Bahan 4 Filter Butterworth dan Chebyshev

Bahan 4

Filter Butterworth dan

Chebyshev

Asep Najmurrokhman Jurusan Teknik Elektro

Pendahuluan

• _{Aproksimasi filter = proses mendapatkan} fungsi transfer filter yang memenuhi

spesifikasi filter-nya

• _{Filter yang dibutuhkan dan akan direalisasikan} memiliki karakteristik sedekat mungkin

dengan bentuk idealnya

• _{Fungsi Butterworth dan Chebyshev adalah dua} bentuk fungsi transfer yang biasa dipakai

dalam aproksimasi filter

Filter Butterworth

• Butterworth, insinyur berkebangsaan British, tahun 1930 menggunakan aproksimasi filter ini

• _{Istilah lain untuk filter Butterworth adalah}

maximally-flat filter yang dikenalkan oleh V. D.

Karakteristik Filter Butterworth

• Karakteristik transmisi menurun secara monoton (monotonically decreasing)

• _{Semua zero transmisi berharga tak hingga ( } = )

• _{All pole filter}

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 4

2 1 1   p   j T 

Fungsi Butterworth

• Filter Butterworth orde-N dengan ujung passband • _Pada

 

N p j T 2 2 1 1               p  p   





2 1 1    _p j T

Parameter Filter Butterworth

• Parameter  menentukan variasi maksimum di

daerah transmisi passband , sehingga

atau

• Deviasi maksimum di daerah passband terjadi

pada ujung passband => turunan fungsi Butterworth bernilai nol untuk  = 0

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 6 2 max  20log 1  A max A 1 10 10 max    A

Karakteristik Respon

• Respon filter Butterworth hampir rata (flat) untuk frekuensi dekat 0 dan menghasilkan bentuk respon maximally-flat

• _{Tingkat kerataan di daerah passband} berbanding lurus dengan orde filter

• _{Jika orde filter N semakin tinggi, maka respon} filter semakin mendekati karakteristik idealnya (brick-wall type)

Parameter Filter Butterworth

• Di ujung stopband , redaman filter Butterworth adalah

atau

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 8

s   

 

1 2 2 1 log 20                           N p s s A

 

                        N p s s A 2 2 1 log 10

Penentuan Orde Filter

• _{Penentuan orde filter = desain filter} Butterworth

• _{Spesifikasi filter :}

– Ujung passband

– Variasi maksimum di daerah passband

– Ujung stopband

– Peredaman minimum di daerah stopband

• Orde filter : Bilangan bulat terkecil N yang memenuhi p  max A s  min A

 

A_min A _s 

Contoh

Desain sebuah low pass filter Butterworth dengan spesifikasi sebagai berikut :

• ujung frekuensi passband 10 kHz

• variasi maksimum di daerah passband 1 dB • ujung frekuensi stopband 15 kHz

• _{redaman minimum di daerah stopband 25 dB}

Solusi

Spesifikasi :

= 1 dB, rad/s, = 25 dB, dan rad/s

Dari rumus didapat  = 0,5088.

Subsitusi  ke persamaan

dengan cara coba-coba didapat hasil untuk N

= 8 diperoleh ,dan untuk N = 9

menghasilkan

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 11

max A _{p  2  10}4 min A 3 10 15 2   _s 1 10 10 max    A

 

                        N p s s A 2 2 1 log 10

 

_s  25,8 A

 

_s  22,3 A

Mode natural Filter Butterworth

• Mode natural (pole) terletak pada lingkaran dengan jejari

dan terpisah sejarak

• Mode pertama terletak pada dari sumbu + • _{Karena semua mode natural memiliki jarak}

radial yang sama dari origin (titik asal), maka memiliki frekuensi yang sama

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 12

N p 1 1         N  N 2   j N p 1 1 0          

Plot pole filter Butterworth

N 2  N  N p 1 1        

Fungsi transmisi filter

• Mode natural (pole) : • _{Fungsi transmisi filter :}

dengan K adalah konstanta yang memenuhi spesifikasi dc gain filter

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 14

N p p p₁, ₂,

 





 

_N



N p s p s p s K s T       2 1 0

Contoh 2

Tentukan fungsi transfer filter dengan spesifikasi seperti pada contoh 1 dan memiliki dc gain = 1 Jawab : orde filter 9, dengan frekuensi dasar masing-masing pole

rad/s Pole pertama terletak di

4 3 0 6,773 10 5088 , 0 1 10 10 2 1 9 1 1                       N p



cos800 sin800



₀



0,1736 0,9848



0 1 j j p        

Contoh 2 (lanjutan)

Kombinasi dengan kompleks sekawannya

menghasilkan faktor di bagian penyebut fungsi transfer. Hal yang sama bisa

dilakukan untuk pole yang lain sehingga diperoleh fungsi transfer

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 16

1 p p9 2 0 0 2 3472 , 0     s s

 















2



0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 9 0 3472 , 0 1 531 , 1 8794 , 1                      s s s s s s s s s s T

Koefisien penyebut filter Butterworth

• _{Orde filter Butterworth => lokasi pole dapat} ditentukan langsung => penyebut fungsi

transmisi filter

• _{Rumus rekursif untuk menentukan koefisien} penyebut fungsi transmisi filter

dengan • Simetrik :





,... 2 , 1 , 2 sin cos 1 2 1           _  k a N m a N _k m k 1 0  a k N k a a  _

Prosedur desain Filter Butterworth

• Tentukan nilai 

• Tentukan orde filter dengan menggunakan rumus

dan memenuhi pertidaksamaan

• Tentukan mode natural (pole) : pole pertama pole berikutnya berbeda

• _{Tentukan fungsi transfer filter}

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 18

 

                        N p s s A 2 2 1 log 10

 

A_min A _s  N 2  N 

 





 

_N



N p s p s p s K s T       2 1 0

Filter Chebyshev

• _{Chebyshev, matematikawan Rusia, tahun 1899} menggunakan suatu fungsi (kemudian disebut fungsi Chebyshev) dalam mempelajari

konstruksi mesin uap

• _{Filter Chebyshev memperlihatkan respon}

berbentuk equiripple di daerah passband dan menurun secara monoton di daerah stopband • _{Bentuk ripple filter Chebyshev dibedakan atas}

Filter Chebyshev

• _{Filter berorde ganjil memiliki penguatan} magnituda sama dengan 1 pada  = 0,

sedangkan untuk orde genap memiliki deviasi magnituda maksimum untuk  = 0

• _{Jumlah total maksima dan minima di daerah} passband sama dengan orde filternya (N). • _{Semua zero transmisi dari filter Chebyshev}

terletak di  = , sehingga menghasilkan tipe all-pole filter

Respon filter Chebyshev

max A dB , T P 

ada 5 buah maksima dan minima di daerah passband

Fungsi Chebyshev

Filter Chebyshev orde N

dan

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 22

 

_p p N j T                           , cos cos 1 1 1 2 2

 

_p p N j T                           , cosh cosh 1 1 1 2 2

Fungsi Chebyshev

• Pada daerah passband , fungsi magnituda menjadi

• _{Parameter  menentukan ripple passband}

atau





2 1 1    _p j T p   



2



max  10log 1  A 1 10 10 max    A

Fungsi Chebyshev

• Peredaman filter Chebyshev di ujung stopband

• Orde filter Chebyshev ditentukan dengan menemukan bilangan bulat terkecil yang memenuhi

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 24

 

                                 p s s N

A 10 log 1 2 cosh2 cosh 1

 

A_min A _s 

Pole filter Chebyshev

Pole filter Chebyshev :

dengan

 

_k

 

_k k p j p p  Re  Im

 

                        sinh 1 sinh 1 2 1 2 sin Re 1 N N k p_{k p}

 

                       cosh 1 sinh 1 2 1 2 cos Im 1 N N k p_{k p}

Fungsi transfer filter Chebyshev

Fungsi transfer Filter Chebyshev

dengan K adalah dc gain untuk filter tersebut

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 26

 





 

_N



N N p

p

s

p

s

p

s

K

s

T

















_



2 1 1

2

Prosedur desain Filter Chebyshev

• _{Tentukan nilai }

• _{Tentukan orde filter dengan menggunakan} rumus

dan memenuhi pertidaksamaan • _{Tentukan mode natural (pole) :} • _{Tentukan fungsi transfer filter}

 

                                 p s s N

A 10log 1 2 cosh2 cosh 1

 

A_min A _s 

 

_k

 

_k k p j p p  Re  Im       _N  N N p p s p s p s K s T         _  2 1 1 2

Chebyshev / Butterworth

• Filter Chebyshev menghasilkan aproksimasi yang lebih efisien dibandingkan dengan filter

Butterworth

• Untuk orde dan yang sama, filter Chebyshev

memberikan peredaman di daerah stopband

yang lebih besar dibandingkan filter Butterworth • Untuk spesifikasi yang sama, filter Chebyshev

menghasilkan orde yang lebih kecil dibandingkan dengan filter Butterworth

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 28

max

Contoh

Tentukan low pass filter Chebyshev apabila spesifikasi filternya

• ujung frekuensi passband 10 kHz

• variasi maksimum di daerah passband 1 dB • ujung frekuensi stopband 15 kHz

Solusi

•  = 0,5088 • _{N = 4 =>} N = 5 => • _Kriteria • Pole :

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 30

 

10log 1 2 cosh2 cosh 1  21,6

                                 p s s N A

 

_s  29,9 A

 

  A_min  N  5 A _s

 

                        sinh 1 sinh 1 2 1 2 sin Re 1 N N k p_{k p}

 

                       cosh 1 sinh 1 2 1 2 cos Im 1 N N k p_{k p}

 

_k

 

_k k p j p p  Re  Im

• Pole :

• Pole yang lain :

• Fungsi transfer filter

 





0,0895 5088 , 0 1 sinh 5 1 sinh 2 5 1 1 2 sin Re ₁ 1                           _p  p 1 p

 





0,9901 5088 , 0 1 sinh 5 1 cosh 2 5 1 1 2 cos Im ₁ 1                         _p  p











0,0895 0,9901



2895 , 0 6119 , 0 2342 , 0 5 3 4 , 2 j p p j p p p p p           

 











2 2



2 2 5 9883 , 0 1789 , 0 1 4293 , 0 4684 , 0 2895 , 0 1408 , 8 p p p p p p s s s s s s T             

Tugas # 4

1. Tentukan orde filter Butterworth dengan spe-sifikasi = 1 dB, = 1,5 dan = 30 dB. Berapa nilai sesungguhnya dari peredaman minimum di daerah stopband ? Jika nilai

harus 30 dB, berapa nilai yang didapat ? 2. Tentukan pole dan fungsi transfer filter

Butterworth dengan = 1 rad/s, = 3 dB (  1), dan N = 3.

10/27/2009 EK3061 Perancangan Filter Analog 32

max A min A p s   min A max A p  Amax

Tugas # 4

3. Tentukan redaman yang dihasilkan pada

dari filter Chebyshev orde 7 yang mempunyai

ripple passband 0,5 dB. Jika ripple passband naik menjadi 1 dB, berapa kenaikan redaman di daerah stopband ?

4. Seorang perancang membutuhkan LPF dengan

spesifikasi = 1 kHz, = 1 dB, = 1,5 kHz, dan = 50 dB. Tentukan orde filter Chebyshev dan berapa kenaikan redaman di daerah stopband ?

p    2 max A p f f_s min A