sway, yaw, dan roll. Didapatkan juga gangguan terbesar dalam gerak kapal di lautan yaitu gelombang laut, sehingga dipilih sebagai gangguan yang mempengaruhi sistem gerak kapal. Kajian ten-tang metode kendali optimal, khususnya MPC. 2. Membentuk Model Kendali pada DC-MPC
Pada tahap ini, dilakukan pendefinisian model ma-tematika untuk sistem gerak kapal tak linier dengan empat derajat kebebasan. Kemudian dilakukan peli-nieran terhadap sistem dinamik dan pendiskritan un-tuk mendapatkan Model waktu diskrit. Terdapat sub tahapan dalam optimasi dengan metode DC-MPC, antara lain:
a Optimasi kendali kompensasi pada ganggu-an. Pada proses ini, terlebih dahulu dilakuk-an tahapdilakuk-an estimasi gdilakuk-anggudilakuk-an waktu ke-k − 1. Selanjutnya diminimumkan fungsi tujuan yang dibentuk. Optimasi ini dilakukan untuk memperoleh kompensasi kendali yang nanti-nya mempengaruhi kendali ke-k pada proses MPC.
b Optimasi yang kedua (MPC)dilakukan pada sistem persamaan gerak kapal. Pada tahapan ini, pertama kali yang perlu dilakukan adalah inisialisasi nilai awal dan membentuk batasan-batasan dari variabel keadaan dan kendali yang ada. Optimasi dilakukan dengan memasukkan kendali optimal untuk kompensasi gangguan dari tahapan sebelumnya. Optimassi pada di-lakukan dengan meminimumkan kuadrat error untuk mendapatkan kendali optimal waktu ke-k. Selanjutnya kendali input digunakan untuk mendapatkan kondisi saat ke-k +1 dari sini ak-an didapatkak-an error dengak-an membak-andingkak-an hasil prediksi dengan nilai referensi. Sehingga kembali dilakukan optimasi untuk mendapatk-an kendali optimal saat ke-k + 1.
3. Simulasi numerik dan analsis penerapan metode DC-MPC
Pada tahap ini, setelah didapatkan model kendali sis-tem maka dilakukan simulasi akhir dengan meng-gunakan software Matlab 2012 untuk mendapatk-an grafik pergerakkmendapatk-an kendali dmendapatk-an keluarmendapatk-an masing-masing variabel. Selanjutnya dilakukan analisis ter-hadap hasil simulasi yang diperoleh.
4. Penarikan kesimpulan dan saran
Pada tahap ini dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil penelitan yang telah dilakukan sebelumnya se-lanjutnya diberikan saran perbaikan yang dapat dila-kukan pada penelitian yang diladila-kukan sehingga dapat diperbaiki pada penelitian selanjutnya.
4. HASIL PENELITIAN
4.1. Model Dinamika posisi Kapal Tanpa Gangguan Dalam Tesis ini, kapal yang digunakan sebagai model ada-lah Kapal Kontainer [4]. Model dinamika kapal merupakan model non-linear dengan mempertimbangkan empat derajat kebebasan yaitu surge, sway, yaw dan roll. Sistem persa-maan tak linier ini akan dilinierkan untuk mendapatkan sis-tem baru yang lebih sederhana sehingga memudahkan da-lam proses analisis serta simulasi.
Sistem dinamika kapal didapatkan dengan melakukan pe-misahan laju perubahan keadaan pada Persamaan (1), se-hingga didapatkan laju kecepatan surge ( ˙u), laju kecepatan sway( ˙v), laju kecepatan sudut yaw ( ˙r) dan laju kecepatan sudut roll ( ˙p), sebagai berikut:
˙ u0 = (X 0+bv0r0) a ˙ v0 = 1 b Y 0+ d ˙p0− c ˙r0− au0r0 ˙ p0 = K0−W0GM0φ+d ˙v0+f u0r0 e ˙ r0 = N0−x0GY 0−c ˙v0 g (31) dengan a = m0 + m0 x, b = m0+ m0y, c = m0yα0y, d = m0 yl0y, e = Ix0 + Jx0, f = m0xIx0, g = Iz0 + Jz0.
Sedangk-an X0, Y0, K0, N0 adalah gaya dan momen hidrodinamika kapal, yang didefinisikan sebagai berikut:
X0= Xuu0 u02+ (1 − tt)0T0(J0) + Xvr0 v0r0+ Xvv0 v02+ Xrr0 r02+ Xφφ0 φ02+ CRX0 FNsinδ0 Y0= Yv0v + Yr0r + Yp0p + Yφ00φ0+ Yvvv0 v03+ Yvvr0 v02r0+ Yvrr0 v0r02+ Yvvφ0 v02φ0+ Yvφφv0φ02+ Yrrφr02φ0+ Yrφφr0φ02+ (1 + a0H)FNcos δ0 K0= Kv0v0+ Kr0r0+ Kp0p0+ Kφ0φ0+ Kvvv0 v03+ Kvvr0 v02r0+ Kvrr0 v0r02+ Kvvφ0 v02φ0+ Kvφφ0 v0φ02+ Krrφ0 r02φ0+ Krφφ0 r0φ02− (1 + a0H)z0RFNcos δ0 N0= Nv0v0+ Nr0r0+ Np0p0+ Yφ0φ0+ Nvvv0 v03+ Nvvr0 v02r0+ Nvrr0 v0r02+ Nvvφv02φ0+ Nvφφ0 v0φ02+ Nrrφ0 r02φ0+ Nrφφ0 r0φ02+ (x0R+ a0Hx0H)FNcos δ0 (32)
dengan F N adalah gaya normal rudder yang dapat didefi-nisikan sebagai berikut:
F N = − 6.13∆ ∆ + 2.25 AR L2 UR2+ VR2 sin (αR)
dengan AR adalah rudder area, ∆ adalah aspek rasio ru-dder, UR adalah perpindahan kecepatan rudder
longitudi-nal, VRadalah perpindahan kecepatan rudder lateral.
Persa-maan (1) dan (31) merupakan model matematika sistem per-gerakkan kapal yang selanjutnya akan dikendalikan dengan menerapkan metode DC-MPC. Metode DC-MPC yang di-terapkan adalah metode untuk sistem yang linier sehingga, terlebih dahulu dilakukan pelinieran terhadap sistem terse-but.
4.2. Pelinieran
Pelinieran dilakukan dengan matriks Jacobian terhadap titik-titik kesetimbangannya, (u0, v0, r0, p0, δ0, ψ0, φ0).
Pa-da kondisi setimbang, resultan kecepatan kapal dipengaruhi oleh kecepatan awal surge tanpa adanya perubahan kecepat-an baik untuk surge ataupun sway [4].
U =pu2+ v2=
q
(u0+ ∆u) 2
+ ∆v2 (33)
Pada keadaan setimbang, kapal berjalan konstan sesuai de-ngan kecepatan referensi yang diberikan. Pada konsisi ini, tidak terjadi perubahan kecepatan baik untuk surging atau-pun swaying. Sehingga titik setimbang untuk kecepatan surging = u0 = 15 knot dan untuk kecepatan swaying
v = 0. Sedangkan untuk gerakan rotasi juga tidak mengala-mi perubahan (diabaikan) dengan mempertimbangkan kon-disi tersebut, maka titik setimbang untuk variabel yang alain berturut-turut adalah r0= 0, p0= 0, φ0= 0, ψ0= 0 dan
Sehingga, didapatkan sistem linier dari sistem dinamika ka-pal pada Persamaan (1) dan (31) sebagai berikut:
˙ u0 ˙v0 ˙r0 ˙ p0 ˙ φ0 ˙ ψ0 = −0.3082 0 −0.0537 0 ... 0 −0.0060 −0.5437 −0.1316 ... 0 0.0177 0.0060 −0.0012 ... 0 3.6011 1.5192 −0.3628 ... 0 0 0 1 ... 0 0 1 0 ... 0 0 −2.3839 0 12.8332 0 −0.8191 0 0 0 0 0 u0 v0 r0 p0 φ0 ψ0 + 0 −0.4413 0.0183 1.7615 0 0 δ (34) Persamaan (34) adalah bentuk matriks ruang keadaan dari sistem dinamik kapal tak linier yang telah didefinisikan se-belumnya. Uji keterkontrolan dilakukan seblum melakukan pengendalian pada sistem. Diketahui bahwa rank dari ma-triks ruang keadaan adalah 6. sehingga sistem ini terkon-trol.Sebelum menerapkan metode DC-MPC pada sistem ini, terlebih dahulu dilakukan diskritisasi pada Persamaan (34). 4.3. Diskritisasi
Sebelum diskritisasi, terlebih dahulu dilakukan definisi ulang variabel keadaan: u = x1, v = x2, r = x3, p =
x4, φ = x5, ψ = x6 dan untuk kendali rudder δ =
u. Sehingga didapatkan vektor variabel keadaan x = [x1; x2; x3; x4; x5; x6] dan untuk kendali u. Proses
pendisk-ritan dilakukan dengan menerapkan metode beda maju, se-bagai berikut:
˙
x = x(k + 1) − x(k)
∆t (35)
dengan ∆t adalah waktu sampling. Diskritisasi dengan me-nerapkan beda maju, ditujukan untuk mendapatkan data pa-da saat k + 1 dengan pa-data papa-da waktu ke-k. Selanjutnya dengan menerapkan metode ini, maka persamaan (34) dida-patkan bentuk diskritnya sebagai berikut:
x1(k + 1) x2(k + 1) x3(k + 1) x4(k + 1) x5(k + 1) x6(k + 1) = 0.8459 0 −0.02681 ... 0 0.99699 −0.2719 ... 0 0.0088 1.0030 ... 0 1.8005 0.7596 ... 0 0 0 ... 0 0 0.5 ... (36) 0 0 0 −0.06578 −1.1919 0 −0.0006 6.4166 0 0.8186 −0.4095 0 0.5000 1 0 0 0 1 x1(k) x2(k) x3(k) x4(k) x5(k) x6(k) + (37) 0 −0.44197 −0.01829 1.76430 0 0 u (38)
4.4. Simulasi dan Analisis Penerapan DC-MPC pada Kendali Gerak Kapal
Setelah menganalisis beberapa tahapan dalam menyelesa-ikan masalah kendali haluan kapal dengan menggunakan MPC, kemudian dilakukan simulasi posisi kendali haluan kapal dengan menggunakan software MATLAB.
Dalam simulasi ini diberikan
ni-lai awal ¯x(0) = [u, v, r, p, φ, ψ] =
[5, 15 m/s; 0; 0, 001 rad/s; 0, 0001 rad/s; 0; 0] dan ˆ
u(0) = 0. Simulasi dilakukan 25 kali dan nilai Np
dipilih secara random. Tujuan dari penerapan DC-MPC adalah mengendalikan kapal agar semakin stabil, membuat kecepatan yaw, kecepatan roll, sudut yaw dan sudut kemudi kapal berada dalam syarat batas serta mengendalikan sudut haluan kapal menuju 0osekalipun dikenai gangguan berupa gelombang laut
Kapal diasumsikan bergerak dengan kecepatan awal surge10 knot. Dengan menggunakan acuan sudut haluan kapal (ψ) dihitung terhadap sumbu x bumi (Xe), sehingga
kapal dikendalikan untuk bergerak sejajar dengan sumbu x bumi, atau dengan kata lain sudut haluan mencapai 0o.
Setelah sudut haluan mencapai 0o kemudian kapal hanya
melakukan gerakan lurus kedepan dengan kecepatan surge sebesar 10 knot.
Nilai prediction horizon (Np) yang bervariasi dapat
mempengaruhi posisi haluan kapal, sehingga untuk meng-etahui seberapa besar pengaruh nilai Np terhadap haluan
kapal akan dilakukan simulasi dengan beberapa variasi nilai Np sedangkan parameter yang lainnya dibuat tetap.
Gambar (2) menunjukkan perbandingan sudut kemudi
0 5 10 15 20 25 30 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 Waktu Sudut Kemudi
Perilaku Kestabilan Sudut Kemudi dengan Jumlah NP Bervariasi
Batasan NP=35 NP=40 NP=60
Gambar 2: Perilaku Sudut Kemudi dengan Npbervariasi
terhadap waktu untuk jumlah Np yang bervariasi, yaitu:
perbedaan yang cukup kontras. Keadaan sudut kemudi dengan Np = 35 memperlihatkan perilaku tidak stabil
ketika diberikan gangguan dan sebelum detik ke-5 sudut kemudi bergerak diluar batas yang diberikan. Hal ini berbeda dengan kondisi Np = 40 dan 60 yang selalu
bergerak dalam batasan yang ada. Sudut kemudi mendekati referensi sudut berbeda bergantung pada horison prediksi yang diberikan. Nilai Np mempengaruhi lama tidaknya
berjalan mendekati titik referensi. Ketika jumlah Np = 40
sedikit lebih lama untuk mencapai kondisi stabil (mendeka-ti referensi sudut yang diberikan) yaitu pada waktu ke 4.8. Sedangkan untuk pemberian Np = 60 pada detik ke-3.8.
Gangguan yang diberikan, juga relatif tidak berpengaruh pada kestabilan sudut kemudi
0 5 10 15 20 25 30 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Waktu Kecepatan Yaw
Perilaku Kestabilan Kecepatan Yaw dengan Jumlah NP Bervariasi
NP=60 NP=40 Batasan NP=35
Gambar 3: Perilaku Kecepatan Sudut Yaw dengan Np
ber-variasi
Gambar (3)menunjukkan perbandingan kecepatan sudut yawing terhadap waktu untuk jumlah Np bervariasi,
yaitu Np = 35, 40, dan 60. Untuk kecepatan yawing
dengan jumlah Np sebesar 60, pergerakkannya mendekati
referensi yang diberikan pada waktu ke-4.9. Selanjutnya, tetap bergerak mendekati refensi sekalipun telah diberi gangguan. Demikian pula dengan Np40, bergerak ke arah
referensi meskipun sedikit lebih lama dari pada Np50 dan
60.
Gambar (4)menunjukkan tampilan fisik perbandingan kecepatan sudut rolling terhadap waktu untuk nilai Np35,
40, dan 60. Dari hasil simulasi terlihat bahwa untuk Np60
kecepatan rolling mencapai referensi sudut pada waktu ke-1.6 dan kemudian berjalan stabil mendekati nol (referensi sudut). Sedangkan untuk Np40, mendekati referensi pada
waktu ke-2.8 dan pada rentang 1.6-2.8 memiliki error yang cukup tinggi dengan referensinya. Pada kedua perlakuan ini, perilaku kecepatan sudut rolling masih berjalan dalam rentang batas yang diberikan, yaitu |p| ≤ 0.0106 rad/dtk berbeda dengan pemberian Npsebanyak 35.
Dari Tabel (4.1)-(4.3) terlihat bahwa nilai Np yang
bervariasi berpengaruh pada pergerakkan kapal. Semakin tinggi nilai Np yang diberikan maka akan semakin cepat
0 5 10 15 20 25 30 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 Waktu Kecepatan Roll
Perilaku Kestabilan Kecepatan Sudut Roll dengan Jumlah NP bervariasi
NP=60 NP=40 Batasan NP=35
Gambar 4: Perbandingan Perilaku Kecepatan Roll dengan NpBervariasi
mendekati referensi yang diberikan. Sedangkan pemberian Np 60, 65, 72 memberikan hasil yang sama baik untuk
sudut kemudi, kecepatan yawing, dan kecepatan rolling hal ini menunjukkan bahwa dengan pemberian Npsebanyak 60
telah dapat membuat sistem stabil dan berjalan mendekati referensi yang diharapkan.
5. PENUTUP
Dari analisis dan pembahasan yang sudah dilakukan, da-pat ditarik kesimpulan serta saran untuk pengembangan dan perbaikan penelitian tentang sistem kendali gerak kapal. 5.1. Kesimpulan
1. Metode DC-MPC dapat diterapkan dengan baik pada kendali sistem gerak kapal dengan gangguan berupa gelombang laut. Hal ini terlihat dari sistem terkenda-li secara baik dan berada didalam batasan yang dibe-rikan dengan membedibe-rikan Npyang sesuai. Dari
ha-sil simulasi pada Kapal Kontainer [4] menunjukkan semakin banyak jumlah prediksi horizon yang dibe-rikan dengan batas maksimal Np sebanyak 60
ma-ka semakin baik perilaku kestabilan sistem. Hal ini menunjukkan bahwa kemampuan DC-MPC dalam meminimumkan error teraplikasi dengan baik. Se-dangkan pengendalian gangguan yang diberikan de-ngan adanya kompensasi gangguan juga dapat meng-endalikan gangguan pada sistem dan gangguan luar yang diberikan.
2. Analisis hasil perbandingan pengendalian dengan pemberian gelombang antara DC-MPC dan MPC dengan gangguan (MPC-D) memperlihatkan bahwa metode DC-MPC lebih baik dalam mengendalikan gerak kapal, antara lain: 2 detik lebih cepat stabil jika dibandingkan dengan MPC-D sedangkan untuk pe-ngendalian kecepatan rolling dari detik pertama
sam-pai detik ke 30 simpangan terhadap referensi rata-rata 10−5 rad/dtk lebih baik (lebih kecil) dari MPC-D.
5.2. Saran
Saran yang diberikan penulis untuk penelitian kedepannya adalah sebagai berikut:
1. Pengembangkan bentuk model yang lebih mendeka-ti perilaku real kapal serta mempermendeka-timbangkan gang-guan lingkungan lain seperti arus air, angin.
2. Dalam penelitian ini, pengendalian dilakukan de-ngan memberikan kendali berupa sudut kemudi, se-hingga pada penelitian selanjutnya dapat menam-bahkan jumlah kendali.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bordons, C and Chamaco, E.F, 1999, Model Predicti-ve Control, Sevilla:Springer-Verlag London Limited. [2] Fauziyah, 2013, Aplikasi MPC-KF pada Kendali Ha-luan Kapal, Tesis Jurusan Matematika ITS, Suraba-ya.
[3] Fraga, R and Liu, S, An Adjective State-Space Fee-dback Autopilot for Ship Motion Control, JCET, Vol. 2, No.1 Hal 62-69. 2012
[4] Fossen, T.I., 1994, Guidance and Control of Ocean Vehicles, Hoboken :Wiley.
[5] Li, Z. e.a, 2010, Evaluation and Modification of a Robust Path Following Controller for Marine Surfa-ce Vessels in Wave Fields, Ship Research, 54(02), p: 141-147.
[6] Li, Z and Sun, J, Disturbance Compensating Model Predictive Control With Application to Ship Heading Control. IEEE Transaction On Control System Tech-nology, Vol. 20, No.1, Hal 257-267. 2012.
[7] Naidu, D. S., 2003, Optimal Control System, Idaho: CRC Press
[8] Subiono,2013,Sistem Linier dan Kontrol Optimal, Diktat Kuliah Jurusan Matematika ITS, Surabaya. [9] Syaifudin, W.H., 2013, Penerapan Metode MPC
pa-da Kenpa-dali Haluan Kapal, Tugas Akhir Jurusan Ma-tematika ITS, Surabaya.
[10] Wang, Y. dan Boyd, S., 2008, Fast Model Predicti-ve Control Using Online Optimization, Proceeding of The 17th World Congress, International Federa-tion of Automatic Control, p:6974-6979.
