Penerapan Model Predictive Control (MPC) pada Kapal Autopilot dengan Lintasan Tertentu

Abstrak—Permasalahan dalam kendali kapal salah satunya adalah path following. Path following bertujuan mengarahkan kapal untuk mengikuti jalur yang diinginkan. Pada makalah ini dikaji bentuk pengendali untuk memperkuat kendali terhadap masalah path following. Kapal yang menjadi objek penelitian pada makalah ini adalah kapal yang berjenis underactuated. Kapal underactuated merupakan kapal dengan jumlah variabel yang dikontrol lebih banyak dari jumlah aktuator, dimana aktuator adalah sebuah alat yang digunakan untuk mengontrol sebuah mekanisme atau sistem. Langkah pertama yang dilakukan adalah mentransformasikan model dinamik kapal terhadap lintasan sehingga didapatkan model dinamik kapal yang baru berupa error posisi kapal terhadap lintasan dan error orientasi (error sudut kapal). Selanjutnya digunakan pengendali MPC untuk menstabilkan gerak kapal..

Hasil simulasi menunjukkan bahwa dengan pengendali MPC, error dari path following konvergen ke nol dan kapal dapat mengikuti lintasan yang diharapkan.

Kata kunci—Kapal underactuated, Path following, Model Predictive Control (MPC)

I. PENDAHULUAN

NDONESIA merupakan salah satu negara yang sebagian besar wilayahnya adalah lautan yang membutuhkan sistem pertahanan keamanan kuat untuk menjaga keutuhan wilayah perairan. Salah satu upaya yang telah dilakukan adalah dengan meningkatkan patroli di perairan Indonesia. Selama proses patroli menggunakan autopilot, dimana lintasan kapal telah ditentukan sebelumnya.

Kapal didefinisikan sebagai alat yang bergerak pada permukaan laut yang memiliki 6 derajat kebebasan dalam bergerak yaitu surge, sway, heave, roll, pitch, dan yaw [1], akan tetapi pada makalah ini variabel yang dikendalikan hanya dalam dua derajat kebebasan yaitu surge dan yaw dengan asumsi gerak sway, heave, roll, pith tidak berpengaruh pada manuver kapal. Kapal yang dimaksud adalah kapal underactuated dimana jumlah variabel yang dikontrol lebih banyak daripada jumlah yang dikendalikan oleh aktuator [2]. Aktuator adalah sebuah alat yang digunakan untuk mengontrol sebuah mekanisme atau sistem Masalah utama dalam kendali kapal adalah trajectory tracking dan path following [3]. Trajectory tracking mengacu pada kasus bagaimana kapal melacak jalur referensinya, sedangkan path following bertujuan

mengarahkan kapal untuk mengikuti jalur yang diinginkan.

Trajectory tracking sangat tergantung pada model referensi sedangkan path following lebih cenderung untuk implementasi praktis seperti panduan (guidance) dan pengendalian kapal [4].

Dari tahun ke tahun, seiring dengan semakin berkembangnya keinginan untuk mencapai tingkat akurasi yang lebih tinggi dalam meyelesaikan permasalahan path following, semakin besar pula ketertarikan dalam menggunakan teknik kendali untuk menyelesaikan masalah ini. Banyak pendekatan yang dikenalkan dalam berbagai literatur, diantaranya pengendali backstepping yang digunakan Encarnacao dan Pascoal (2000) pada wahana dalam air dan Skjetne and Fossen (2001) untuk mengontrol kapal agar berada pada sebarang lintasan yang memungkinkan, serta pengendali state dan output feedback yang digunakan Do dan Pan (2004) untuk mengemudikan kapal permukaan underactuated mengikuti lintasan yang ada pada kecepatan maju konstan dengan mengabaikan gangguan lingkungan.

Pada makalah ini, penulis menggunakan model predictive control (MPC) untuk mengendalikan kapal autopilot.

Pemilihan teknik kendali MPC dikarenakan kendali ini dapat menangani sistem multivariabel. Penelitian ini di fokuskan pada kontrol momen yaw yang terjadi karena pergerakan kapal di lautan. Dengan menggunakan optimasi pada MPC akan disusun pengendali sehingga posisi kapal dapat mengikuti lintasan yang diharapkan.

II. GERAKKAPALDILAUTAN

Pada prinsipnya perilaku gerak kapal dibagi dalam enam-derajat kebebasan (six-degree of freedom) yaitu: surge, sway ,yaw, heave ,roll, dan pitch seperti pada Gambar 1.

Secara umum gerakan yang dialami sebuah kapal ketika melaju di lautan ada dua macam, yaitu gerakan translasi dan rotasi [1].

Gerak translasi kapal dibagi menjadi tiga, yaitu:

1. Surge (maju/mundur) 2. Sway (kanan/kiri) 3. Heave (atas/ bawah)

Gerak rotasi kapal dibagi menjadi tiga, yaitu:

1. Roll (gerakan maju)

Penerapan Model Predictive Control (MPC) pada Kapal Autopilot dengan Lintasan Tertentu

Siti Aminatus Sholikhah, Subchan. M.Sc. Ph.D. ^[1] dan Drs. Kamiran, M.Si.^[2]

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

Email: subchan@matematika.its.ac.id ^[1], kamiran@matematika.its.ac.id ^[2]

I

(1) ψ

ψ cos

cos

v

u

x= −

ψ ψ cos

cos

v

u

y= +

=r ψ

m v ur d m v m

22 22

22

11 −

−

=



( )

m r

m r uv d m

m

r m τ

33 33 33

33 22

11− − + 1

=



sin *_e t

e u

z = ψ

( )( ) m ^v

d u

u z

s c

u s c u u m r m

t e e t t

e

22 22 2

* 2

2

22

* 11

. 1 cos

1 −

− −



 



 −

= ψ

ψ

m v ur d m v m

22 22

22

11 −

−

=



( )

m r

m v uv d m

m

r m τ

33 22 33

33 22

11− − + 1

=



ze

z₁=

*

2 e

z =ψ 2. Pitch (gerakan memutar ke depan)

3. Yaw (gerakan memutar ke samping)

Gambar 1. Enam derajat kebebasan gerak kapal

III. MODELMATEMATIKAPERGERAKANKAPAL Model matematika kapal underactuated pada pergerakan surge, sway, dan yaw dengan surge konstan adalah sebagai berikut [4] :

dengan :

x = Berat kapal dan muatan surge

y = Berat kapal dan muatan sway

ψ = Sudut yaw pada sumbu bumi

u = Kecepatan surge

v = Kecepatan sway

r = Kecepatan yaw

(i =1,2,3)

m_ii = Inersia kapal termasuk pertambahan massa pada pergerakan surge, sway, dan yaw

(i =2,3)

d_ii = Peredam getaran hidrodinamik pada pergerakan sway dan yaw

τr = Momen yaw

Kerangka umum pada lintasan kapal ditunjukkan sebagai berikut :

Gambar 2. Kerangka umum pada lintasan kapal

Pada gambar 2,Ωmerupakan lintasan yang telah diketahui. M merupakan proyeksi orthogonal dari titik P kapal pada Ω. s merupakan jarak sepanjang lintasan antara

beberapa titik tetap pada lintasan dan M. x_ndan x_t

merupakan vektor normal dan vektor kemiringan pada M.

zemerupakan jarak antar M dan P, ψ_d merupakan sudut antara x_t danX_b. Misalkan u_t = u²+v² merupakan kecepatan total kapal. φmerupakan sudut antara kecepatan surge dan kecepatan total.

Berdasarkan parameter diatas, kinematik kapal (1) di transformasikan sebagai berikut:

Dengan ψ_e^* =φ+ψ −ψ_d merupakan orientasi error.

( )s

c merupakan kelengkungan lintasan pad titik M. z₁, z₂

merupakan sistem keluaran dan titik kesetimbangan sistem (2) adalah z_e =0,ψ_e^* =0. Keluaran referensi pada path following z_d =0.

Berdasarkan persamaan (2) didapatkan bahwaz_eharus distabilkan dengan menggunakan sudut ψ_e^*. Secara matematis memiliki arti bahwa z₁danz ₂ pada persamaan (2) harus menjadi satu persamaan, untuk itu didefinisikan ulang keluarannya (output-redefinition) dengan pendefinisian sebagai berikut

( )²

*

1 arcsin

e e e

kz w kz

+ +

Dimana k selalu konstan positif.

Dengan output-redefinition (3), sistem (2) dapat di tulis sebagai berikut:

(2)

( ) ( )²

*

2

*

1 cos 1

sin

e e e t e

e t e

kz w kz u kz

w z u

− +

= +



( ) ( )

( )( ) ( ) ^{m v}

d u

u kz

w w

kz z s c

u s c

kz w kz w kz

ku u

u m r m w

e t e e

e e t

e e e e e

t t

e

22 22 2 2

*

*

2

*

*

2 2 2

22

* 11

. 1

cos . sin

1

1

cos .sin

1 1

+ − +

− −

+

− + +



 



 −

=



m v ur d m v m

22 22

22

11 −

−

=



(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(15)

(16)

(17)

(11)

( )

m r

m r uv d m

m

r m τ

33 33 33

33 22

11− − + 1

=

 we

z=

IV. MODELPREDICTIVECONTROLUNTUKSISTEM NONLINEAR

Berdasarkan sistem nonlinier [5]:

dengan x∈Rⁿadalah vektor keadaan, u adalah input, dan y adalah output.

Fungsi objektif diberikan sebagai berikut:

( ) ( )

( ) (( ) ( ))

∫ ^{+ − + + − +}

= ^T yt wt ^T yt wt d

J 0 ˆ ˆ ˆ ˆ

2

1 τ τ τ τ τ

dengan T adalah waktu prediksi, yˆ(t+τ) adalah prediksi keluaran dan wˆ(t+τ) adalah sinyal referensi prediksi.

Kendali input u( )t diberikan sebagai nilai awal pada kendali optimal input uˆ(t+τ), 0≤τ ≤T dengan meminimumkn fungsi objektif pada persamaan (4), maka:

(t+τ) (=u t+τ)

u ˆ untuk τ =0

Optimasi pada MPC nonlinear diberikan oleh teorema berikut :

Teorema 1 [5] : Perhatikan sistem nonlinear (5) dan andaikan keluaran pada interval prediksi diprediksikan dengan menggunakan ekspansi deret taylor sampai order

+l

ρ ^dengan ρ merupakan derajat relatif. Untuk order kendali l≥0, optimasi dalam MPC nonlinier dengan meminimumkan fungsi tujuan (6) sebagai berikut :

( )^t (^{L L h}( )^x) (^{KM L h}( )^{x w[ ]}( )^t )

u =− _g ^ρ_f^{−1 −1} _ρ+ ^ρ_g − ^ρ dengan M_ρ∈R^mρ diberikan sebagai berikut :

( ) ( ) ( ) ^{[ ]}( ) ( ) ^{[ ]}( )^



















−

−

−

=

−

−hx w t

L

t w x h L

t w x h M

g f

1 1

1 1

...

ρ ρ

ρ

dengan K∈R^m×mρ, misal K matriks dipartisi

[ 0, 1,..., ₋1]

= k k k_ρ

K

Dengan k_i∈R^m×m,i=0,...,ρ −1. Subsitusi (9) dan (10) ke (8) maka persamaan (8) menjadi

( ) ( ( )) ( ( ) ^{[ ]}) ( ) ^{[ ]}( )_



 



 − + −

−

= ∑⁻

=

− − 1

0 1 1

ρ ρ ρ

ρ

i

f i i

f i f

gL hx k L hx w L h x w t

L t u

dengan [k0,k1,...,k_ρ−1] adalah baris pertama pada matriks

T l ll Γρ

Γ⁻¹ , yang diberikan sebagai berikut :

( ) ( )

( ) ( )













Γ Γ

Γ Γ

= Γ

+ + + + +

+ +

+ + + +

+

1 , 1 1

, 1

1 , 1 1

, 1

l l l

l

ll

ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ ρ

ρ











( ) ( )

( ) ( )













Γ Γ

Γ Γ

= Γ

+ + +

+ + +

1 , 1

,

1 , 1 1

, 1

l l l

ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ











( ) ( ) (1! 1) (! 1)'

1

, = − − + −

Γ ^{+ −}

j i j i

T^{i j}

j i

dengan T adalah waktu prediksi dan l adalah order kendali.

Derajat relatif sistem bertujuan untuk menentukan input u masuk ke dalam sistem.

Definisi 1 [6]: Sistem nonlinear (5) dikatakan mempunyai derajat relatif ρ ^{jika :}

(i) L_gL^k_fh( )x =⁰ untuk setiap x dipersekitaran x₀

dan k <ρ−1

(ii) L_gL^ρ_f⁻¹h( )x ≠0

Derajat relatif ρ pada sistem nonlinear (5) dikatakan didefinisan dengan baik (well defined) jika derajat relatifnya seragam untuk setiap x^.

Ketika derajat relatif ρ tidak didefinisan dengan baik maka L_gL^ρ_f⁻¹h( )x =0

Supaya dapat memahami sistem pada Persamaan (5), digunakan turunan Lie dengan menggunakan aturan rantai.

Definisi 2 [7]: Turunan Lie didefinisikan sebagai hasil kali

( )

x x h

∂

∂ dengan ^f( )^x atau secara umum ditulis:

( ) ( ) ( )^{f x}

x x x h

h L_f

∂

= ∂

dengan L_fh( )x diartikan sebagai turunan fungsi h atas vektor f.

Elemen dari turunan Lie adalah:

( )x x f h

i n

i i

∑ i

= ∂

∂

1

Definisi 3 [7]: Yang dimaksud dengan Lⁿ_fh( )x adalah:

( ) ( ( )) _{( )}

x x f

x h x L

h L

n n f

f ∂

= ∂

−1

dengan Lⁿ_fh( )x diartikan sebagai turunan ke-n fungsi h atas vektor f.

V. PEMBAHASAN

Berdasarkan persamaan (4) maka sistem tersebut dapat ditulis kembali sebagai berikut:

( ) ( ) ( )x h z

x g x f x

= +

= τ

 (4)

( ) ( ) ( )x h v

u x g x f x

= +

=

 (5)

(12)

(13)

(14)

dengan

















=

4 3 2 1

x x x x

x ^,

ℜ4

∈ x

( )

( )( ) ( )( )^















= x f

x f

x f

x f x f

4 3 2 1

, f( )x ∈ℜ⁴

( )

( )( ) ( )( )^















= x g

x g

x g

x g x g

4 3 2 1

,g( )x ∈ℜ⁴

, ∈ℜ1

=τ τ τ _r

( )= 2 = ^*, ( )∈ℜ¹

=h x x w h x

z _e

dan

( ) ( )1 ²

2 2 3 2 1 2 1

2 2 3 2

1

1

cos 1

sin

kx x x u kx kx

x x f u

+

− + +

= +

( ) ( )

( ) ( ) ( )1 ^{2 2 32 2222 3} 2

1 2 1

1 2 3 2 1

2 1

2 1 2 2 1

2 3 2

2 3 2

2

22 11 4 2

. 1

cos . sin

1

1

cos .sin

1 1

m x d x u

u kx

x x

kx x s c

x u s c

kx x kx x kx

x u k x u

u m x m f

− + +

+

−

− +

+

− +

+ +



 





− +

=

3 22 22 4 22 11

3 x

m ux d m f =−m −

( )

4 22 22 3 22

22 11

4 x

m ux d m

m

f =− m − −

Kendali input pada MPC nonlinear yang mengacu dari (11) maka diperoleh :

( ( )) ( ( ) ^{[ ]}) ( ) ^{[ ]}_



 



 − + −

−

= ∑⁻

−

− − 1

0 1 1

ρ ρ ρ

τ ρ

i

d f

i d i

f i f

g

r L L h x k L h x z L h x z

dengan

x2

h=

( ) ( ) ( )



 





− +

=

∂

=∑∂

=

2 3 2

2

22 11

33 1

1 1

x u

u m m m

x x g

x h x L

h L L

n

i

i i f f

g

Sesuai dengan Definisi 1 maka sistem mempunyai derajat relatif ρ =2 karena . Maka akan dicari nilai dari L_f²h( )x

sebagai berikut :

( ) ( ) ( )

( ( ) )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ( ) ) ( ^{( )}( ) )

( )

( )

( )



 



 − −



 





− + +



 



− −





















+

− + −

+

− − + + +





















− +

−

− + +

+ +









− +













− + + +

+ +

+





















+

− + +

− +

+ −

+

− +

−

=

∂

=∑∂

=

4 22 22 3 33

22 11 2 3 2

2

22 11

3 22 22 4 22 11

2 2 3 2 22

2 3 2 22 4 3 2 11

2 3 2 1

* 3 2

3 2 2 1

* 3

3 22 22 2 3 2

1

* 2 3 2

2 1

* 2 3 2

2 3 2

2

22 11 4

1

* 2 3 2

2 1

* 2 3 2

* 2 3 2

2 1 1

* 2 3 2

2 1

* 2 3 2 2

2 2 1

* 2 3 2 2

* 2 3 2 1 3 1 2

1 2

1

cos 1

sin .

1 cos 1

1 sin

1 sin 1

cos

sin

1 1

sin 1

cos 1

cos sin

2

m x ux d m

m m x u

u m m

m x ux d m m

x u m

x u u d x x u m

x u x s c

x s c x u kx

kx m x d x u

u

x s c

x u s c kx

x u k x u

u m x m

x s c

x u s c kx

x u k

x u

kx x s c

x u s kc x

s c

x u s c

kx

x u k x

u x k

x x f

x h x L

h L

e e

e e

e e

e e

e

e e

n

i

i i f f

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ ψ

ψ ψ

Keluaran referensi z_d =0maka turunan z_d sampai ρ

adalah

=0

=

= _{d d}

d z z

z  

Kendali input (18) dapat ditulis sebagai berikut :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ( )) ^{( )( ( ) ) (( )( ) ) ( )}( )

( ( )) ( ^{( )}( ) ) ( )

( )

( )























































 



 − −



 





− +













+

− + −

+

− − + + +

+













+

−

− +

−

− + +

+

− + + −













− +

− + + + +



 





− +













− + + + + +

+











 + +



 





− +

=

−

m r uv d m

m m v u

u m m

v u m

v u u d vr u m v u z s c

v s c v u kz v kv

u

kz z s c

v u s kc z s c

v u s c kz

v u k v u z k

m v d v u

u z s c

v u s c kz v u k v u

u m r m

z s c

v u s c kz v u k k kz k kz

v u

u m m m

e e e

e e

e e

e e

e e

e e

e

e e e

e

e e e

e e

e e

r

22 22

33 22 11 2 2

2

22 11

22 2 22

2 2 22 2 11 2 2

*

2 2 2

*

* 2 2

2

* 2 2

2

* 2 2 2

22

* 2 2 2

* 2 2 3

22 22 2 2

* 2 2 2

2

* 2 2

2 2

2

22 11

* 2 2

2

* 2 2

2 1

* 0

1

2 2

2

22 11 33

2 1

cos 1

sin sin

1 1

sin 1

cos 1

cos sin

2

1 sin 1

1 cos

1 sin 1

cos 1

arcsin

1

ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ ψ

τ (18)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ₁ ² ₃^{2 22}₂₂ ³

* 2 3 2

2 1

* 2 3 2

2 3 2

2

22 11 4

1

1 .

cos

1 1 sin

m x d x u

u x

s c

x u s c

kx x u k x u

u m x m

x x f

x x h

h L

e

e n

i

i i f

− +

− +

+ − + +



 





− +

=

∂

=∑∂

=

ψ

ψ

Parameter pengendali MPC yang digunakan adalah T=37.5 detik, l=6. Pada perhitungan (12)-(14) didapatkan nilai

365 ,

0 =0

k dan k₁ =1,0267.

VI. SIMULASINUMERIK

Dari hasil analisa pengendali MPC di atas, maka diperoleh hasil sebagai berikut:

A. Simulasi Error Path Following dan Output- redefinition

Parameter yang digunakan sesuai tabel 1 dengan waktu simulasi 20 detik dan grafik menunjukkan bahwa error posisi

ze, output-redefinition w_e^* dan error orientasi ψ_e^*

konvergen ke nol. Hasil simulasi ditunjukkan pada gambar 3, gambar 4, dan gambar 5.

Gambar 3. Grafik Error Posisi z_e

Gambar 4. Grafik Output-redefinition w^*_e

Gambar 5. Grafik Error Orientasi w_e^*

B. Simulasi Kecepatan Sway, Yaw dan Kendali Torsi Parameter yang digunakan sesuai tabel 1 dengan waktu simulasi 20 detik. Hasil simulasi ditunjukkan pada gambar 6, gambar 7, dan gambar 8.

Gambar 6. Grafik Kecepatan Sway

Gambar 7. Grafik Kecepatan Yaw Tabel1.

Data Parameter Sistem Kapal Underactuated

Parameter Nilai Parameter Nilai

U (m/s) 10

m22 (kg) 217.900

k 0,002

m33 (kg m²) 63.600.000

c(s) 0,0125

d22 (kg/s) 117.000

m11 (kg) 120.000

d33 (kg m²/s)

8.020.000