BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN

(1)

Sifat-sifat Lanjutan Integral Riemann

1 Thobirin - Herawan : Analisis Real II

BAB VI

SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN

Teorema 6.1

Jika f  𝑅[𝑎, 𝑐] dan f  𝑅[𝑐, 𝑏] dengan 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 maka f  𝑅[𝑎, 𝑏]. Lebih lanjut 𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑎 + (𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑐 Bukti

f  𝑅[𝑎, 𝑐] dan f  𝑅[𝑐, 𝑏], misalkan (𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑐 = 𝐴₁ dan (𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑐𝑏 =𝐴₂. Diberikan sembarang bilangan 𝜀 > 0, maka terdapat 𝛿₁ > 0 sehingga untuk setiap partisi Riemann 𝑃₁ pada [𝑎, 𝑐] dengan 𝑃1 < 𝛿1 berlaku 𝑃₁ 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴₁ < 𝜀 4.

dan juga terdapat 𝛿2> 0 sehingga untuk setiap partisi Riemann 𝑃2 pada [𝑐, 𝑏] dengan 𝑃2 < 𝛿2

berlaku 𝑃2 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴₂ <𝜀 4.

Dipilih 𝛿 = min⁡{𝛿₁, 𝛿₂}, akibatnya jika P sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿 maka terdapat dua kemungkinan;

(i) c merupakan salah satu titik partisi P (ii) c bukan merupakan salah satu titik partisi P Kemungkinan (i)

Jika c merupakan salah satu titik partisi P, maka P terbagi atas 𝑃1 pada interval bagian [𝑎, 𝑐]

dan 𝑃₂ pada interval bagian [𝑐, 𝑏]. Karena 𝛿 = min⁡{𝛿₁, 𝛿₂} dan 𝑃 < 𝛿, maka berlaku pula 𝑃1 < 𝛿1 dan 𝑃2 < 𝛿2, sehingga 𝑃 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝐴1+ 𝐴2) = 𝑃1 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 + 𝑃2 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝐴1+ 𝐴2) = 𝑃1 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴1+ 𝑃2 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴2 ≤ 𝑃1 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴1 + 𝑃2 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴2 < 𝜀 4+ 𝜀 4 < 𝜀 Kemungkinan (ii)

Jika c bukan merupakan salah satu titik partisi Riemann P, maka dapat dibuat partisi Riemann 𝑃𝜀 pada pada [𝑎, 𝑏] dengan c sebagai salah satu titik partisinya, sehingga 𝑃𝜀 menjadi penghalus

(2)

2 Thobirin - Herawan : Analisis Real II 𝑃𝜀 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝐴1+ 𝐴2) = 𝑃𝜀1 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 + 𝑃𝜀2 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝐴1+ 𝐴2) = 𝑃𝜀1 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴1+ 𝑃𝜀2 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴2 ≤ 𝑃𝜀1 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴1 + 𝑃𝜀2 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝐴2 < 𝜀 4+ 𝜀 4= 𝜀 2 Jadi 𝑃𝜀 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝐴1+ 𝐴2) < 𝜀 2 dan karena 𝑃 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑃_𝜀 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 <𝜀 2 maka 𝑃 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝐴₁+ 𝐴₂) = 𝑃 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑃_𝜀 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 + 𝑃_𝜀 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝐴₁+ 𝐴₂) ≤ 𝑃 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 𝑃_𝜀 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 + 𝑃_𝜀 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝐴₁+ 𝐴₂) < 𝜀 2+ 𝜀 2= 𝜀.

Dengan demikian terbukti f  (𝑅)[𝑎, 𝑏] dan 𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 𝑎 + (𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑐 Teorema 6.2

Jika f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi terbatas dan 𝑓 𝑥 = 0 kecuali di beberapa titik yang banyaknya

berhingga pada interval [𝑎, 𝑏]maka f  𝑅[𝑎, 𝑏] dan (𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 0.

Bukti

Dibentuk himpunan 𝑋 = 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓 𝑥 ≠ 0 yang mempunyai anggota sebanyak berhingga. Selanjutnya untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 dipilih bilangan 𝛿 dengan sifat

0 < 𝛿 < 𝜀 𝑓(𝑥)

(3)

3 Thobirin - Herawan : Analisis Real II Ambil sembarang partisi Riemann P pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃 < 𝛿, maka diperoleh

𝑃 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 0 = 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 1 + 𝑓



𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 2 (1) dengan

1 adalah jumlah bagian dari (𝑃) dengan semua interval bagian yang tidak memuat titik

anggota X.

2 adalah jumlah bagian dari (𝑃) dengan semua interval bagian yang memuat titik anggota X.

Pada 2 ini dipilih titik tagnya adalah salah satu titik anggota X tersebut. Oleh karenanya pada

(1) di atas menjadi 𝑃 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − 0 ≤ 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 1 + 𝑓



𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 2 ≤ 0 + 𝑓



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 2 < 𝑓



_𝑖 𝜀 𝑓(𝑥) 𝑥∈𝑋 𝑛 𝑖=1 2 ≤ 𝜀 Terbukti f  𝑅[𝑎, 𝑏] dan (𝑅) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 0.

Berdasarkan Teorema 6.2 di atas dapat diperoleh akibat sebagai berikut.

Teorema 6.3

Jika f  𝑅[𝑎, 𝑏], g: [𝑎, 𝑏]  R fungsi terbatas dan 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 kecuali di beberapa titik yang

banyaknya berhingga pada interval [𝑎, 𝑏] maka g  𝑅[𝑎, 𝑏] dan 𝑅 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 . Bukti sebagai latihan.

Selanjutnya berdasarkan Akibat 6.3 untuk integral Riemann, dapat didefinisikan relasi “=” dengan

f = g pada interval [𝑎, 𝑏] dimaksudkan 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) kecuali di beberapa titik yang banyaknya

berhingga pada interval [𝑎, 𝑏]. Mudah ditunjukkan bahwa relasi “=” tersebut merupakan relasi ekuivalensi pada 𝑅[𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu 𝑅[𝑎, 𝑏] dapat dipartisi menjadi kelas-kelas ekuivalensi.

Teorema 6.4

Jika f  𝑅[𝑎, 𝑏], g  𝑅[𝑎, 𝑏] dan 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 kecuali di beberapa titik yang banyaknya

berhingga pada interval [𝑎, 𝑏] maka

𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ≤ 𝑅 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 .

(4)

Bukti

Berdasarkan Akibat 6.3, tanpa mengurangi keumuman bukti, dapat diasumsikan bahwa 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Selanjutnya diberikan bilangan 𝜀 > 0 sembarang. Oleh karena 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏], maka terdapat bilangan 𝛿₁> 0 sehingga untuk setiap partisi 𝑃₁= {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛} pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃₁ < 𝛿1 berlaku

𝑃₁ 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝑅) 𝑓 𝑏 𝑎 < 𝜀 2.

Demikian juga 𝑔 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏], maka terdapat bilangan 𝛿₂ > 0 sehingga untuk setiap partisi 𝑃₂= {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛} pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃₂ < 𝛿2 berlaku

𝑃2 𝑔



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝑅) 𝑔 𝑏 𝑎 < 𝜀 2.

Dipilih 𝛿 = min⁡{𝛿1, 𝛿2}, jika P sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿 maka 𝑃 < 𝛿1

dan 𝑃 < 𝛿₂ sehingga berlaku 𝑃 𝑓



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝑅) 𝑓 𝑏 𝑎 <𝜀 2 atau 𝑅 𝑓 𝑏 𝑎 − 𝜀 2< 𝑃 𝑓



𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 < 𝑅 𝑓 𝑏 𝑎 + 𝜀 2 dan juga 𝑃 𝑔



_𝑖 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 − (𝑅) 𝑔 𝑏 𝑎 <𝜀 2 atau 𝑅 𝑔 𝑏 𝑎 − 𝜀 2< 𝑃 𝑔



𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 < 𝑅 𝑔 𝑏 𝑎 + 𝜀 2. Akibatnya diperoleh 𝑅 𝑓 𝑏 𝑎 − 𝜀 2< 𝑃 𝑓



𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 ≤ 𝑃 𝑔



_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 < 𝑅 𝑔 𝑏 𝑎 + 𝜀 2 sehingga 𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 < 𝑅 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 + 𝜀. Karena 𝜀 bilangan positif sembarang maka terbukti

𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ≤ 𝑅 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 .

A. Keterinegralan Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton

Selanjutnya diberikan keterintegralan fungsi bernilai real yang kontinu dan fungsi bernilai real yang monoton pada interval [𝑎, 𝑏] sebagai berikut.

Teorema 6.5

Setiap fungsi bernilai real dan kontinu pada interval [𝑎, 𝑏], terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]. Bukti

Diberikan sembarang f fungsi bernilai real dan kontinu pada interval [𝑎, 𝑏], berdasarkan teorema kekontinuan seragam, maka f kontinu seragam. Selanjutnya diberikan sembarang bilangan 𝜀 > 0. Karena f kontinu seragam, maka terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga jika

𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛} sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿 berlaku

(5)

5 Thobirin - Herawan : Analisis Real II 𝑀_𝑖− 𝑚_𝑖 < 𝜀 (𝑏 − 𝑎)2𝑖 Sehingga diperoleh 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 = 𝑀_𝑖(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 − 𝑀_𝑖(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = (𝑀_𝑖− 𝑚_𝑖)(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 < 𝜀 𝑏 − 𝑎 2𝑖(𝑏 − 𝑎) 𝑛 𝑖=1 = 𝜀

Berdasarkan criteria Riemann f terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏] sehingga ia terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

Teorema 6.6

Setiap fungsi bernilai real, monoton dan terbatas pada interval [𝑎, 𝑏], terintegral Riemann pada

[𝑎, 𝑏].

Bukti

Pada buku ini hanya dibuktikan untuk fungsi f yang monoton naik pada interval [𝑎, 𝑏]. Untuk fungsi monoton turun, bukti sebagai latihan.

Ambil sembarang 𝜀 > 0, dan karena f monoton naik pada [𝑎, 𝑏] maka (𝑏 − 𝑎) 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) > 0, sehingga berdasarkan sifat Archimides maka terdapat bilangan asli n sehingga

𝑏 − 𝑎

𝑛 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) < 𝜀.

Diberikan 𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛} sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] yang membagi [𝑎, 𝑏] menjadi sebanyak n sub interval yang sama panjang. Jelas untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 berlaku

𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1=𝑏 − 𝑎 𝑛 .

Karena f monoton naik pada [𝑎, 𝑏] maka ia monoton naik pada [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

sehingga 𝑀_𝑖 = 𝑓 𝑥_𝑖 dan 𝑚_𝑖 = 𝑓 𝑥_𝑖−1 Oleh karenanya 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 = 𝑀𝑖(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 − 𝑀𝑖(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = (𝑀𝑖− 𝑚𝑖)(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = {𝑓 𝑥_𝑖 − 𝑓 𝑥_𝑖−1 }(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = {𝑓 𝑥_𝑖 − 𝑓 𝑥_𝑖−1 }𝑏 − 𝑎 𝑛 𝑛 𝑖=1 =𝑏 − 𝑎 𝑛 {𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖−1 } 𝑛 𝑖=1 =𝑏 − 𝑎 𝑛 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) < 𝜀.

(6)

6 Thobirin - Herawan : Analisis Real II Jadi f terintegral Darboux pada [𝑎, 𝑏], sehingga ia terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

B. Contoh Perhitungan Nilai Integral

Telah ditegaskan pada bab sebelumnya bahwa integral Riemann ekuivalen dengan integral Darboux. Beberapa contoh berikut menjelaskan penghitungan nilai integral Riemann dengan menggunakan definisi atau teorema-teorema dalam integral Darboux.

Contoh 6.7

1. Fungsi konstan terintegral Riemann pada interval tertutup

Bukti

Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑐 , ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dengan c suatu konstanta.

Ambil sembarang 𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛}, partisi pada [𝑎, 𝑏], maka 𝑀_𝑖= 𝑐 dan 𝑚_𝑖 = 𝑐, ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 Oleh karenanya 𝑈 𝑃; 𝑓 = 𝑀𝑖(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑐(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑐 (𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑐 𝑏 − 𝑎 . dan 𝐿 𝑃; 𝑓 = 𝑚_𝑖(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑐(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑐 (𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑐 𝑏 − 𝑎 .

𝑈 𝑓 = inf { 𝑈 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]} = 𝑐 𝑏 − 𝑎 dan 𝐿 𝑓 = sup { 𝐿 𝑃; 𝑓 : P  P [𝑎, 𝑏]} = 𝑐 𝑏 − 𝑎 . Jadi 𝑈 𝑓 = 𝐿(𝑓), maka f terintegral Darboux yang berarti ia juga terintegral Riemann. Lebih lanjut

𝑅 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝑐 𝑏 − 𝑎 .

2. Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ [0,1]. Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?

Penyelesaian

Ambil sembarang partisi seragam 𝑃_𝑛 = {0,1 𝑛, 2 𝑛, … , 𝑛 −1 𝑛 , 1} pada [0,1]. Karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ [0,1], maka

(7)

7 Thobirin - Herawan : Analisis Real II 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1= 1 𝑛 ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. 𝑀_𝑖 = 𝑖 𝑛 , ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝑈 𝑃_𝑛; 𝑓 = 𝑀_𝑖(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑖 𝑛 1 𝑛 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛2 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛2 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 = 1 𝑛2 𝑛(𝑛 + 1) 2 = 1 2 1 + 1 𝑛 𝑚𝑖= 𝑖 − 1 𝑛 , ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝐿 𝑃_𝑛; 𝑓 = 𝑚_𝑖(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑖 − 1 𝑛 1 𝑛 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛2 (𝑖 − 1) 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛2 0 + 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 − 1 = 1 𝑛2 𝑛(𝑛 − 1) 2 = 1 2 1 − 1 𝑛 Diperoleh lim 𝑛→∞𝑈 𝑃𝑛; 𝑓 − 𝐿(𝑃𝑛; 𝑓) = lim𝑛→∞ 1 2 1 + 1 𝑛 − 1 2 1 − 1 𝑛 = 0 Berdasarkan Akibat 5.7 maka f terintegral Darboux pada 0,1 dengan nilai integralnya

𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = lim 𝑛→∞𝑈(𝑃𝑛; 𝑓) = lim𝑛→∞ 1 2 1 + 1 𝑛 = 1 2.

3. Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑥2_{, ∀𝑥 ∈ [0,1]. Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?} Penyelesaian

Ambil sembarang partisi seragam 𝑃_𝑛 = {0,1 𝑛, 2 𝑛, … , 𝑛 −1 𝑛 , 1} pada [0,1]. Karena 𝑓 𝑥 = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ [0,1], maka

(8)

8 Thobirin - Herawan : Analisis Real II 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1= 1 𝑛 ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. 𝑀_𝑖 = 𝑖 𝑛 2 , ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝑈 𝑃𝑛; 𝑓 = 𝑀𝑖(𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑖 𝑛 2 ₁ 𝑛 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛3 𝑖2 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛3 1 + 4 + 9 + ⋯ + 𝑛2 = 1 𝑛3 𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1) 6 = 1 3 1 + 3 2𝑛+ 1 2𝑛2 𝑚_𝑖=𝑖 − 1 𝑛 , ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 𝐿 𝑃_𝑛; 𝑓 = 𝑚_𝑖(𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1) 𝑛 𝑖=1 = 𝑖 − 1 𝑛 2 ₁ 𝑛 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛3 (𝑖 − 1)2 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛3 0 + 1 + 4 + 9 + ⋯ + (𝑛 − 1)2 = 1 𝑛3 𝑛 𝑛 − 1 (2𝑛 − 1) 6 = 1 3 1 − 3 2𝑛+ 1 2𝑛2 Diperoleh lim 𝑛→∞𝑈 𝑃𝑛; 𝑓 − 𝐿(𝑃𝑛; 𝑓) = lim𝑛→∞ 1 3 1 + 3 2𝑛+ 1 2𝑛2 − 1 3 1 − 3 2𝑛+ 1 2𝑛2 = 0

Berdasarkan Akibat 5.7 maka f terintegral Darboux pada 0,1 dengan nilai integralnya 𝐷 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = lim 𝑛→∞𝑈(𝑃𝑛; 𝑓) = lim𝑛→∞ 1 3 1 + 3 2𝑛+ 1 2𝑛2 = 1 3. 4. Diberikan fungsi Dirichlet pada interval [0,1].

𝑓 𝑥 =

0 , 𝑥 rasional 1 , 𝑥 irrasional

Apakah f terintegral Darboux pada [0,1]?

(9)

C. Fungsi Komposisi

Pada bab sebelumnya telah dibuktikan sifat kelinearan integral Riemann. Pada bagian akan dibuktikan bahwa kombinasi lain dari fungsi terintegral Riemann juga terintegral Riemann.

Teorema 6.8

Diberikan interval [𝑎, 𝑏] dan [𝑐, 𝑑], f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]

dengan sifat 𝑓 𝑎, 𝑏  [𝑐, 𝑑]. Jika g : [𝑐, 𝑑]  R fungsi kontinu pada [𝑐, 𝑑], maka komposisi

fungsi g o f : [𝑎, 𝑏]  R terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

Bukti

Diberikan sebarang 𝜀 > 0, cukup dibuktikan terdapat 𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛}, partisi pada [𝑎, 𝑏] sehingga

𝑈 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 < 𝜀.

Jika diketahui g : [𝑐, 𝑑]  R fungsi kontinu pada [𝑐, 𝑑], maka g terbatas pada [𝑐, 𝑑]. Berarti terdapat bilangan real 𝑀 > 0 sehingga 𝑔(𝑡) ≤ 𝑀 untuk setiap 𝑡 ∈ [𝑐, 𝑑]. Oleh karena itu ada bilangan real K sehingga 𝐾 = sup⁡{ 𝑔 𝑡 : 𝑡 ∈ 𝑐, 𝑑 }.

g kontinu pada [𝑐, 𝑑], maka ia kontinu seragam pada [𝑐, 𝑑]. Oleh karenanya terdapat 𝛿 > 0 dengan

𝛿 <_{𝑏−𝑎+2𝐾}𝜀 sehingga untuk setiap 𝑠, 𝑡 ∈ [𝑐, 𝑑] dengan 𝑠 − 𝑡 < 𝛿 berlaku 𝑔 𝑠 − 𝑔(𝑡) < 𝜀

𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 .

Karena f terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka terdapat 𝑃 = {𝑎 = 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑏;



₁,



₂, … ,



_𝑛}, partisi pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 𝛿2_. Untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 𝑀_𝑖 = sup 𝑓



_𝑖 :



_𝑖 ∈ [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖] , 𝑚𝑖 = inf 𝑓



_𝑖 :



_𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] Didefinisikan 𝑀_𝑖∗ _{= sup 𝑔}_𝑜_𝑓

_

𝑖 :



𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] , 𝑚_𝑖∗_{= inf 𝑔}_𝑜_𝑓

_

𝑖 :



𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] dan 𝐴 = 𝑖 ∶ 𝑀_𝑖− 𝑚_𝑖 < 𝛿 dan 𝐵 = 𝑖 ∶ 𝑀_𝑖− 𝑚_𝑖 ≥ 𝛿 . Dapat dipahami bahwa

𝑀_𝑖∗_{− 𝑚} 𝑖

∗_{= sup 𝑔}_𝑜_𝑓

_

𝑖 :



𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] − inf 𝑔 𝑜 𝑓



𝑖 :



𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]

= sup 𝑔 𝑜 𝑓



_𝑖 − 𝑔 𝑜 𝑓 𝜑_𝑖 :



_𝑖, 𝜑_𝑖 ∈ [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖]

(i) Jika 𝑖 ∈ 𝐴, ambil sembarang



_𝑖, 𝜑_𝑖 ∈ [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖] maka 𝑓



_𝑖 − 𝑓 𝜑𝑖 < 𝛿, sehingga

𝑔 𝑜 𝑓



_𝑖 − 𝑔 𝑜 𝑓 𝜑_𝑖 < 𝜀 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 Akibatnya 𝑀_𝑖∗_{− 𝑚} 𝑖∗≤ 𝜀 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 sehingga 𝑀_𝑖∗_{− 𝑚} 𝑖 ∗_𝑥 𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑖∈𝐴 ≤ 𝜀 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑖∈𝐴

(10)

≤ 𝜀

𝑏 − 𝑎 + 2𝐾(𝑏 − 𝑎) (ii) Jika 𝑖 ∈ 𝐵, ambil sembarang



_𝑖, 𝜑𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] maka 𝑀𝑖∗− 𝑚𝑖∗≤ 2𝐾.

𝑀_𝑖∗− 𝑚_𝑖∗ 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑖∈𝐵 ≤ 2𝐾 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑖∈𝐵 ≤ 2𝐾1 𝛿 𝑀𝑖− 𝑚𝑖 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑖∈𝐵 ≤ 2𝐾1 𝛿 𝑈 𝑃; 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑓 < 2𝐾1 𝛿. 𝛿2= 2𝐾𝛿 < 2𝐾 𝜀 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 Dari (i) dan (ii) diperoleh:

𝑈 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 − 𝐿 𝑃; 𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑀_𝑖∗− 𝑚_𝑖∗ 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1 𝑛 𝑖=1 = 𝑀_𝑖∗_{− 𝑚} 𝑖 ∗_𝑥 𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑖∈𝐴 + 𝑀_𝑖∗_{− 𝑚} 𝑖∗ 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 𝑖∈𝐵 < 𝜀 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾 𝜀 𝑏 − 𝑎 + 2𝐾= 𝜀. Terbukti. Akibat 6.9

Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], maka

fungsi nilai mutlak 𝑓 terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan

𝑓 𝑏 𝑎 ≤ 𝑓 𝑏 𝑎 ≤ 𝐾(𝑏 − 𝑎)

dengan K adalah bilangan real sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Bukti

Diketahui f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka f terbatas pada [𝑎, 𝑏], sehingga ada bilangan 𝐾 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Didefinisikan 𝑔 𝑥 = 𝑥 untuk 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], maka 𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑓 . Karena f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan g kontinu pada R maka

berdasarkan Teorema 6.8 𝑓 terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

Akibat 6.10

Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], maka

fungsi 𝑓𝑛_{, 𝑛 ∈ 𝑁, terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].} Bukti

Diketahui f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], Didefinisikan 𝑔 𝑥 = 𝑥𝑛_{untuk setiap}

𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], maka 𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑓𝑛. Karena f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dan g kontinu pada R maka

(11)

Akibat 6.11

Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏], dan

terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) ≥ 𝛿 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , maka fungsi _𝑓1 terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏].

Bukti

Diketahui f : [𝑎, 𝑏]  R fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka f terbatas pada [𝑎, 𝑏], sehingga ada bilangan 𝐾 > 0 sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Oleh karena itu 𝛿 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝐾. Didefinisikan 𝑔 𝑥 =1

𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ [𝛿, 𝐾] maka 𝑔 𝑜 𝑓 = 1

𝑓. Karena f terintegral Riemann pada

[𝑎, 𝑏] dan g kontinu pada [𝛿, 𝐾] maka berdasarkan Teorema 6.8 fungsi 1

𝑓 terintegral pada [𝑎, 𝑏]. Teorema 6.12

Diberikan interval [𝑎, 𝑏], jika f : [𝑎, 𝑏]  R dan g : [𝑎, 𝑏]  R fungsi-fungsi yang terintegral

Riemann pada [𝑎, 𝑏], maka fungsi f.g terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏]. Bukti

Diketahui f : [𝑎, 𝑏]  R dan g : [𝑎, 𝑏]  R fungsi-fungsi yang terintegral pada [𝑎, 𝑏], maka berdasarkan sifat linearitas dan Akibat 6.10 dengan mengambil n = 2, diperoleh 𝑓 + 𝑔, 𝑓 + 𝑔 2_{, 𝑓}2_,

𝑔2_{masing-masing terintegral pada [𝑎, 𝑏], sehingga 𝑓. 𝑔 =}1

2 𝑓 + 𝑔 2− 𝑓2− 𝑔2 terintegral