1
BESARAN VEKTOR
TUJUAN PEMBELAJARANSetelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami pengertian besaran vektor.
2. Menguasai konsep penjumlahan vektor dengan berbagai metode. 3. Menguasai konsep selisih dua vektor.
FISIKA
K
e
l
a
s X
K-13
A. VEKTOR
Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Beberapa contoh besaran vektor adalah kecepatan, perpindahan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik, torsi, dan sebagainya. Suatu vektor digambarkan oleh sebuah anak panah. Panjang anak panah menggambarkan besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah menyatakan arah vektor. Perhatikan gambar vektor berikut ini.
A
B AB
Pada gambar di samping, A adalah titik tangkap vektor dan B adalah ujung vektor. Adapun |AB| merupakan panjang vektor yang menyatakan nilai vektor dan AB adalah arah anak panah yang menyatakan arah vektor.
Berdasarkan gambar di samping, nampak bahwa panjang vektor
AB
adalah AB
= 62+52 = 61 satuan dan arah vektornya adalah tan nα = 5, 9 8o6
ta α = , α = α=3 ,39,8o.
2
B. PENJUMLAHAN VEKTORPenjumlahan dua vektor atau lebih adalah mencari sebuah vektor yang komponen-komponennya merupakan hasil jumlah dari komponen-komponen vektor pembentuknya. Hasil dari penjumlahan vektor disebut resultan vektor. Resultan merupakan sebuah vektor baru. Resultan dapat diperoleh dengan beberapa metode, yaitu metode poligon (segi banyak), metode jajaran genjang, dan metode analitis.
a. Metode Poligon
Penjumlahan vektor menggunakan metode poligon dilakukan dengan memindahkan titik tangkap suatu vektor ke ujung vektor berikutnya secara berurutan (diteruskan). Adapun resultan vektornya digambarkan dengan cara menarik garis dari titik awal (titik tangkap vektor pertama) menuju titik akhir (ujung vektor terakhir). Perhatikan gambar berikut.
A A B B C C R R = A+ B + C
Contoh Soal 1
Seseorang berlari dengan pergerakan seperti pada gambar berikut.
Jika satu kotak berukuran 4 m × 4 m, maka besar perpindahan yang dilakukan orang tersebut adalah ....
3
Super (Solusi Quipper)
Pembahasan:Besar perpindahan orang tersebut dapat ditentukan dengan mencari besarnya resultan vektor.
= 2+ 2 =
R 3 4 5 satuan kotak. Hal ini berarti, orang tersebut telah berpindah sejauh 5 × 4 m = 20 meter.
3
4
Jadi, orang tersebut telah berpindah sejauh 20 meter.
b. Metode Jajaran Genjang Perhatikan gambar berikut.
R α b γ F1 F2
Misalkan vektor F1 dan F2 satu sama lain membentuk sudut α, maka resultan kedua vektor
tersebut adalah R F F = +1 2 dengan besar R = F12+F22+2F F1 2cosα .
Untuk menentukan arah resultan terhadap salah satu vektor, dapat digunakan persamaan berikut.
Catatan: 1. Jika F1
dan F2 searah (α = 0o), maka besar resultannya adalah
1 2 = + R F F .
2. Jika F1 dan F2 saling tegak lurus (α = 90o), maka besar resultannya adalah 2 2 1 2
= +
R F F . 3. Jika F1 dan F2 berlawanan arah (α = 180o), maka besar resultannya adalah
1 2 R F F = − . 4. Besarnya resultan yang mungkin dari duah buah vektor F1
dan F2 dapat ditentukan dengan cara SUPER berikut.
F F1− 2 ≤ ≤R F F1+ 2
1 2
sin sin sin
F F R α = β = γ α α b γ
4
5. Selisih dua vektorSelisih dua vektor F1 dan F2 yang membentuk sudut α adalah R F F= 1− 2
dengan besar
R = F12+F22−2F F1 2cosα .
Contoh Soal 2
Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing-masing mempunyai nilai 3 N dan 4 N. Jika kedua vektor bertitik tangkap sama dan saling mengapit sudut 60°, maka nilai dan arah resultan dari kedua vektor tersebut adalah ….
Pembahasan: Diketahui: F1 = 3 N F2 = 4 N α = 60°
Ditanya: R dan arahnya = ... ? Dijawab:
Permasalahan pada soal dapat digambarkan sebagai berikut.
R α b F1 = 3 N F2 = 4 N
Besar resultan kedua vektor tersebut dapat ditentukan dengan metode jajaran genjang berikut. F12 F22 F F1 2 2 2 R 2 cos 3 4 2.3.4cos60 9 16 12 37 N 6,08 6,1N = + + α = + + = + + = = ≈
Jadi, besarnya resultan kedua vektor tersebut adalah 6,1 N.
Untuk menentukan arah vektor, dapat digunakan persamaan berikut.
α
5
1 sin sin 6,1 3 sin60 sin 6,1 3 0,87 sin sin 0,428 arc sin 0,428 25,3 25 F R ° α β β β β β = = = = = = ≈ Jadi, arah resultan vektor tersebut adalah α = 25˚ terhadap vektor F2
.
Contoh Soal 3
Dua buah vektor masing-masing besarnya 4 N dan 9 N. Besar resultan kedua vektor yang tidak mungkin adalah ....
A. 4 N B. 5 N C. 10 N D. 13 N E. 36 N Pembahasan: Diketahui: F1 = 4 N F2 = 9 N
Ditanya: besarnya resultan kedua vektor yang tidak mungkin = ... ? Dijawab: F F R F F R R 1 2 1 2 4 9 4 9 5 13 − ≤ ≤ + − ≤ ≤ + ≤ ≤
Dari pilihan jawaban tersebut, nilai resultan yang tidak mungkin adalah 36 N.
b α b b b b
6
Contoh Soal 4
Perhatikan gambar berikut. F1 F3 F2 Jika diketahui F1
= 4 N ke kiri, F2 = 3 N ke kanan, dan F3
= 6 N ke kanan, maka besar dan arah resultan gaya-gaya tersebut adalah ....
Pembahasan: Diketahui: F1 = 4 N ke kiri F2 = 3 N ke kanan F3 = 6 N ke kanan Ditanya: 1 2 3 4 3 6 5 N ke kanan R F F= + +F = − + + = dan arahnya = . . .? Dijawab:
Dengan memerhatikan arah ketiga gaya tersebut, maka diperoleh:
1 2 3 4 3 6 5 N ke kanan R F F= + +F = − + + =
Jadi, resultan ketiga gaya tersebut adalah 5 N ke arah kanan.
Contoh Soal 5
Dua buah vektor gaya P dan Q memiliki nilai masing-masing 20 N dan 40 N. Jika sudut antara kedua vektor adalah 60˚, maka besar selisih kedua vektor tersebut adalah ....
Pembahasan:
Diketahui: P = 20 N Q = 40 N
7
Ditanya: |P − Q | = ...?Dijawab:
Besar selisih dua vektor tersebut dapat ditentukan dengan rumus berikut.
P Q P2 Q2 P Q 2 2 2 . cos 20 40 2.20.40cos60 1200 20 3 N θ − = + − = + − = =
Jadi, besar selisih kedua vektor tersebut adalah 20 3 N.
Contoh Soal 6
Dua buah vektor besarnya sama. Jika nilai hasil bagi selisih dan resultan kedua vektor tersebut adalah 1 3
2 , maka nilai kosinus sudut apitnya adalah .... Pembahasan:
Diketahui:
misalkan sudut apit = α
F 1=F2=F F F F F 1 2 1 2 1 3 2 − = + Ditanya: cos α = …? Dijawab:
Oleh karena nilai hasil bagi selisih dan resultan kedua vektor tersebut adalah 1 3
2 , maka:
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 1 3 2 2 cos 2 cos 3 4 2 cos 2 1 cos 3 4 2 1 cos 4 4cos 3 3cos 7cos 1 cos 7 F F F.F F F F.F F F F F F F F F = + 1= α α α α α α α α α α + − = + + + − = + + − = + − =Jadi, nilai kosinus sudut apitnya adalah 1
7 . α α α α α α α α α α α
8
Contoh Soal 7
Dua buah vektor gaya mempunyai besar yang sama, yaitu F N. Jika besar resultan kedua vektor tersebut juga F N, maka besar sudut apitnya adalah ....
Pembahasan:
Diketahui:
misalkan sudut apit = α
F 1=F2=F N |R| = F N Ditanya: α = ...? Dijawab:
Berdasarkan rumus besar resultan dua vektor, diperoleh:
R F F F .F F F F F.F F F F F F F F F F 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 1 cos 2 1 arc cos 120 2 2 2 cos α α α α α α α = + + = + + = + + − = = − = − = = +
Jadi, besarnya sudut apit kedua vektor tersebut adalah 120°. c. Metode Analitis
Metode analitis dilakukan dengan menguraikan terlebih dahulu sebuah vektor menjadi komponen-komponen vektor tegak lurus sumbu koordinat, yaitu komponen-komponen pada sumbu X dan sumbu Y. Perhatikan gambar berikut.
Px = P cos α Py = P sin α X Y P α P P y P x α α α α α α α α
9
Besar vektor P dan arahnya dapat ditentukan dengan persamaan berikut.
|P| = P x2+Py2 dan tan α = P P y x
Contoh Soal 8
Vektor P sebesar 20 satuan membentuk sudut 60˚ terhadap sumbu X positif. Tentukan komponen-komponen vektor tersebut pada sumbu X dan sumbu Y.
Pembahasan: Diketahui: P = 20 satuan θ = 60˚ Ditanya: Px = …? Py =…? Dijawab:
Komponen terhadap sumbu X:
Px P cos 60 1 20. 2 10 satuan = ° = =
Komponen terhadap sumbu Y:
y P P sin 60 1 20. 3 2 10 3 satuan = ° = =
Jadi, komponen vektor tersebut pada sumbu X dan sumbu Y adalah Px
= 10 satuan dan Py=10 3 satuan.
Contoh Soal 9
Sebuah meriam ditembakkan dengan kecepatan awal 100 m/s membentuk sudut 53˚ dari permukaan bumi. Tentukan komponen-komponen kecepatan vektor tersebut. (sin 53°=0,8)
Pembahasan:
Diketahui:
o
10
θ = 53˚ Ditanya: vx =…? y v =...? Dijawab:Komponen kecepatan meriam terhadap sumbu X:
vx vocos53o 100.0,6 60 m/s = = =
Komponen kecepatan meriam terhadap sumbu Y:
vy vosin53o 100(0,8) 80 m/s = = =
Jadi, komponen-komponen kecepatan vektor tersebut adalah vx
= 60 m/s dan vy = 80 m/s.
Contoh Soal 10
Perhatikan gambar berikut.
2 N 4 N 10 N 30o X Y
4 3 N
Tentukan resultan vektor-vektor tersebut.
Pembahasan:
11
Perhatikan gambar berikut.Y X 2 N 10 cos 30o N 10 sin 30o N 4 3 Pada sumbu X: Fx 10cos30o 4 3 10(0,5 3) 4 3 5 3 4 3 3 N = − = − = − =
∑
Pada sumbu Y: Fy 10 sin 30o 2 10(0,5) 2 5 2 3 N = − = − = − =∑
Besar resultan vektor: