Bermain dengan Teori Graf
Eko Budi Santoso, SJ.
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
I. Latar Belakang
Era Digital - Network (Jejaring) Teori Graf di Sekolah
II. Teori Graf Asal Mula Definisi Formal
III. Mari Bermain dengan Teori Graf
Mari Melukis Graf Euler Mari Melukis Graf Planar Mari Mewarnai Graf
Latar Belakang
Era Digital
Saat ini, kita berada di era digital.
Ditandai dengan pesatnya teknologi informasi. Smartphone menjadi bagian hidup sehari-hari.
Latar Belakang
Youtube menggantikan televisi sebagai sarana belajar, pengetahuan, dan hiburan.
Latar Belakang
Era Digital - Teknologi Komunikasi Pesatnya teknologi informasi. Smartphone.
Google search. Google Map. Youtube.
Latar Belakang
Era Digital - Teknologi Komunikasi
Era digital identik dengan networking (jejaring) Kita adalah bagian dari jejaring tersebut.
Kasus konkret:
FB - Mathematical Association of America (diakses 14 November 2017, pk 22:15)
Latar Belakang
Aplikasi Netvizz: crawling data network.
Aplikasi Netvizz: crawling data network.
Latar Belakang
Aplikasi Netvizz: crawling data network.
Latar Belakang
Matematika apakah yang membuat Google bisa menghubungkan kita dengan website tertentu?
Matematika apakah yang membuat Google bisa menganjurkan jalan yang harus kita lalui?
Latar Belakang
Flight Route Lion Air
Latar Belakang
Flight Route Garuda Indonesia
a b e
d
c
Pengantar yang panjang: peran Teori Graf dalam hidup kita Fakta: Teori Graf hanya dipelajari oleh mahasiswa teknik komputer (informatika), mahasiswa Matematika.
Bermain dengan Teori Graf
a b
e
d
c
Memperkenalkan teori graf kepada siswa sekolah dasar dan menengah
Abad ke-18, Leonhard Euler (bapak teori graf) ditanya oleh penduduk kota itu.
Bisakah kita mulai di suatu tempat, berjalan melintasi ke-7 jembatan hanya sekali, dan kembali ke tempat semula.
Bermula dari Kota K¨
onigsberg, Russia
Euler membuktikan bahwa tidak mungkin.
Dalam buktinya, Euler mengganti bidang tanah pada peta dengan sebuah titik dan jembatan dengan sebuah garis yang menghubungkan titik-titik. A B C D 3 4 7 6 5 1 2
a
b c d
e f
Definisi Formal
a
b c d
e f
Himpunan titik V (G) = {a, b, c, d, e, f }
Himpunan sisi E(G) = {ab, af, bc, bf, cd, ce, f e}
Order graf G = |V |
Definisi Formal
a
b c d
e f
Himpunan titik V (G) = {a, b, c, d, e, f }
Himpunan sisi E(G) = {ab, af, bc, bf, cd, ce, f e} Order graf G = |V |
Definisi Formal
a
b c d
e f
Himpunan titik V (G) = {a, b, c, d, e, f }
Himpunan sisi E(G) = {ab, af, bc, bf, cd, ce, f e} Order graf G = |V |
a
b c d
e f
Himpunan titik V (G) = {a, b, c, d, e, f }
Himpunan sisi E(G) = {ab, af, bc, bf, cd, ce, f e}
Titik a dan b bertentangga
Definisi Formal
a
b c d
e f
Himpunan titik V (G) = {a, b, c, d, e, f }
Himpunan sisi E(G) = {ab, af, bc, bf, cd, ce, f e} Tetangga titikb, N (b) = {a, c, f }
Mari Bermain dengan Graf
Mari Melukis Graf Euler
Graf Euler
Sebuah graf disebut graf Euler jika kita bisa melukisnya, bermula dari satu titik, melewati semua titik-titik tetapi hanya boleh melewati sisi sekali saja dan kembali ke titik semula.
a b
e
d
Mari Melukis Graf Euler
Graf Euler
Sebuah graf disebut graf Euler jika kita bisa melukisnya, bermula dari satu titik, melewati semua titik-titik tetapi hanya boleh melewati sisi sekali saja dan kembali ke titik semula.
a b e d c a b c e
Mari Melukis Graf Euler
Graf Euler
Sebuah graf disebut graf Euler jika kita bisa melukisnya, bermula dari satu titik, melewati semua titik-titik tetapi hanya boleh melewati sisi sekali saja dan kembali ke titik semula.
a b e d c a b c d e
Mari Melukis Graf Euler
Graf Euler
Sebuah graf disebut graf Euler jika kita bisa melukisnya, bermula dari satu titik, melewati semua titik-titik tetapi hanya boleh melewati sisi sekali saja dan kembali ke titik semula.
a b e d c a b c e
Mari Melukis Graf Euler
Graf Euler
Sebuah graf disebut graf Euler jika kita bisa melukisnya, bermula dari satu titik, melewati semua titik-titik tetapi hanya boleh melewati sisi sekali saja dan kembali ke titik semula.
a b e d c a b c d e
Mari Melukis Graf Euler
Graf Euler
Sebuah graf disebut graf Euler jika kita bisa melukisnya, bermula dari satu titik, melewati semua titik-titik tetapi hanya boleh melewati sisi sekali saja dan kembali ke titik semula.
a b e d c a b c d
Mari Melukis Graf Euler
Graf Euler
Sebuah graf disebut graf Euler jika kita bisa melukisnya, bermula dari satu titik, melewati semua titik-titik tetapi hanya boleh melewati sisi sekali saja dan kembali ke titik semula.
a b e d c a b c d e
Graf Euler
Sebuah graf disebut graf Euler jika kita bisa melukisnya, bermula dari satu titik, melewati semua titik-titik tetapi hanya boleh melewati sisi sekali saja dan kembali ke titik semula.
a b e d c a b c d e
Mari Melukis Graf Euler
Graf Euler
Sebuah graf disebut graf Euler jika kita bisa melukisnya, bermula dari satu titik, melewati semua titik-titik tetapi hanya boleh melewati sisi sekali saja dan kembali ke titik semula.
a b e d c a b c d e
a b e
d
c
Mari Melukis Graf Euler
a b
c
d
e e
a
b c d
e f
Himpunan titik V (G) = {a, b, c, d, e, f }
Himpunan sisi E(G) = {ab, af, bc, bf, cd, ce, f e} Tetangga titikb, N (b) = {a, c, f }
Mari Melukis Graf Euler
a b c d e f TeoremaSebuah graf adalah Euler jika dan hanya jika setiap titik dalam graf tersebut berderajat genap.
Definisi
Sebuah graf adalah graf planar jika kita bisa melukisnya dalam bidang datar sehingga tidak ada sisi yang bersilangan.
a b
c
d
Mari Melukis Graf Planar
Apakah ini graf planar?
a b c d a b c d
Apakah ini graf planar? a b c d a b c d
Mari Melukis Graf Planar
Apakah ini graf planar?
a b c d e f g h
Apakah ini graf planar? a b c d e f g h
Mari Melukis Graf Planar
Mari Melukis Graf Planar
Aturan mewarnai
Ada beberapa aturan untuk mewarnai graf. Salah satunya, mewarnai titik-titik dalam graf sehingga titik-titik yang bertetangga harus berbeda warna.
a b
e
d
Mari Mewarnai Graf
Aturan mewarnai
Ada beberapa aturan untuk mewarnai graf. Salah satunya, mewarnai titik-titik dalam graf sehingga titik-titik yang bertetangga harus berbeda warna.
a b
e
d
Pertanyaan
Berapa jumlah minimal warna yang dipakai untuk mewarnai? Jumlah minimal itu disebut Bilangan Kromatik. Berbeda graf bilangan kromatiknya bisa berbeda, bisa sama.
a b
e
d
Mari Mewarnai Graf
Konjektur Empat Warna
Hanya dibutuhkan empat warna untuk mewarnai sebuah peta sehingga negara (wilayah) bertetangga berbeda warna.
www.transum.org/Maths/Activity/Colouring
Mari Mewarnai Graf
www.transum.org/Maths/Activity/Colouring
Mari Mewarnai Graf
Baru Sebagian Sangat Kecil
Permainan yang disajikan dalam presentasi ini hanya sebagian kecil saja.
Masih ada peluang untuk terus menggali, menemukan permainan-permainan berdasarkan konsep-konsep dalam teori graf.
Sebuah permaian tentu harus menyenangkan.
Silahkan kalau ada yang berminat membuat penelitian berkaitan dengan topik ini.
Catatan Akhir
Topik Lain
Jejak Euler (Eulerian Trail)
Jejak Hamilton (Hamiltonian Trail) Tur Ksatria (Knight’s Tour)
Masalah Tukang Pos China (Chinese Postman Problem) Teori Dominasi
a b e
d c